大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
高等数学竞赛试题4答案
高等数学竞赛试题4答案一、计算题 1．求9解 原积分=55551155==3522(1)15x c + 2．求1120(1)(12)limsin x xx x x x→+-+解 由洛比塔法则，原极限=112220(1)ln(1)12(12)ln(12)lim (1)(12)(1)2(12)x xx x x x x x x x x x x x x →⎡⎤-++-+++-+⎢⎥++⎣⎦而20(1)ln(1)1lim(1)2x x x x x x →-++=-+ 2012(12)ln(12)lim 12(12)x x x x x x →-++=-+ 2e∴原极限=3．求p 的值，使22007() ()0bx p ax p e dx ++=⎰解：当取p 满足()a p b p +=-+即2b ap +=-时 积分2222007()2007200722()0b a bb px p x x b a aa px p edx xe dx x e dx -++-+-+===⎰⎰⎰4．设(,)x ∀∈-∞+∞，''()0f x ≥，且20()1x f x e -≤≤-，求()f x 的表达式 解：由条件'()f x 单调增。
且(0)0f =易知'()0f x ≡，若不然，不妨设0x ∃ 0'()0f x >则当0x x >时0000()()'()'()()'()xxx x f x f x f x dx f x dx x x f x -=≥=-→+∞⎰⎰矛盾'()0f x ∴≤ 同理可让'()0'()0f x f x ≥⇒≡()(0)0f x f ∴≡='A'B 5．计算2()sx y dS+⎰⎰，其中S为圆柱面224x y+=，（0≤z≤1）解： S圆柱面关于y对称，且y是奇函数∴原积分=22221()2482s s sx ds y ds x y dsππ==+=⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、设1211211212345632313nun n n=+-++-+++---111123nvn n n=+++++求（1）1010uv（2）limnnu→∞解：111121113()()32313323133n nnk kUk k k k k k k===+-=++-----∑∑111111111(32313123n nn k kVk k k k n n n===++-=+++=--++∑∑（1）10101UV=（2）22111111n nnk kUkn k nn====++∑∑21lim ln31nxU dxx→∞∴==+⎰三、有一张边长为4π的正方形纸（如图），C、D分别为'AA、'BB的中点，E为'DB的中点，现将纸卷成圆柱形，使A与'A重合，B与'B重合，并将圆柱垂直放在xoy平面上，且B与原点O重合，D落在Y轴正向上，此时，求：（1）通过C，E两点的直线绕Z轴旋转所得的旋转曲面方程；（2）此旋转曲面、xoy平面和过A点垂直于Z轴的平面所围成的立体体积。
大学生数学竞赛试卷及答案(数学类)
Fe1 = e2 , F 2 e1 = Fe2 = e3 ," , F n −1e1 = F ( F n − 2 e1 ) = Fen −1 = en
由
（*）
Me1 = (an1 F n −1 + an −11 F n − 2 + " + a21 F + a11 E )e1 = an1 F n −1e1 + an −11 F n − 2 e1 + " + a21 Fe1 + a11 Ee1 = an1en + an −11en −1 + " + a21e2 + a11e1 = α1 = Ae1
圆柱面的半径即为平行直线 x = y = z 和 x − 1 = y + 1 = z 之间的距离. P0 (1, −1, 0) 为 L0 上的点.
G JJJG G JJJG | n ×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP0 S | | n × P0O | G G = 对圆柱面上任意一点 S ( x, y, z ) ， 有 ， 即 |n| |n| (− y + z − 1) 2 + ( x − z − 1) 2 + (− x + y + 2) 2 = 6 ，
地， Wm 在 g 下是不变的. 下面证明， Wm 在 f 下也是不变的.事实上，由 f (η ) = λ0η ，知
fg (η ) = gf (η ) + f (η ) = λ0 g (η ) + λ0η
fg 2 (η ) = gfg (η ) + fg (η ) = g (λ0 g (η ) + λ0η ) + (λ0 g (η ) + λ0η ) = λ0 g 2 (η ) + 2λ0 g (η ) + λ0η
高数竞赛练习题答案（函数、极限、连续）
高数竞赛练习题答案（函数、极限、连续）第一篇：高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续)函数、极限、连续1.f(x),g(x)∈C[a,b]，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：(1)∃η∈(a,b),使f(η)=g(η)(2)∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ)证明：设f(x),g(x)分别在x=c,x=d处取得最大值M，不妨设c≤d(此时a<c≤d<b)，作辅助函数F(x)=f(x)-g(x),往证∃ξ∈(a,b),使F''(ξ)=0令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)二阶可导，且F(a)=F(b)=0，① 当c<d，由于F(c)=f(c)-g(c)=M-g(c)≥0F(d)=f(d)-g(d)=f(d)-M≤0由“闭.连.”零点定理，∃η∈[c,d]⊂(a,b),使f(η)=g(η)② 当c=d，由于F(c)=f(c)-g(c)=f(c)-g(d)=M-M=0即∃η∈(a,b),使f(η)=g(η) 对F(x)分别在[a,η],[η,b]上用罗尔定理，∃ξ1∈(a,η),ξ2∈(η,b)，使在[ξ1,ξ2]上对F(x)在用罗尔定理，F'(ξ1)=F'(ξ2)=0，∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b)，使F''(ξ)=0，∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ).2.设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn,n=1,2,Λxn存在，并求该极限(1)证明limn→∞xn+1x1n(2)计算lim()n→∞xn分析：(1)确定{xn}为单调减少有下界即可1xn，用洛必达法则.(2)利用(1)确定的limn→∞解：易得0<xn≤1(n=2,3,Λ)，所以xn+1=sinxn<xn,n=(2,3,Λ)，即{xn}为xn存在，并记为limxn=a,则a∈[0,1]，单调减少有下界的数列，所以 lim n→∞n→∞对等式xn+1=sinxn<xn,两边令n→∞取极限，得a=sina,a∈[0,1]，所以a=0,即limxn=0.n→∞lim((2)n→∞xn+1sinxn)=lim()n→∞xnxn2xn2xn令t=xn=lim（t→0sint)=et→0ttlimln()tt2由于limt→0tln(sin)ttsintln[1+(sin-1)]-1-1t2sint-t洛cost-11tt2=lim=lim=lim=lim=lim=- t→0t→0t→0t→0t→03t2t2t2t33t26 xn+1xn-1所以lim()=e.n→∞xn3.已知f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且f(0)=0,f(1)=1，证明：(1)∃ξ∈(0,1),使f(ξ)=1-ξ，(2)存在两个不同点η,ζ∈(0,1),使f'(η)f'(ζ)=1证：(1)令F(x)=f(x)+x-1，则F(x)在[0,1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0，由“闭.连.”零点定理，∃ξ∈(0,1),使F(ξ)=0,即f(ξ)=1-ξ(2)f(x)在[0,ξ],[ξ,1]上都满足拉格朗日中值定理，所以∃η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1)，使f(ξ)-f(0)=f'(η)(ξ-0),f(1)-f(ξ)=f'(ζ)(1-ξ)，即f'(η)=f'(ζ)=f(ξ)ξ=1-ξξ1-f(ξ)1-(1-ξ)ξ==1-ξ1-ξ1-ξ∴f'(η)f'(ζ)=1-ξξ⋅ξ1-ξ=14.设方程xn+nx-1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正α实根xn，并证明当α>1时，级数∑xn收敛.n=1∞证：令f(x)=xn+nx-1,则f(x)在(0,+∞)上连续，且f(0)=-1<0,f()=()n>0nn所以由连续函数的零点定理，所给方程在(0,)内有根，又由f'(x)=n(xn-1+1)>0,即f(x)在(0,)内单调递增，所以所给方程(0,)内只有唯一的根，在(，∞)上无根，即所给方程存在唯一的正实根xn.α<由上述知，对n=1,2,Λ，有0<xn<,有0<xn∞1n1n1n1n1n1，nα此外，由α>1知，级数∑收敛，所以由正项级数比较审敛法，知αn=1n∑xα收敛.nn=1∞5.求lim(cosx)x→01ln(1+x)x→0ln(1+x)解：lim(cosx)x→01ln(1+x)=elimlncosx，其中limln(1+xx→0lncosx)=limx→0ln[1+(cosx-1)]ln(1+x)=limx→0-x22x=-(cosx)所以，limx→0ln(1+x)=e-6.f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0,f'(0)≠0,若af(h)+bf(2h)-f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.解1：（利用导数定义）0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)af(h)-af(0)+af(0)+bf(2h)-bf(0)+bf(0)-f(0)=limh→0h→0hhaf(h)-af(0)bf(2h)-bf(0)[(a+b)-1]f(0)[(a+b)-1]f(0)=l im+lim+lim=(a+b)f'(0)+limh→0h→0h→0h→0hhhh⎧a+b=1'由f(0)≠0,f(0)≠0,得⎨,即a=2,b=-1a+2b=0⎩解2：按解1，只要假定f(x)在x=0处可导即可，但在题中“f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法：由lim h→0h→0af(h)+bf(2h)-f(0)=0得 limaf(h)+bf(2h)-f(0)=0h→0h即0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)=(a+b-1)f(0)，由f(0)≠0,得a+b=1（1）af(h)+bf(2h)-f(0)洛=limaf'(h)+2bf'(2h)=(a+2b)f'(0)且f'(0)≠0,又由0=limh→0h→0h所以 a+2b=0（2）由（1）、（2）得a=2,b=-1.⎛2+esinx⎫⎪.7.求lim 4+x→0x⎪⎝1+e⎭解：⎛2e-+e-sinx⎫⎛2+esinx⎫⎪=1⎪=lim lim+4+4++-x→0x→0 x⎪x⎪⎝1+e⎭⎝e+1⎭⎛2+esinx⎫⎛2+esinx⎫ ⎪⎪=1 lim=lim4+4---⎪x→0x⎭x→0⎝1+ex⎪⎝1+e⎭所以原式 = 18.求limx→0143+x+-x-2.2x解1：（泰勒公式）因+x+-x-2=[1+1111x-x2+o(x2)]+[1-x-x2+o(x2)]-22828(x→0)=-x2+o(x2)~-x2所以1-x2+x+-x-2=-1lim=limx→0x→0x2x24解2：（洛必达法则）-+x+-x-2洛必达lim=limx→0x→0x22x1-x-+x1⋅lim=lim x→0+x-x4x→0x1-2x1=lim.=-4x→0x(-x++x)4第二篇：高数课件-函数极限和连续一、函数极限和连续自测题1,是非题（1）无界变量不一定是无穷大量（）（2）若limf(x)=a，则f(x)在x0处必有定义（）x→x012x（3）极限lim2sinx=limx=0（）x→+∞x→+∞33x2，选择题（1）当x→0时，无穷小量1+x-1-x是x的（）A．等价无穷小B.同阶但不等价C.高阶无穷小D.低价无穷小⎧x+1-1x≠0⎪（2）设函数f(x)=⎨，则x=0是f(x)的（）x⎪0x=0⎩A.可去间断点 B.无穷间断点C 连续点D 跳跃间断点⎧exx<0（3）设函数f(x)=⎨，要使f(x)在x0处连续，则a=（）⎩a+xx≥0A.2B 1C 0D -13n2-5n+1=（）（4）lim2n→∞6n+3n-2A 151B -C -D ∞ 2321⎧xsinx<0⎪⎪x(5)设f(x)=⎨，则在x=0处f(x) （）⎪1sinx-1x>0⎪⎩xA 有定义B 有极限C 连续D左连续3(6)x=1是函数y=x-1的（）x-1A 可去间断点B 无穷间断点C 连续D跳跃间断点3.求下列极限（1）limx→∞x+sinxsin(-2x)x+2-3（2）lim（3）limx→0x→12xln(1+2x)x-1e-2x-1（4）lim（5）limn[ln(1+n)-lnn]（6）lim(sinn+1-sinn)n→∞n→∞x→0x2x+3x+2(sinx3)tanx2lim()(7)lim (8)（9）limx(x+1-x)x→∞2x+1x→01-cosx2x→∞cosx-cosaarctanxex-ex0（10）lim(11)lim（12）limx→ax→∞x→x0x-xx-ax0x2+32x2+1sin(x-1))（13）lim（14）lim(2x→∞x→1x-1x+24，求满足下列条件的a,b的值1x2+x+a=b（2）lim(3x-ax2-x+1)=（1）limx→+∞x→26x-2⎧tanaxx<0ax+b⎪=2(4)已知f(x)=⎨x（3）lim且limf(x)存在x→0x→1x-2⎪x+2x≥0⎩x<-1⎧-2⎪2（5）已知f(x)=⎨x+ax+b-1≤x≤1在(-∞,+∞)内连续⎪2x≥1⎩⎧sin2x+e2ax-1x≠0⎪(6)函数f(x)=⎨在x=0点连续x⎪ax=0⎩5．求下列函数的间断点并判断其类型⎧x-1x≤11-cosxx2-1（1）y=2（2）y=⎨（3）f(x)=sinxx-3x+2⎩3-xx>1⎧1x>0x⎪（4）f(x)=⎨ex-1（5）y=tanx⎪⎩ln(1+x)-1<x≤026.已知x→-1时，x+ax+5x+1是同阶无穷小，求a7.证明方程x-4x+2=0在区间(1,2)内至少有一个根8.当x→0时，e+ln(1-x)-1与x是同阶无穷小，求n 9.设函数f(x)=a,(a>0,a≠1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)K f(n)]n→∞n2第三篇：高数极限和连续第二章极限和连续【字体：大中小】【打印】2.1 数列极限一、概念的引入（割圆术）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽正六边形的面积A正十二边形的面积A2n-1正6×2形的面积AnA1，A2，A3，…，An，…→…S二、数列的定义定义:按自然数1，2，3...编号依次排列的一列数x1，x2，...，xn， (1)称为无穷数列，简称数列。
数学竞赛数学专业试题及答案
数学竞赛数学专业试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数\( f(x) = x^2 + 3x + 2 \)，求\( f(-2) \)的值。
A. -1B. 0C. 1D. 22. 已知等差数列\( a_n \)的首项为2，公差为3，求第10项的值。
A. 37B. 38C. 39D. 403. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 求下列无穷数列的和：\( 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \ldots \)。
A. 0B. 1C. 2D. 无穷大5. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)在第一象限，求\( \cos(\alpha) \)的值。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C.\( \frac{3}{5} \) D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个正方体的体积为27，求其表面积。
A. 54B. 108C. 216D. 486二、填空题（每题5分，共20分）7. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)的两个根，则\( a + b \)的值为________。
8. 根据勾股定理，若直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边的长度为________。
9. 一个等比数列的首项为2，公比为3，求其第5项的值。
10. 求\( e^{i\pi} \)的值。
三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2 \)。
12. 已知函数\( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \)，求\( g(x) \)的最大值。
四、附加题（共30分）13. 考虑一个由正整数构成的数列，其中每个数都是前一个数的两倍加一。
大学生高等数学竞赛试题汇总与答案
大学生高等数学竞赛试题汇总与答案大学生高等数学竞赛试题汇总与答案1.试题一：已知函数f(x)在区间[0, 1]上连续，且f(0) = 0，f(1) = 1，若对任意的x ∈ [0, 1]，都有f(x) ≤ x，证明函数f(x)在区间[0, 1]上存在唯一的根。
解答：首先，由题意可知，函数f(x)在区间[0, 1]上连续，且f(0) = 0，f(1) = 1，即函数f(x)在区间[0, 1]的端点值分别为0和1。
假设存在两个不同的根x1和x2，且0 ≤ x1 < x2 ≤ 1。
则根据题意有f(x1) = 0，f(x2) = 0。
由于f(x)在区间[0, 1]上连续，根据介值定理，对于任意的c ∈ (0, 1)，都存在一个介于x1和x2之间的数x0，使得f(x0) = c。
当c = 0时，根据题意有f(x1) = 0，所以x1也是f(x) = 0的根，与x1和x2不同的假设矛盾。
当c = 1时，根据题意有f(x2) = 0，所以x2也是f(x) = 0的根，与x1和x2不同的假设矛盾。
综上所述，假设不成立，即函数f(x)在区间[0, 1]上存在唯一的根。
2.试题二：已知函数f(x)在区间[0, +∞)上连续，且f(0) = 0，f(x) > 0，对任意的x > 0，且f'(x) > 0，证明函数f(x)在区间(0, +∞)上单调递增。
解答：根据题意可知，函数f(x)在区间[0, +∞)上连续，且f(0) = 0，f(x) > 0，对任意的x > 0，且f'(x) > 0。
假设存在两个不同的数x1和x2，且0 < x1 < x2。
由于f(x)在区间[0, +∞)上连续，根据介值定理，对于任意的c ∈ (0, f(x2))，都存在一个介于x1和x2之间的数x0，使得f(x0) = c。
根据函数的导数性质，当x > 0时，f'(x) > 0，即函数f(x)在区间(0, +∞)上单调递增。
福州大学第二十届大学生数学竞赛(经管类)参考答案与评分标准
(非专业组，2020)
一、填空(每小题 3 分，共 18 分)
○1 、 1, ○2 、 y 2x 1,
○3 、 2 ,
○4 、 2dx dy ， ○5 、 64
⑥、1
= = 3分
二. 解法1 原式 lim x0
1 xsin x ex2 6分
xsin x (e2x2 1)
2
x
两边对x求导:
x yy x2 y2
1 1(y /
x)2
xy y x2 ,
6分(2+2)
解得：y x y , 8分 x y
d2 y dx2
10分
(1
y)(x
y) (x (x y)2
y)(1
y)
2(x2 y2 (x y)3
)
.12分
2
七. 解法 1. 在直角坐标系下
2
, y2 ( 2 1)2 , u(x, y) x2 y2 1 , 7分
20 12 2
20 12 2
4 2
当 4 2 时， y ( 1 3)x ( 2 1)x 代入(3)得到：
14
x2
1
, y2 (
2 1)2 ,
u(x, y)
x2 y2
1
, 8分
20 12 2
20 12 2
x1
x1
x1
x1
f (x)在x 1处连续 a b 1 1 a b , f (x)在x 1处连续 a b 1 1 a b , ，10 分
2
2
所以 a 0, b 1.,12 分
四. 证明 因为 f (x) 在[0,1] 上可导，则 f (x) 在[0,1] 上连续，所以 f (x) 在[0,1] 上取得最小值 m , 即存在 [0,1] 使得 m f ( ), f (x) f ( ), x [0,1] .3 分
2023年高等数学竞赛试题答案
高等数学竞赛试题１一、填空：1．若()⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=,x ,a x ,x f x x x01e 0,arctan e 122sin 是()+∞∞-,上旳持续函数,则a = -1 。
２．函数x x y 2sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上旳最大值为332+π 。
3.()=+⎰--22d e x x x x26e 2-- 。
4.由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到旳旋转面在点()230,,处旳指向外侧旳单位法向量为{}32051,,。
5．设函数()x,y z z =由方程2e =+----xy z x x y z 所确定,则=z d ()y x x x xy z xy z d d e 1e 1-1+++---- 。
二、选择题:1． 设函数 f (x ）可导,并且()50='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x处微分ｄy 是y ∆旳( A ）(A ）等价无穷小; （B )同阶但不等价旳无穷小; (Ｃ）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小。
2． 设函数ｆ (x )在点x = a 处可导,则()x f 在点x = ａ处不可导旳充要条件是（ C ) （A ）f (a ) = ０,且()0='a f ； （B )ｆ (ａ)≠0，但()0='a f ; （C )f (a ) ＝ ０,且()0≠'a f ； （D )f (a )≠0，且()0≠'a f 。
3． 曲线12+-+=x x x y （ Ｂ )(Ａ)没有渐近线; (B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线； （C )有一条铅直渐近线; (Ｄ）有两条水平渐近线。
4．设()()x,y x,y f ϕ与均为可微函数,且()0≠'x,y yϕ。
已知()00,y x 是()x,y f 在约束条件()0=x,y ϕ下旳一种极值点,下列选项中旳对旳者为（ D )（A )若()00=',yx f x，则()00=',yxf y ; (B )若()00=',yx f x，则()00≠',yxf y；(C )若()00≠',yx f x,则()00=',yxf y; (D ）若()00≠',yx f x,则()00≠',yxf y。
(完整版)大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,推荐文档
而此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即
令
V (a) 2 a 1 (1 2a) 8 (1 a) 0 ，
5
3
27
得
即
因此
a 5 ,b 3 ,c 1.
42
七、（15
分）已知 un (x)
满足 un (x)
un (x)
xn1e x (n
1,2,)
,且 un (1)
e n
,
求函数项级数
收敛；
（2）当
1且 sn
(n ) 时，级数
n1
an Sn
发散。
解：
（1） an >0, sn 单调递增
当
n1
an
收敛时，
an sn
an s1
，而 an
s1
收敛，所以 an
sn
收敛；
当
n1
an
发散时，
lim
n
sn
所以， an s n1 n
a1 s1
n2
sn sn1
dx x
a1 s1
（1） xesin ydy yesin xdx
L
D
x
( xesin
y
)
y
(
ye sin
x
)dxdy
而 D 关于 x 和 y 是对称的，即知
因此
（2）因
故
由
知
即 xesin ydy yesin ydx 5 2
L
2
五、（10 分）已知 y1 xex e2x ， y2 xex ex ， y3 xex e2x ex 是某
zy 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 zy (x0 , y0 ) 2 y0 ， 即 x0 2, y0 1，又 z(x0 , y0 ) z(2,1) 5 ，于是曲面 2x 2 y z 0 在 (x0 , y0 , z(x0 , y0 )) 处的切平面方程是
南昌大学高等数学竞赛(全套)理工类试题和答案
.
z z y x y
.
5、曲面
x2 y2 z 2 a b c , , 1 在 的切平面方程为 a2 b2 c2 3 3 3
.
第 1 页 共 123页
二、 选择题(每题 3 分，共 15 分)
得分 评阅人
1、 设 f x, y 为连续函数，则 lim (B) f 0,0 .
1
0
2
x y2 2
2
f x, y dxdy =( )
(C) f 0,0 . (D) 2f 0,0 .
(A) 0.
1 2 2 , x 2 y 2 0; x y sin 2 2 2、 设二元函数 f x, y x y x 2 y 2 0, 0,
n 1
则 S x x n 2 x n1
x 2 n 1 n x 0 n x dx x nx n1 n1 n 1 x x nx n1 x x 1 x 2 x x 1 = , x 1 1 x 3
设 an 0 ，证明下面级数收敛
an . 1 a1 1 a2 1 an n 1
得分
评阅人
八、 （本题满分 7 分）
计算曲面积分 xz 2 dydz , 其中 是上半球面 z
R 2 x 2 y 2 的上侧.
第 5 页 共 123页
得分
评阅人
＝ 2 yf1 4 x 2 y 2 f11 4y2 2y y2 f12 3 f 2 4 f 22 x x x
第 9 页 共 123页
大学数学竞赛题库及答案
大学数学竞赛题库及答案一、单项选择题1. 设函数f(x) = (x - 1) / (x + 1)，则f(-1)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. -∞答案：A2. 设矩阵A = [[a, b], [c, d]]，则A的行列式det(A)的值为（）A. ad - bcB. a + b + c + dC. ab + bd + ca + dcD. |a| |b| |c| |d|答案：A3. 设函数f(x) = x^3 - 6x + 9，则f'(x)的值为（）A. 3x^2 - 6B. x^3 - 6C. 9 - 6xD. 3x^2答案：A4. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x)的值为（）A. 1/xB. xC. 1D. e^x答案：A5. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积a·b的值为（）A. -5B. 4C. 7D. 0答案：A二、多项选择题6. 以下哪个选项是正确的矩阵乘法规则？（）A. AB = BAB. (AB)C = A(BC)C. (A+B)C =AC+BC D. A(B+C) = AB+AC答案：B7. 以下哪个选项是正确的导数运算法则？（）A. (f+g)' = f' + g'B. (fg)' = fg' + gf'C. (f/g)' = f'/g - f/g^2D. (f^n)' = nf^(n-1)答案：A、C三、填空题8. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像是一个________。
答案：抛物线9. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]], 则矩阵A的逆矩阵A^-1为________。
答案：[[2, -1], [-3, 1]]10. 设向量a = (2, 3), 向量b = (-1, 2), 则向量a与向量b的夹角θ的值为________。
陕西省第五次大学生高等数学竞赛
6 ( 15 分) 1 设 f ( x , y , z ) =
2
λ
∑
ε Φx +y ΦR
κ
9 ( 10 分) 1 设函数 f ( x , y ) 及它的二阶偏导数在全平面连续 , 且 f ( 0 , 0) = 0 ,
5f Φ 2 | x - y | , 证明 : | f ( 5 , 4) | Φ 1 。 5x 10 ( 10 分) 1 位于点 ( 1 , 0) 处的物体 A 以大小为 v 0 的速度沿平行于 y 轴正向的方向运动 。 位于点 ( 0 , 0) 处的物体 B 与 A 同时出发 , 且始终指向 A 、 以大小为 5 v 0 的速度运动 。 求物体 B 运动 4 2 5 5 (1 - x ) 5 [2 (1 - x ) 5 - 3 ] + ) 的曲线方程 。 答案 : y = 24 24
π /4
∫
0
tan x + 2sin x
x
π 。 2
58
高等数学研究 2004 年 11 月
专科组 复赛试题及答案
一、 选择题 ( 共 5 小题 , 每小题 5 分 , 满分 25 分)
11 lim tan2 x ( lnsin x ) =【D】 ( A) 0 (B) - 1 ( C) π
3 ・ 9 ・ 27 ・ 81 ・… 答案 : ( 3 4 ) 1 ( 15 分) 1 计算 3 3 × 93 × 27 3 × 81 3 × 1 1 1 1 1
2 ( 15 分) 1 求 y =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x3 的单调区间 、 极值 、 凹凸区间 、 拐点和渐近线 。 2 x - 1 ) , 单调减区间有 ( - 3 , - 1) , ( - 1 , 1) , ( 1 , 3 ) ; 答案 : ( 单调增区间有 ( - ∞, - 3 ) , ( 3 , + ∞
第三十二届高等数学竞赛试题(最终)答案
1 n
1 n
1
1
1
n n
1
（2）当 a 1 时，则 lim(1 a n ) n lim 2 n 1 ------------2 分 （3）当 1 a 时， a (1 a n ) 2 a ，又 lim 2 n 1 ，则 lim(1 a n ) n a ------------3 分
本页满分 12 分 本 页 得 分
tf () (1 t ) f () 0 ，----------2 分
由题意得
3 2 3 ，所以 t . t 1 t 5
3 3 (0, ) ( ， 1). ，使得 3 f () 2 f () 0 . ----------2 分 即存在 5 ， 5
两边关于 x 求导得
f ( x)
1 1 f ( x) xf ( x) 1 ， f ( x) xf ( x) 2 ，----------2 分 2 2
f ( x) 2 xf ( x) f ( x) 2 ) ( ) 2 ，( 2 x x x x
f ( x) 2 Cx ，----------2 分
又 f (1) 5 ， 所以 f ( x) 2 3x ----------2 分
-1-
四、 （本题满分 20 分） 1. （10 分） 设 D {( x, y ) | x y t , t 0} ， 且 I t e ( x
D
2
本页满分 20 分
y )
2
dxdy ， 求极限 lim I t .
n n
1 n
1 n
1
1
（注：此题还可以用海涅定理，转化为函数极限用洛必达法则）
数学竞赛近年试题及答案
数学竞赛近年试题及答案【试题一】题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \) 在区间 \( [1, 3] \) 上的最大值和最小值。
【答案】首先，我们可以通过求导数来找到函数的极值点。
函数 \( f(x) \) 的导数为 \( f'(x) = 6x - 5 \)。
令 \( f'(x) = 0 \) 得到 \( x = \frac{5}{6} \)。
接下来，我们需要检查区间端点 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 以及极值点 \( x = \frac{5}{6} \) 处的函数值：- \( f(1) = 3(1)^2 - 5(1) + 2 = 0 \)- \( f(3) = 3(3)^2 - 5(3) + 2 = 23 \)- \( f\left(\frac{5}{6}\right) = 3\left(\frac{5}{6}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{6}\right) + 2 \)计算得到 \( f\left(\frac{5}{6}\right) =3\left(\frac{25}{36}\right) - \frac{25}{6} + 2 = -\frac{1}{6} \)。
因此，函数 \( f(x) \) 在区间 \( [1, 3] \) 上的最小值为 \( -\frac{1}{6} \)，最大值为 \( 23 \)。
【试题二】题目：证明对于任意正整数 \( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 \) 的和等于 \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。
【答案】我们可以利用数学归纳法来证明这个等式。
基础情况：当 \( n = 1 \) 时，左边的和为 \( 1^2 = 1 \)，右边的表达式为 \( \frac{1(1+1)(2*1+1)}{6} = 1 \)，等式成立。
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前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
在故知在2222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'''+'--=''= 322232)](1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解 :因xenx x x x x e nx x x x nn e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ 故nxn e e e e x e n n e e e A nx x x x nx x x x -+++=-+++=→→ 2020lim lime n n n e n ne e e e nx x x x 21212lim 20+=+++=+++=→)x2202000200x x x x x x x x →→→→这表明)(x g '在0=x 处连续.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe.证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知（1）y x ye y xe x x ye y xe D x y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=--- y x e e Dx y d d )(sin sin ⎰⎰-+=⎰--Lxy x ye y xe d d sin sin y x ye y xe x D x y d d )()(sin sin ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=-y x e ex y d d )(sin sin ⎰⎰+=-200sin sin 2d 2d )(πππππ=≥+=⎰⎰-x x e e x x即 2sin sin 25d d π⎰≥--L yy x yey xe 五、（10分）已知xxe xe y 21+=，xxexe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解 设xxe xe y 21+=，xxe xe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程)(x f cy y b y =+'+''的三个解，则x xe ey y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''cy y b y的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是02=++c b λλ因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 212++='，x x x e xe e y 2142++='' 知，1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x xx x e xe e e xe e e xe +-++-++=x即22)1(274)1(3151)(a a a a a V -+-+=πππ令0)1(278)21(3152)(=---+='a a a a V πππ， 得04040904554=+--+a a a即054=+a因此45-=a ,23=b ,1=c .七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.∑∑====11)()(n n n n x u x S 则x e x S e x x S n e x e xx S x n xn n x n xn -+=+=+='∑∑∞=-∞=-1)()()()(1111即xe x S x S x-=-'1)()(由一阶线性非齐次微分方程公式知)d 11()(x xC e x S x ⎰-+= 令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数∑∞=1)(n nx u的和)1ln()(x e x S x --=八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.解 令2)(t x t f =，则因当10<<x ，(0,)t ∈+∞时，2()2ln 0t f t tx x '=<，故t 1ln22-及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
（3）设0s >，求0(1,2,)sx nI e x dx n ∞-==⎰。
（4）设函数()f t有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g g x y ∂∂+∂∂。
（5）求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离。
解：（1）22(1)(1)(1)nn x a a a =+++=22(1)(1)(1)(1)/(1)nn x a a a a a =-+++-=222(1)(1)(1)/(1)na a a a -++-==12(1)/(1)n aa +--12n +0!n n I s ==='2()(0)(0)2f x f f x x =++因为二阶倒数大于0，所以lim ()x f x →+∞=+∞，lim ()x f x →-∞=-∞证明完成。
三、（15分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切，求函数()t ψ。
解：（这儿少了一个条件22d ydx=）由()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切得 3(1)2e ψ=，'2(1)eψ= '//()22dy dy dt dx dx dt t tψ==+ 收敛时，1n n n a a s s αα<发散时，lim n n s →∞=∞11n n n n n n n a s s α--=所以，11111211n n n s s n s s n n na a a dx dx s s x s x ααααα-∞∞==<+=+∑∑⎰⎰ 而1111111111lim 11ns n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--⎰，收敛于k 。
所以，1nn na s α∞=∑收敛。
（2）lim n n s →∞=∞所以1nn a∞=∑发散，所以存在1k ，使得112k nn aa =≥∑于是，111122212k k k n n n n nk a a a s s s α≥≥≥∑∑∑依此类推，可得存在121...k k <<<xydV Ω⎰⎰⎰2z dV Ω=⎰⎰⎰由轮换对称性，232344,1515x dV a bc y dV ab c ππΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2232323444(1)(1)(1)151515I d dV a bc ab c abc απβπγπΩ==-+-+-⎰⎰⎰ 2222224[(1)(1)(1)]15abc a b c παβγ=-+-+-（2）a b c >>∴当1γ=时，22max 4()15I abc a b π=+ 当1α=时，22min 4()15I abc b c π=+ 六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422()cxydx x dyx y ϕ++⎰的值为常数。
证明42cx y+⎰是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422()cxydx x dyx y ϕ++⎰分为两段1L ，2L ，再从3，13234242422()2()2()L L L L Lxydx x dy xydx x dy xydx x dyx y x y x y ϕϕϕ-+++++=-+++⎰⎰⎰ （2） 令42422(),xy x P Q x y x yϕ==++ Q P ∂∂上式将两边看做y 的多项式，整理得2''4325()()()4(2)2y x x x x x y x x ϕϕϕ+-=-+由此可得'()2x x ϕ=-'435()()42x x x x x ϕϕ-=解得：2()x x ϕ=-（3） 取'L 为424x y ξ+=，方向为顺时针0Q P x y∂∂-=∂∂ '''424242242()2()2()12cc L LL xydx x dy xydx x dy xydx x dyx y x y x y xydx x dy ϕϕϕπξ--++++∴=++++=-=⎰⎰⎰⎰解：(用欧拉公式）令111...12n x n n n n=++++++111ln =C+o 1211111ln 2=C+o 1212n nn n n n+++-++++++-+由欧拉公式得（），则（），其中，()1o表示n →∞时的无穷小量，-ln2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞∴=（3）已知()2ln 1arctan ttx e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d ydx。