高考文科数学解答题专题训练(一)三角函数

大题专项练(一)三角函数

A组基础通关

1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0.

(1)求角C的大小;

(2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值.

因为c cos B+(b-2a)cos C=0,

所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0,

所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C,

所以sin(B+C)=2sin A cos C.

又因为A+B+C=π,

所以sin A=2sin A cos C.

又因为A∈(0,π),所以sin A≠0,

所以cos C=1

2

.

又C∈(0,π),所以C=π

3

.

(2)由(1)知,C=π

3

,

所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab.

又c=2,所以4=a2+b2-ab.

又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,

所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=(1

2absinC)

max

=1

2

×4×sinπ

3

=√3.

2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°.

(1)若∠AMB=60°,求BC ;

(2)设∠DCM=θ,若MB=4MC ,求tan θ.

由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°.

在Rt △ABM 中,MB=2AM=4;在Rt △CDM 中,MC=2MD=2.

在△MBC 中,由余弦定理,得BC 2=BM 2+MC 2-2BM ·MC ·cos ∠BMC=12,BC=2√3. (2)因为∠DCM=θ,

所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°.

在Rt △MCD 中,MC=

1; 在Rt △MAB 中,MB=

2

sin (60°-θ)

,

由MB=4MC ,得2sin(60°-θ)=sin θ, 所以√3cos θ-sin θ=sin θ, 即2sin θ=√3cos θ,

整理可得tan θ=√3

2.

3.已知向量m =(2a cos x ,sin x ),n =(cos x ,b cos x ),函数f (x )=m ·n -√3

2

,函数f (x )在y 轴上的截距为√3

2

,与y

轴最近的最高点的坐标是(π

12,1). (1)求函数f (x )的解析式;

(2)将函数f (x )的图象向左平移φ(φ>0)个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin x 的图象,求φ的最小值.

f (x )=m ·n -√32=2a cos 2x+b sin x cos x-√3

2,

由f (0)=2a-√3

2=√3

2,得a=√3

2,

此时,f (x )=√3

cos 2x+b

sin 2x ,

由f (x )≤√34

+b

2

4

=1,得b=1或b=-1,

当b=1时,f (x )=sin (2x +π3),经检验(π

12

,1)为最高点;

当b=-1时,f (x )=sin (2x +2π

3),经检验(π

12,1)不是最高点.

故函数的解析式为f (x )=sin (2x +π

3).

(2)函数f (x )的图象向左平移φ个单位后得到函数y=sin 2x+2φ+π

3的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=sin x+2φ+π

3的图象,

所以2φ+π3

=2k π(k ∈Z ),φ=-π6+k π(k ∈Z ),

因为φ>0,所以φ的最小值为5π

6

.

4.函数f (x )=A sin (ωx +π

6)(A>0,ω>0)的最大值为2,它的最小正周期为2π.

(1)求函数f (x )的解析式;

(2)若g (x )=cos x ·f (x ),求g (x )在区间[-π6,π

4]上的最大值和最小值.

由已知f (x )最小正周期为2π,

所以2π

ω=2π,解得ω=1. 因为f (x )的最大值为2,

所以A=2,

所以f (x )的解析式为f (x )=2sin (x +π

6).

(2)因为f (x )=2sin (x +π

6)=2sin x cos π

6+2cos x sin π

6=√3sin x+cos x ,

所以g (x )=cos x ·f (x )=√3sin x cos x+cos 2x=√3

2sin 2x+

1+cos2x

2

=sin (2x +π

6)+1

2

.

因为-π6

≤x ≤π4

,所以-π6

≤2x+π6

≤2π3

,

于是,当2x+π6=π2,即x=π6时,g (x )取得最大值32;当2x+π6=-π6,即x=-π

6时,g (x )取得最小值0. 5.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如表:

(1)求f (x )的解析式;

(2)若在△ABC 中,AC=2,BC=3,f (A )=-1

2(A 为锐角),求△ABC 的面积.

由题中表格给出的信息可知,函数f (x )的周期为T=3π

4−(-π

4)=π,

所以ω=2π

π=2.

注意到sin(2×0+φ)=1,也即φ=π

2+2k π(k ∈Z ), 由0<φ<π,所以φ=π

.