第七章线性变换.

第七章线性变换

计划课时：24 学时.（P 307—334）

§7.1 线性变换的定义及性质（ 2 学时）

教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质

教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质

本节内容可分为下面的两个问题讲授.

一. 线性变换的定义（P307）

注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。

二. 线性变换的性质

定理7.1.1 （P309）

定理7.1.2 （P309）

推论7.1.3 （P310）

注意： 1.定理7.1.2 给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。

2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。

作业：习题七P330 1 ，2， 3.

§7.2 线性变换的运算（ 4 学时）

教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件

本节内容分为下面四个问题讲授：

一. 加法运算

定义 1 （P310）

注意：+ 是V的线性变换.

二. 数乘运算

定义 2 （P311）

显然k 也是V的一个线性变换.

定理7.2.1 L（V）对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间.

三. 乘法运算

（1）. 乘法运算

定义 3 （P311-312）

注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换.

(2). 线性变换的方幂

四. 可逆线性变换定义 4 ( P313) 线性变换可逆的充要条件例 2 ( P314) 线性变换的多项式的概念( 阅读

内容).

作业：P330 习题七4， 5.

§7.3 线性变换的矩阵( 6 学时)

教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握与( ) 关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、

同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L(V)与M(F)的同构理

论。

教学重点、难点：

1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。

2. L(V)与M(F)的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。

本节内容分为下面四个问题讲授：

一.线性变换关于基的矩阵

定义 ( P316) 。

注意：取定n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换，有唯一确定的n阶矩阵与

它对应.

例 1 ( P316 )

注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的.

例 2 ( P317) 例 3

( P317)

二.与( )关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1

例 4 ( P318 )

三• L(V)与M(F)的同构

定理7.3.2 (P320)

定理7.3.3 (P320)

注意：1.定理732 ( P320)的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。

2. 由于L(V) 同构于M n ( F ) ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L(V) 的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间M n(F) 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。

3. 定理7.3.3 不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求

逆变换的方法。

四. 同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系定理7.3.4 （P321）.

作业：P331 习题七6，9，12，17.

7.4 不变子空间（ 4 学时）

教学目的及要求：理解不变子空间、线性变换的值域与核、线性变换的秩与零度的定义及相关理论，掌握利用不变子空间化简线性变换的矩阵的方法、求线性变换的值域与核的方法

教学重点、难点：

1. 利用不变子空间化简线性变换的矩阵的方法、线性变换的值域与核的概念

2. 线性变换值域与核的计算

本节内容分为下面三个问题讲授：

一. 不变子空间的概念

定义 1 （P322）

定理7.4.1 （P323）

二. 利用不变子空间化简线性变换的矩阵

（1）. 线性变换在不变子空间上的限制

定义 2 （P323）

（2）. 不变子空间与简化线性变换的矩阵的关系

三. 线性变换的值域与核

定义 3 （P324）

定理7.4.2 （P324）

定理7.4.3 （P325）

定理7.4.4 （P325）

作业：P332-333 习题七19，21，23，24，25.

§7.5 线性变换的本征值和本征向量（ 4 学时）教学目的及要求：理解线性变换本征值与本征向量的定义，掌握有限维向量空间的线性变换的本征值和本征向量与它的矩阵的特征值和特征向量的关系，掌握线性变换的可对角化的条件

教学重点、难点：本征值和本征向量的求法

本节内容分为下面三个问题讲授：

一. 本征值与本征向量的定义

定义1（本征值与本征向量）（P327）.

例 1 （P 327）

例 2 （P 327）

例 3 （P 328）

注意：并不是每个线性变换都有本征值. 无限维向量空间的一个线性变换的本征值可能有无穷多个。

二. 本征值和本征向量的求法

定理7.5.1 （P329）

例 4 （P329 ）

例 5 （P329 ）