算术基本定理描述

推论4.2
设a, b是任意两个正整数, 且a
1 2 n 1 2 n p p p ,
1 2 n
b p1 p2 pn , i 0, i 0, i 1, 2, , n. 则(a, b)
1 2 n p p p ,[a, b]
1 2 n
1 2 n p p p ,
1 2 n
其中 i min{ i , i }, i max{ i , i }, i 1, 2, , n.
注:相关结论
已知a
1 2 n p p p 是a的标准分解式,
1 2 n
则a的不同的正约数的个数等于 (1 1 )(1 2 ) (1 n ).
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定理2
• 若p是一质数,a是任一整数,则a能被p整除或 p与a互质.
证明 : 因为( p, a) p , ( p, a ) 0, 由质数的定义( p, a) 1, 或( p, a) p, 则( p, a) 1或p a.
推论
设a1 , a2 ,, an是n个整数, p是质数, 若p a1a2 an , 则p一定能整除某一个ai .
i i
i 1 i 1 k k
i min{ i , max{i , i }}, i max{min{ i , i }, min{ i , i }},
不妨设i i , 则i min{ i , i }, 又 min{ i , i } min{ i , i }, i min{ i , i } i , ( a,[b, c]) [( a, b), ( a, c)].
i
• 例3 证明:(a,[b,c])=[(a,b),(a,c)].
证明 : 设a pii , b pii , c pi i ,
i 1 i 1 i 1
k
k
k
其中p1 , p2 , , pk 是互不相同的素数, i , i , i 0. (a,[b, c]) pi ,[( a, b), ( a, c)] pi ,1 i k ,
定理4(算术基本定理)
n 1 2 任何大于1的整数a可以唯一地表示成a p1 p2 pn , (1)
其中p1 , p2 ,, pn是素数, p1 p2 pn , 1 , 2 ,, n是正整数.
证明 :由定理3知, 任何大于1的整数可表示成(1)的形式, 因此, 只需证明(1)式的唯一性. 假设pi (1 i n)与qi (1 i k )都是素数, p1 p2 pn , q1 q2 qk . 且a p1 p2 pn q1q2 qk , p1 a q1q2 qk , 则必有某个q j , 使得p1 q j , 从而p1 q j . 同理, 又有某个pi , 使得q1 pi , 所以q1 pi . 又p1 p2 pn , q1 q2 qk , 可知p1 q1. 从而重复上述这一过程, 得到n k , pi qi , 所以结论成立.
1 2 n
i i , i 1, 2, , n的形式.
证明 : 若d a , 则a dq, 又a的标准分解式是唯一的, 故d的标准分解式中出现的质数 都在p j (1 j n)中出现, 且p j 在d的标准分解式中出现的指数 j j . 反过来, 当 j j时, 显然d 整除a.
第七节 算术基本定理
定理1
设a是任一大于1的整数, 则a的除1外最小正因数q是一质数, 并且当a是合数时, q a .
证明 : 假设q不是质数,由定义, q除1及本身外还有一正因数q1 ,因而1 q1 q, 但q a , 所以q1 a , 这与q是a的除1以外的最小正因数矛盾, 故q是质数. 当a是合数时, 则a a1q, 且a1 1, 否则a是质数,由于q是a的除1外的最小正因数, 所以q a1 , q qa1 a, 故q a .
证明 : 假设a1 , a2 , , an都不能被p整除, 则由定理2, ( p, ai ) 1, i 1, 2, , n. 因此( p, a1a2 an ) 1, 这与p a1a2 an 矛盾, 故结论成立.
定理3
任何大于1的正整数a可以写成素数之积, 即a p1 p2 pn , 其中pi (1 i n)是素数.
证明 : 当a是素数时, 定理成立. 当a是合数时, 则必存在素数p1 , 且1 p1 a , a p1a1 , (1 a1 a ). 若a1是素数, 则可知定理成立; 若a1是合数,同理, 则必有素数p2以及适合1 a2 a1的正整数a2 , 使a p1 p2 a2成立. 由于a是有限的, 所以有限次地重复上述过程可得a p1 p2 pn , 其中p1 , p2 , , pn均为素数.
例题
• 例1 写出51480的标准分解式.
解 : 51480 2 3 5 1113.
3 2
• 例2 证明:在1,2,…,2n中任取n+1个数,其中 至少有一个能被另一个整除.
证明 : 记i 2 i , 2 | i , i 1, 2,, 2n, 则i为1, 2,, 2n中的奇数, 即i只能取n个数值, 在n 1个这样的数中, 必存在i j (i j ), 于是易知i与j成倍数关系.
定义及推论
使用定理4中的记号, a p1 p2 pn , 是a的标准分解式.
1 2 n
推论4.1
设a是一个大于1的整数,
1 2 n
且a p1 p2 pn , i (i 1, 2, , n)是正整数, 则a的正因数d 可以表示成d p1 p2 pn ,