高中物理第十一章机械振动第2节简谐运动的描述教学案新人教版选修3-4

第2节简谐运动的描述一、描述简谐运动的物理量1．振幅表示。

A ，用最大距离定义：振动物体离开平衡位置的(1) ，是标量。

强弱物理意义：表示振动的(2) 2．全振动图11­2­1类似于O →B →O →C →O 的一个完整振动过程。

3．周期(T )和频率(f )周期频率定义 做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率单位 秒(s)赫兹(Hz)物理含义 表示物体振动快慢的物理量关系式 T ＝1f描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。

1.振幅A 表示振动物体离开平衡位置的最大距离，表示振动的强弱，是标量。

2．振子完成一次全振动的时间总是相等的，一次全振动中通过的总路程为4A 。

3．相位是描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。

4．简谐运动的表达式为：x ＝A sin(ωt ＋φ)。

位移随时间变化的关系满足x ＝A sin(ωt ＋φ)的运动是简谐运动。

二、简谐运动的表达式简谐运动的一般表达式为x ＝A sin(ωt ＋φ) 1．x 表示振动物体相对于平衡位置的位移。

2．A 表示简谐运动的振幅。

3．ω是一个与频率成正比的量，表示简谐运动的快慢，ω＝2πT ＝2πf 。

4．ωt ＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t ＝0时的相位，叫做初相。

1．自主思考——判一判(1)振幅就是指振子的位移。

(×) (2)振幅就是指振子的路程。

(×)(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。

(×)(4)振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。

(√)(5)简谐运动表达式x ＝A sin(ωt ＋φ)中，ω表示振动的快慢，ω越大，振动的周期越小。

(√)2．合作探究——议一议，π32，说明了什么？甲、乙两个简谐运动的相位差为φΔ两个简谐运动有相位差(1)意味着什么？32提示：两个简谐运动有相位差，说明其步调不相同。

甲、乙两个简谐运动的相位差为动。

次全振34个周期或34滞后)乙(总比甲)甲(，意味着乙π (2)简谐运动的表达式一般表示为x ＝A sin(ωt ＋φ)，那么简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示？提示：简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。

描述简谐运动的物理量及其关系的理解1．对全振动的理解(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动。

(2)全振动的四个特征：①物理量特征：位移(x )、加速度(a )、速度(v )三者第一次同时与初始状态相同。

②时间特征：历时一个周期。

③路程特征：振幅的4倍。

④相位特征：增加2π。

2．简谐运动中振幅和几个物理量的关系(1)振幅和振动系统的能量：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定。

振幅越大，振动系统的能量越大。

(2)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。

在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。

(3)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。

其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅。

(4)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。

[典例] 弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点间做简谐运动，BC 相距20 cm ，某时刻振子处于B 点，经过0.5 s ，振子首次到达C 点，求：(1)振子的振幅； (2)振子的周期和频率；(3)振子在5 s 内通过的路程及位移大小。

[解析] (1)振幅设为A ，则有2A ＝BC ＝20 cm ，所以A ＝10 cm 。

(2)从B 首次到C 的时间为周期的一半，因此T ＝2t ＝1 s ；。

1 Hz ＝1T＝f 再根据周期和频率的关系可得 (3)振子一个周期通过的路程为4A ＝40 cm ，即一个周期运动的路程为40 cm ，200 cm＝5×40 cm ＝A 4tT＝s 5 s 的时间为5个周期，又回到原始点B ，位移大小为10 cm 。

[答案] (1)10 cm (2)1 s 1 Hz (3)200 cm 10 cm振动物体路程的计算方法(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据：①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅，则在n 个周期内通过的路程必为n ·4A 。

②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。

内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当T4动物体在振③内通过的路程才等于振幅。

T4初始时刻在平衡位置或最大位移处时， (2)计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。

1．如图11­2­2所示，弹簧振子在BC 间振动，O 为平衡位置，BO ＝OC ＝5 cm ，若振子从B 到C 的运动时间为1 s ，则下列说法正确的是( )图11­2­2A ．振子从B 经O 到C 完成一次全振动B ．振动周期是1 s ，振幅是10 cmC ．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cmD ．从B 开始经过3 s ，振子通过的路程是30 cm解析：选D 振子从B →O →C 仅完成了半次全振动，所以周期T ＝2×1 s＝2 s ，振幅A ＝BO ＝5 cm ，A 、B 错误；振子在一次全振动中通过的路程为4A ＝20 cm ，所以两次全振动振子通过的路程为40 cm ，C 错误；3 s 的时间为1.5T ，所以振子通过的路程为30 cm ，D正确。

b 和5 cm)＝－a x (点a 。

质点经过O 轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点x ．质点沿2点所用的最短时间a 点回到b ；此时质点再由0.2 s ＝ab t 时速度相同，时间5 cm)＝b x (点) (；则该质点做简谐运动的频率为0.4 s ＝ba t A ．1 HzB ．1.25 HzC ．2 HzD ．2.5 Hz 解析：选B 由题意可知，a 、b 两点关于平衡位置O 对称，质点经a 点和b 点时速度ab t 2＝T ，故12为质点振动周期的0.4 s ＝ba t 点所用的最短时间a 点回到b 相同，则质点由正确。

B ，1.25 Hz ＝1T＝f ，质点做简谐运动的频率为0.8 s ＝ 3．一个质点做简谐运动，振幅是4 cm ，频率为 2.5 Hz ，该质点从平衡位置起向正方向运动，经2.5 s ，质点的位移和路程分别是( )A ．4 cm 、24 cmB ．－4 cm 、100 cmC ．0、100 cmD ．4 cm 、100 cm 。

每个周期质点通过的路程为T 146＝2.5 s ＝t Δ，0.4 s ＝1f ＝T 得1T ＝f 由 D 解析：选置向正向时刻从平衡位0，质点100 cm ＝×16 cm 146＝s ，故质点的总路程16 cm ＝4×4 cm 项正确。

D ，故4 cm ＝x 周期运动到正向最大位移处，即位移14位移运动，经过 对简谐运动表达式的理解做简谐运动的物体位移x 随时间t 变化的表达式：x ＝A sin(ωt ＋φ)(1)x ：表示振动质点相对于平衡位置的位移。

(2)A ：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱。

f 2π＝2πT＝ω：圆频率，它与周期、频率的关系为ω(3) 可见ω、T 、f 相当于一个量，描述的都是振动的快慢。

(4)ωt ＋φ：表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。

它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。

(5)φ：表示t ＝0时振动质点所处的状态，称为初相位或初相。

(6)相位差：即某一时刻的相位之差。

两个具有相同ω的简谐运动，设其初相分别为。

1φ－2φ＝)1φ＋ωt (－)2φ＋ωt (＝φΔ，其相位差2φ和1φ运动的做简谐B ，物体m ⎝⎛⎭⎪⎫100t ＋π23cos ＝A x 做简谐运动的振动位移为A 物体 ]典例[) (的运动B 、A 。

比较m ⎝⎛⎭⎪⎫100t ＋π65cos ＝B x 振动位移为 A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ，B 的振幅是10 mB ．周期是标量，A 、B 周期相等为100 s B f 振动的频率B 等于A f 振动的频率A ．C Bf 振动的频率B 大于A f 振动的频率A ．D [思路点拨](1)物体的振幅、角速度可以直接由简谐运动表达式得出。

f 2π＝2πT＝ω角速度与周期、频率的关系：(2) [解析] 振幅是标量，A 、B 的振动范围分别是6 m 、10 m ，但振幅分别是3 m 、5 m ，错误。

因为B ，选项s 2－6.28×10＝s 2π100＝2πω＝T 的周期B 、A 错误。

周期是标量，A 选项错误。

D 正确，选项C ，选项B f ＝A f ，故B ω＝A ω [答案] C用简谐运动表达式解答振动问题的方法应用简谐运动的表达式x ＝A sin(ωt ＋φ)解答简谐运动问题时，首先要明确表达式中确定三个描述振动快慢f 2π＝2πT＝ω各物理量的意义，找到各物理量对应的数值，根据的物理量间的关系，有时还需要通过画出其振动图像来解决有关问题。

，则该振子振动的振幅和周期cm ⎝⎛⎭⎪⎫2πt＋π62sin ＝x ．某振子做简谐运动的表达式为1为( )A ．2 cm 1 sB ．2 cm 2π s s π61 cm ．C．以上全错D ＝ω，2 cm ＝A 对照可得：⎝⎛⎭⎪⎫2πt＋π62sin ＝x 与)φ＋ωt sin(A ＝x 由 A 解析：选选项正确。

A ，1 s ＝T ，所以2πT＝2π2．有一弹簧振子，振幅为0.8 cm ，周期为0.5 s ，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是( )m⎝ ⎛⎭⎪⎫4πt＋π2sin 3－8×10＝x ．A m⎝ ⎛⎭⎪⎫4πt－π2sin 3－8×10＝x ．B m⎝⎛⎭⎪⎫πt＋3π2sin 1－8×10＝x ．C m⎝ ⎛⎭⎪⎫π4t ＋π2sin 1－8×10＝x ．D0＝t ，4π＝2πT＝ω，0.5 s ＝T ，m 3－8×10＝0.8 cm ＝A 由题意知， A 解析：选选项正确。

A ，故m 3－8×10＝A ＝x 时，0＝t 时，弹簧振子具有负方向的最大加速度，即 ，则质点t π4sinA ＝x 某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为)多选(．3( )A ．第1 s 末与第3 s 末的位移相同B ．第1 s 末与第3 s 末的速度相同C ．第3 s 末与第5 s 末的位移相同D ．第3 s 末与第5 s 末的速度相同，则该质点振动图像8 s ＝T 可求得该质点振动周期为t π4sin A ＝x 根据 AD 解析：选如图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s 末和第3 s 末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A 正确，B 错误；第3 s 末和第5 s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C 错误，D 正确。