(江苏专用)202x版高考物理新增分大一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天 第4讲 万有引力定

第4讲万有引力定律及应用

一、开普勒三定律的内容、公式

定律内容图示或公式

开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上

开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等

开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的

三次方跟它的公转周期的二

次方的比值都相等

a3

T2＝k，k是一个与行星无关的

常量

自测1关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )

A．开普勒在牛顿运动定律的基础上，导出了行星运动的规律

B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律

C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因

D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律

答案B

解析开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星运动按照这些规律运动的原因，而牛顿发现了万有引力定律．

二、万有引力定律

1．内容

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．(万有引力定律是由牛顿提出的)

F ＝

G m 1m 2

r

2，G 为引力常量，G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，由卡文迪许利用扭秤实验测出．

3．适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离． 4．天体运动问题分析

(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供． (2)基本公式：

G Mm

r

2

＝ma ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪

⎧

m v 2

r →v ＝GM r

mrω2

→ω＝GM r 3

mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2

→T ＝2π r 3GM

mvω

自测2 (2018·锦屏中学模拟)我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350km ，“神舟八号”的运行轨道高度为343km.它们的运行轨道均视为圆周，则( )

A ．“天宫一号”比“神舟八号”速度大

B ．“天宫一号”比“神舟八号”周期长

C ．“天宫一号”比“神舟八号”角速度大

D ．“天宫一号”比“神舟八号”加速度大 答案 B

解析 航天器在围绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力提供向心力，根据万有引力定

律和匀速圆周运动知识得G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫

2πT 2＝ma ，解得v ＝

GM

r

，T ＝4π2r 3

GM

，

ω＝

GM r 3，a ＝GM

r

2，而“天宫一号”的轨道半径比“神舟八号”的轨道半径大，可知选项

三、宇宙速度

1．第一宇宙速度

(1)第一宇宙速度又叫最大环绕速度，其数值为7.9km/s.

(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．

(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度．

(4)第一宇宙速度的计算方法．

由G Mm R 2＝m v 2

R

得v ＝

GM R ；由mg ＝m v 2

R

得v ＝gR . 2．第二宇宙速度

使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2km/s. 3．第三宇宙速度

使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7km/s.

命题点一 开普勒三定律的理解和应用

1．行星绕太阳的运动通常按椭圆轨道处理．

2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．

3．开普勒第三定律a 3

T

2＝k 中，k 值只与中心天体有关，不同的中心天体k 值不同．但该定律

只能用在同一中心天体的两星体之间．

例1 (2018·盐城市期中)如图1所示，某卫星绕行星沿椭圆轨道运行，其轨道的半长轴为r ，周期为T ，图中S 1、S 2两部分阴影面积大小相等．则( )

图1

A ．行星可以不在椭圆的焦点上

B ．卫星从a 到b 的速率逐渐增大

C ．卫星从a 到b 的运行时间大于从c 到d 的运行时间

D ．椭圆轨道半长轴的三次方与周期的二次方的比值只与卫星的质量有关 答案 B

解析 根据开普勒第一定律知，卫星绕行星做椭圆运动，行星处于椭圆的一个焦点上，故A 错误．卫星从a 到b 的过程中，万有引力做正功，根据动能定理知，速率增大，故B 正确．根据开普勒第二定律知，S 1、S 2两部分阴影面积大小相等，则卫星从a 到b 的运行时间等于从c 到d 的运行时间，故C 错误．根据开普勒第三定律知，椭圆轨道半长轴的三次方与周期的二次方的比值是定值，只与中心天体有关，与卫星的质量无关，故D 错误．

命题点二 万有引力与重力的关系

忽略地球自转影响，在地球表面附近，物体所受重力近似等于地球对它的吸引力，即mg＝

G Mm

R

2.可得： 1．地球表面重力加速度g ＝GM

R

2

距地面高h 处重力加速度g ′＝

GM R ＋h

2

.

有g ′g ＝R 2R ＋h

2

，即g 与到地心距离的平方成反比．

2．地球质量M ＝gR 2G

.

3．恒等式：GM ＝gR 2.

以上各式对自转可忽略的其他星球同样适用．

例2 (2018·无锡市期中)据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍．已知一个在地球表面质量为50kg 的人在这个行星表面的重量约为800N ，地球表面处的重力加速度为10m/s 2.求： (1)该行星的半径与地球的半径之比约为多少？

(2)若在该行星上距行星表面2m 高处，以10m/s 的水平初速度抛出一只小球(不计任何阻力)，则小球的水平射程是多大？ 答案 (1)2 (2)5m

解析 (1)在该行星表面处，

G 人＝mg 行，得g 行＝16 m/s 2.

在忽略自转的情况下，由万有引力等于物体所受的重力得

GMm

R 2

＝mg 有R 2

＝GM g

故R 行2R 地2＝M 行g 地M 地g 行＝4，所以R 行R 地

＝2. (2)由平抛运动的规律，有

竖直方向h ＝1

2g 行t 2，水平方向x ＝vt ，故x ＝v

2h g 行

，

代入数据解得：x ＝5 m.

变式1 (2018·淮安市、宿迁市等期中)宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内太空授课时，指令长聂海胜悬浮在太空舱内“太空打坐”的情景如图2.若聂海胜的质量为m ，飞船距离地