清华大学-杨虎-应用数理统计课后习题参考答案3

习题五

1

试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？（α=0.05） 解 根据问题，因素A 表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为5.

假设样本观测值(1,2,3,4)ij y j =来源于正态总体2

~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= .

检验的问题：01251:,:i H H μμμμ===L 不全相等 .

计算结果：

表5.1 单因素方差分析表

注释: 当

=0.001表示非常显著，标记为 ‘***’，类似地，= 0.01，0.05，分别标记为 ‘**’ ，

‘*’ .

查表0.95(4,15) 3.06F =，因为0.953.9496(4,15)F F =>，或p = 0.02199<0.05，

所以拒绝0H ，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异.

2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 试检验在四种不同催化剂下平均得率有无显著差异？（α=0.05）

解

根据问题，设因素A 表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为4 .

假设样本观测值(1,2,...,)ij i y j n =来源于正态总体2

~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= .其中

样本容量不等，i n 分别取值为6，5，3，4 . 检验的问题：012341:,:i H H μμμμμ===不全相等 .

计算结果：

表5.2 单因素方差分析表

查表0.95(3,14) 3.34F =，因为0.952.4264(3,14)F F =<，或p = 0.1089 > 0.05，

所以接受0H ，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 .

3 试验某种钢的冲击值（kg ×m/cm2），影响该指标的因素有两个，一是含铜量A ，另一

试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？（α=0.05） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用.

设因素,A B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为12.

假设样本观测值(1,2,3,1,2,3,4)ij y i j ==来源于正态总体2

~(,),1,2,3,ij ij Y N i μσ=

1,2,3,4j = .记i α⋅为对应于i A 的主效应；记j β⋅为对应于j B 的主效应；

检验的问题：（1）10:i H α⋅全部等于零，11:i H α⋅不全等于零； （2）20:j H β⋅全部等于零，21:j H β⋅不全等于零； 计算结果：

表5.3 双因素无重复试验的方差分析表

查表0.95(2,6) 5.143F =，0.95(3,6) 4.757F =，显然计算值,A B F F 分别大于查表值，

或p = 0.0005，0.0009 均显著小于0.05，所以拒绝1020,H H ，认为含铜量和试验温度都会对钢的冲击值产生显著影响作用.

设每个工人在每台机器上的日产量都服从正态分布且方差相同 .试检验：（α=0.05）

1）操作工之间的差异是否显著？ 2）机器之间的差异是否显著？

3）它们的交互作用是否显著？

解 根据问题，这是一个双因素等重复(3次)试验的问题，要考虑交互作用.

设因素,A B 分别表示为机器和操作，试验指标为日产量，水平为12. 假设样本观测值(1,2,3,1,2,3,4)ijk y i j ==来源于正态总体

2~(,),1,2,3,ij ij Y N i μσ= 1,2,3,4j =，1,2,3k = .记i α⋅为对应于i A 的主效应；记j β⋅为对应于j B 的主效应；记ij γ为对应于交互作用A B ⨯的主效应； 检验的问题：（1）10:i H α⋅全部等于零，11:i H α⋅不全等于零； （2）20:j H β⋅全部等于零，21:j H β

⋅不全等于零； （3）30:ij H γ全部等于零，31:ij H γ不全等于零；

计算结果：

表5.4 双因素无重复试验的方差分析表

查表0.95(3,24) 3.01F =，0.95(2,24) 3.4F =，0.95(6,24) 2.51F =，计算值 3.01,A F <

3.4, 2.51B A B F F ⨯>>，或0.05A p >>，而,B A B p p ⨯均显著小于0.05，所以拒绝2030,H H ，

接受10H ，认为操作工之间的差异显著，机器之间的差异不显著，它们之间的交互作用显著 . 5 某轴承厂为了提高轴承圈退火的质量，制定因素水平分级如下表所示

因素 上升温度℃ 保温时间(h)

出炉温度℃

水平1 800 6 400 水平2

820

8

500

试填好正交试验结果分析表并对试验结果进行直观分析和方差分析 .

方差来源 自由度 平方和 均方 F 值 P 值 因素A 因素B 相互效应A ×B

误差 总和

3 2 6 2

4 35

2.750 27.167 7

3.5 41.333 14

4.75

0.917 13.583 12.250 1.722

0.5323 7.8871 7.1129

0.6645 0.00233** 0.00192**

解 根据题意，这是一个3因素2水平的试验问题 .试验指标为硬度的合格率 .应选择正

交表4

4(2)L 来安排试验，随机生成正交试验表如下：

由此可见第三号试验条件为：上升温度800℃、保温时间6h 、出炉温度500℃ . 直观分析需要计算K 值，计算结果如下：

表5.6 计算表

直观分析 由计算的K 值知，因素

A 、

B 、

C 的极差分别为70，40，40，因此主次关系为A B C >=，B ，C 相当 .由于试验指标为硬度的合格率，应该是越大越好，所以各确定因素的水平分别是121,,A B C ，即最佳的水平组合是121A B C ，即最佳搭配为：上升温度800℃、保温时间8h 、出炉温度400℃.

采用方差分析法，计算得下表：

表5.7 方差分析表

方差来源

平方和 自由度 均方差 F 值 A 1225 1 1225 1 B 400 1 400 0.33 C 400 1 400 0.33 误差 1225 1 1225 总和

3250

4

如果显著性检验水平取0.1α=，则查表得0.9(1,1)39.9F =，显然计算的F 值

1,0.33A B C F F F ===均小于查表值，所以认为三个因素对结果影响都显著 .

6