曲面积分对称性

2 对称性在曲线积分计算中的应用

2.1 对称性在第一类曲线积分计算中的应用

结论1 若积分曲线L关于x轴（或y轴）对称，记L1为曲线L被坐标轴所分割的两个对称区域之一，则有：

①∫Lf(x,y)ds=0,f(x,y)为关于y（或x）的奇函数；

②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,f(x,y)为关于y（或x）的偶函数。

结论2 若积分曲线L关于直线y=x对称，则当点(x,y)∈L时，有(y,x)∈L，即L关于x,y具有轮换对称性，这时有：

∫Lf(x,y)ds=∫Lf(y,x)ds=12∫L［f(x,y)+f(y,x)］ds

若f(x,y)=-f(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x奇对称，则∫Lf(x,y)ds=0；

若f(x,y)=(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x偶对称，则∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(y,x)ds。

其中L1为曲线L被直线y=x所分割的两个对称区域之一。

2.2 对称性在第二类曲线积分计算中的应用

设有曲线积分I=∫L P(x,y)dx，其中L为光滑的有向曲线弧，如果L关于某条直线（包括坐标轴）对称，这时利用对称性计算上述曲线积分时，不仅要考虑P(x,y)的大小和符号，还要考虑投影元素dx的符号。当积分方向和坐标轴正向之夹角小于π2时，投影元素为正，否则为负。一般地，我们有：

结论若积分曲线L关于某直线对称，记L1为曲线L被这条直线所分割的两个对称区域之一，则有：

①∫Lf(x,y)ds=0,P(x,y)dx在对称点上取相反的符号；

②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,P(x,y)dx 在对称点上取相同的符号。

对于积分∫L Q(x,y)dy也有类似地结论。上述结论都可推广到空间曲线的情形。

3 对称性在曲面积分计算中的应用

3.1 对称性在第一类曲面积分计算中的应用

结论1 若积分曲 面关于某平面（或某点）对称，记 1为曲面 被某平面（或某点）所分割的两个对称曲面之一，则有：

① f(x,y,z)dS=0,在对称点上f(x,y,z)取相反的符号；

② f(x,y,z)dS=2 1f(x,y,z)dS,在对称点上f(x,y,z)取相同的符号。

结论2 若积分曲面 关于x,y,z具有轮换对称性，则有：

f(x,y,z)dS= f(y,z,x)dS= f(z,x,y)dS

=13 ［f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)］dS

3.2 对称性在第二类曲面积分计算中的应用

利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号。现以曲面积分

f(x,y,z)dxdy为例来讨论。当曲面指定侧上动点的法线方向与z轴正向成锐角时，面积元素dS在xoy面上的投影dxdy为正；成钝角时为负。一般地，我们有：

结论若积分曲面 可分成对称的两部分 1、 2（ = 1+ 2），在对称点上|f|的值相等，则有

① f(x,y,z)dxdy=0,在对称点上fdxdy取相反的符号；

② f(x,y,z)dxdy=2 f(x,y,z)dxdy,在对称点上fdxdy的符号相同。

对于积分 f(x,y,z)dydz, f(x,y,z)dzdx也有类似的结论。

总之，应用对称性计算积分时应注意以下几点：

①必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面都具有某种对称性时才能

利用。如果只有积分区域具有某种对称性，这时根据具体情况，我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，再考虑利用上述结论。

②对第二类曲线积分和第二类曲面积分，在利用对称性时，尚需考虑积分路线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，需慎重。

③有些问题利用轮换对称性可得到简便的解答。