江苏省苏州市2018届高三调研测试数学试题(理)

注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷共4页，包含填空题（第 1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）.本卷满分160 分，考试时间为120分钟•考试结束后，请将答题卡交回.
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答， 在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米 黑色
墨水的签字笔•请注意字体工整，笔迹清楚.
4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损•一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.
参考公式：球的表面积公式 S=4 n 2，其中r 为球的半径
一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答 案直接填在答题卡相应位置上 .
1
已知i 为虚数单位，复数z 诗弓的模为 2. 已知集合 A 二｛1,2a ｝，B =｛ -1,1,4｝，且 A 5B ，则正整数 a 二 ▲
2
3.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y =-8x 的焦点坐标为 ▲
苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留
0.5
分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台 立即能乘上车的概率为 ▲ .
已知 4a =2，log a x=2a ，则正实数 *=
▲_.
秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中 提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法. 右边的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入 n ，x 的值分别 为3，3，则输出v 的值为
▲
.
苏州市2018届高三调研测试
数学试题
2018. 1
4
. 5.
开始：'
（第6题图）
I
0 < x < 3, 7.已知变量x , y 满足x y > 0, 则z=2x-3y 的最大值为
▲
x - y 3 < 0,
已知等比数列
｛ a
n ｝
的前n 项和为S n ，且詈「罟，a
「a
2
鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的
榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经
90°榫卯
起来.若正四棱柱的高为 5,底面正方形的边长为 1,现将该鲁 班锁放进
一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 _▲
忽略不计，结果保留 n AB , CD 的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑
物CD 的张角.CAD =45，则这两座建筑物 AB 和CD 的底部之间的距离
BD 二 ▲ m .
11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点A （2, -1）的圆C 和直 线x y =1相切，且圆心在直线 y
- _2x 上，则圆C 的 标准方程为 ▲ .
1
1 1 1
12.
已知正实数a ， b ， c 满足 1， 1，则c
的取值范围是
▲
a b a +b c
13. 如图，△ ABC 为等腰三角形，• BAC=120，
AB = AC =4，以A 为圆心，1为半径的圆分
别交AB ，AC 与点E ，F ，点P 是劣弧EF 上的
B
C
一点，贝U PB PC 的取值范围是
▲ .
（第13题图）
14 •已知直线y = a 分别与直线y =2x -2，曲线y =2e x - x 交于点A ，B ，则线段AB 长度的 最小值为
▲.
、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
15
15
，则33的值为 ▲
9. 10.如图，两座建筑物
（第10题图）
（第 9题图）
（容器壁的厚
文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
已知函数f (x) =(. 3cosx sin x)2-2 3sin2x .
(1)求函数f(x)的最小值，并写岀f(x)取得最小值时自变量x的取值集合;
(2)若x ■，匸，求函数f (x)的单调增区间.
IL 2 2
16. (本小题满分14分)
如图，在正方体ABCD -A1BQ1D1中，已知E, F, G,
H 分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C 的中点.
(1)求证：EF //平面ABHG ;
(2)求证：平面ABHG丄平面CFED .
17. (本小题满分14分)
如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨
公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50km处.从海岛A到城市C,先乘船按北偏西B角(w n，
2
1
其中锐角：•的正切值为-)航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽
2
车到城市 C .已知船速为25km/h，车速为75km/h.
(1 )试建立由A经P到C所用时间与二的函数解析式；
(2)试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由.
18. (本小题满分16分)北•.东
2
x 2 y
xOy 中，椭圆C ：p 牙=1(a b . 0)的离心率为
a b
点P 到一个焦点的距离的最小值为
3(、. 2 —
1).
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 已知过点M(0, —1)的动直线I 与椭圆C 交于A , B 两点，试判断以 AB 为直径的圆是 否恒过定点，并说明理由.
19. (本小题满分16分)
已知各项是正数的数列｛a n ｝的前n 项和为S n .
a 2 +2
(1 )若 S n
= -----------------
5迂N *, n 》2),且 a t =2 .
3
① 求数列｛a n ｝的通项公式；
②
若S n w ■・2n1对任意n N *恒成立，求实数■的取值范围；
(2
)数列｛a n ｝是公比为q (q >0, q -1)的等比数列，且｛a n ｝的前n 项积为10Tn •若 存在正
整数k ,对任意N *，使得卫3 为定值，求首项a 1的值.
T kn
20. (本小题满分16分)
'3
2
x x ,x ：： 0,
已知函数f(x)二x
、e x —ax, x > 0.
(1 )当a =2时，求函数f(x)的单调区间;
(2)若方程f (-X )• f (x)二e* _3在区间(0,+ ：：)上有实数解，求实数 a 的取值范围;
在平面直角坐标系
，椭圆上动
(3)若存在实数m,n [0,2],且|m-n| >1 ,使得f (m) = f (n),求证：1 w 旦w e . e —1
2
2018届高三调研测试
数学n （附加题）2018. 1
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷只有解答题，供理工方向考生使用.本试卷第21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每
位考生在4个选做题中选答2题•若学生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分•第22、23题为必答题•每小题10分，共40分•考试时间30分钟•考试结束后，请将答题卡交回.
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效•作答必须用0.5毫
米黑色墨水的签字笔•请注意字体工整，笔迹清楚.
4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损•一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.
21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选•其中两题.，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
A .选修4 -1:几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，AB，AC与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任意一点，
PD_AB 于点D，PE_AC 于点E，PF _ BC 于点F.
B .选修4 - 2:矩阵与变换（本小题满分10分）
C .选修4 - 4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）
求证：PF—PDPE.
D
B
P
F
O
C
E
A
i x =1 t,
在平面直角坐标系 xOy 中，直线I 的参数方程为
(t 为参数)，以原点0为
』=t -3
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 亍=竺二，若直线I
sin 日
与曲线C 相交于A ，B 两点，求△ AOB 的面积. D .选修4 - 5:不等式选讲(本小题满分10分)
已知 a , b , c € R , a 2 b 2
c 2 =1，若 |x -1| |x 1|> (a -b • c)2 对一切实数 a , b ,
c 恒成立，求实数x 的取值范围.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域.内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分10分)
如图，已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE AB 二BP =2, AD=AE=1 , AE 丄 AB , 且 AE // BP . (1) 求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值； (2)
线段PD 上是否存在一点 N ,使得直线BN 与
2
平面PCD 所成角的正弦值等于 -?若存在，试确定
5
点N 的位置；若不存在，请说明理由.
23. (本小题满分10分)
在正整数集上定义函数 y = f( n)，满足f( n)[ f(n • 1) • 1] =2[2 - f (n • 1)]，且
f(1)=2 .
9
(1) 求证：f (3) - f (2p
10
1
(2) -------------------------------------------------------- 是否存在实数a , b ,使f(n) = 1，对任意正整数n 恒成立，并证
a(-3
)n -b 2
明你的结论.
z C
B
苏州市2018届高三调研测试数学试卷参考答案
、填空题(共70 分)
15.解(1) f (x) =( 3cosx sinx)2 -2 3sin 2x
亠2 .3sin xcosx 亠sin? x -2 . 3sin 2x
= cos2x - ■ 3sin2x 2 =2cos(2x )
2 . 3
■TT
-TT
当2x 2k 二•二，即x =k (k ・Z )时，f (x)取得最小值0.
3 3
此时，f (x)取得最小值时自变量 x 的取值集合为』xx=k^+上，k € Z 》.
I
3 J
....................................................................... •分
(注：结果不写集合形式扣 1分) (2)因为 f(x) =2cos(2x ) 2 ,
3
设 BH P]CF =P , △ BCH ◎△ CC 1F ，所以 HBC =”FCC 1, 因为/ HBC + Z PHC=90，
所以 ZFCC 1 + / PHC=90 .
1
1.
3 2. 2 3. (-2,0)
4.
10
2 2
10. 18
11. (x -1) (y 2) =2
二、解答题(共
90分)
1
9
5.
6. 48
7. -9 8.
9.
2
4
4
3 In 2 12. (1-] 13. [-11,-9]
14.
3
2
2
二 3cos
3(1 cos2x) 1 -cos2x
2 2
i£：3sin 2x
令〔2k 二 w 2x
< ^;：>2^:(^= Z ), (3)
解得 k 二 w x w k 二(k Z ),.....................................................................
3 6
又 x ・［一二 T ，令 k 「1, x -匸二，令 k=0 , x 二二，
2 2 126」 1
3 2」
口丿〕和徑兰］ .............
IL 2, 6. IL 3,2
1分，其中写对一个区间给 2分)
B 1
C 1的中点，所以EF
Ji Ji
•10分
所以函数在的单调增区间是 2 2
(注：如果写成两区间的并集，扣 16.证明：(1)因为E , F 是A 1D 1 ,
在正方体 ABCD - A 1BQD 1中， (注：缺少 A 1B 1 / AB 扣1分)
所以 EF // AB . .......................
Ji Ji
14分
A 1
B 1 // AB ,
又EF 二平面ABHG , AB 平面 ABHG , (注：缺少 AB 二平面ABHG 不扣分) 所以EF //平面 ABHG .
....................................... 6分
(2)在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，CD —平面 BB 1C 1C , 又
BH 平面BB 1C 1C ，所以BH — CD .①
.........
C 1
H
3分
C
11分
所以.HPC =90，即 BH _CF •② ................
由①②，又 DC "CF =C , DC , CF 平面 CFED , 所以BH —平面CFED • 又BH 平面ABHG ,
所以平面 ABHG 丄平面 CFED •
............................................................................. 14分
（注：缺少BH 平面ABHG ，此三分段不给分）
（注：AP , BP 写对一个给 2分） 由A 至U P 所用的时间为右二塑 —
25 si n 日
50cos J
100 -
si n 日
75
所以由A 经P 到C 所用时间与9的函数关系为
函数f （力的定义域为（:•，匸］，其中锐角:-的正切值为-
2 2
（2）由（1）, f （®=6
：
4
日十 朕（口£ ,
3sin 日 3
2
f G ） =6H
，令 f （刃“，解得 COST -1 , •
9si n 日
3
1
1
设 (0, —)，使 COS^o :
3
12分
所以，当v - -0时函数f （9）取得最小值，此时 BP=50cos 玉二经2胡7.68 km ,
sin 日0 2 答：在BC 上选择距离B 为17.68 km 处为登陆点，所用时间最少. (14)
（注：结果保留根号，不扣分 ）
17•解（1）由题意，轮船航行的方位角为
9,所以 N BAP = 90“一日,AB=50 ,
贝U AP =•
50
cos(90 -力
50
BP = 50ta n(90 -^)=
50sin(90 - ^) cos(90 - R
PC =100 - BP =100 -
50cos v
2cos 3sin r
由P 到C 所用的时间为t 2 f (力二t 1 t 2 二
4 2cos v
3 3sin 二 6 - 2cos 二 4
一 3si nr 3
10分
1分
解得 c=3, a = 3.. 2，所以 b 2 =a 2 _c 2 =9,
...............................................
2 2
所以椭圆C 的标准方程为 —•X=1. ..........................................................................
18 9
(2)当直线l 的斜率为0时，令y = _1，则x = 4 ,
此时以AB 为直径的圆的方程为 X 2 (y • 1)=16 •
...........................................
当直线I 的斜率不存在时，以 AB 为直径的圆的方程为 x 2 • y 2 =9 , ...........................
『x 2 +(y +1) =16,
联立 解得x=0,y=3，即两圆过点T(0,3) •
[x 2 +y 2 =9,
猜想以AB 为直径的圆恒过定点 T(0,3) • .........................................................
对一般情况证明如下：
设过点M(0,-1)的直线I 的方程为y=kx-1与椭圆C 交于A(x 1,y 1), B(x 2,y 2),
f y 二kx -1,
2
2
则 2 2 整理得(1 - 2k )x
-4kx -16 =0 ,
x 2y =18,
所以 E +x 2
=—
, x 1x 2
1 +2k
②-①得
an -an 4(a2 -a 2
)
，即时记
a +2
当 n =2 时，由①知 a a 2 a 1
2
，即 a ； -3a 2 T0 = 0 , 解得a 2 =5或a 2 ■ -2
（舍）, 所以a 2 =3，即数列｛a .｝为等差数列，且首项 印=3, 所以数列｛a .｝的通项公式为a .
=3n -1.
18.解(1)由题意一,故 a
,
a 2
又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为 3(.. 2 一1)，所以a - c = 3'.空-3 ,
2分 4分
16 ~2
1 2k
12分
3分） (注果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给 因为 TA TB 二区，％
-3)化』2 -3) 7X 2 丫必 -3(% y 2)9
2
= )^X 2
(kjq-1)(kx 2 T) 一3(心-1 kx 2 一 1) 9 =(k
"X 1X 2 -4k (X 1 X 2) 16
-16(k 2 1) 16k 2 -16(1 2k 2)
2 … 2 16
- 1+2k 2 1 +2k 2
所以TA_TB • 所以存在 以AB 为直径的圆恒过定点
1 2k 2
16 =0 , 19•解（1）①当 n > 2 时，由 S n S n 1 =
T ,且定点 a ： 2 3
，
T 的坐标为(0,3) •
16分
(注：不验证a ? -a<i =3扣1分)
S n
3n 2 + n
■ >扩
2^对一切n N *恒成立,
②由①知,
2
an=3n -1，所以"込口UJ ,
记c -汇 记 c n - _n 2 n
，则 C n tWZ), n > 2 ,
2n 1
2
所以c n ③「忙4
，n > 2 , n 2
当n 4时,
13
C n <C n!，当 n =4 时，C 4
，且 16
15
C3 :
16 所以当n =3时, 2 3n 亠 n 15 代取得最大值一，
2 16 15 所以实数•的取值范围为右；).• 11分
(2)由题意，设 n 」 a
n 二 a 1q
(q >0,q 式1), a 1 a^10Tn ，两边取常用对数,
T n =lga i Iga 2 Hl Iga n • 令 b n =lga n =n Igq lg 印-lg q , 则数列｛0｝是以lga i 为首项，lgq 为公差的等差数列, 13分
(k +1)nlga 十(k+1)n[(k+1)n_ 1]
T T
(k 1) nlga 1 lgq
若上少为定值，令上少一I ,贝V T kn T kn kn lg a 1 如第一1)lg q 2 即{[( k 1)2 - 'k 2]lg q}n [(k 1) -」k](lg aL
)lg q =0对 n N * 恒成立, q l7k +1)2 _“2 =0 因为q 〉0,q 右，问题等价于广l) k O ， i (k 1)-」k =0或a ； = q. 将-—=\、1 代入(k ■ 1) - "k =0 ,解得」=0或"=1. k
因为k ・N *，所以J
0/-1, 所以a ； =q ，又a n - 0,故耳=.q
.
16分
由题意可得
20.解(i )当 …时，
e +2x, x > 0,
3
2
2
当 X ：：：0 时，f(x)二-x x ,则 f(x)=—3x 2x =「x(3x -2),
2
令 f (x) =0，解得 X = 0 或 X 丄(舍)，所以 x ：：：0时，f (x) ::： 0,
3
所以函数f(x)在区间(亠,0)上为减函数. ...................................... •分 当 x > 0 时，f(x) =e x -2x , f (x) =e x —2 ,
令 f (x) =0，解得 x = In2，当 0 ：：： x ：：： ln2 时，f (x) ：：：0，当 x In2 时，f
(x) . 0 , 所以函数f(x)在区间(0,ln2)上为减函数，在区间(In2,；)上为增函数，
且 f (0) =1>0.
.................................................................................................. •分
综上，函数f(x)的单调减区间为(-：：,0)和(0,1 n 2)，单调增区间为(I n2,；).
........................................................................................................................... 5分
(注：将单调减区间为 (-：：,0)和(0,ln2)写出(-：,ln2)的扣1分) (2)设 x • 0 ,则-X ：：： 0 ,所以 f (-x) • f (x) = x 3 • x 2 • e x —ax , 由题意，x 3 x 2 e x -ax =e x -3在区间(0,；)上有解， 等价于 x 2 x 3
在区间(0,；)上有解.
x
记 g(x) =x 2 x 3
(x 0),
则 g (x) =2x ・1 -
2 -
2
-
2
x
x
x
令g (x) =0，因为x • 0 ,所以2x 2 3x 3 0，故解得x =1 , 当 x^(0,1)时，g(x)c0，当 x^(1,亦)时，g(x)n0,
所以函数g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,=)上单调递增， 故函数g(x)在x =1处取得最小值 g(1) = 5. .................................................... 9分
要使方程a =g(x)在区间(0,；)上有解，当且仅当
a > g(x)min 二g(1)=5 ,
综上，满足题意的实数 a 的取值范围为［5, ；). ............................ 10分 (3)由题意，f (x) =e x -a ,
当a <0时，f (x)・0，此时函数f (x)在［0,；)上单调递增，
由f (m) = f (n)，可得m = n ,与条件| m - n |> 1矛盾，所以a 0 . ........................ 11分 令 f (x) =0，解得 x = lna ,
x
3 2x 3 x 2 -3 (x -1)(2x 2 3x 3)
当x (0,ln a)时，f (x) ：：0,当x (l n a,；)时，f (x) 0 ,
所以函数f (x)在(0,l n a)上单调递减，在(I na,；)上单调递增.
若存在m, n可0,2］, f(m)=f( n)，则lna介于m, n之间， (12)
不妨设 0 < m ：：： In a ::: n < 2,
因为f(x)在(m,l n a)上单调递减，在(I na, n)上单调递增，且 f(m)=f( n), 所以当 m < x < n 时，f (x) < f (m) = f (n),
由 0 < m ::: n < 2 , | m -n 1，可得 1 二［m, n ］，故 f (1)< f (m) = f (n), 又f (x)在(m,ln
a)上单调递减，且0匕m ：：： Ina ，所以f (m) < f (0).
所以f ⑴w f (0)，同理f ⑴w f(2) .
(14)
e _a w 1
即-
； 解得 e-1 w a w e 2 -e ,
|e -a w e -2a,
所以1 w 旦w e. (16)
e —1
2018届高三调研测试数学附加题参考答案
21A 选修4— 1几何证明选讲
证明连PB , PC ,因为.PCF,. PBD 分别为 同弧BP 上的圆周角和弦切角， 所以.PCF =/PBD. ......................... 2 分
因为 PD _BD , PF _ FC ,
所以△ PDB
PFC ，故 匹二EB ................. 5分
PF PC 同理， PBF =
PCE , 又 PE _EC , PF _FB , PF
所以△ PFB PEC ，故竺
PE
PD PF 2
所以——=——，即PF =PD PE . (10)
PF PE
21B 选修4— 2矩阵与变换
九 _1 -2
解矩阵M 的特征多项式为f 仏)=
=丸2—2k —3 , .......................... 2分
一2 九 一1
令f( ■) =0，解得'1 =3,匕二-1，解得
所以 M 4 ：二 M 4(4 打 _3： 2) =4(M " J -
3(M 4 2) =4(人
4
円)一3(财 口
PB PC
属于入的一个特征向量为 令：二m ： 1 • nd ,即 了
=¥ "，属于甩的一个特征向量为«2
】1」 1 w 1
n 1
，所以 m n
^
7 1 <1
m-n=7, 解得 m = 4, n - -3.
卜(町擋］ 10分
8分
2) =4 汉34fl
21C选修4—4坐标系与参数方程
所以曲线C 的直角坐标方程是 \ =1 由直线I 的参数方程
一'
l y =t -3
所以直线l 的普通方程为x _y -4 =0 .
..........................................
将直线I 的参数方程代入曲线 C 的普通方程y 2=2x ,得t 2 -8t • 7 = 0, 设A , B 两点对应的参数分别为 t 1, t 2, 所以 AB = .2 出—t 2 |= .2 馆 t 2)2 -4址2 二 2 . 82 -4 7 =6.2 , 因为原点到直线x —y —4=0的距离d
= 2^2 ,
42
所以△ AOB 的面积是 AB d 二1
(6 2) (2、一 2) =12 . ..................
2 2
21D 选修4— 5不等式选讲
解因为 a , b , c € R , a 2 b 2 c 2 =1,
2 2 2 2
由柯西不等式得(a-b ・c)< (a b c )(1 1
1^3, ...............
因为|x-1| Tx ，1p (a -b c)2对一切实数a , b , c 恒成立， 所以 | x -1| | x 1|> 3 . 3 当 x ：：： -1 时，-2x > 3，即 x < - 3 ； 2 当_K x <1时，2 > 3不成立； 3 当x ・1时，2x > 3，即x > 3
；
2
综上，实数x 的取值范围为(亠一勻山？讼).
，2 2，
22. 解( 1)因为平面 ABCD 丄平面 ABEP ，平面 ABCD 门平面 ABEP 二AB , BP 丄AB , 所以
BP 丄平面ABCD ，又AB 丄BC ,所以直线 BA , BP , BC 两两垂直，
以B 为原点，分别以 BA , BP , BC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标
系，则 P ( 0, 2, 0), B ( 0,生 0), D (・2, 0, 因为BC 丄平面ABPE ，所以BC =(0,0,1)为平面 ABpE 的一个法向量， ..................... 2分 PD =(2, -2,1),CD =(2,0,0),设平面 PCD 的一个 法向量为n =(x,y,z),
2x =0,
令y 日，则
2x -2y z =0,
解 由曲线C 的极坐标方程是
「= 2
°°：，得p 2sin 2 (=2 pcos 0.
sin 0
y 2=2x. .......................................
(t 为参数)，得x -y —4 = 0 ,
10分
10分
n CD =0,
则
n PD =0,
z =2 ,故 n
二
(0,1,2) ,
...............................................
4
分
设平面PCD 岂平面ABPE 所成的二面角为 二，则
a n BC 2 2^5 cos^
| n | | BC | 1 75
5
n
显然0 '—,所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值
2
(2)设线段PD上存在一点N ,使得直线BN与平面PCD所成角
设詣= ?JD=(2 打—2 扎知(0 =(2 九,2—
2九,九).•••—分
由(1)知，平面PC巳的一个法向量为n二(0,1,2),
BN n 2 2
所以cos ：：BN, n i：
| BN | |n| 亦J9九2—8厂+4 5
1
即9 ' -8 '-1=0，解得，-1或(舍去).
9
2 当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为 -.••…
5
4- f (n) 23•解(1)因为f(n)[f(n 1) 1]=2[2-f(n 1)]，整理得f(n 1)=
f (n) + 2
4 一
2
由f(1)=2，代入得f⑵二—
2+2
以下用数学归纳法证明
1
- 1成
立.
5 2 5
①当n =1时，显然成立.
②当n = k时，假设存在a 4 1 1
,b ，使得f (k) 1成立, 5 5 _4(_3)」
5(2)5
4-_-
那么，当时，吐"恭
」1
4 3 k 1 (一5)(一3)飞
11 2
5 2 5
12(3)k 8
养匕)律―J
12/ 3、k 2 6/ 3、k 1 4/ 3k 1 () () () 5 2 5 5 2 5 5 2a的正弦值等于-
5
10分
丄f(3)=——=—2，1 5，
22 5 2
7 1所以f (3) -f (2)= -----------
5 2 (2)由f ⑴=2 , f (2)
9
10 .
1，可得a二-里,b二1
2 5 5
存在实数，a —£b」，使f(n)二
5 5
即当
4 1 1
n =k J时，存在a二—,b=-，使得f (k -1) 1成立•
5 5 4( _3)k + —
~~5^~2"5
由①，②可知，存在实数, 数n恒成立. ......... a=，b=［，使f (n)= _________ 1_______ +1对任意正整
5 5吨―
•10
分。