高数教案_定积分应用
高等数学教案-定积分及其应用
的面积.
b
b
2. 当 函 数 f (x) 在 [a, b]上 非 正 时 ， f (x)dx 的 值 是 一 个 负 值 ， f (x)dx 表 示 由 y f (x) ， 直 线
a
a
x a, x b 和 x 轴所围成的曲边梯形（在 x 轴的下方）的面积的相反数．
3.当函数
f
b
(x) 在区间[a,b] 上有正有负时，定积分 a
3 dx
例 4.求定积分（1） 1 1 x2 ；
9
（2）
4
x 1
x dx ．
1
例 5．求定积分 |1 x | dx ． 2
2x 1， x≤2，
例 6.设
f
(x)
1
x2，
2
求 k (2 k x≤4，
2)
的值，使
3 f (x)dx 40 ．
k
3
例 7.一辆汽车正以 10 m/s 的速度匀速直线行驶，突然发现一障碍物，于是以-1 m/s2 的加速度减速，求汽
a
a
x
[a,b] 上的函数, 称为积分上限函数, 记作 ( x) f (t)dt , x [a,b] . a
x
2.定理：设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，则积分上限函数 ( x) f (t)dt 在区间[a,b] 上可导，且 a
(x) ( x f (t)dt) f (x), x [a,b] . a
例 15.求定积分 x arctan x dx ． 0
例 16.某工厂排出大量废气，造成了严重污染，于是工厂通过减产来控制废气的排放量，若第 t 年废气的
排放量为
C(t)
20 ln(t 1) (t 1)2
高等数学的教学设计与应用——以“定积分的概念”为例
探索的科学精神"学会用所学知识解决生活中所遇到的实 个常量还是变量/ -(.定义中提到的两个任意性有什么意
际问题$ 介绍定积分时"引导学生深刻体会习近平总书记 义/ -3.定积分的大小主要由哪些因素决定/ 学生经历之
提出的*人类命运共同体+"使学生认识到任何个人都不可 前的引例以及自主练习"很容易得到相关的结论"即!
以此更好地理解定积分的概念$ 课外时间利用网络的学
4
图 图 K4444444444 H
习交流平台"与学生探讨知识"答疑解惑"使所有的疑惑能 够得到及时的解决"以便后续学习能畅通无阻$
结语
如果在%5"6&上!-&.)% 有正有负"则*6!-&. 7&的值 5
表示由曲线%`!-&. 直线 # &`5"&`6"%`% 所围图形在&轴 上方的面积减去在&轴下方的面积"即如下图$
能独善其身"要做到尽职尽责"才能实现共同发展$ 这种 -$.如果函数!- &. 在% 5"6& 上连续"或函数!- &. 在
思想方法贯穿于各个领域"小到身边事"大到国家事"乃至 %5"6&上有界"且只有有限个间断点"则函数!-&.在%5"6&
整个世界$
上可积$
)&( 抽象数学概念
-).定积分是一种和式的极限"即是一个实数$
们后期的计算"即将区间%%"$&分成0 等份"即&;`$0 "选
定积分应用 教案
定积分应用教案教案标题：定积分应用教学目标：1. 了解定积分的概念和基本性质。
2. 掌握定积分的应用方法，包括计算曲线下面积、计算物体体积等。
3. 培养学生运用定积分解决实际问题的能力。
教学准备：1. 教师准备：教师课件、教学实例、计算器等。
2. 学生准备：课本、笔记本、计算器等。
教学过程：Step 1：引入定积分的概念（10分钟）1. 教师通过课件或者黑板，简要介绍定积分的概念和基本性质，如曲线下面积的计算、物体体积的计算等。
2. 引导学生思考，定积分与不定积分的区别和联系。
Step 2：计算曲线下面积（20分钟）1. 教师通过示例，详细讲解如何利用定积分计算曲线下面积。
2. 引导学生理解定积分的几何意义，即曲线下面积的极限概念。
3. 给予学生练习的机会，让他们通过计算不同曲线下面积的例子，巩固所学知识。
Step 3：计算物体体积（20分钟）1. 教师通过实例，讲解如何利用定积分计算物体的体积。
2. 引导学生理解定积分的物理意义，即物体体积的极限概念。
3. 给予学生练习的机会，让他们通过计算不同物体体积的例子，巩固所学知识。
Step 4：应用实际问题（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，如水池的蓄水量、材料的质量等，引导学生运用定积分解决问题。
2. 学生分组讨论，解决给定的实际问题，并展示解决过程和结果。
Step 5：总结和拓展（10分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调定积分的应用方法和意义。
2. 鼓励学生拓展思考，提出更多与定积分相关的实际问题，并探索解决方法。
教学要点：1. 定积分的概念和基本性质。
2. 计算曲线下面积的方法和几何意义。
3. 计算物体体积的方法和物理意义。
4. 运用定积分解决实际问题的能力。
教学扩展：1. 鼓励学生自主学习，深入了解定积分的更多应用领域，如概率统计、经济学等。
2. 提供更多实际问题，让学生运用定积分解决，培养他们的应用能力。
3. 引导学生进行小研究，探索定积分的相关定理和性质，拓展他们的数学思维。
高等数学教案定积分
第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念;2、掌握定积分的性质及定积分中值定理,掌握定积分的换元积分法与分部积分法;3、理解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式;4、了解广义积分的概念并会计算广义积分;教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法;3、牛顿—莱布尼茨公式;教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法;4、变上限函数的导数;§5 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1 曲边梯形的面积曲边梯形设函数yfx在区间a b上非负、连续由直线xa、xb、y0及曲线yf x所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间a b 中任意插入若干个分点ax 0 x 1 x 2 x n 1 x n b把a b 分成n 个小区间x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x n 1 x n它们的长度依次为x 1 x 1x 0 x 2 x 2x 1 x n x n x n 1经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形 在每个小区间 x i 1 x i 上任取一点i 以x i 1 x i 为底、f i 为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形i 1 2 n 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值 即A f 1x 1 f 2x 2 f n x n ∑=∆=ni i i x f 1)(ξ求曲边梯形的面积的精确值显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记max{x 1 x 2 x n } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ 2 变速直线运动的路程设物体作直线运动 已知速度vvt 是时间间隔T 1 T 2上t 的连续函数 且vt 0 计算在这段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔T 1 T 2分成n 个小的时间间隔t i 在每个小的时间间隔t i 内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔t i 内某点i 的速度v i 物体在时间间隔t i 内 运动的距离近似为S i v i t i 把物体在每一小的时间间隔t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1 T 2内所经过的路程S 的近似值 具体做法是在时间间隔T 1 T 2内任意插入若干个分点T 1t 0 t 1 t 2 t n 1 t n T 2把T 1 T 2分成n 个小段t 0 t 1 t 1 t 2 t n 1 t n各小段时间的长依次为t 1t 1t 0 t 2t 2t 1 t n t n t n 1相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为S 1 S 2 S n在时间间隔t i 1 t i 上任取一个时刻 i t i 1 i t i 以 i 时刻的速度v i 来代替t i 1 t i 上各个时刻的速度 得到部分路程S i 的近似值 即S i v i t i i 1 2 n于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ求精确值记 max{t 1 t 2 t n } 当0时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ 设函数yfx 在区间a b 上非负、连续 求直线xa 、xb 、y 0及曲线yf x 所围成的曲边梯形的面积1用分点ax 0x 1x 2 x n 1x n b 把区间a b 分成n 个小区间x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x n 1 x n 记x i x i x i 1 i 1 2 n2任取i x i 1 x i 以x i 1 x i 为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ i 1 2 n 所求曲边梯形面积A 的近似值为∑=∆≈ni ii x f A 1)(ξ 3记max{x 1 x 2 x n } 所以曲边梯形面积的精确值为∑=→∆=ni ii x f A 10)(lim ξλ设物体作直线运动 已知速度vvt 是时间间隔T 1 T 2上t 的连续函数且vt 0 计算在这段时间内物体所经过的路程S1用分点T 1t 0t 1t 2 t n 1t n T 2把时间间隔T 1 T 2分成n 个小时间段 t 0 t 1 t 1 t 2 t n 1 t n 记t i t i t i 1 i 1 2 n2任取i t i 1 t i 在时间段t i 1 t i 内物体所经过的路程可近似为v i t ii 1 2 n 所求路程S 的近似值为∑=∆≈ni ii t v S 1)(τ 3记max{t 1 t 2 t n } 所求路程的精确值为∑=→∆=ni ii t v S 10)(lim τλ二、定积分定义抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义定义 设函数fx 在a b 上有界 在a b 中任意插入若干个分点a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b把区间a b 分成n 个小区间x 0 x 1 x 1 x 2 x n 1 x n各小段区间的长依次为x 1x 1x 0 x 2x 2x 1 x n x n x n 1在每个小区间x i 1 x i 上任取一个点 i x i 1 i x i 作函数值f i 与小区间长度x i 的乘积f i x i i 1 2 n 并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ记 max{x 1 x 2 x n } 如果不论对a b 怎样分法 也不论在小区间x i 1 x i 上点 i 怎样取法 只要当0时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I 为函数f x 在区间a b 上的定积分 记作⎰b a dx x f )(即∑⎰=→∆=ni i i b a x f dx x f 10)(lim )(ξλ其中f x 叫做被积函数 f xdx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b 叫做积分区间定义 设函数fx 在a b 上有界 用分点ax 0x 1x 2 x n 1x n b 把a b 分成n 个小区间 x 0 x 1 x 1 x 2 x n 1 x n 记x i x i x i 1i 1 2 n任 i x i 1 x i i 1 2 n 作和∑=∆=n i i ix f S 1)(ξ记max{x 1 x 2 x n } 如果当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间a b 的分法和 i 的取法无关 则称这个极限为函数fx 在区间a b 上的定积分 记作⎰ba dx x f )(即 ∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 10)(lim )(ξλ根据定积分的定义 曲边梯形的面积为⎰=b a dx x f A )(变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰= 说明1定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(2和∑=∆n i i i x f 1)(ξ通常称为f x 的积分和3如果函数f x 在a b 上的定积分存在 我们就说f x 在区间a b 上可积函数fx 在a b 上满足什么条件时 f x 在a b 上可积呢定理1 设f x 在区间a b 上连续 则f x 在a b 上可积定理2 设f x 在区间a b 上有界 且只有有限个间断点 则f x 在a b 上可积定积分的几何意义在区间a b 上 当fx 0时 积分⎰b a dx x f )(在几何上表示由曲线yf x 、两条直线xa 、xb 与x 轴所围成的曲边梯形的面积 当fx 0时 由曲线y f x 、两条直线xa 、xb 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba n i i i n i i ib a dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(1010ξξλλ当f x 既取得正值又取得负值时 函数fx 的图形某些部分在x 轴的上方 而其它部分在x 轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在x 轴上方的图形面积赋以正号 在x 轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为 它是介于x 轴、函数fx 的图形及两条直线xa 、xb 之间的各部分面积的代数和用定积分的定义计算定积分例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰解 把区间0 1分成n 等份分点为和小区间长度为n i x i =i 1 2 n 1 n x i 1=∆i 1 2 n 取n i i =ξi 1 2 n 作积分和 ∑∑∑===⋅=∆=∆ni i n i i i n i i n n i x x f 121211)()(ξξ )12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n n i )12)(11(61n n ++= 因为n1=λ 当0时 n 所以 31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ 利定积分的几何意义求积分:例2用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x解: 函数y 1x 在区间0 1上的定积分是以y 1x 为曲边以区间0 1为底的曲边梯形的面积 因为以y 1x 为曲边以区间0 1为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为1 所以211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x三、定积分的性质两点规定1当ab 时 0)(=⎰b a dx x f2当ab 时⎰⎰-=a b b a dx x f dx x f )()( 性质1 函数的和差的定积分等于它们的定积分的和差 即⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([证明:⎰±b a dx x g x f )]()([∑=→∆±=ni i i i x g f 10)]()([lim ξξλ ∑∑=→=→∆±∆=ni i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ ⎰⎰±=b a b a dx x g dx x f )()(性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(这是因为∑⎰=→∆=n i i i b a x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→b a n i i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即 ⎰⎰⎰+=bc c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性值得注意的是不论a b c 的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立 例如 当a <b <c 时 由于⎰⎰⎰+=c b b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( 于是有⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bc c a dx x f dx x f )()( 性质4 如果在区间a b 上f x 1 则a b dx dx ba b a -==⎰⎰1 性质5 如果在区间ab 上 f x 0 则⎰≥ba dx x f 0)(ab 推论1 如果在区间ab 上 f x gx 则⎰⎰≤b a ba dx x g dx x f )()(ab 这是因为g xf x 0 从而⎰⎰⎰≥-=-b a b a b a dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()( 所以⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()(推论2 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|ab这是因为|f x | f x |f x |所以⎰⎰⎰≤≤-b a b a b a dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|即 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(||性质6 设M 及m 分别是函数fx 在区间ab 上的最大值及最小值 则⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(ab证明 因为 m f x M 所以⎰⎰⎰≤≤b a b a b a Mdx dx x f mdx )( 从而⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(性质7 定积分中值定理 如果函数fx 在闭区间ab 上连续 则在积分区间ab 上至少存在一个点 使下式成立⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ 这个公式叫做积分中值公式证明 由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(各项除以ba 得⎰≤-≤b a M dx x f a b m )(1 再由连续函数的介值定理 在ab 上至少存在一点 使⎰-=b a dx x f a b f )(1)(ξ于是两端乘以ba 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ 积分中值公式的几何解释应注意 不论a <b 还是a >b 积分中值公式都成立§5 2 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动 在t 时刻所经过的路程为St 速度为vvtStvt 0 则在时间间隔T 1 T 2内物体所经过的路程S 可表示为)()(12T S T S -及dt t v TT )(21⎰即 )()()(1221T S T S dt t v TT -=⎰上式表明 速度函数vt 在区间T 1 T 2上的定积分等于vt 的原函数St 在区间T 1 T 2上的增量 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢二、积分上限函数及其导数设函数fx 在区间a b 上连续 并且设x 为a b 上的一点我们把函数fx 在部分区间a x 上的定积分dx x f xa )(⎰ 称为积分上限的函数 它是区间ab 上的函数 记为x dx x f x a )(⎰= 或x dt t f xa )(⎰定理1 如果函数fx 在区间a b 上连续 则函数x dx x f x a )(⎰=在a b 上具有导数 并且它的导数为x )()(x f dt t f dx d x a ==⎰ax <b 简要证明 若xa b 取x 使xxa bxxx dt t f dt t f x a x x a)()(⎰⎰-=∆+ dt t f dt t f dt t f x a x x xx a )()()(⎰⎰⎰-+=∆+ x f dt t f x x x ∆==⎰∆+)()(ξ应用积分中值定理 有f x其中在x 与xx 之间 x 0时 x 于是x )()(lim )(lim lim 00x f f f x xx x ===∆∆Φ=→→∆→∆ξξξ 若xa 取x >0 则同理可证x fa 若xb 取x <0 则同理可证x fb定理2 如果函数fx 在区间a b 上连续 则函数x dx x f xa )(⎰=就是f x 在a b 上的一个原函数定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系三、牛顿莱布尼茨公式定理3 如果函数F x 是连续函数fx 在区间a b 上的一个原函数 则)()()(a F b F dx x f ba -=⎰ 此公式称为牛顿莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式这是因为Fx 和x dt t f x a )(⎰都是fx 的原函数所以存在常数C 使FxxC C 为某一常数由FaaC 及a 0 得CFa FxxFa由FbbFa 得bFbFa 即)()()(a F b F dx x f ba -=⎰ 证明 已知函数Fx 是连续函数fx 的一个原函数 又根据定理2 积分上限函数x dt t f x a )(⎰也是fx 的一个原函数 于是有一常数C 使FxxC axb当xa 时 有FaaC 而a 0 所以CFa 当xb 时 FbbFa所以bFbFa 即)()()(a F b F dx x f ba -=⎰为了方便起见 可把FbFa 记成b a x F )]([ 于是)()()]([)(a F b F x F dx x f b a ba -==⎰ 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系例1. 计算⎰102dx x解 由于331x 是2x 的一个原函数 所以 31031131]31[33103102=⋅-⋅==⎰x dx x例2 计算2311x dx +⎰- 解 由于arctan x 是211x +的一个原函数 所以 31231][arctan 1--=+⎰x x dx)1arctan(3arctan --=πππ127)4 (3 =--= 例3. 计算⎰--121dx x解 1212|]|[ln 1----=⎰x dx x ln 1ln 2ln 2 例4. 计算正弦曲线y sin x 在0 上与x 轴所围成的平面图形的面积解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积ππ00]cos [sin x xdx A -==⎰112例5. 汽车以每小时36km 速度行驶 到某处需要减速停车设汽车以等加速度a 5m/s 2刹车 问从开始刹车到停车 汽车走了多少距离解 从开始刹车到停车所需的时间当t 0时 汽车速度v 036km/h 3600100036⨯=m/s 10m/s 刹车后t 时刻汽车的速度为vtv 0at 105t当汽车停止时 速度vt 0 从vt 105t 0得 t 2s于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为dt t dt t v s )510()(2020-==⎰⎰10]21510[202=⋅-=t t m 即在刹车后 汽车需走过10m 才能停住例6. 设fx 在0, 内连续且fx >0 证明函数⎰⎰=x xdt t f dt t tf x F 00)()()( 在0 内为单调增加函数证明 )()( 0x xf dt t tf dx d x =⎰ )()(0x f dt t f dx d x =⎰ 故 2000))(()()()()()(⎰⎰⎰-='x x xdt t f dtt tf x f dt t f x xf x F 200))(()()()(⎰⎰-=x x dt t f dt t f t x x f按假设 当0tx 时f t >0 xtf t 0 所以0)(0>⎰dt t f x 0)()(0>-⎰dt t f t x x从而F x >0 x >0 这就证明了F x 在0 内为单调增加函数例7. 求21cos 02lim x dte x t x ⎰-→解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则e x xe x dte x dt e x x x t x x t x 212sin lim lim lim 222cos 02cos 1021cos 0==--→-→-→⎰⎰ 提示 设⎰-=Φx t dt e x 12)( 则⎰-=Φx t dt e x cos 12)(cosx u x t e x x e dxdu u du d x dx d dt e dx d 222cos cos 1sin )sin ()()(cos ---⋅-=-⋅=⋅Φ=Φ=⎰§5 3 定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理 假设函数fx 在区间a b 上连续 函数xt 满足条件1a b2t 在 或 上具有连续导数 且其值域不越出a b则有dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰这个公式叫做定积分的换元公式证明 由假设知 fx 在区间a b 上是连续 因而是可积的 f tt 在区间 或 上也是连续的 因而是可积的假设Fx 是f x 的一个原函数 则 dx x f ba )(⎰FbFa另一方面 因为{Ft }F tt f tt 所以Ft 是f tt 的一个原函数 从而dt t t f )()]([ϕϕβα'⎰ F F FbFa因此 dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰例1 计算⎰-a dx x a 022a >0解 ⎰⎰⋅-=20sin 022cos cos πtdt a t a dx x a t a x a 令 ⎰⎰+==2022022)2cos 1(2cos ππdt t a tdt a220241]2sin 21[2a t t a ππ=+= 提示 t a t a a x a cos sin 22222=-=- dxa cos t 当x 0时t 0 当xa 时2π=t 例2 计算xdx x sin cos 520⎰π解 令t cos x 则x xd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ61]61[ 106105015cos ===-⎰⎰=t dt t dt t tx 令 提示 当x 0时t 1 当2π=x 时t 0 或 x xd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ610cos 612cos 61]cos 61[66206=+-=-=ππx 例3 计算⎰-π053sin sin dx x x解 dx x x dx x x |cos |sin sin sin 230053⎰⎰=-ππ⎰⎰-=πππ2232023cos sin cos sin xdx x xdx x ⎰⎰-=πππ2232023sin sin sin sin x xd x xd 54)52(52]sin 52[]sin 52[2252025=--=-=πππx x 提示 |cos |sin )sin 1(sin sin sin 232353x x x x x x =-=-在]2 ,0[π上|cos x |cos x 在] ,2[ππ上|cos x |cos x 例4 计算dx x x ⎰++40122 解 ⎰⎰⎰+=⋅+-++=+3123121240)3(21221 122dt t tdt t t dx x x t x 令 322)]331()9327[(21]331[21313=+-+=+=t t 提示 212-=t x dxtdt 当x 0时t 1 当x 4时t 3 例5 证明 若f x 在a a 上连续且为偶函数 则 ⎰⎰=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(证明 因为dx x f dx x f dx x f a a a a )()()(00⎰⎰⎰+=--而 ⎰⎰⎰⎰-=-=---=-a a a t x a dx x f dt t f dt t f dx x f 0000)()()()(令 所以 ⎰⎰⎰+-=-a a a a dx x f dx x f dx x f 00)()()(⎰⎰⎰==+-=-a a a a dx x f dx x f dx x f x f 00)(2)(2)]()([讨论若fx 在a a 上连续且为奇函数 问=⎰-aa dx x f )( 提示 若f x 为奇函数 则f xf x 0 从而0)]()([)(0=+-=⎰⎰-aa a dx x f x f dx x f例6 若f x 在0 1上连续 证明 1⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f2⎰⎰=πππ0)(sin 2)(sin dx x f dx x xf证明 1令t x -=2π 则dt t f dx x f )]2[sin()(sin 0220--=⎰⎰πππ⎰⎰=-=2020)(cos )]2[sin(πππdx x f dt t f2令xt 则⎰⎰---=00)][sin()()(sin ππππdt t f t dx x xf⎰⎰-=--=πππππ00)(sin )()][sin()(dt t f t dt t f t ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dt t tf dt t f ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dx x xf dx x f 所以⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf例7 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥=-01 cos 110)(2x xx xe x f x 计算⎰-41)2(dx x f解 设x 2t 则⎰⎰⎰⎰---++==-20121412cos 11)()2(dtte dt tdt t f dx x f t 212121tan ]21[]2[tan 420012+-=-=---e e t t提示 设x 2t 则dxdt 当x 1时t 1 当x 4时t 2 二、分部积分法设函数ux 、vx 在区间a b 上具有连续导数ux 、vx 由 uvuv u v 得u vu vuv 式两端在区间a b 上积分得vdx u uv dx v u ba b a ba '-='⎰⎰][ 或vdu uv udv ba ba ba ⎰⎰-=][ 这就是定积分的分部积分公式分部积分过程][][⋅⋅⋅='-=-=='⎰⎰⎰⎰vdx u uv vdu uv udv dx v u ba ba ba b a ba ba 例1 计算xdx arcsin 21⎰解xdx arcsin 21⎰x xd x x arcsin ]arcsin[21210⎰-=dx x x 22101621--⋅=⎰π)1(11211222210x d x --+=⎰π212]1[12x -+=π12312-+=π 例2 计算⎰10dx e x 解 令t x = 则⎰⎰=10102tdt e dx e t x⎰=102t tde ⎰-=1010 2 ][2dt e te t t 2 ][221 0 =-=t e e 例3 设⎰=20sin πxdx I n n 证明1当n 为正偶数时 22143231π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n2当n 为大于1的正奇数时 3254231⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n证明 ⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n ⎰--+-=2012 01sin cos ]sin[cos ππx xd x x n n⎰--=2022sin cos )1(πxdx x n n ⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n ⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdxn xdx n n nn 1I n 2n 1I n 由此得02214342522232212Im m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=112325432421222122Im m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+而2200ππ==⎰dx I 1sin 201==⎰πxdx I因此22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m例3 设⎰=20sin πxdx I n n n 为正整数 证明 22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m证明 ⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n⎰---+-=20222 0 1sin cos )1(]sin [cos ππxdx x n x x n n ⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n ⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdx n xdx n n n n 1I n 2n 1I n02214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+特别地 2200ππ==⎰dx I 1sin 201==⎰πxdx I因此 22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m§5 4 反常积分 一、无穷限的反常积分定义1 设函数fx 在区间a 上连续 取b >a 如果极限dx x f bab )(lim⎰+∞→ 存在 则称此极限为函数fx 在无穷区间a 上的反常积分 记作dx x f a )(⎰+∞即dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞= 这时也称反常积分dx x f a )(⎰+∞收敛如果上述极限不存在 函数fx 在无穷区间a 上的反常积分dx x f a )(⎰+∞就没有意义 此时称反常积分dx x f a )(⎰+∞发散类似地 设函数fx 在区间 b 上连续 如果极限dx x f baa )(lim⎰-∞→a <b 存在 则称此极限为函数fx 在无穷区间 b 上的反常积分 记作dx x f b)(⎰∞- 即dx x f dx x f baa b )(lim )(⎰⎰-∞→∞-= 这时也称反常积分dx x f b)(⎰∞-收敛如果上述极限不存在 则称反常积分dx x f b)(⎰∞-发散 设函数fx 在区间 上连续 如果反常积分dx x f )(0⎰∞-和dx x f )(0⎰+∞都收敛 则称上述两个反常积分的和为函数fx 在无穷区间 上的反常积分 记作dx x f )(⎰+∞∞- 即dx x f dx x f dx x f )()()(00⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=dx x f dx x f bb a a )(lim)(lim⎰⎰+∞→-∞→+=这时也称反常积分dx x f )(⎰+∞∞-收敛如果上式右端有一个反常积分发散 则称反常积分dx x f )(⎰+∞∞-发散 定义1 连续函数fx 在区间a 上的反常积分定义为dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞= 在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散 类似地 连续函数fx 在区间 b 上和在区间 上的反常积分定义为dx x f dx x f baa b)(lim)(⎰⎰-∞→∞-=dx x f dx x f dx x f bb a a )(lim)(lim)(0⎰⎰⎰+∞→-∞→+∞∞-+=反常积分的计算 如果Fx 是fx 的原函数 则b a b bab ax F dx x f dx x f )]([lim )(lim)(+∞→+∞→+∞==⎰⎰)()(lim )()(lim a F x F a F b F x b -=-=+∞→+∞→可采用如下简记形式)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f x a a-==+∞→∞++∞⎰类似地)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f x bb-∞→∞-∞--==⎰)(lim )(lim )]([)(x F x F x F dx x f x x -∞→+∞→∞+∞-+∞∞--==⎰ 例1 计算反常积分dx x211+⎰+∞∞-解∞+∞-+∞∞-=+⎰][arctan 112x dx x x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→-=πππ=--=)2(2例2 计算反常积分⎰+∞-0dt te pt p 是常数 且p >0 解∞+-∞+-+∞-⎰⎰⎰-==000]1[][pt pt pt tde pdt te dt te ∞+--⎰+-=0]11[dt e p te p pt pt ∞+----=02]11[pt pt e pte p 22211]11[lim p p e p te p pt pt t =+--=--+∞→ 提示 01lim lim lim ===+∞→+∞→-+∞→pt t pt t pt t pe e t te 例3 讨论反常积分dx x pa 1⎰+∞a >0的敛散性解 当p 1时dx x pa1⎰+∞dx x a 1⎰+∞=+∞==∞+ ][ln a x当p <1时dx x pa1⎰+∞+∞=-=∞+- 1]11[ap x p当p >1时1]11[11 1-=-=-∞+-+∞⎰p a x p dx x p ap pa因此 当p >1时 此反常积分收敛 其值为11--p a p当p 1时 此反常积分发散二、无界函数的反常积分定义2 设函数fx 在区间a b 上连续 而在点a 的右邻域内无界 取>0 如果极限dx x f bt at )(lim ⎰+→存在 则称此极限为函数fx 在a b 上的反常积分 仍然记作dx x f ba )(⎰ 即dx x f dx x f bta tb a )(lim )(⎰⎰+→=这时也称反常积分dx x f ba )(⎰收敛如果上述极限不存在 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散类似地 设函数fx 在区间a b 上连续 而在点b 的左邻域内无界 取>0 如果极限dx x f ta bt )(lim ⎰-→存在 则称此极限为函数fx 在a b 上的反常积分 仍然记作dx x f ba )(⎰ 即dx x f dx x f ta bt b a )(lim )(⎰⎰-→=这时也称反常积分dx x f b a )(⎰收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散 设函数fx 在区间ab 上除点ca <c <b 外连续 而在点c 的邻域内无界 如果两个反常积分dx x f c a )(⎰与dx x f bc )(⎰都收敛 则定义dx x f dx x f dx x f bc c a b a )()()(⎰⎰⎰+=否则 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散瑕点 如果函数fx 在点a 的任一邻域内都无界 那么点a 称为函数fx 的瑕点 也称为无界 定义2 设函数fx 在区间a b 上连续 点a 为fx 的瑕点 函数fx 在a b 上的反常积分定义为dx x f dx x f bt at b a )(lim )(⎰⎰+→=在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散类似地函数fx 在a bb 为瑕点上的反常积分定义为dx x f dx x f ta b t b a )(lim )(⎰⎰-→= 函数fx 在a cc b c 为瑕点上的反常积分定义为dx x f dx x f dx x f b t c t t a c t b a )(lim )(lim )(⎰⎰⎰+-→→+= 反常积分的计算如果Fx 为fx 的原函数 则有b t at b t a t b a x F dx x f dx x f )]([lim )(lim )(++→→==⎰⎰ )(lim )()(lim )(x F b F t F b F ax a t ++→→-=-= 可采用如下简记形式)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f a x b a ba +→-==⎰ 类似地 有)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f b x b a ba -==-→⎰ 当a 为瑕点时)(lim )()]([)(x Fb F x F dx x f a x b a ba +→-==⎰ 当b 为瑕点时)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f b x b a ba -==-→⎰ 当c acb 为瑕点时)](lim )([)]()(lim [)()()(x F b F a F x F dx x f dx x f dx x f c x c x b c c a b a +-→→-+-=+=⎰⎰⎰ 例4 计算反常积分⎰-a dx x a 0221 解 因为+∞=--→221lim x a a x 所以点a 为被积函数的瑕点a a a x dx x a 0 022][arcsin 1=-⎰20arcsin lim π=-=-→a x a x例5 讨论反常积分⎰-1121dx x的收敛性 解 函数21x在区间1 1上除x 0外连续 且∞=→201lim x x 由于+∞=--=-=-→--⎰1)1(lim ]1[100 1012x x dx xx 即反常积分⎰-0121dx x 发散 所以反常积分⎰-1121dx x发散 例6 讨论反常积分⎰-b aq a x dx )(的敛散性 解 当q 1时+∞=-=-=-⎰⎰b a b a b a q a x a x dx a x dx )][ln()( 当q 1时 +∞=--=--⎰b a q b a q a x qa x dx 1])(11[)( 当q 1时q b a q b a q a b q a x q a x dx ----=--=-⎰1 1)(11])(11[)( 因此 当q <1时 此反常积分收敛 其值为q a b q ---1)(11 当q 1时 此反常积分发散。
定积分的应用 教案
定积分的应用教案教案标题：定积分的应用教案目标：1. 理解定积分的概念和性质。
2. 掌握定积分的计算方法。
3. 学会运用定积分解决实际问题。
教学重点：1. 定积分的定义和性质。
2. 定积分的计算方法。
3. 定积分在实际问题中的应用。
教学难点：1. 将实际问题转化为定积分的形式。
2. 运用定积分解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件。
2. 教材《高等数学》相关章节。
3. 计算器和白板。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入定积分的概念，通过提问和讨论激发学生对定积分的兴趣和思考。
2. 回顾不定积分的概念和性质，为学生理解定积分做铺垫。
二、概念讲解（15分钟）1. 讲解定积分的定义和性质，包括积分上限、下限的含义、可加性、线性性等。
2. 通过示例演示定积分的计算方法，如基本初等函数的定积分、换元积分法等。
三、定积分的计算（20分钟）1. 给出一些简单的定积分计算题目，引导学生运用所学的计算方法进行解答。
2. 对于较复杂的题目，引导学生分步骤进行计算，并注意化简和变形的技巧。
四、定积分的应用（25分钟）1. 介绍定积分在实际问题中的应用，如面积计算、物理问题中的质量、速度、功率等计算。
2. 给出一些实际问题，引导学生将问题转化为定积分的形式，并进行求解。
3. 强调解决实际问题时需注意问题的分析和建立数学模型的能力。
五、拓展与巩固（10分钟）1. 给学生一些拓展题目，要求他们运用所学的知识解决更复杂的问题。
2. 总结定积分的应用领域和方法，并鼓励学生在实际生活中运用所学知识。
六、作业布置（5分钟）1. 布置一些练习题，要求学生独立完成，并在下节课前交作业。
2. 鼓励学生积极思考、互相讨论，提高问题解决能力。
教学反思：本节课通过引导学生理解定积分的概念和性质，掌握定积分的计算方法，并运用定积分解决实际问题，旨在培养学生的数学思维和应用能力。
教学过程中，通过示例演示和实际问题的引导，帮助学生理解和掌握定积分的应用。
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分是求曲线下的面积的方法强调定积分是极限的概念1.2 定积分的几何意义利用图形解释定积分表示曲线下的面积探讨定积分与区间的关系1.3 定积分的性质介绍定积分的四则运算讲解定积分的奇偶性第二章：定积分的计算方法2.1 定积分的标准公式介绍定积分的标准公式强调积分常数的存在2.2 定积分的换元法讲解定积分的换元法步骤举例说明换元法的应用2.3 定积分的分部积分法介绍定积分的分部积分法探讨分部积分法的应用第三章：定积分在几何中的应用3.1 求曲线的弧长利用定积分求曲线的弧长强调弧长公式的应用3.2 求曲面的面积引入曲面的面积概念利用定积分求曲面的面积3.3 求旋转体的体积介绍旋转体的体积公式利用定积分求旋转体的体积第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分在力学中的应用利用定积分求物体的质心利用定积分求物体的转动惯量4.2 定积分在电磁学中的应用利用定积分求电场强度利用定积分求磁场强度第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分在优化问题中的应用利用定积分求最大值和最小值问题强调优化问题的实际意义5.2 定积分在概率论中的应用利用定积分求概率密度函数的积分5.3 定积分在评价问题中的应用利用定积分求函数的最大值和最小值问题强调定积分在评价问题中的作用第六章：定积分在生物学中的应用6.1 定积分在生长模型中的应用引入生长模型，如细胞的分裂利用定积分描述生物体的生长过程6.2 定积分在药物动力学中的应用介绍药物在体内的浓度变化利用定积分求药物的动力学参数第七章：定积分在工程学中的应用7.1 定积分在力学工程中的应用利用定积分计算结构的受力情况探讨定积分在材料力学中的应用7.2 定积分在热力学中的应用利用定积分求解热传导方程强调定积分在热力学中的重要性第八章：定积分在计算机科学中的应用8.1 定积分在图像处理中的应用介绍图像处理中的边缘检测利用定积分计算图像的边缘利用定积分计算曲线的长度强调定积分在图形学中的作用第九章：定积分的数值计算9.1 梯形法则介绍梯形法则及其原理利用梯形法则进行定积分的数值计算9.2 辛普森法则介绍辛普森法则及其适用条件利用辛普森法则进行定积分的数值计算9.3 数值计算方法的比较比较梯形法则和辛普森法则的优缺点强调选择合适的数值计算方法的重要性第十章：定积分在实际问题中的应用10.1 定积分在资源管理中的应用利用定积分计算资源的总量探讨定积分在资源管理中的分配问题10.2 定积分在环境保护中的应用利用定积分计算污染物的浓度强调定积分在环境保护中的作用10.3 定积分在其他领域的应用探讨定积分在人口学、社会学等领域的应用强调定积分在解决实际问题中的重要性重点和难点解析重点一：定积分的概念与几何意义定积分是微积分中的一个重要概念，它表示的是曲线下的面积。
定积分的应用教案
定积分的应用教案教案标题：定积分的应用教案教案目标：1. 理解定积分的概念和基本性质；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够应用定积分解决实际问题。
教学重点：1. 定积分的概念和性质；2. 定积分的计算方法；3. 定积分在实际问题中的应用。
教学难点：1. 定积分的应用题目的分析和解决方法；2. 定积分在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学实例、教学素材；2. 学生准备：教科书、笔记本、计算器。
教学过程：Step 1: 导入与概念讲解（15分钟）1. 引导学生回顾不定积分的概念和性质；2. 引入定积分的概念，解释定积分与不定积分的关系；3. 通过实例讲解定积分的定义和计算方法。
Step 2: 定积分的计算方法（20分钟）1. 介绍定积分的计算公式和基本性质；2. 通过一些简单的例题，引导学生掌握定积分的计算方法；3. 引导学生总结定积分计算的基本步骤和技巧。
Step 3: 定积分的应用（30分钟）1. 通过实际问题引入定积分的应用场景；2. 选择一些典型的应用例题，引导学生分析问题、建立数学模型，并应用定积分进行求解；3. 引导学生讨论和总结定积分在实际问题中的应用方法和思路。
Step 4: 练习与巩固（20分钟）1. 提供一些练习题，让学生巩固定积分的计算方法；2. 提供一些应用题，让学生独立解决实际问题；3. 鼓励学生互相讨论和分享解题思路。
Step 5: 总结与拓展（15分钟）1. 总结定积分的概念、性质、计算方法和应用；2. 引导学生思考定积分在其他学科和领域中的应用；3. 提供相关拓展资料，鼓励学生深入学习和研究。
教学延伸：1. 鼓励学生通过自主学习和探究，进一步拓展定积分的应用领域；2. 引导学生进行实际场景的观察和数据收集，尝试将问题转化为数学模型，并应用定积分进行求解；3. 鼓励学生参加数学建模比赛等活动，提升定积分应用能力。
教学评估：1. 课堂练习和作业的完成情况；2. 学生对定积分概念和计算方法的理解程度；3. 学生在实际问题中应用定积分的能力。
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为∫ab f(x)dx。
强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。
1.2 定积分的性质介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。
通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。
第二章：定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数，∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。
解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。
2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。
通过具体例子演示换元法的应用。
第三章：定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。
利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。
3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。
通过具体例子演示计算曲线围成的面积。
第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。
利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。
4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算功的应用。
第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。
利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。
5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算总收益的应用。
第六章：定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念：随机变量在某个区间内的概率。
利用定积分计算概率密度，示例包括均匀分布、正态分布等。
高数教案_定积分应用
课 题: 定积分的物理应用 目的要求：掌握定积分求变力做功掌握定积分求液体对平面薄板的压力了解定积分求物体间引力 教学重点：掌握定积分求变力做功及液体对平面薄板的压力 教学难点：掌握定积分求变力做功及液体对平面薄板的压力 教学课时：2教学方法：讲练结合 教学内容与步骤：1，变力做功设物体在变力()F x 作用下沿 x 轴由 a 处移动到 b 处，求变力()F x 所做的功. 由于力()F x 是变力，所求功是区间 [,]a b 上非均匀分布的整体量，故可以用定积分来解决. 利用微元法，由于变力()F x 是连续变化的，故可以设想在微小区间 [,d ]x x x +上作用力()F x 保持不变（“常代变”求微元的思想），按常力做功公式得这一段上变力做功近似值.如图所示建立坐标系，变力()F x 使物体从微小区间 [,d ]x x x +的左端点x 处移动到右端点d x x +处，所做功的近似值，即功微元为d ()d ,W F x x =将微元dW 从 a 到 b 求定积分，得()F x 在整个区间上所做的功为()d .baW F x x =⎰例 设汽缸内活塞一侧存有定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由 1V 变至 2V ，求气体压力所做的功（如下图）.解 气体膨胀为等温过程，所以气体压强为 CP V= ( V —气体体积，C —常数），而活塞上的总压力为: ,C CF P V S ===Q Q （Q —活塞的截面积，S 为活塞移动的距离，V S =Q ） 以 1S 与 2S 表示活塞的初始与终止位置，于是得功为22111d d S SS S W F S C S S ==⎰⎰211d V V C V V=⎰2121ln ln.V V V C VC V == 练习 一个底半径为4 m ，高为8 m 的倒立圆锥形容器，内装6 m 深的水，现要把容器内的水全部抽完，需做功多少？解 我们设想水是一层一层被抽出来的，由于水位不断下降，使得水层的提升高度连续增加，这是一个“变距离”做功问题，亦可用定积分来解决.选择坐标系（见下页图），于是直线 AB 方程为142x +.在 x dx 的一薄层水所需做功的近似值为 :d d W x V ρ=2πd .x y x ρ= （ ρ—水的比重）于是功为: 822πd W xy x ρ=⎰822π(4)d 2x x x ρ=-⎰3822π(164)d 4x x x x ρ=-+⎰482324π(8)316x x x ρ=-+39.863π10()J =⨯⨯ (339.810N /m ρ=⨯).2，液体对平面薄板的压力设有一薄板，垂直放在比重为 ρ的液体中，求液体对薄板的压力.由物理学知道，在液体下面深度为 h 处，由液体重量所产生的压强为h ψρ=，若有面积为 A 的薄板水平放置在液深为 h 处，这时薄板各处受力均匀，所受压力为P A h A ψρ==，如今薄板是垂直于液体中，薄板上在不同的深度处压强是不同的，因此整个薄板所受的压力是非均匀分布的整体量. 下面结合具体例子来说明如何用定积分来计算.例 一个横放的半径为 R 的圆柱形水桶，里面盛有半桶油，计算桶的一个端面所受的压力（设油的比重为 ρ）.解 桶的一端面是圆板，现在要计算当油面过圆心时，垂直放置的一个半圆板的一侧所受的压力.选取坐标系（如下页图）.圆方程为 222x y R +=. 取 x 为积分变量，在 x 的变化区间 [0,]R 内取微小区间[,d ]x x x +，视这细条上压强不变，所受的压力的近似值，即压力微元为: d d 2,P x S x ρρ== 于是，端面所受的压力为2R P x ρ=⎰122222()d()RR x R x ρ=--⋅-⎰32232022().33RR x R ρρ⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦ 3，引力作业：教学总结：。
高等数学教案-定积分及其应用
第 5 章 定积分及其应用
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
第 5 章 第 1 节 定积分的概念与性质 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 定积分的定义与性质
课的类型 教学手段 教学难点
新知识课 黑板多媒体结合 用定积分的定义求定积分
参考教材 同济七版《高等数学》
作业布置 课后习题
a
a
x
[a,b] 上的函数, 称为积分上限函数, 记作 ( x) f (t)dt , x [a,b] . a
x
2.定理：设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，则积分上限函数 ( x) f (t)dt 在区间[a,b] 上可导，且 a
(x) ( x f (t)dt) f (x), x [a,b] . a
性质 6（定积分中值定理）设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，则在区间[a,b] 上至少存在一点 ，使得
五．例题讲解
例 1.计算定积分 1 1 x2 dx ． 0
b f (x)dx f ( )(b a) ． a
2
例 2.用定义求定积分 1 x2dx ． 0
例 3.不计算定积分的值，比较下列定积分的大小．
大纲要求 1、理解定积分的概念。
2、掌握定积分的性质及定积分中值定理.
教 学 基本内容
一．定积分的概念 1．两个实际问题 引例 1 曲边梯形的面积问题
设函数 y f (x) 在区间[a,b] 上非负连续，由曲线 y f (x) ，直线 x a , x b 以及 x 轴所围成图形称为曲 边梯形，求曲边梯形的面积 A .
b
f (x)dx ,
c
a a
b c
其中 c 是任意的常数， a 是小于 c 的任意数， b 是大于 c 的任意数．此广义积分 f (x)dx 只有当上述等式中
大学高数定积分教学教案
课时：2课时教学目标：1. 理解定积分的概念，掌握定积分的定义和性质。
2. 掌握定积分的计算方法，包括直接积分法、分部积分法、换元积分法等。
3. 能够运用定积分解决实际问题，如求面积、体积等。
教学重点：1. 定积分的概念和性质。
2. 定积分的计算方法。
教学难点：1. 定积分的计算技巧。
2. 运用定积分解决实际问题。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 练习题。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾不定积分的概念，引导学生思考定积分与不定积分的关系。
2. 引出定积分的定义。
二、新课讲解1. 定积分的定义：- 介绍定积分的定义，包括积分和、极限、积分区间等概念。
- 举例说明定积分的几何意义，如求曲边梯形的面积。
2. 定积分的性质：- 介绍定积分的性质，如线性性质、可加性、奇偶性等。
- 通过实例说明这些性质在实际问题中的应用。
三、课堂练习1. 让学生尝试运用定积分的性质进行计算，巩固所学知识。
2. 提出一些实际问题，引导学生运用定积分解决。
四、小结1. 总结本节课所学内容，强调定积分的定义、性质和计算方法。
2. 提醒学生在课后复习，加强练习。
第二课时一、复习导入1. 回顾上节课所学内容，提问学生关于定积分的定义、性质和计算方法。
2. 引导学生思考定积分在解决实际问题中的应用。
二、新课讲解1. 定积分的计算方法：- 介绍直接积分法，如基本积分公式、凑微分法等。
- 介绍分部积分法，如幂函数分子的阶低于分母时使用。
- 介绍换元积分法，如三角函数、反函数、指数函数等。
2. 定积分的应用：- 通过实例讲解定积分在求面积、体积、长度等方面的应用。
- 引导学生思考如何将实际问题转化为定积分问题。
三、课堂练习1. 让学生运用定积分的计算方法进行计算，巩固所学知识。
2. 提出一些实际问题，引导学生运用定积分解决。
四、小结1. 总结本节课所学内容，强调定积分的计算方法和应用。
2. 提醒学生在课后复习，加强练习。
教学反思：1. 本节课通过实例讲解和课堂练习，帮助学生掌握了定积分的定义、性质和计算方法。
高中数学 专题1.7.1 定积分在几何中的应用教案 2数学教案
定积分在几何中的应用【教学目标】1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 【教法指导】本节学习重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 本节学习难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 【教学过程】 ☆探索新知☆探究点一 求不分割型图形的面积思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S . 因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC —S 曲边梯形OABD＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x ＝23x 32|10－13x 3|10＝23－13＝13.反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2－4y ＝－x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ， 根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x ＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x )|2－3＝252－(－253)＝1256.探究点二 分割型图形面积的求解思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S . 解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图． 解方程组⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x －4得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)． 直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)． 因此，所求图形的面积为S ＝S 1＋S 2＝ʃ42x d x ＋[]ʃ 842x d x －ʃ 84x －4d x＝22332x |40＋22332x |84－12(x －4)2|84＝403. 方法二 把y 看成积分变量，则S ＝ʃ40(y ＋4－12y 2)d y ＝(12y 2＋4y －16y 3)|4＝403. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 画出图形，如图所示．得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以S ＝ʃ10[x －(－13x )]d x ＋ʃ31[(2－x )－(－13x )]d x＝ʃ10(x ＋13x )d x ＋ʃ31(2－x ＋13x )d x＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31＝56＋6－13×9－2＋13 ＝136. 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程． 解 如图，设切点A (x 0，y 0)， 其中x 0≠0，由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 02，0)，＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.∴x 0＝1，从而切点为A (1,1)， 切线方程为2x －y －1＝0.反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 3|10＝16.又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.☆课堂提高☆1．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( ) A.f(x)dx B.f(x)dx C.f(x)dx+f(x)dx D.f(x)dx-f(x)dx【答案】D【解析】 因为在区间[a ，b]上f(x)<0，所以在区间[a ，b]上对应图形的面积为-f(x)dx ，所以阴影部分的面积为：S=f(x)dx-f(x)dx.2.已知a =(cosx ，sinx)，b =(cosx ，-sinx)，f(x)=a ·b ，则直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为( ) A.B.C.D.【答案】C由定积分的几何意义，直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为cos2xdx-cos2xdx=sin2x|4π-sin2x|34ππ=-+=.3．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C.83 D.1623 【答案】 C【解析】 ∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1. 如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)， 即S ＝4－2ʃ20x 24d x ＝⎪⎪⎪4－2·x 31220＝4－43＝83.4．直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx 所围成的平面图形的面积表示为( )A.sinxdxB.sinxdxC.2sinxdxD.2sinxdx【答案】D【解析】由于y=sinx，x∈[-1，1]为奇函数，当x∈[-1，0]时，sinx≤0；当x∈(0，1]时，sinx>0.由定积分的几何意义，直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx所围成的平面图形的面积为|sinx|dx=2sinxdx.5．求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积．6．求曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=t2，t∈(0，1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.【解析】由定积分与微积分基本定理，得S=S1+S2=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=+=t3-t3+-t2-t3+t3=t3-t2+，t∈(0，1)，所以S′=4t2-2t，所以t=或t=0(舍去).当t变化时，S′，S变化情况如下表：tS′- 0 +S ↘极小值↗所以当t=时，S最小，且S min=.。
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课 题: 定积分的几何应用 目的要求：掌握定积分的微分元素法掌握利用定积分求平面图形面积的方法掌握利用定积分求体积的方法掌握利用定积分求弧长的方法 教学重点：利用定积分求面积和体积的方法 教学难点：利用定积分求面积和体积的方法 教学课时：4教学方法：讲练结合 教学内容与步骤：定积分解题的条件：(1) 所求量（设为 F ）与一个给定区间 [a,b]有关，且在该区间上具有可加性. 就是说，F 是确定于 [a,b]上的整体量，当把 [a,b]分成许多小区间时，整体量等于各部分量之和，即1ni i F F ==∑ .(2) 所求量 F 在区间 [a,b]上的分布是不均匀的，也就是说， F 的值与区间 [a,b]的长不成正比.（否则的话， F 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了） 用定积分概念解决实际问题的四个步骤： 第一步：将所求量 F 分为部分量之和，即: 1Δnii F F ==∑;第二步：求出每个部分量的近似值，Δi F ≈()Δ(1,2,,);i i f x i n ξ=L第三步：写出整体量 F 的近似值，1Δn ii F F ==∑≈1()Δniii f x ξ=∑；第四步：取max{Δ}0i x λ=→时的1()Δniii f x ξ=∑极限，则得1lim ()Δ()d nb i i ai F f x f x x λξ→===∑⎰.观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式()Δi i f x ξ中的变量记号改变一下即可（ i ξ换为x ；i x ∆换为 dx ）. 而第三、第四两步可以合并成一步：在区间 [a,b]上无限累加，即在 [a,b]上积分. 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，这是 F 能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用的微元法. 定积分应用的微元法：(一) 在区间 [a,b]上任取一个微小区间 [],d x x x +，然后写出在这个小区间上的部分量ΔF 的近似值，记为d ()d F f x x =(称为 F 的微元); （二） 将微元dF 在[a,b]上积分（无限累加），即得: ()d .b aF f x x =⎰微元法中微元的两点说明：(1) ()d f x x 作为ΔF 的近似值表达式，应该足够准确，确切的说，就是要求其差是关于Δx 的高阶无穷小. 即 Δ()d (Δ)F f x x o x -=.这样我们就知道了，称作微元的量 ()d f x x ，实际上是所求量的微分 dF;(2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问题的实际意义及数量关系，一般按着在局部 [],d x x x + 上，以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元 d ()d F f x x = . 用定积分求平面图形的面积 1. 直角坐标系下的面积计算用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.（1） 曲线()(()0),y f x f x =≥,x a x b ==及 OX 轴所围图形，如下页左图，面积微元d ()d A f x x =，面积()d b aA f x x =⎰.（2） 由上、下两条曲线(),()(()())y f x y g x f x g x ==≥及,x a x b ==所围成的图形，如下页右图，面积微元d [()()]d ,A f x g x x =-，面积[()()]d b aA f x g x x =-⎰.（3）由左右两条曲线(),()x y x y ψϕ==及,y c y d ==所围成图形（图见下左）面积微元（注意，这时就应取横条矩形 dA ，即取 y 为积分变量）d [()()]d A y y y ϕψ=-，面积[()()]d d cA y y y ϕψ=-⎰.例 求两条抛物线22,y x y x ==所围成的图形的面积 .解（1）画出图形简图（如右上图）并求出曲线交点以确定积分区间：解方程组22,,y x y x ⎧=⎨=⎩得交点（0，0）及（1，1）.(2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 dA 均可，习惯上取竖条，即取 x 为积分变量，x 变化范围为[0，1]，于是2d )d ,A x x =(3)将A 表示成定积分，并计算:13123200211)d 33 3.A x x x x ⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎰ 练习 求22y x =及4y x =-所围成图形面积. 解 作图（如下图）求出交点坐标为(2,2),(8,4)A B -. 观察图得知，宜取 y 为积分变量， y 变化范围为[–2，4]（考虑一下，若取 x 为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），于是得 :21d [(4)]d ,2A y y y =+-A ＝4422322111[(4)]d 418.226y y y y y y --⎛⎫+-=+-=⎪⎝⎭⎰极坐标下的面积计算曲边扇形：是指由曲线()r r θ=及两条射线,θαθβ==所围成的图形（如右下图）.取 θ为积分变量，其变化范围为[,]αβ，在微小区间 [,d ]θθθ+上“以常代变”，即以小扇形面积 dA 作为小曲边扇形面积的近似值，于是得面积微元为21d ()d ,2A r θθ=将dA 在[,]αβ上积分,便得曲边扇形面积为21()d .2A r βαθθ=⎰例22.解 由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，再4倍即可，在第一象限 θ的变化范围为 π[0,]4，于是ππ22244014cos 2d sin 2.2A a a a θθθ=⨯==⎰练习 求心形线 1cos r θ=+及圆3cos r θ=所围成的阴影部分面积（如右下图）.解 先求两线交点，以确定 θ的变化范围，解方程组：1cos ,3cos .r r θθ=+⎧⎨=⎩由3cos 1cos θθ=+得 1cos 2θ= ，故π3θ=± ，考虑到图形的对称性，得所求的 面积为：ππ2232π03112(1cos )d (3cos )d 22A θθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰ππ32π031cos 29(12cos )d (1cos 2)d 22θθθθθ+=++++⎰⎰ππ32π0331912sin sin 2sin 22422θθθθθ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭5π.4=用定积分求体积1. 平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积. 不妨设上述直线为 x 轴，则在 x 处的截面面积 ()A x 是x 的已知连续函数，求该物体介于 x=a 和 ()x b a b =<之间的体积（如右下图）.为求体积微元，在微小区间 [,d ]x x x +上视 ()A x 不变，即把[,d ]x x x +上的立体薄片近似看作 ()A x 为底， dx 为高的柱片，于是得d ()d ,V A x x =再在x 的变化区间[,]a b 上积分，则得公式 ()d .baV A x x =⎰例 设有底圆半径为 R 的圆柱，被一与圆柱面交成 α角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积（如右下图）.解 取坐标系如图，则底圆方程为222,x y R +=在 x 处垂直于 x 轴作立体的截面，得一直角三角形，两条直角边分别为y 及 tan y αα，其面积为221()()tan 2A x R x α=-，从而得楔形体积为222201()tan d tan ()d 2RR R V R x x R x x αα-=-=-⎰⎰2232tan ()tan 33R x R x R αα=-=旋转体体积设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线,()x a x b a b ==<，及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而成（如下图），我们来求它的体积 V.在区间 [,]a b 上点 x 处垂直 x 轴的截面面积为:2()π().A x f x = 在x 的变化区间[,]a b 内积分，得旋转体体积为: 2π()d .baV f x x =⎰类似地，由曲线()x y ϕ=，直线,y c y d ==及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转，所得旋转体体积（如下页左图）为2π()d .d cV y y ϕ=⎰例 求由星形线 222333(0)x y a a +=> 绕x 轴旋转所成旋转体体积（如上右图）. 解 由方程 222333x y a +=解出 2y =22333()a x - ，于是所求体积为 2223330πd 2π()d a aaV y x a x x -==-⎰⎰42242233333322π(33)d π.105aa a x a x x x a =-+-=⎰ 平面曲线的弧长设有曲线()y f x =（假定其导数()f x '连续），我们来计算从 x a =到 x b =的一段弧长的长度 s ，弧长微元为:d s x =在x 的变化区间[,]a b 内积分，就得所求弧长:.aas x x ==⎰⎰若曲线由参数方程 (),()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤给出，这时弧长微元为d .s t ==于是所求弧长为: .s t βα=⎰注意：计算弧长时，由于被积函数都是正的. 因此，为使弧长为正，定积分定限时要求下限小于上限.例 求摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩在 02πt ≤≤的一段长(0)a >.解 ()(1cos )x t a t '=-, ()sin y t a t '=,于是 d s t t == 2sind 2ta t =, 由于在[0,2π]上，sin02t≥， 故这一拱摆线长为 : 2π2π02sin d 4cos 8.22t t s a t a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰练习：作业：教学总结：。