称为微分方程的初值问题
微分方程(13)
第9章 微分方程与差分方程第1节 微分方程的大体概念咱们已经明白,利用函数关系能够对客观事物的规律性进行研究.而在许多几何,物理,经济和其他领域所提供的实际问题,即便通过度析、处置和适当的简化后,咱们也只是能列出含有未知函数及其导数的关系式.这种含有未知函数的导数的关系式确实是所谓的微分方程.求出微分方程中的未知函数的进程就叫解微分方程.本章要紧介绍微分方程的一些大体概念和几种经常使用的微分方程的解法.实际问题中的数据大多数是按等时刻距离周期统计的.因此,有关变量的取值是离散转变的,处置他们之间的关系和转变规律确实是本章最后的内容——差分方程.含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.微分方程中显现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.现实世界中的许多实际问题,例如,物体的冷却,人口的增加,琴弦的振动,电磁波的传播等,都能够归结为微分方程问题.这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.例 质量为m 的物体只受重力作用由静止开始自由垂直降落.依照牛顿第二定律:物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度的乘积,即F ma =.取物体降落的铅垂线为x 轴,其正向向下.下落的起点为原点.记开始下落的时刻0t =,那么物体下落的距离x 与时刻t 的函数关系()xx t =知足22d xg dt=, 其中g 为重力加速度常数.这确实是一个2阶微分方程。
例 产品的月产量为x 时的边际本钱1()82c x x '=+,确实是一个1阶微分方程.在微分方程中,假设未知函数是一元函数就称为常微分方程;假设未知函数是多元函数,就称为偏微分方程.本章只讨论常微分方程。
n 阶微分方程的一样形式是()(,,,,,)0n F x y y y y '''=,其中x 为自变量,()y y x =是未知函数,上式中,()n y 必需显现,而其余变量(包括低阶导数)能够不显现.若是能从式中解出最高阶导数取得微分方程的如下形式()(1)(,,,,,)n n y f x y y y y -'''=以后咱们只讨论姓如式的微分方程,并假设式右端的函数f在所讨论的范围内持续.专门地,式()中的f若是能写成如下形式()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y g x --'++++= 那么称式为n 阶线性微分方程.其中1(),,()n a x a x 和()g x 均为自变量x 的已知函数.把不能表示成形如式的微分方程称为非线性微分方程.例 试指出以下方程是什么方程,并指出微分方程的阶数. (1)3dy x y dx =+ (2)sin (cos )tan 0dyx x y x dx++= (3)32235d y dy x y dx dx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(4)33ln d y dy x xy x dx dx ++= 解 方程(1)是一阶线性微分方程.因为dydx和y 都是一次.方程(2)也是一阶线性微分方程.因为两边除以sin x 就可看出.方程(3)是2阶非线性微分方程,因为其中含有3dy dx ⎛⎫⎪⎝⎭.方程(4)是3阶线性微分方程.因为33,,d y dyy dx dx都是一次式. 若是一个函数代入微分方程能使方程式为恒等式,那么称那个函数为该微分方程的解. 例如,(a)212x gt =,(b)21212x gt c t c =++都是例中的微分方程的解,其中12,c c 为任意常数.通常,称不含任意常数的解为微分方程的特解.而含有彼此独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解为微分方程的通解(一样解).那个地址所说的彼此独立的任意常数,是指它们取不同的值时就取得不同的解.从而不能通过归并而使得通解中的任意常数的个数减少.上面的解中,(a)和(c)别离是方程和的特解,(b)和(d)别离是方程和的通解.在实际问题中通常都要求寻觅知足某些附加条件的解.现在,这种附加条件就能够够用来确信通解中的任意常数.这种附加条件称为初始条件,也称为定解条件.一样地,一阶微分方程(,)y f x y '=的初始条件为0x x y y ==其中00,x y 都是已知常数.二阶微分方程(,,)y f x y y '''=的初始条件为00,x x x x y y y y ==''==带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题. 微分方程的解的图形是一条曲线,称为微分方程的积分曲线. 例 验证函数3()cos y xc x =+(c 为任意常数)是方程2tan 3cos 0dyy x x x dx+-= 的通解,并求出知足初始条件00x y==的特解.解 要验证一个函数是不是是微分方程的通解,只要将函数代入方程,验证是不是恒等,再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是不是与方程的阶数相同.对3()cos y xc x =+,求一阶导数233cos ()sin dyx x x c x dx=-+ 把y 和dy dx代入方程左端,得22332tan 3cos 3cos ()sin ()cos tan 3cos 0dyy x x x x x x c x x c x x x x dx+-=-+++-= 因为方程两边恒等,且y中含有一个任意常数,方程又是一阶的,故3()cos y x c x =+是题设方程的通解.把初始条件00x y ==代入通解3()cos y x c x =+中,得0c =.从而所求特解为3cos y x x =.习题9-11、 指出以下微分方程的阶数(1)220xy yy x '''-+=(2)235()sin 0y y x x ''-+=(3)22(3)(45)0xdx x y dy +++=二、指出以下各题中的函数是不是为所给微分方程的解. (1)22,5xy y y x '== (2)2122220,yy y y c x c x x x'''-+==+ (3)12121212()0,xx y y y y c e c e λλλλλλ'''-++==+3、验证1y cx c=+(c 为任意常数)是方程2()10x y yy ''-+=的通解,并求知足初始条件02x y==的特解.4、设曲线在点(,)x y 处的切线的斜率等于该点横坐标的平方,试成立曲线所知足的微分方程,并求出通解.习题9-1答案一、(1)2阶 (2)2阶 (3)1阶 二、(1)是 (2)是 (3)是 3、特解为122yx =+ 4、微分方程为3dy x dx =,通解为414y x c =+第2节 一阶微分方程微分方程没有统一的解法,必需依照微分方程的不同类型,研究相应的解法.本节咱们将介绍可分离变量的微分方程和一些能够化为这种方程的微分方程,如齐次方程等.一、可分离变量的微分方程. 在一阶微分方程(,)dyF x y dx=中,若是右端函数能分解成(,)()()F x y f x g y =,x 与y 分离,x 的一个函数()f x 与y 的一个函数()g y 相乘的形式,即()()dyf xg y dx= 其中()f x ,()g y 都是持续函数.依照这种方程的特点,咱们能够通过积分的方式来求解.设()0g y ≠.用()g y 除方程的两头,用dx 乘以方程的两头,使得未知函数y 的某已知函数及其微分与自变量x 的某已知函数及其微分置于等号的两边(又一次分离了x 与y )得1()()dy f x dx g y =再对上述等式两边积分,即得1()()dy f x dx g y =⎰⎰积分出来以后就说明y 是x 的一个(隐)函数(关系),确实是方程的解. 若是0()0g y =,那么易验证0yy =也是方程的解.上述求解可分离变量的微分方程的方式,称为分离变量法. 例 求微分方程2xydx dy x dy xdx +=+的通解.解 先归并,dx dy 的各项得2(1)(1)x y dx x dy -=-设210,10y x-≠-≠,分离变量得211dy xdx y x =-- 两头积分 211dy xdx y x =--⎰⎰ 得 2111ln |1|ln |1|ln ||22y x c -=-+于是 221(1)(1)y c x -=±-记1cc =±,那么取得题设方程的通解为22(1)(1)y c x -=-例 求微分方程x dye y dx=的通解. 解 分离变量后两边积分xdy e dx y =⎰⎰得1ln ||ln ||x y e c =+ 从而 1xe y c e=±记1cc =±,那么取得题设方程的通解为 xe y ce=例 一曲线通过点(3,2),它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分,求曲线的方程.解 设曲线的方程为()yy x =.曲线上任一点(,)x y 的切线方程为Y yy X x-'=-由假设,切点(,)x y 的切线位于两坐标轴间的线段的两个端点别离是0X=时,2Y y =和0Y =时,2X x =.将这两个端点代入切线方程都取得曲线所知足的微分方程dy ydxx =-分离变量后积分,取得通解为xyc =将初始条件3|2x y ==代入通解得6c =. 从而所求的曲线方程为6xy =.二、齐次方程 若是一阶微分方程(,)dyf x y dx= 中的函数(,)f x y 能够写成y x 的函数,即(,)y f x y x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,于是 dy y dx x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭这称为齐次方程.齐次方程能够通过引进新的未知函数的方式化成为可分离变量的微分方程.令y u x =,u 是x 的一个新的未知函数.那么 ,dy du y ux x u dx dx==+, 原齐次方程变成()duxu u dxϕ+= 分离变量后积分得 ln ||()du dxx c u ux ϕ==+-⎰⎰记()u Φ为1()u uϕ-的一个原函数,那么得通解为 ()ln ||u x c Φ=+再以y x 代替u ,就得所给齐次方程的通解 ln ||y x c x ⎛⎫Φ=+ ⎪⎝⎭例 求微分方程22()()0xy x dx y xy dy ---= 的通解.解 原方程变形为2221ydy xy x x dx y xy y yx x--==-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 确实是一个齐次方程 令y ux =,那么 ,dy du y ux x u dx dx==+ 代入齐次方程得21du u x u dx u u-+=- 分离变量,0,0u x ≠≠时,得211u du dx u x=- 两边积分211u du dx u x =-⎰⎰得211ln |1|ln ||ln ||2u x c --=+ 以y x 代替u 就取得原方程的通解 11ln |1|ln ||ln ||2yx c x--=+记211c c =±得 21y c x x-= 从而2x xy c -=.注.此题也能够直接分离变量法求解.()()x x y dx y y x dy -=-0y x -≠时, ydy xdx =-积分得 22111222y x c =-+ 即22yx c +=为原方程的通解.如此此题取得两个通解形式2x xy c -=和22y x c +=.说明微分方程的通解并非必然要包括所有解!三、一阶线性微分方程 方程()()dyp x y Q x dx+= 叫做一阶线性微分方程,它关于未知函数y 及其导数y '都是一次的.若是()0Q x ≡,那么方程称为齐次的,不然就称为非齐次的.关于齐次一阶线性微分方程()0dyp x y dx+= 通过度离变量积分,可得它的通解()p x dxy Ce -⎰=而关于非齐次一阶线性微分方程,咱们能够利用它相应的齐次一阶线性微分方程的通解,并利用所谓常数变易法来求非齐次方程的通解,这种方式是把齐次方程的通解中的任意常数C 变易换成x 的未知函数()u x ,即作变换()p x dxy ue -⎰=假设是非齐次方程的解,代入中进而求出()u x ,再代入就取得非齐次方程的解.为此,将对x 求导,注意u 是x 的函数,得()()()p x dxp x dx dy du e up x edx dx--⎰⎰=- 将和代入,得()()p x dxdu e Q x dx-⎰= 分离变量后积分得()()p x dx u Q x e dx C ⎰=+⎰将代入就取得的通解()()()()p x dx p x dx p x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰易见,一阶非齐次线性方程的通解是对应的一阶齐次线性方程的通解与其本身的一个特解(中取0C=的解)之和.尔后还可看到,那个结论对高阶非齐次线性方程也成立.例 求方程1cos xy y x x'+=的通解. 解 题设方程是一阶非齐次线性方程,这时1cos (),()xp x Q x x x==. 于是,按公式,所求通解为111ln ln ln cos cos 1cos 1sin dx dx dx x x x x x x x y Ce e e dxx x Ce e e dx x C xdx x xC x x x ----⎰⎰⎰=+=+=+=+⎰⎰⎰ 例 求方程38dy y dx+=的通解. 解 这是一个非齐次线性一阶方程.下面不利用公式,而采纳常数变易法来求解.先求解相应的齐次方程的通解.由 30dy y dx+= 分离变量后积分得相应齐次方程的通解 31x y c e -= , 其中1c 为任意常数.利用常数变易法,将1c 变易为()u x ,即设原非齐次方程的通解为3x y ue -= 求导得 333x x dy du e ue dx dx--=- 代入原非齐次方程得38x du e dx -= 分离变量后积分得 338()83x x u x e dx e C ==+⎰ 从而取得原非齐次方程的通解为383x y Ce -=+ 习题9-2 一、求以下微分方程的通解(1)22(1)(1)0x y dx y x dy -+-=(2)3x y dy dx+=二、求以下微分方程的通解(1)0xy y '--= (2)2222()()0y x xy y dx x x xy y dy -++++=3、求以下微分方程的通解(1)x y y e -'+=(2)sin xy y x '+= 4、求以下微分方程的初值问题:(1)0cos (1)sin 0,|4x x ydx eydy y π-=++== (2)20(1)(1),|1x x x y y x e y ='+-=+=五、已知某产品生产的总本钱C 由可变本钱与固定本钱两部份组成.可变本钱y 是产量x 的函数,且y 关于x 的转变率等于222xy x y +,当10x =时,1y =;固定本钱为100.求总本钱函数()c c x =.习题9-2答案一、(1)22(1)(1)x y C --=; (2)33x y C -+=二、(1)2y Cx +=; (2)arctan y x xy Ce⎛⎫- ⎪⎝⎭= 3、(1)()x y x C e-=+; (2)1(cos )y C x x =-4、(1)(1)sec x e y += (2)(1)x y x e =+五、99()1001)2C x =+- 第3节 可降阶的二阶微分方程 本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程的求解.一、()y f x ''=型这种简形的方程,其解法确实是多次积分.在()y f x ''=两头积分,得 1()y f x dx C '=+⎰再次积分,得 1212[()]()y f x dx C dx C f x dxdx C x C =++=++⎰⎰⎰⎰注:关于n 阶微分方程()()n yf x =,显然也能够持续积分n 次,就取得含有n 个任意常数的通解.例 求方程2sin x y e x ''=+的通解.解 持续积分两次,得 212121cos 21sin 4x x y e x C y e x C x C '=-+=+++ 这确实是所求通解.二、(,)y f x y '''=型这种类型的特点是不显含y ,求解方式是:令()y p x '=,那么()y p x '''=,那么原二阶方程化成了一阶方程 (,)p f x p '=利用上一节的方式求出它的通解1(,)p x C ϕ=,再依照1(,)dy y p x C dx ϕ'===也是一阶方程.直接积分得12(,)y x C dx C ϕ=+⎰,就是原二阶微分方程的通解. 注:由于一阶微分方程(,)p f x p '=,咱们并非都会求解.因此本类型(,)y f x y '''=方程的求解还不能说都可求出.例 求方程1x y y xe x'''=+的通解.解 令p y '=,原方程化成1x p p xe x'-= 的一阶线性微分方程.从而 111()()()111dx dx dx x x x x x xp c e e xe e dx c x x e dx c x xe -----⎰⎰⎰=+=+=+⎰⎰即1x p y c x xe '==+因此,原方程的通解为12212()1(1)2x x y c x xe dx c c x x e c =++=+-+⎰ 三、(,)y f y y '''=型这种类型的特点是不明显地含x .这时咱们把x 看成自变量y 的函数,令p y '=,从而p 也是y 的函数.再利用复合函数的求导法那么,把对x 的导数y ''化为对y 的导数,即 dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''==⋅=⋅ 于是,(,)y f y y '''=就变成了 (,)dp p f y p dy= 如此就取得一个关于,y p 的一阶微分方程.设1(,)y p y c ϕ'==是它的通解,那么分离变量再积分就取得原方程的通解为21(,)dy x c y c ϕ=+⎰.注.一阶微分方程1(,)dp p y c dyϕ=不必然会求解,因此本类型(,)y f y y '''=也不必然能求出解来. 例 求方程y yy '''=的通解. 解 令p y '=,将x 看做是y 的函数. 这时dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''==⋅= 代入原方程就取得一个一阶方程 dp p y dy= 分离变量再积分得2112p y c =+ 再解一阶微分方程2112y p y c '==+ 分离变量再积分得221112dy x c c y ⎛⎫+=⎛⎫++ ⎝⎰ 就是原方程的通解.习题9-31、 求以下方程的通解(1)cos y x x ''=- (2)y x y '''=+(3)(1)y y y '''=+二、求以下微分方程初始问题的特解.(1)300,|0,|0x x x y ey y =='''=== (2)111,|0,|2x x y y y y x==''''=== (3)200()0,|2,|1x x yy y y y y =='''''--===习题9-3答案一、(1)3121cos 6y x x c x c =+++ (2)12x x y c exe c =-+ (3)2x c +=二、(1)3111939x ye x =-- (2)21y x =-(3)1x y e =+。
高等数学-微分方程1
例 4 14 求解方程 yy '' ( y ')2 0
dx x 通过做变量替换:
y u,或 y xu x 将齐次方程化为可分离变量方程 :
du dx f (u) u x
例 4 8 求解微分方程
dy y tan( y )
dx x
x
2. 形如 dy a1x b1 y c1 的方程. dx a2 x b2 y c2
(1)
y(
x0
)
y0
,
y '' f (x, y, y ')
(2) y(x0 )
y0 ,
y '(x0 )
y0'
(3) 设y f (x)在x点的切线斜率为2x
且通过(1,4)点,求f (x).
4.2 微分方程的初等积分法
4.2.1 一阶可分离变量方程 形如
dy h(x)g( y)
2(2),(4) 3(2),(4) 4(2),(4)
5 6 7(4) 8
习题 4-2
(1)
dx
的微分方程称为一阶可分离变量微分方程.
设 g( y) 0,则(1)式可变形为(分离变量):
1 dy h(x)dx
(2)
g( y)
对(2)式两边积分:
反向差分法
反向差分法
反向差分法是一种数值计算方法,也被称为“逆差分法”或“积分差分法”。
它常用于解决微分方程的初值问题,特别适用于高阶微分方程。
反向差分法的基本思想是将微分方程转化为差分方程,然后通过逆推的方式求解。
具体而言,将微分方程中的导数用有限差分近似表示,然后将差分方程中的未知量逆推回初始状态。
通过这种方法,就可以在离散的时间间隔内求解微分方程的解。
反向差分法的优点是计算简单、精度高、适用范围广。
但也有局限性,比如只能适用于初值问题、对于某些微分方程可能需要很小的时间步长等。
总之,反向差分法是一种可靠的数值计算方法,可以用于解决各种初值问题。
- 1 -。
常微分方程初值问题
常微分方程初值问题12.1引言在数学模型中经常出现的常微分方程在科学的许多分支中同样出现,例如工程和经济学。
不幸的是却很少出现这些方程可得到表示在封闭的形式的解的情况,所以通常采用数值方法来寻找近似解。
如今,这通常可以非常方便的达到高精度和在解析解和数值逼近之间可靠的误差界。
在本节我们将关注一阶微分方程(12.1)形式关于实值函数y的实变量x的结构和数值分析方法,其中和f是一个给定的实值函数的两个变量。
为了从解曲线的无限族选择一个特定的积分构成(12.1)的通解,微分方程将与初始条件一起考虑:给定两个实数和,我们寻求一个(12.1)的解决方案,对于有(12.2)微分方程(12.1)与初始条件(12.2)被称为一个初值问题。
如果你认为任何(12.1),(12.2)形式的初始值问题具有一个唯一解,看看以下例子。
例12.1考虑微分方程,初始条件,其中α是一个固定的实数,α∈(0,1)。
这是一个关于上述想法的简单验证,对于任何非负实数C,是初值问题在区间[ 0,∞)上的一个解。
因此解的存在性是肯定的,但解不一定唯一;事实上,初始值问题的解有一个无限族,当参数。
我们注意到,在与α∈(0,1)相反的情况下,当α≥1,初值问题,具有唯一解y(x)≡0。
例12.1表明函数f必须遵循相对于它的第二个参数的一定的增长性条件,以保证(12.1),(12.2)有唯一解。
精确的保证初始值问题(12.1),(12.2)假设f解的存在惟一基于下面的定理。
定理12.1(Picard theorem)假定实值函数是连续的矩形区域D定义;当时;且f 满足Lipschitz条件:存在L>0则。
进一步假设。
(12.3)然后,存在一个唯一函数,使得和其中;此外,。
证明我们定义一个函数序列为(12.4)。
因为f在D上连续,所以显然每个函数在上是连续的。
此外,由于因此,通过减法我们得到(12.5)。
我们现在进行推导,并且假设对于一些n的正值成立,(12.6)。
第八章 常微分方程的初值问题
梯形法
yn 1 yn
h 2
[ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )]
从n=0开始计算,每步都要求解一个关于yn+1的方程
(一般是一个非线性方程),可用如下的迭代法计算:
( 0) yn1 yn hf ( xn , yn ) ( k 0,1, 2,) ( k 1) h (k ) yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 2
向前Euler法: y n 1 y n h f ( x n , y n ), n 0 ,1, 2 , 此处,y (xn)表示 xn 处的理论解,yn表示y (xn)的近似解
推导2: 一阶ODE
y '( x ) f ( x , y ( x )) y( x0 ) y0
2、如果 f 是 y 的函数 ,积分过程将不同于前者。 若 f 是 y 的线性函数,如:f=ay+b 其中a,b是常数或是 t 的函数, 此时原方程称为线性ODE 若 f 不是线性函数,方程就称为非线性ODE。
一、求ODE的解析解
dsolve
[输出变量列表]=dsolve(‘eq1’,‘eq2’, ... , ‘eqn’, ‘cond1’,‘cond2’, ... , ‘condn’, ‘v1,v2,…vn') 其中 eq1、eq2、...、eqn为微分方程,cond1、 cond2、...、condn为初值条件,v1,v2,…,vn 为自变量。 注1: 微分方程中用 D 表示对 自变量 的导数,如: Dy y'; D2y y''; D3y y'''
例 求解
常微分方程初值问题解法
详细描述
幂级数解法是通过幂级数展开方法,将一阶 常微分方程转化为可求解的幂级数形式。这 种方法适用于一些具有特定形式的常微分方 程,通过幂级数展开方法,将原方程转化为 可求解的幂级数形式,然后找到方程的解。
03 初值问题的数值解法
欧拉方法
总结词
欧拉方法是求解常微分方程初值问题的一种简单而基础的数 值方法。
详细描述
欧拉方法基于微积分中的中点公式,通过在区间上取几个点 并近似求解微分方程,得到近似解。该方法简单易行,但精 度较低,且对于复杂的问题可能需要较大的步长才能得到满 意的结果。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是求解常微分方程初值问题的一种高精度数值方法。
详细描述
龙格-库塔方法采用线性插值的思想,通过构造一系列的插值多项式来逼近微分方程的 解。这种方法精度较高,且适用于各种类型的微分方程,因此在科学计算和工程领域应
数值方法
随着计算机技术的发展,数值解法成为解决初值问题的主要手段,如欧拉法、龙格-库 塔法等,能够给出近似解并适用于各种复杂情况。
稳定性分析
对于解的存在性和稳定性,需要分析初值问题的解是否随时间演化而发散或收敛,这涉 及到解的稳定性分析。
未来研究方向与展望
高维问题
目前对高维初值问题的研究 还不够深入,未来可以探索 更有效的数值方法和理论分 析方法。
应用广泛
在各个领域中都有广泛的应用,如航天、航空、交通、经济等。
发展前景
随着科学技术的发展,常微分方程初值问题的求解方法和应用范围 将不断拓展,具有广阔的发展前景。
02 初值问题的解法
分离变量法
总结词
适用于具有特定形式的一阶常微分方程,通过将方程中的变量分离,转化为可求解的方程。
柯西利普希茨定理
柯西利普希茨定理介绍柯西利普希茨定理(Cauchy-Lipschitz theorem),也常被称为柯西定理,是微积分中一个重要的定理。
它可以用来解决一类常微分方程的初值问题,从而在许多领域中具有广泛的应用。
本文将详细介绍柯西利普希茨定理的原理、应用和相关概念。
原理柯西利普希茨定理是一种存在性定理,它证明了如果函数在给定区间上满足利普希茨条件,那么存在唯一的解满足初始条件。
下面将详细介绍柯西利普希茨定理的原理。
利普希茨条件利普希茨条件是柯西利普希茨定理的关键,它要求函数在给定区间上的导数存在且满足一个有界条件。
设函数f(x, y)的定义域为[a, b]×R,如果存在常数L,使得对于所有(x, y1)和(x, y2)属于[a, b]×R,有以下不等式成立:|f(x, y1) - f(x, y2)| ≤ L|y1 - y2|其中L为利普希茨常数,那么称函数f(x, y)满足利普希茨条件。
满足利普希茨条件的函数具有局部的解析解。
存在性和唯一性根据柯西利普希茨定理,如果函数f(x, y)在给定区间上满足利普希茨条件,则对于初始条件y(x0) = y0,存在唯一的解y(x)在这个区间上存在。
这意味着无论如何选择初始条件,都能找到一个解满足所给条件。
通过利用柯西利普希茨定理,我们可以在初值问题中求解微分方程。
应用柯西利普希茨定理在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
下面将介绍一些应用示例。
生物学柯西利普希茨定理可以应用于生物学领域中的模型建立和分析。
例如,在生物医学中,可以将不同药物在体内释放的速率建模为一种微分方程。
柯西利普希茨定理可以用来解决这类方程的初值问题,从而预测药物在体内的浓度。
物理学在物理学中,许多自然现象都可以通过微分方程来描述。
例如,简谐振动、传热和电路等问题都可以通过建立微分方程模型来解决。
柯西利普希茨定理为这些问题的求解提供了理论基础。
经济学经济学中的一些模型也可以通过微分方程建模。
第六章微分方程与差分方程一、知识网络图二、内容与要求1.了解常
第六章微分方程与差分方程一、知识网络图二、内容与要求1.了解常微分方程及其阶、解、通解、初始条件、特解等概念.2.能正确判断一阶微分方程的类型,熟练掌握可分离变量方程、齐次方程和一阶线性微分方程的解法.3.能用降阶法解特殊类型的高阶微分方程(包括,,的解法).4.熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,掌握高阶常系数齐次线性微分方程的解法.5.理解二阶线性方程的通解结构,掌握自由项形如的二阶常系数非齐次线微分性方程的解法.6.会对一些简单的经济、几何等问题建立微分方程模型并求解.7.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.8.掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法.9.会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题.重点微分方程与差分方程的概念;可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程的解法;一阶常系数线性差分方程的解法.难点二阶常系数非齐次线性微分方程的求解;一阶常系数非齐次线性差分方程的求解;微分方程与差分方程的应用.三、概念、定理的理解与典型错误分析1、基本概念(1)微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程,称为微分方程.(2)微分方程的阶微分方程中未知函数最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.(3)微分方程的解代入微分方程能使其成为恒等式的函数,称为微分方程的解.(4)微分方程的通解如果微分方程的解中含有任意常数,且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等,那么这样的解称为微分方程的通解.通解有两种:一种称显式通解,一种称隐式通解.(5)微分方程的特解微分方程的解如果是完全确定的(即不含有任何参数),称为微分方程的特解.微分方程的特解的图形是一条曲线,称为微分方程的积分曲线.(6)微分方程的初值问题求满足一定条件的微分方程的特解,这个问题称为微分方程的初值问题,这个条件称为微分方程的初始条件.(7)一阶差分对任何数列,称数列为原数列的一阶差分.(8)阶差分阶差分的差分称为数列的阶差分,记为.二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.(9)差分方程含有自变量,未知函数或求知函数的差分的方程称为差分方程.(10)差分方程的阶差分方程中所含未知函数差分的实际最高阶数或方程中未知函数的最大下标与最小下标的差数称为此差分方程的阶.(11)差分方程的解满足差分方程的函数,称为差分方程的解.(12)差分方程的通解若解中所含相互独立的任意常数个数与差分方程的阶数相同,则这个解称为此差分方程的通解.(13)差分方程的特解确定了任意常数的解,称为此差分方程的特解.(14)差分方程的初始条件用来确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件.2、主要定理(1)对二阶常系数齐次线性微分方程①我们有定理1若和是方程①的两个解,则也是方程①的解,其中是任意常数.特别地,当线性无关时,则是方程①的通解.(2)对二阶常系数非齐次线性微分方程②我们有定理2若是方程②的一个特解,是其对应的齐次方程①的通解,则是方程②的通解,其中是任意常数.定理3设和分别是非齐次线性微分方程和的特解,则是方程的特解.3、微分方程和差分方程的类型及解法(1)一阶微分方程及其解法(i)可分离变量的微分方程形如的方程.解法分离变量(即把含有x的放在一边,把含有y的放在另一边),将方程变为,两边积分,得.这是方程的隐式通解,若化简方便,则化简为.(ii)齐次微分方程形如的方程.解法作变量代换, 令,代入方程得这是一个变量u关于变量x的可分离变量的方程,求出u的通解,再用代入,即得原方程的通解.(iii)一阶齐次线性微分方程形如的方程.解法分离变量法.(iv)一阶非齐次线性微分方程形如的方程.解法常数变易法或公式法.常数变易法先解对应齐次方程的通解,然后将通解中的常数C变易为待定函数,即令代入原方程求出待定函数,便得方程的通解.通解公式法(v)贝努利方程形如(n ≠ 0, 1)的方程.解法作变量代换, 令代入方程得这是一个变量 z关于x的一阶线性微分方程.求出通解,再用代入即得原微分方程的通解.(2)高阶微分方程及其解法(i)可降阶的高阶微分方程型解法经过n 次积分,就可得方程的通解.型(不显含)解法设,,代入方程得,这是一个p关于x的一阶微分方程,求出通解,再积分就可得原方程的通解.型(不显含)解法设,,代入方程得,这是一个p关于y的一阶微分方程,求出通解,再分离变量,积分就可得原方程的通解.(ii)二阶常系数齐次线性微分方程形如的方程(其中p ,q 为常数)解法第一步:写出特征方程;第二步:计算特征根;第三步:根据的不同情况,按下表写出方程的通解.(iii)二阶常系数非齐次线性微分方程形如的方程(p ,q 为常数).解法先求出对应齐次微分方程的通解,再求出原方程的一个特解,则原方程的通解为.下面以表格形式列出的两种不同类型时,特解的形式.然后代入方程用待定系数法求出特解.(3)一阶常系数线性差分方程的解法(i)一阶常系数齐次线性差分方程形如的方程解法写出特征方程,得特征根,则差分方程的通解为.其中为任意常数.(ii)一阶常系数非齐次线性差分方程形如的方程解法先求出对应齐次差分方程的通解,再求出原方程的一个特解,则原方程的通解为.设其中是已知的次多项式,则方程的特解形式为4、典型错误分析(1)注意方程有漏解的情形在求解方程过程中,有时会出现漏解,特别是有分式运算时,要注意分母为零的情形.例如求的通解.解分离变量得.两边积分,得通解.此外也是方程的解,这不能由确定,此解易被漏掉.(2)作变量替换后,注意代回原来变量例如求的通解.解这是伯努利方程,,令,,代入原方程得.由一阶线性方程求解公式,得通解.本题到此并未解答完毕,最后应代回原变量,得.(3)求通解时,注意任意常数在求一阶微分方程通解时,其任意常数是必须有的,且出现在适当的运算位置上,不能随意添加或删去,否则会出错.例如求方程的通解.解两边积分,得通解或.上述是解,但不是通解;而随意加任意常数,不是方程的通解.本题正确的解法是,由得,得通解.(4)对二阶线性微分方程通解的理解错误例如给出二阶线性微分方程的两个解,则该方程的通解为解上述结论是错误的,因为a. 没有明确所给方程是“齐次”还是非齐次;b. 没有明确所给的两个解是“线性相关”还是“线性无关”.如果把问题改为给出二阶线性齐次方程的两个线性无关的特解,则该方程的通解为(其中为任意常数)成立.(5)对二阶线性非齐次微分方程叠加原理(定理1)的理解错误例如容易验证和都是微分方程和的解,则两个解的叠加(其中为任意常数)都满足上述两个方程.解上述结论是错误的,可以验证只满足前一个方程而不能满足后一个方程,其原因在于:上述两个微分方程在本质上有差异,前一个方程是线性齐次微分方程,后一个方程是非线性微分方程.我们知道解的叠加原理(定理1)只适用于线性齐次方程,而非线性方程不具有此性质,因此两个解的叠加只满足第一个方程,而不满足第二个方程.(6)在解含有变上限积分的方程中的时,遗漏定解条件例如设为一连续函数,且满足方程,求.解这是一个含有变上限的积分方程,可改写为.两边对求导,得,两边对再求导,得,即,这是一个二阶线性非齐次方程,其通解为.这时题目还未解完,因为用可得,由可得,因此据上述初始条件得,因而所求的函数.(7)在确定差分方程的阶时出错.例如确定差分方程的阶.解一般会认为该方程的阶数为3.但事实上,上述差分方程可改写为下面的二阶差分方程形式:。
常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程初值问题数值解法初值问题:即满足初值条件的常微分方程的解y′=f(x,y),x∈[x0,b]y(x0)=y0.定理1(利普希茨条件)若存在正数L,使得对任意,y1,y2,有|f(x,y1)−f(x,y2)|≤L|(y1−y2)|定理2(解存在性)①若函数f在方区域x∈[a,b],y∈R连续,②函数f关于y 满足利普希茨条件,则对任意x∈[a,b],常微分方程存在唯一的连续可微数值解.两类问题:①单步法---计算下一个点的值yn+1只需要用到前面一个点的值yn②多步法---计算下一个点的值yn+1需要用到前面l个点的值yl1、欧拉法---下一个点的计算值等于前一个点的计算值加上步长乘以前一个点的函数值•具体过程一些批注:显式欧拉方程指下一步要计算的值,不在迭代方程中;隐式欧拉方程指下一步要计算的值,在迭代方程中。
怎么计算隐式欧拉方程----要借助显示欧拉迭代计算---一般用迭代法-----迭代---将微分方程在区间[xn,xn+1]进行积分,然后函数f进行近似,即可得到迭代方程-----迭代方程收敛性?由函数关于y满足利普希茨条件,可以推出迭代公式收敛。
•局部截断误差:假设前n步误差为0,我们计算第n+1步的误差,将次误差称为局部截断误差,且局部误差为O(hp+1)•p阶精度:由理论证明:若局部误差阶的时间复杂度为O(hp+1),则整体误差阶为O(hp)我们称公式精度为p。
•显示欧拉法与隐式欧拉法•梯形方法----将显式欧拉迭代方程与隐式欧拉迭代方程做一下加权平均,构造的计算公式.•改进的欧拉方法---思想:因为梯形公式是隐式公式,将显式欧拉公式对下一步的计算值进行预估,用梯形公式对下一步的计算值进行校正.2、龙格-库塔方法思想:根据Lagrange中值定理,下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以前一个点的斜率;而这个斜率用该区间上的多个点的斜率的算数平均来逼近。
注意:怎么计算任意斜率Ki?第i个点的斜率Ki有微分方程可以算出f′=f(xn,yn)所以要算的f(xn,yn)值,由欧拉法即可算出, yn+1=yn+hf′•2阶-龙格-库塔方法----类似改进的欧拉法根据Lagrange中值定理,下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以斜率;而这个斜率用区间上的端点和中点的斜率的算数平均来逼近。
微分方程的初值问题
微分方程的初值问题微分方程学是现代数学中研究最深入、应用最广泛、发展最快的一个分支。
微分方程的初值问题是微分方程学的基本问题之一,它是指一个微分方程及其初值(一阶方程有一个边界条件,二阶方程有两个边界条件)确定一个唯一的解的问题。
初值问题在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
一、微分方程的初值问题微分方程是数学中研究变化率和量之间的关系的一种方程式。
微分方程常见于自然界中的各种现象和物理、化学、生物、经济等学科的数学模型中。
微分方程的初值问题是指在一个偏微分方程或常微分方程中,已知初值条件时如何确定该方程的唯一解。
常微分方程的初值问题基本上是在一个一阶或二阶微分方程中使用初始条件解决的。
常微分方程的一般形式是dy/dx = f(x,y),其中y是未知函数。
在初值问题中,我们也会给出特定的初始值,例如y(0) = y0,在给出的初始值下,我们需要找到关于x的唯一解y(x)。
可以使用求解器来演示使用ODE的一些步骤,例如用欧拉法计算微分方程y'=f(x,y)的值。
使用欧拉法很简单,只需要给出步长dt,然后迭代下去,就能在各个时间步长上得到y(x)的数值解。
二、解微分方程初值问题的方法初值问题的解法有很多种。
其中一些常见的方法包括:欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔方法、辛基方法和隐式欧拉法。
在较简单的情况下,可以使用数值方法求解。
例如,可以使用图形来查看初值问题的根,以及使用数值方法来更好地了解它们的性质。
三、微分方程初值问题的应用初值问题可以应用于各种各样的领域。
例如使用初值问题来预测地震的时间和规模,开发细胞模型并预测肿瘤的生长方式,预测水流和空气流动的模式,使用Hodgkin-Huxley模型模拟神经元等。
在物理学中,初值问题是明确特定现象的任何模型的基础。
在物理、工程和生物学中,初值问题可以解决各种问题。
例如,在生物学中初值问题可以解释发生在细胞膜上的过程或发展黑痣的物理模型。
初值问题在数学中也是极其重要的,它是研究微分方程的基础,可以帮助我们在更广泛的数学研究中应用数学。
微分方程定解问题的基本概念
微分方程定解问题的基本概念微分方程是数学中的一个重要分支,它用来描述物理、经济、生物等学科中的现象和问题。
微分方程定解问题则是微分方程研究的重点,它对于解决实际问题具有非常重要的作用。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述变量之间的变化关系的方程,其形式通常为:y′ = f(x, y)其中y′ 表示 y 对 x 的导数,f(x, y) 表示 x 和 y 的函数关系。
微分方程的解是一组函数,它满足微分方程和附加条件(称为初值条件或边界条件)。
二、定解问题的基本概念定解问题是指在微分方程中确定初始条件或边界条件,求得微分方程的解。
定解问题可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是在一个点(通常为 x0)给出一个函数值(通常为y(x0))和其导数值(通常为y′(x0)),求解函数在另一点的取值。
初值问题通常用初值问题解法求解。
边值问题是在一段区间内给出一个函数值和其导数值,求解函数在该区间的取值。
边值问题通常用曲线拟合法或数值法求解。
三、常见的定解问题常见的定解问题包括:1.一阶常微分方程的初值问题。
例如:y′ = f(x, y), y(x0) = y02.一阶常微分方程的边值问题。
例如:y′ = f(x, y), y(a) = ya, y(b) = yb3.二阶常微分方程的初值问题。
例如:y′′ = f(x, y, y′), y(x0) = y0, y′(x0) = y0′4.二阶常微分方程的边值问题。
例如:y′′ = f(x, y, y′), y(a) = ya, y(b) = yb四、定解问题的应用定解问题在物理、工程、金融等领域中有广泛的应用。
例如:1.物理学中的定解问题:在自然界中的各种物理现象中,微分方程定解问题经常被用于对各种现象和性质的研究和分析。
2.工程学中的定解问题:设计和分析各种工程系统时,微分方程定解问题经常被用于模型的建立和计算。
3.金融领域中的定解问题:在金融领域中,微分方程定解问题被用来分析各种金融产品的产生和变化,预测市场走势等。
微分方程的初值问题
微分方程的初值问题微分方程是数学中的重要分支,它描述了一个函数的导数与自变量之间的关系。
微分方程的初值问题是指给定初始条件,通过求解微分方程来求取函数的解析式。
初值问题在实际应用中非常有用,例如在工程、物理和生物学等领域中都得到广泛应用。
下面我们将分步骤来阐述微分方程的初值问题。
第一步:表达微分方程微分方程的初值问题始于一个微分方程的表达式。
对于一般的微分方程 dy/dx=f(y,x),其中f(y,x)是已知的函数,则给定初始条件y(x0)=y0,即可求出解析式y(x)。
第二步:求解微分方程一般情况下,解微分方程的过程是通过分离变量、齐次方程和一阶非齐次线性微分方程等方法来求解。
对于比较复杂的微分方程,通常需要借助数值分析方法来求解。
这些方法包括欧拉法、梯形法、龙格-库塔法等,它们都是将微分方程离散化后,通过逐步迭代来求解微分方程。
第三步:确定初始条件一旦解析式y(x)被求出,我们需要满足给定的初始条件y(x0)=y0。
这些初始条件是我们在初值问题中最基本的信息,给出了我们求解微分方程的起点。
在许多实际应用中,初始条件可能并不是明显的,需要通过实验或观测来确定。
第四步:应用解析式一旦我们确定了初始条件和解析式,我们就可以开始应用解析式来研究微分方程的行为。
例如,我们可以计算在某一时刻的函数值,或者是通过微分方程求出函数图形。
这些都是微分方程的初值问题的典型应用。
初始条件的不同取值可能导致不同的解,因此应用解析式来研究微分方程的行为是非常重要的。
综上所述,微分方程的初值问题是一个求解微分方程解析式的过程,并且必须满足给定的初始条件。
微分方程的初值问题是解决实际问题的一种方法,它在物理、工程、生物学等领域中都有广泛的应用。
微分方程中的初值问题和边值问题
微分方程中的初值问题和边值问题微分方程(Differential Equation)是一种用来描述物理现象和数学模型的工具,许多科学和工程问题都可以转化为微分方程的形式。
其中,初值问题和边值问题是微分方程研究中最基本的两类问题。
一、初值问题初值问题(Initial Value Problem)是微分方程求解的基础,它需要确定未知函数的初值条件,并通过求解微分方程得到函数的解析式,描述物理实验或数学模型中的变化过程。
常见的初值问题是一阶常微分方程,它形式为:y' = f(x,y),其中y表示未知函数,f(x,y)表示已知函数。
例如,一阶常微分方程:y' = x*y ,它的初始值为y(0)=1。
求解初值问题需要先求出微分方程的通解(General Solution),再根据初始值确定特解(Particular Solution)。
以上述一阶常微分方程为例,其通解为:y = Ce^(x^2/2),其中C为任意常数。
将初始值y(0)=1代入通解中,解得特解为:y =e^(x^2/2)。
二、边值问题边值问题(Boundary Value Problem)是另一种常见的微分方程求解问题,该问题需要确定未知函数在给定边界条件下的解析式,在物理实验或数学模型中常见于定常过程的描述。
常见的边值问题是二阶常微分方程,它形式为:y'' = f(x,y,y'),其中y表示未知函数,f(x,y,y')表示已知函数。
例如,二阶常微分方程:y'' + y = 0,它的边界条件为y(0) = 0, y(π/2) = 1。
求解边值问题需要以微分方程的通解为基础,附加边界条件,进一步确定常数。
以上述二阶常微分方程为例,它的通解为:y =A*sin(x) + B*cos(x),其中A,B为任意常数。
将边界条件代入通解中,得到A=0,B=1,因此特解为:y = cos(x)。
高等数学1微分方程的基本概念
dy dx = 3 y − 2 z , dz = 2 y − z , dx
三、主要问题---求方程的解
微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式 微分方程的解: 的函数. 的函数.
设y = ϕ( x )在区间 I 上有 n 阶导数 , 满足
F ( x , ϕ ( x ),ϕ ′( x ),⋯ , ϕ ( n ) ( x )) ≡ 0. 上的解。 则称 y = ( x )为微分方程在区间 I 上的解。
故 s = − 0 .2 t + 20 t ,
2
20 开始制动到列车完全停住共需 t = = 50 ( 秒 ), 0 .4
列车在这段时间内行驶了
s = − 0.2 × 50 2 + 20 × 50 = 500 ( 米 ).
二、微分方程的定义
微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程, 微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程, 叫做微分方程. 叫做微分方程. 例
四、小结
本节基本概念: 本节基本概念: 微分方程; 微分方程的阶; 微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 微分方程的解; 通解; 初始条件; 特解; 通解; 初始条件; 特解; 初值问题; 积分曲线. 初值问题; 积分曲线.
思考题
函数 y = 3e 是微分方程 y ′′ − 4 y = 0
y′′ + 2 y′ − 3 y = e x , ∂z ( t 2 + x )dt + xdx = 0, = x + y, ∂x
y′ = xy ,
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 实质: 联系自变量, 某些导数(或微分)之间的关系式. 某些导数(或微分)之间的关系式.
分类1 常微分方程: 分类1: 常微分方程:未知函数是一元函数, 偏微分方程: 偏微分方程:未知函数是多元函数. 微分方程的阶: 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数. 高阶导数的阶数. 分类2: 分类2: 一阶微分方程 F ( x , y , y′ ) = 0, y′ = f ( x , y ); 高阶微分方程 F ( x , y , y′,⋯, y ( n ) ) = 0,
常微分方程知识点
常微分方程知识点常微分方程是微积分的一个重要分支,是描述物理、生物、经济等各类现象的一种数学模型。
常微分方程描述了未知函数与其导数之间的关系,在实际问题中具有广泛的应用。
下面将介绍常微分方程的基本概念、解的存在唯一性、一阶常微分方程和高阶常微分方程等知识点。
1.基本概念:常微分方程描述的是函数与其导数之间的关系。
常微分方程可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是给定了函数在特定点的初始值和导数,要求求解函数在整个定义域上的表达式;边值问题是给定了函数在两个点的值,要求求解函数在这两个点之间的表达式。
2.解的存在唯一性:对于一阶常微分方程的初值问题,如果方程的右端函数在整个定义域上连续且满足利普希茨条件,那么方程存在唯一解。
其中利普希茨条件是指有一个正数L,使得对于任意t和s,满足,f(t)-f(s),≤L,t-s。
3.一阶常微分方程:一阶常微分方程描述的是未知函数y与其一阶导数y'之间的关系。
一阶常微分方程的一般形式为dy/dt = f(t, y),其中f(t, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解可以通过分离变量、线性方程、齐次方程和恰当方程等方法求解。
4.高阶常微分方程:高阶常微分方程描述的是未知函数与其高阶导数之间的关系。
高阶常微分方程的一般形式为d^n y/dt^n = F(t, y, y', ..., y^n-1),其中F(t, y, y', ..., y^n-1)是已知函数。
高阶常微分方程的解可以通过代数法、特征方程和待定系数法等方法求解。
5.变量分离方法:当一阶常微分方程的右端可以写成g(y)·h(t)的形式时,可以使用变量分离方法求解。
将方程改写为1/g(y) dy = h(t) dt,然后对两边分别积分得到∫1/g(y) dy = ∫h(t) dt,从而求得y的表达式。
6.线性方程方法:当一阶常微分方程可以写成y'+p(t)y=q(t)的形式时,可以使用线性方程方法求解。
常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程初值问题的数值解法在实际应用中,对于某些微分方程,我们并不能直接给出其解析解,需要通过数值方法来求得其近似解,以便更好地理解和掌握现象的本质。
常微分方程初值问题(IVP)即为一种最常见的微分方程求解问题,其求解方法有多种,本文将对常微分方程初值问题的数值解法进行较为详细的介绍。
一、欧拉法欧拉法是最基本的一种数值解法,它采用泰勒级数展开并截断低阶项,从而获得一个差分方程近似求解。
具体来讲,设 t 为独立变量,y(t) 为函数 y 关于 t 的函数,方程为:$$y'(t) = f(t, y(t)), \qquad y(t_0) = y_0$$其中 f(t,y(t)) 为已知的函数,y(t_0) 为已知的初值。
将函数 y(t) 进行泰勒级数展开:$$y(t+h) = y(t) + hf(t, y(t)) + O(h^2)$$其中 h 表示步长,O(h^2) 表示其他高阶项。
为了使误差较小,一般取步长 h 尽可能小,于是我们可以用欧拉公式表示数值解:$$y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y_n), \qquad y_0 = y(t_0)$$欧拉法的优点是容易理解和实现,但是由于截取低阶项且使用的单步法,所以误差较大,精度较低,在具体应用时需要慎重考虑。
二、龙格-库塔法龙格-库塔法(Runge-Kutta method)是一种多步法,比欧拉法更加精确。
龙格-库塔法的主要思想是使用不同的插值多项式来计算近似解,并且将时间步长分解,每次计算需要多次求解。
以下简要介绍二阶和四阶龙格-库塔法。
二阶龙格-库塔法将时间步长 h 分解成两步 h/2,得到近似解表达式:$$\begin{aligned} k_1 &= hf(t_n, y_n)\\ k_2 &= hf(t_n+h/2,y_n+k_1/2)\\ y_{n+1} &= y_n+k_2+O(h^3)\\ \end{aligned}$$四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法是龙格-库塔法中应用最为广泛的一种方法,其需要计算的中间值较多,但是具有更高的精度。
微分方程
得
C1 = 20, C2 = 0
v = −0.4t + 20
s = −0.2t + 20t
2
(4) ) (5) )
令v =0,得列车从开始制动到完全停住所需的时间 =0, 20 t= = 50 ( s ) 0.4 =50代人 代人( 把t =50代人(5)得到列车在制动阶段行驶的路程
s = −0.2 × 502 + 20 × 50 = 500 ( m )
x d 练3 求微分方程 − = 0的通解 2 2 1+ x 1− y d y d x 移项、 解 移项、积分 ∫ =∫ 2 2 1+ x 1− y
得
y d
arcsin y = arctan x + C
2
练4 求方程 y' = (sin x − cos x) 1− y 分离变量, 解 分离变量,得
ds t 且满足以下条件: 且满足以下条件: = 0 时, s = 0, v = = 20 dt
dt
2
= − 0 .4
积分得: (1)积分得: 积分得: (2)积分得:
ds v= = − 0 .4 t + C1 dt
s = − 0 .2 t 2 + C1 t + C 2
(2) ) (3) )
把条件t=0时 v=20,s=0代人( )(3 把条件t=0时,v=20,s=0代人(2)(3) t=0 代人
2
x 2 + C1
从而 y = ± e 说明: 说明:ln y
= ± e e = Ce (C=
C1 x2
x2
±
为任意常数) eC1为任意常数)
中的绝对值符号可省略不写
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1-4 用小扰动法分析电力系统静态稳定性的步骤
列写电力系统各元件的微分方程(如发电机转子运动方程)和电网络代数方 程(如节点导纳方程);
分别对微分方程和代数方程进行线性化;
消去非状态变量,求出线性化小扰动状态方程及矩阵A;
根据给定运行状态计算初值,确定A矩阵各元素的值;
确定或判断A矩阵特征根实部的符号,进而判定系统在给定运行条件下是否具 有静态稳定性。方法有两种: ➢直接求出A矩阵的所有特征根。 ➢求出A矩阵的特征方程,利用劳斯法等间接判断特征根实部的符号。
PT
Pm
sin
P
a
P P0
a
b b b
该系统有两个平衡点,Xe1 a N
a
和 Xe2 b N ,
a a
b b
其中
a
arcsin
PT PmbΒιβλιοθήκη arcsinPT Pm
1-2 李雅普诺夫运动稳定性定义
欧式范数:以 Xe 为圆心, 以c为半径的球域记为 X Xe c
n
其中: X Xe xi xei 2 称为欧式范数。 i1
李雅普诺夫稳定性 的定义:对于任给实数 0 ,存在实数 , t0 ,
使所有满足 X0 Xe , t0 的初值 X0 所确定的运动 X t,恒满足
Xt Xe t t0
则称系统的平衡状态 Xe 是稳定的。如果 与t 0 无关,则是一致稳定 的。
如果平衡状态 Xe 是稳定的,而且:
lim
dt
Ft,Xe 0
XXe
对线性定常系统, Ft, Xt AX ,如果矩阵A非奇异,系统就只有一个平衡
状态;若A奇异,则系统有无数个平衡状态。 对于非线性系统而言,可能有一个或多个平衡状态,取决于上式的常值解。
以单机系统的发电机转子运动方程为例,X ,T :
d dt
0
d dt
N TJ
t
Xt Xe
0
则称系统的平衡状态 Xe 是渐进稳定的。
如果对于某一实数 0 ,无论 0 多么小,在满足 X0 Xe 的初值 X0
所确定的运动X t 中,只要有一个运动,在 t t0 的某一时刻不满足
Xt Xe
则称系统的平衡状态 Xe 是不稳定的。
1-3 非线性系统的线性渐进稳定性判断法
1 运动稳定性的基本概念和小扰动法原理
1-1 基本概念
任一动力学系统都可以用以下状态方程 组来描述:
dX
dt
t
F
t,
X
t
其中第i个方程为:
dxi t
dt
fi t, x1, x2,L
, xn
x1, x2,L , xn 称为状态变量。
给定初值求解微分方程的问题,称为微分方程的初值问题。
设 X%t0 X%0 ,这组初值确定了上述状态方程的一组特解 X%t。称 X%0 所确定
可见,一个非线性系统的稳定性,当扰动很小时,可以转化为线性系统来研究。 这种方法称为小扰动法或小干扰法。电力系统静态稳定性的研究与判断,就是才 用这种方法。 特点:无需求解扰动方程,无需关注扰动的形式和初值。
电力系统静态稳定性与暂态稳定性的本质区别: ➢受微小扰动的电力系统静态稳定性问题:研究电力系统在平衡点附近的”邻域“的 稳定性问题; ➢受大扰动的暂态稳定性问题:研究电力系统从一个平衡点向另一个平衡点(或 经多次大扰动后回到原来的平衡点)的过渡特性问题。
一般的多变量非线性系统:
dX FX
dt
在平衡点 X Xe X 处线性化,得:
舍去高次项得:
dX AX R X
dt dX AX dt
这就是原非线性方程的线性近似方程,或称线性化的小扰动方程。
根据李雅普诺夫稳定性判据,有: 若线性化方程A矩阵的所有特征根的实部均为负数,线性化方程的解是稳定的, 则非线性系统是稳定的; 若线性化方程A矩阵至少有一个实部为正的特征根,线性化方程的解是不稳定 的,则非线性系统也是不稳定的; 若线性化方程A矩阵有零值或实部为零的特征根,则非线性系统的稳定性需要 计及非线性部分才能确定。
NSEq TJ
如果 SEq 0,必有一个特征根为正实数,如有扰动系统响应为指数形式发散,
系统是不稳定的。
后如,果将等SE幅q 振 0荡,。系但统考特虑征到根在为振一荡对过共程轭中虚会数产,生从能理量论消上耗讲,当可电以力认系为统振收荡到会扰逐动步
衰减,系统是稳定的。
从以上分析可见,简单电力系统的静态稳定判据是:
SEq 0
对应的运行参数表示的稳定判据为:
900
极限情况:SEq 0 ,max 900
极限功率为:
PEq max
Eq0V0 Xd
2-2 计及发电机阻尼
计及发电机阻尼时,转子运动方程如下:
TJ N
d2 dt 2
PT
PEq
D
线性化的状态方程为:
d dt
d
NSEq
ND
dt
TJ
2 简单电力系统的静态稳定
P
2-1 不计发电机的阻尼作用
考虑发电机的电磁功率特性的转子运动方程如下
d dt
0
P P0
a
SEq
d
dt
N TJ
PT0
Eq0V0 Xd
sin
0 0
将上电述磁方功程率线线性性化化得,:有:ddtPEq
PEq
0
SEq
d
NSEq
dt
的解 X%t 所描述的运动为未受扰运动,而一切与 X%0 不同的初值所确定的解 Xt
所描述的运动为受扰运动。
未受扰运动的稳定性必须通过受扰运动的性质来判断。
平衡状态:若对于一切 t t0 ,恒有 X%t X%t0 Xe 。则称 Xe 为系统的一个
平衡状态。
平衡状态是以下代数方程的解:
dX t
TJ
系数矩阵A为:
0
A
NSEq TJ
1
ND TJ
特征根为:
p1,2
ND 2TJ
ND 2TJ
2
NSEq TJ
(D为综合阻尼系数)
讨论:
D>0,发电机具有正阻尼的情况:
➢当 SEq 0 ,且 D2 4SEqTJ / N 时,特征根为两个负实数,系统时稳定的,称为 过阻尼;
➢的当负数SEq,系0 统,的但响D应2 是4振SEq荡TJ衰/ 减N ,时系,统特仍征是根稳为定一的对;共轭虚根,实部为与D成正比
TJ
写成矩阵形式:
dX AX, X T
dt
0
1
A
NSEq TJ
0
给定系统运行方式,计算系统潮流,算出 P0 , Q0 , V0 , Eq0 , 0 ,于是:
直接求特征根:
SEq
dPEq d
0
Eq0V0 Xd
cos 0
p
det
NSEq TJ
1
p
p2
NSEq TJ
0
得:
p1,2