必修解三角形复习讲义

解

三角形复习

【知识梳理】 1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有

2sin sin sin a b c R C ===A B ．

2、正弦定理的变形公式：

①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R

=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④

sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ．

3.解决以下两类问题： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B

=；（唯一解） ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 (一解或两解)

4、三角形面积公式：111sin sin sin 222

C S bc ab C ac ∆AB =

A ==

B ．

5．余弦定理：

形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab 2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）

6.解决以下两类问题：

1）、已知三边，求三个角；（唯一解）

2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）

7.三角形ABC 中 222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+

⇔⇔∆>+

⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形

∆

【典例应用】

题型一：正余弦定理解三角形 1.在△ABC 中，0120,,ABC A c b a S =>==，求c b ,。

2．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）

A ．090

B ．0120

C ．0135

D ．0150

3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）

A. 185

B. 43

C. 23

D. 8

7 4.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=

-+，则角B 的值为（ ） A. 6π B. 3π C.6π或56π D. 3π或23

π 5．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81- 6.在△ABC 中，a=1,B=450

,2ABC S ∆=,则△ABC 的外接圆的直径是 . 7.在△ABC 中,222sin A sin B+sinBsinC+sin C =,则角A= .

8．在△ABC 中，已知63,3

1cos ,3tan ===

AC C B ，求△ABC 的面积

9． 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和

32

1+=b c ，求A ∠和B tan 的值

题型2：判断三角形形状

例1.在ABC ∆中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，试判断ABC ∆的形状.

2． 在ABC ∆中，已知a b a +＝sin sin sin B B A

-,且cos(A －B)＋cosC ＝1－cos2C. 试确定ABC ∆的形状.

3.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ）

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形 4 在中，

，则三角形为（ ） A. 直角三角形

B. 锐角三角形

C. 等腰三角形

D. 等边三角形 5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）

A. 锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 锐角或钝角三角形

6．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰三角形

7.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是 .

8. 在ABC ∆中，若（a-c cosB ）sinB=（b-c cosA ）sinA, 则这个三角形是（ ）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.等腰或直角三角形

题型3：三角形的解的个数问题

1.已知060,12,11===B c b 则三角形ABC 有（）解

A 一

B 两

C 无解

2已知0110,3,7===A b a 则三角形ABC 有（）解

A 一

B 两

C 无解

3.在ABC ∆中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果三角形有两解，则x 的取值范围是

题型4:取值范围问题

1.已知两线段1=a ，2=

b ，若以a 、b 为边作三角形，则a 边所对的角A 的取值范围（ ）

A ．]6,0(π

B ．)2,0(π

C ．]4,0(π

D ．)3,6(π

π 2．在ABC ∆中， 60=B ，若此三角形最大边与最小边之比为2:)13(+，则最大内角（）

A ． 45

B ． 60

C ． 75

D ． 90

3.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边，则a 的取值范围是 ( )

A.03a <<

B.13a <<

C.34a <<

D.4

4．在ABC ∆中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，且B A 2=，则b

a 的取值范围是 ． 5. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 ．

6．已知三角形的两边和为4，其夹角60°，求三角形的周长最小值。