第三章 复变函数的积分(答案)
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系专业班姓名学号
§7解析函数与调和函数的关系综合练习题
一、选择题
1．下列命题正确的是[ ]
（A）设 在区域 内均为 的共轭调和函数，则必有 。
（B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。
（C）若 在区域 内解析，则 为 内的调和函数。
（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。
2．函数 在闭路 上及其内部解析， 在 的内部，则有[ ]
且C1和C2含于C内部。由复合闭路定理，
（3）
同上பைடு நூலகம்中的解法二，
（4） ，其中 正向
2．计算积分 ，其中C为下列曲线：
（1） ;
解法二：
（2） ;
解法二：
（3） ;
解法二：
（4） 。
解法二：
3．计算 ，其中
（1） ;
C的方程：
（2） .
C的方程：
复变函数练习题 第三章复变函数的积分
系专业班姓名学号
§5柯西积分公式§6解析函数的高阶导数
复变函数练习题 第三章复变函数的积分
系专业班姓名学号
§1复变函数积分的概念§4原函数与不定积分
一．选择题
1．设 为从原点沿 至 的弧段，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
2. 设 是 ， 从1到2的线段，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
3．设 是从 到 的直线段，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题
1．若函数 为某一解析函数的虚部，则常数 -3。
2．设 的共轭调和函数为 ，那么 的共轭调和函数为-u。
3．设 为负向圆周，且 ，则
三、解答题
1．由下列各已知调和函数求解析函数
（1）
（2）
解法二：
2．求具有下列形式的所有调和函数 ：
(1) 与 为常数，且不全为零。
4．设 在复平面处处解析且 ，则积分 []
（A） （B） （C） （D）不能确定
二．填空题
1．设 为沿原点 到点 的直线段，则 2。
2．设 为正向圆周 ，则
三．解答题
1．计算下列积分。
（1）
（2）
（3）
（4）
2．计算积分 的值，其中 为正向圆周：
（1）
（2）
3．分别沿 与 算出积分 的值。
解：(1)沿y=x的积分曲线方程为
1．闭曲线 取正方向，积分
2．设 ，其中 ，则 0， 0。
三．解答题：
1．设 是解析函数且 ，求 。
2．计算 ，C分别为：
(1) ；(2) ；(3) .
解：
（1）
（2）
（3）
3． ，其中 为 的任何复数， 为正向
解：
4．计算下列积分的值，C为由 所围的矩形边界正向。
(1)
(2)
复变函数练习题 第三章复变函数的积分
解：
（2）
解：
3．计算积分 ，C为以下曲线：
(1) ；
(2) ；
(3) .
4.设 ，求 的值使 为调和函数，并计算解析函数 。
解：
（A） （B）
（C） （D）
2．设 为正向圆周 ，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
3．设 在单连通域 内处处解析且不为零， 为 内任何一条简单闭曲线，则积分 []
（A） （B） （C） （D）不能确定
二、填空题
1．设 为正向圆周 ，则
2．闭曲线 取正方向，则积分 0。
三、解答题
利用柯西积分公式求复积分
则原积分
（2）沿 的积分曲线方程为
则原积分
4．计算下列积分
(1) ,C:从 到 的直线段；
C的方程：
则原积分
(2) ，C： 上沿正向从1到 。
C的方程：
则原积分
复变函数练习题 第三章复变函数的积分
系专业班姓名学号
§2柯西－古萨基本定理§3基本定理的推广－复合闭路定理
一、选择题
1．设 在单连通区域 内解析， 为 内任一闭路，则必有[ ]
（1）判断被积函数具有几个奇点；
（2）找出奇点中含在积分曲线内部的，
若全都在积分曲线外部，则由柯西积分定理可得积分等零；
若只有一个含在积分曲线内部，则直接利用柯西积分公式；
若有多个含在积分曲线内部，则先利用复合闭路定理，再利用柯西积分公式.
1．计算下列积分
（1）
.
（2）．
解法二：
分别作两个以1, -1为心，充分小的长度为半径的圆周C1、C2，
一．选择题。
1．设 是正向圆周 ，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
2．设 为正向圆周 ，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
3．设 ，其中 ，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
4．设 为不经过点 与 的正向简单闭曲线，则 为[ ]
（A） （B） （C） （D）以上都有可能
二．填空题：
§7解析函数与调和函数的关系综合练习题
一、选择题
1．下列命题正确的是[ ]
（A）设 在区域 内均为 的共轭调和函数，则必有 。
（B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。
（C）若 在区域 内解析，则 为 内的调和函数。
（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。
2．函数 在闭路 上及其内部解析， 在 的内部，则有[ ]
且C1和C2含于C内部。由复合闭路定理，
（3）
同上பைடு நூலகம்中的解法二，
（4） ，其中 正向
2．计算积分 ，其中C为下列曲线：
（1） ;
解法二：
（2） ;
解法二：
（3） ;
解法二：
（4） 。
解法二：
3．计算 ，其中
（1） ;
C的方程：
（2） .
C的方程：
复变函数练习题 第三章复变函数的积分
系专业班姓名学号
§5柯西积分公式§6解析函数的高阶导数
复变函数练习题 第三章复变函数的积分
系专业班姓名学号
§1复变函数积分的概念§4原函数与不定积分
一．选择题
1．设 为从原点沿 至 的弧段，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
2. 设 是 ， 从1到2的线段，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
3．设 是从 到 的直线段，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题
1．若函数 为某一解析函数的虚部，则常数 -3。
2．设 的共轭调和函数为 ，那么 的共轭调和函数为-u。
3．设 为负向圆周，且 ，则
三、解答题
1．由下列各已知调和函数求解析函数
（1）
（2）
解法二：
2．求具有下列形式的所有调和函数 ：
(1) 与 为常数，且不全为零。
4．设 在复平面处处解析且 ，则积分 []
（A） （B） （C） （D）不能确定
二．填空题
1．设 为沿原点 到点 的直线段，则 2。
2．设 为正向圆周 ，则
三．解答题
1．计算下列积分。
（1）
（2）
（3）
（4）
2．计算积分 的值，其中 为正向圆周：
（1）
（2）
3．分别沿 与 算出积分 的值。
解：(1)沿y=x的积分曲线方程为
1．闭曲线 取正方向，积分
2．设 ，其中 ，则 0， 0。
三．解答题：
1．设 是解析函数且 ，求 。
2．计算 ，C分别为：
(1) ；(2) ；(3) .
解：
（1）
（2）
（3）
3． ，其中 为 的任何复数， 为正向
解：
4．计算下列积分的值，C为由 所围的矩形边界正向。
(1)
(2)
复变函数练习题 第三章复变函数的积分
解：
（2）
解：
3．计算积分 ，C为以下曲线：
(1) ；
(2) ；
(3) .
4.设 ，求 的值使 为调和函数，并计算解析函数 。
解：
（A） （B）
（C） （D）
2．设 为正向圆周 ，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
3．设 在单连通域 内处处解析且不为零， 为 内任何一条简单闭曲线，则积分 []
（A） （B） （C） （D）不能确定
二、填空题
1．设 为正向圆周 ，则
2．闭曲线 取正方向，则积分 0。
三、解答题
利用柯西积分公式求复积分
则原积分
（2）沿 的积分曲线方程为
则原积分
4．计算下列积分
(1) ,C:从 到 的直线段；
C的方程：
则原积分
(2) ，C： 上沿正向从1到 。
C的方程：
则原积分
复变函数练习题 第三章复变函数的积分
系专业班姓名学号
§2柯西－古萨基本定理§3基本定理的推广－复合闭路定理
一、选择题
1．设 在单连通区域 内解析， 为 内任一闭路，则必有[ ]
（1）判断被积函数具有几个奇点；
（2）找出奇点中含在积分曲线内部的，
若全都在积分曲线外部，则由柯西积分定理可得积分等零；
若只有一个含在积分曲线内部，则直接利用柯西积分公式；
若有多个含在积分曲线内部，则先利用复合闭路定理，再利用柯西积分公式.
1．计算下列积分
（1）
.
（2）．
解法二：
分别作两个以1, -1为心，充分小的长度为半径的圆周C1、C2，
一．选择题。
1．设 是正向圆周 ，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
2．设 为正向圆周 ，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
3．设 ，其中 ，则 [ ]
（A） （B） （C） （D）
4．设 为不经过点 与 的正向简单闭曲线，则 为[ ]
（A） （B） （C） （D）以上都有可能
二．填空题：