概率统计课后习题解答第1章
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i 1
0.1 0.05 1 . 0.1 0.05 0.7 0.1 0.2 0.2 23
27 设有来自三个地区的各 10 名、15 名、25 名考生的报名表，其中女生的 报名表分别为 3 份、7 份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两 份。 （1）求先抽到的一份是女生表的概率 p。 （2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q。 解：设 B1 , B2 , B3 分别表示报名表来自三个地区。 （1）设 A1 表示先抽到的一份是女生表，则
P(C ) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.5 0.4 0.2 0.7
P( A C )
P( AC ) 0.5 5 P(C ) 0.7 7
注：若求已知目标被命中的条件下仅由甲命中的概率是多少，则为
P( AB C )
P( ABC ) 0.5 0.6 3 P(C ) 0.7 7
25.有朋友自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是 0.3，0.2， 0.1，0.4，如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是 , , 乘飞机不会迟到，结果他迟到了，试求他是乘火车来的概率为多少？ 解：设 B1 , B2 , B3 , B4 分别表示乘火车、轮船、汽车、飞机来，A 表示迟到， 则由贝叶斯公式
4.已知在 10 个晶体管中有 2 个次品，从中取 2 次，每次随机地取 1 只，作 不放回抽样，求下列事件的概率： （1）二只都是正品； （2）二只都是次品； （3） 一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品. 解： p1
k 1 1 k1 C82 28 0.022 ； 2 0.622 ； p2 2 2 n C10 45 n C10 45
3
P( A) P( Bi ) P( A Bi ) 0.25 0.9 0.5 0.8 0.25 0.7 0.8
i 1
1 1 24.设一枚深水炸弹击沉潜艇的概率为 , 击伤的概率为 ，击不中的概率为 3 2 1 ，若潜水艇击伤两次也将导致其下沉，试求施放 4 枚深水炸弹能击沉潜艇的概 6 率。
7. 从自然数 1，2，…，100 中随机取出一个，求“能被 6 整除或能被 8 整 除”的概率. 解：设“能被 6 整除”用 A 表示， “能被 8 整除”用 B 表示， 16 12 4 P( A) , P( B) , P( AB ) , 100 100 100
16 12 4 0.24. 100 8.从有 8 名男生、4 名女生的小组中选出 3 个代表，求选出的代表中至少有 一名女生的概率。 解：设选出的代表中没有一名女生表示为 A，则 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
0.5 0.6 0.7 0.5 0.6 0.5 0.7 0.6 0.7 0.5 0.6 0.7 =0.94
或者 p 1 P ( A BC ) P ( A) P ( B ) P (C ) 1 0.5 0.4 0.3 1 0.06 0.94 。 19.甲、乙两人独立地向同一目标射击一次，他们的命中率分别为 0.5 和 0.4， 求已知目标被命中的条件下甲命中的概率是多少？ 解：设甲、乙命中目标分别用 A、B 表示，目标被命中用 C 表示，则
1 1 2 C4 C6 C4 24 6 2 ， 2 2 C10 C10 4Leabharlann Baidu 45 3
故 P( A2 A)
P ( A2 ) 2 / 15 1 0.2 为所求。 P( A) 2/3 5
14.设 30 件产品中有 3 件次品，现逐个检查，试求查完 20 个产品时正好查 出 3 件次品的概率。 解：由题意知第 20 件产品为次品，前面 19 件产品中 17 件为正品 2 件为次 品，故所求概率为
而 P(A)＞0，P(B)＞0，所以 独立。
反过来，若 A、B 相互独立，则 P(AB)＝P(A) P(B)＞0，从而 P(AB)≠0，故 AB≠ø. 17.加工某种零件需经过 3 道工序，各道工序的次品率分别为 1%，4%，5%， 假定各道工序互不影响，求加工后所得零件不是次品的概率。 解：设 Ai 表示经第 i 道工序加工是正品，则所求概率为 p P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 0.99 0.96 0.95 0.903 。 18.三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为 0.5，0.6，0.7， 问能将此密码译出的概率是多少？ 解 设三人各自译出密码分别用 A、B、C 表示，则密码被译出可表示为
P ( B)
P( A B) P( A) 0.6 0.4 1 1 P( A) 1 0.4 3
16. 设 P（A）>0，P（B）>0，证明 A、B 互不相容与 A、B 相互独立不能同 时成立. 证 若 A、B 互不相容，即 AB ，则 P（AB）＝0. P(A)P(B)＞0，从而 P(AB)≠P(A) P(B)，即 A、B 不
P
17 2 17 2 10 C 27 C3 19! C27 C3 19! 3C27 3 27 18 171 20 20 10 P30 C30 20! 20C30 20 30 21 4060
15．设 A、B 相互独立，P（A B）=0.6，P（A）=0.4，求 P（B）. 解： P( A B) P( A) P( B) P( AB) P( A) P( B) P( A) P( B) 故有
1 1 1 ，而 4 3 12
P( B1 A)
P( B1 ) P( A B1 )
4
P( B ) P( A B )
i i i1
0. 3 1 / 4 1 . 0.3 1 / 4 0.2 1 / 3 0.1 1 / 12 2
26.炮战中，在距目标 250 米、200 米、150 米处射击的概率分别为 0.1，0.7， 0.2，而在各处射击时命中目标的概率分别为 0.05，0.1，0.2，现在已知目标被击 中，求击中目标的炮弹是由 250 米处射出的概率. 解：设 B1 , B2 , B3 分别表示自 250 米，200 米，150 米处射击，A 表示命中 目标，由贝叶斯公式 P( B1 ) P( A B1 ) P( B1 ) P( A B1 ) P( B1 A) 3 P( A) P( Bi ) P( A Bi )
A B C ，从而
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P ( ABC ) P( A) P( B) P( B) P( A) P( B) P( A) P(C ) P( B) P(C ) P( A) P( B) P(C )
P ( A B ) 1 P ( A B ) 1 P ( A B ) 1 r.
12.已知 P(A)=0.7; P( A B )=0.3，试求 P( AB )。 解：由 P( AB ) P( A AB) P( A) P( AB) 0.7 P( AB) 得 P( AB) 0.7 0.3 0.4 ，从而 P( AB )=10.4 = 0.6。 注意：教材上题目印刷错误 13.盒中有 10 小球，其中有 4 个是红色，从中任取两球，已知取出的两球至 少有一个是红色，求另一球也是红色的概率。 解：设取出的两球至少有一个是红色用 A 表示，则 P( A) P( A1 ) P( A2 )
3 解： （1）设 A 表示“3 人中最小号码为 5” ，则 n C10 , k1 C 52 ,
P( A)
k1 C 52 1 3 0.083 . n C10 12
3 2 （2）设 B 表示“3 人中最大号码为 5” ，则 n C10 , k1 C 4 ,
2 k2 C4 1 P（B） 3 0.05 . n C10 20
1 1 k3 C8 C 16 k C 1C1 8 22 0.356 ； p3 4 8 2 2 0.178 。 n C10 45 n A10 45
p3
6.将 3 个球随机放入 4 个杯子中去，求杯中球的最多个数为 1 的概率。 解： p
k n
P43 24 3 43 64 8
21．某车间有 5 台车床，每台车床由于种种原因，时常需要停车，设各台车 床停车或开车是相互独立的， 若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为 1/3， 试分别求在任一时刻车间里有 0，3，5 台车床处于停车状态的概率. 解：此题为 5 重伯努利概型。 22.设甲、乙两个篮球运动员投篮命中率分别为 0.7 和 0.6，现每人投篮三次， 试求： （1）两人进球数相等的概率。 （2）甲比乙进球数多的概率。 解：设甲、乙两人的进球数分别为 x 和 y，则 （ 1） 1 1 P( X Y ) 0.330.43 C3 0.7 0.32 C3 0.6 0.42 C32 0.7 2 0.3 C32 0.62 0.4 0.730.63 0.321 （ 2） 1 1 P( X Y ) C3 0.7 0.32 0.43 C32 0.7 2 0.3(0.43 C3 0.6 0.42 ) 3 3 1 2 2 2 0.7 (0.4 C3 0.6 0.4 C3 0.6 0.4) 0.436 23．一商店出售的某种型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙 厂产品占总数的 50%，另两家工厂的产品各占 25%，已知甲、乙、丙各厂产品 合格率分别为 0.90、0.80、0.70，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率。 解：设 A 表示随意取出一只晶体管是合格品，Bi（i=1,2,3）分别表示取出的 产品由甲、乙、丙厂家生产，则由全概率公式有
习题 1 2.设一个工人生产了 4 个零件，Ai 表示事件“他生产的第 i 个零件是正品” (i=1，2，3，4)，试用诸 Ai 表示下列事件： （1）没有一个产品是次品； （2）至少有一个产品是次品； （3）只有一个产品是次品； （4）至少有三个产品不是次品. 解： （1） A1 A2 A 3 A4 （2） A1 A2 A 3 A4 （3） A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 （4） A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 3.在房间里有 10 个人，分别佩载着从 1 号到 10 号的纪念章，任意选 3 人， 记录其纪念章的号码. （1）求最小的号码为 5 的概率； （2）求最大的号码为 5 的概率.
3 C83 14 C8 41 P( A) 3 , P( A) 1 3 . C12 55 C12 55
10．设 A B, P( A) 0.1, P( B) 0.5, 试求 P(AB)，P( A B )，P( A B )。 解：P(AB)= P(A)=0.1； P( A B )=P(B)=0.5； P( A B )= P ( AB) 1 P ( AB) 1 0.1 0.9 。 11.设事件 A、 B 及 A B 的概率分别为 p, q 及 r， 求 P(AB)， P( A B )， P( A B )。 解： P( AB) P( A) P( B) P( A B) p q r , P( AB ) P( A AB) P( A) P( AB) r q.
0.1 0.05 1 . 0.1 0.05 0.7 0.1 0.2 0.2 23
27 设有来自三个地区的各 10 名、15 名、25 名考生的报名表，其中女生的 报名表分别为 3 份、7 份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两 份。 （1）求先抽到的一份是女生表的概率 p。 （2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q。 解：设 B1 , B2 , B3 分别表示报名表来自三个地区。 （1）设 A1 表示先抽到的一份是女生表，则
P(C ) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.5 0.4 0.2 0.7
P( A C )
P( AC ) 0.5 5 P(C ) 0.7 7
注：若求已知目标被命中的条件下仅由甲命中的概率是多少，则为
P( AB C )
P( ABC ) 0.5 0.6 3 P(C ) 0.7 7
25.有朋友自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是 0.3，0.2， 0.1，0.4，如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是 , , 乘飞机不会迟到，结果他迟到了，试求他是乘火车来的概率为多少？ 解：设 B1 , B2 , B3 , B4 分别表示乘火车、轮船、汽车、飞机来，A 表示迟到， 则由贝叶斯公式
4.已知在 10 个晶体管中有 2 个次品，从中取 2 次，每次随机地取 1 只，作 不放回抽样，求下列事件的概率： （1）二只都是正品； （2）二只都是次品； （3） 一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品. 解： p1
k 1 1 k1 C82 28 0.022 ； 2 0.622 ； p2 2 2 n C10 45 n C10 45
3
P( A) P( Bi ) P( A Bi ) 0.25 0.9 0.5 0.8 0.25 0.7 0.8
i 1
1 1 24.设一枚深水炸弹击沉潜艇的概率为 , 击伤的概率为 ，击不中的概率为 3 2 1 ，若潜水艇击伤两次也将导致其下沉，试求施放 4 枚深水炸弹能击沉潜艇的概 6 率。
7. 从自然数 1，2，…，100 中随机取出一个，求“能被 6 整除或能被 8 整 除”的概率. 解：设“能被 6 整除”用 A 表示， “能被 8 整除”用 B 表示， 16 12 4 P( A) , P( B) , P( AB ) , 100 100 100
16 12 4 0.24. 100 8.从有 8 名男生、4 名女生的小组中选出 3 个代表，求选出的代表中至少有 一名女生的概率。 解：设选出的代表中没有一名女生表示为 A，则 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
0.5 0.6 0.7 0.5 0.6 0.5 0.7 0.6 0.7 0.5 0.6 0.7 =0.94
或者 p 1 P ( A BC ) P ( A) P ( B ) P (C ) 1 0.5 0.4 0.3 1 0.06 0.94 。 19.甲、乙两人独立地向同一目标射击一次，他们的命中率分别为 0.5 和 0.4， 求已知目标被命中的条件下甲命中的概率是多少？ 解：设甲、乙命中目标分别用 A、B 表示，目标被命中用 C 表示，则
1 1 2 C4 C6 C4 24 6 2 ， 2 2 C10 C10 4Leabharlann Baidu 45 3
故 P( A2 A)
P ( A2 ) 2 / 15 1 0.2 为所求。 P( A) 2/3 5
14.设 30 件产品中有 3 件次品，现逐个检查，试求查完 20 个产品时正好查 出 3 件次品的概率。 解：由题意知第 20 件产品为次品，前面 19 件产品中 17 件为正品 2 件为次 品，故所求概率为
而 P(A)＞0，P(B)＞0，所以 独立。
反过来，若 A、B 相互独立，则 P(AB)＝P(A) P(B)＞0，从而 P(AB)≠0，故 AB≠ø. 17.加工某种零件需经过 3 道工序，各道工序的次品率分别为 1%，4%，5%， 假定各道工序互不影响，求加工后所得零件不是次品的概率。 解：设 Ai 表示经第 i 道工序加工是正品，则所求概率为 p P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 0.99 0.96 0.95 0.903 。 18.三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为 0.5，0.6，0.7， 问能将此密码译出的概率是多少？ 解 设三人各自译出密码分别用 A、B、C 表示，则密码被译出可表示为
P ( B)
P( A B) P( A) 0.6 0.4 1 1 P( A) 1 0.4 3
16. 设 P（A）>0，P（B）>0，证明 A、B 互不相容与 A、B 相互独立不能同 时成立. 证 若 A、B 互不相容，即 AB ，则 P（AB）＝0. P(A)P(B)＞0，从而 P(AB)≠P(A) P(B)，即 A、B 不
P
17 2 17 2 10 C 27 C3 19! C27 C3 19! 3C27 3 27 18 171 20 20 10 P30 C30 20! 20C30 20 30 21 4060
15．设 A、B 相互独立，P（A B）=0.6，P（A）=0.4，求 P（B）. 解： P( A B) P( A) P( B) P( AB) P( A) P( B) P( A) P( B) 故有
1 1 1 ，而 4 3 12
P( B1 A)
P( B1 ) P( A B1 )
4
P( B ) P( A B )
i i i1
0. 3 1 / 4 1 . 0.3 1 / 4 0.2 1 / 3 0.1 1 / 12 2
26.炮战中，在距目标 250 米、200 米、150 米处射击的概率分别为 0.1，0.7， 0.2，而在各处射击时命中目标的概率分别为 0.05，0.1，0.2，现在已知目标被击 中，求击中目标的炮弹是由 250 米处射出的概率. 解：设 B1 , B2 , B3 分别表示自 250 米，200 米，150 米处射击，A 表示命中 目标，由贝叶斯公式 P( B1 ) P( A B1 ) P( B1 ) P( A B1 ) P( B1 A) 3 P( A) P( Bi ) P( A Bi )
A B C ，从而
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P ( ABC ) P( A) P( B) P( B) P( A) P( B) P( A) P(C ) P( B) P(C ) P( A) P( B) P(C )
P ( A B ) 1 P ( A B ) 1 P ( A B ) 1 r.
12.已知 P(A)=0.7; P( A B )=0.3，试求 P( AB )。 解：由 P( AB ) P( A AB) P( A) P( AB) 0.7 P( AB) 得 P( AB) 0.7 0.3 0.4 ，从而 P( AB )=10.4 = 0.6。 注意：教材上题目印刷错误 13.盒中有 10 小球，其中有 4 个是红色，从中任取两球，已知取出的两球至 少有一个是红色，求另一球也是红色的概率。 解：设取出的两球至少有一个是红色用 A 表示，则 P( A) P( A1 ) P( A2 )
3 解： （1）设 A 表示“3 人中最小号码为 5” ，则 n C10 , k1 C 52 ,
P( A)
k1 C 52 1 3 0.083 . n C10 12
3 2 （2）设 B 表示“3 人中最大号码为 5” ，则 n C10 , k1 C 4 ,
2 k2 C4 1 P（B） 3 0.05 . n C10 20
1 1 k3 C8 C 16 k C 1C1 8 22 0.356 ； p3 4 8 2 2 0.178 。 n C10 45 n A10 45
p3
6.将 3 个球随机放入 4 个杯子中去，求杯中球的最多个数为 1 的概率。 解： p
k n
P43 24 3 43 64 8
21．某车间有 5 台车床，每台车床由于种种原因，时常需要停车，设各台车 床停车或开车是相互独立的， 若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为 1/3， 试分别求在任一时刻车间里有 0，3，5 台车床处于停车状态的概率. 解：此题为 5 重伯努利概型。 22.设甲、乙两个篮球运动员投篮命中率分别为 0.7 和 0.6，现每人投篮三次， 试求： （1）两人进球数相等的概率。 （2）甲比乙进球数多的概率。 解：设甲、乙两人的进球数分别为 x 和 y，则 （ 1） 1 1 P( X Y ) 0.330.43 C3 0.7 0.32 C3 0.6 0.42 C32 0.7 2 0.3 C32 0.62 0.4 0.730.63 0.321 （ 2） 1 1 P( X Y ) C3 0.7 0.32 0.43 C32 0.7 2 0.3(0.43 C3 0.6 0.42 ) 3 3 1 2 2 2 0.7 (0.4 C3 0.6 0.4 C3 0.6 0.4) 0.436 23．一商店出售的某种型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙 厂产品占总数的 50%，另两家工厂的产品各占 25%，已知甲、乙、丙各厂产品 合格率分别为 0.90、0.80、0.70，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率。 解：设 A 表示随意取出一只晶体管是合格品，Bi（i=1,2,3）分别表示取出的 产品由甲、乙、丙厂家生产，则由全概率公式有
习题 1 2.设一个工人生产了 4 个零件，Ai 表示事件“他生产的第 i 个零件是正品” (i=1，2，3，4)，试用诸 Ai 表示下列事件： （1）没有一个产品是次品； （2）至少有一个产品是次品； （3）只有一个产品是次品； （4）至少有三个产品不是次品. 解： （1） A1 A2 A 3 A4 （2） A1 A2 A 3 A4 （3） A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 （4） A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 3.在房间里有 10 个人，分别佩载着从 1 号到 10 号的纪念章，任意选 3 人， 记录其纪念章的号码. （1）求最小的号码为 5 的概率； （2）求最大的号码为 5 的概率.
3 C83 14 C8 41 P( A) 3 , P( A) 1 3 . C12 55 C12 55
10．设 A B, P( A) 0.1, P( B) 0.5, 试求 P(AB)，P( A B )，P( A B )。 解：P(AB)= P(A)=0.1； P( A B )=P(B)=0.5； P( A B )= P ( AB) 1 P ( AB) 1 0.1 0.9 。 11.设事件 A、 B 及 A B 的概率分别为 p, q 及 r， 求 P(AB)， P( A B )， P( A B )。 解： P( AB) P( A) P( B) P( A B) p q r , P( AB ) P( A AB) P( A) P( AB) r q.