称为微分方程的初值问题

2 简单电力系统的静态稳定
P
2－1 不计发电机的阻尼作用
考虑发电机的电磁功率特性的转子运动方程如下
d dt
0
P P0
a
SEq
d
dt
N TJ
PT0
Eq0V0 Xd
sin
0 0
将上电述磁方功程率线线性性化化得，：有：ddtPEq
PEq
0
SEq
d
NSEq
dt
dt
Ft,Xe 0
XXe
对线性定常系统， Ft, Xt AX ，如果矩阵A非奇异，系统就只有一个平衡
状态；若A奇异，则系统有无数个平衡状态。 对于非线性系统而言，可能有一个或多个平衡状态，取决于上式的常值解。
以单机系统的发电机转子运动方程为例，X ,T ：
d dt
0
d dt
N TJ
的解 X%t 所描述的运动为未受扰运动，而一切与 X%0 不同的初值所确定的解 Xt
所描述的运动为受扰运动。
未受扰运动的稳定性必须通过受扰运动的性质来判断。
平衡状态：若对于一切 t t0 ，恒有 X%t X%t0 Xe 。则称 Xe 为系统的一个
平衡状态。
平衡状态是以下代数方程的解：
dX t
李雅普诺夫稳定性 的定义：对于任给实数 0 ，存在实数 , t0 ，
使所有满足 X0 Xe , t0 的初值 X0 所确定的运动 X t，恒满足
Xt Xe t t0
则称系统的平衡状态 Xe 是稳定的。如果 与t 0 无关，则是一致稳定 的。
如果平衡状态 Xe 是稳定的，而且：
lim
一般的多变量非线性系统：
dX FX
dt
在平衡点 X Xe X 处线性化，得：
舍去高次项得：
dX AX R X
dt dX AX dt
这就是原非线性方程的线性近似方程，或称线性化的小扰动方程。
根据李雅普诺夫稳定性判据，有： 若线性化方程A矩阵的所有特征根的实部均为负数，线性化方程的解是稳定的， 则非线性系统是稳定的； 若线性化方程A矩阵至少有一个实部为正的特征根，线性化方程的解是不稳定 的，则非线性系统也是不稳定的； 若线性化方程A矩阵有零值或实部为零的特征根，则非线性系统的稳定性需要 计及非线性部分才能确定。
t
Xt Xe
0
则称系统的平衡状态 Xe 是渐进稳定的。
如果对于某一实数 0 ，无论 0 多么小，在满足 X0 Xe 的初值 X0
所确定的运动X t 中，只要有一个运动，在 t t0 的某一时刻不满足
Xt Xe
则称系统的平衡状态 Xe 是不稳定的。
1－3 非线性系统的线性渐进稳定性判断法
NSEq TJ
如果 SEq 0，必有一个特征根为正实数，如有扰动系统响应为指数形式发散，
系统是不稳定的。
后如，果将等SE幅q 振 0荡，。系但统考特虑征到根在为振一荡对过共程轭中虚会数产，生从能理量论消上耗讲，当可电以力认系为统振收荡到会扰逐动步
衰减，系统是稳定的。
从以上分析可见，简单电力系统的静态稳定判据是：
TJ
写成矩阵形式：
dX AX, X T
dt
0
1
A
NSEq TJ
0
给定系统运行方式，计算系统潮流，算出 P0 , Q0 , V0 , Eq0 , 0 ，于是：
直接求特征根：
SEq
dPEq d
0
Eq0V0 Xd
cos 0
p
det
NSEq TJ
1
p
p2
NSEq TJ
0
得：
p1,2
可见，一个非线性系统的稳定性，当扰动很小时，可以转化为线性系统来研究。 这种方法称为小扰动法或小干扰法。电力系统静态稳定性的研究与判断，就是才 用这种方法。 特点：无需求解扰动方程，无需关注扰动的形式和初值。
电力系统静态稳定性与暂态稳定性的本质区别： ➢受微小扰动的电力系统静态稳定性问题：研究电力系统在平衡点附近的”邻域“的 稳定性问题； ➢受大扰动的暂态稳定性问题：研究电力系统从一个平衡点向另一个平衡点（或 经多次大扰动后回到原来的平衡点）的过渡特性问题。
PT
Pm
sin
P
a
P P0
a
b b b
该系统有两个平衡点，Xe1 a N
a
和 Xe2 b N ，
a a
b b
其中
a
arcsin
PT Pm
b
arcsin
PT Pm
1－2 李雅普诺夫运动稳定性定义
欧式范数：以 Xe 为圆心， 以c为半径的球域记为 X Xe c
n
其中： X Xe xi xei 2 称为欧式范数。 i1
SEq 0
对应的运行参数表示的稳定判据为：
900
极限情况：SEq 0 ，max 900
极限功率为：
PEq max
Eq0V0 Xd
2－2 计及发电机阻尼
计及发电机阻尼时，转子运动方程如下：
TJ N
d2 dt 2
PT
PEq
D
线性化的状态方程为：
d dt
d
NSEq
ຫໍສະໝຸດ Baidu
ND
dt
TJ
1 运动稳定性的基本概念和小扰动法原理
1－1 基本概念
任一动力学系统都可以用以下状态方程 组来描述：
dX
dt
t
F
t,
X
t
其中第i个方程为：
dxi t
dt
fi t, x1, x2,L
, xn
x1, x2,L , xn 称为状态变量。
给定初值求解微分方程的问题，称为微分方程的初值问题。
设 X%t0 X%0 ，这组初值确定了上述状态方程的一组特解 X%t。称 X%0 所确定
1－4 用小扰动法分析电力系统静态稳定性的步骤
列写电力系统各元件的微分方程（如发电机转子运动方程）和电网络代数方 程（如节点导纳方程）；
分别对微分方程和代数方程进行线性化；
消去非状态变量，求出线性化小扰动状态方程及矩阵A；
根据给定运行状态计算初值，确定A矩阵各元素的值；
确定或判断A矩阵特征根实部的符号，进而判定系统在给定运行条件下是否具 有静态稳定性。方法有两种： ➢直接求出A矩阵的所有特征根。 ➢求出A矩阵的特征方程，利用劳斯法等间接判断特征根实部的符号。
TJ
系数矩阵A为：
0
A
NSEq TJ
1
ND TJ
特征根为：
p1,2
ND 2TJ
ND 2TJ
2
NSEq TJ
（D为综合阻尼系数）
讨论：
D>0，发电机具有正阻尼的情况：
➢当 SEq 0 ，且 D2 4SEqTJ / N 时，特征根为两个负实数，系统时稳定的，称为 过阻尼；
➢的当负数SEq，系0 统，的但响D应2 是4振SEq荡TJ衰/ 减N ，时系，统特仍征是根稳为定一的对；共轭虚根，实部为与D成正比