高中数学圆锥曲线压轴题集锦5-高考数学圆锥曲线压轴题

高中数学圆锥曲线压轴题集锦5

一．解答题（共60小题）

1．已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．

（1）求双曲线C2的方程；

（2）若直线与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的范围．

（3）试根据轨迹C2和直线l，设计一个与x轴上某点有关的三角形形状问题，并予以解答（本题将根据所设计的问题思维层次评分）．

2．在平面直角坐标系中，若=（x，y+2），=（x，y﹣2），且|=8．

（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；

（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程，不存在，说明理由．

3．如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．

（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；

（Ⅱ）当时，求直线l的方程；

（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．

4．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且OC=1，OA=a+1（a＞1），点D在边OA上，满足OD=a．分别以OD、OC为长、短半轴的椭圆在矩形

及其内部的部分为椭圆弧CD．直线l：y=﹣x+b与椭圆弧相切，与OA交于点E．

（1）求证：b2﹣a2=1；

（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，求直线l的方程；

（3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M的方程．

5．过点F（0，1）作直线l与抛物线x2=4y相交于两点A、B，圆C：x2+（y+1）2=1

（1）若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切，求直线l的方程；

（2）过点A、B分别作圆C的切线BD、AE，试求|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2的取值范围．

6．已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B 两点，定点P的坐标为（﹣3，0）．

（1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；

（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；

（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q 点坐标；如果不存在，说明理由．

7．设椭圆=1（a＞b＞0）过点，且左焦点为

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足•=•，证明：点Q总在某定直线上．

8．设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，

（Ⅰ）若，求a，b的值；

（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．

9．已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线C1的内切圆半径为．记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；

（Ⅱ）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．

（1）若|MO|=λ|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；（2）若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．

10．已知双曲线．

（1）求双曲线C的渐近线方程；

（2）已知点M的坐标为（0，1）．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记．求λ的取值范围；

（3）已知点D，E，M的坐标分别为（﹣2，﹣1），（2，﹣1），（0，1），P为双曲线C上在第一象限内的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数．

11．已知椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点都在坐标原点O，C1和C2有公共焦点F，点F在x 轴正半轴上，且C1的长轴长、短轴长及点F到C1右准线的距离成等比数列．

（Ⅰ）当C2的准线与C1右准线间的距离为15时，求C1及C2的方程；

（Ⅱ）设过点F且斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，交C2于M，N两点．当|MN|=8时，

求|PQ|的值．

12．在直角坐标系xOy中，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=．

（Ⅰ）求C1的方程；

（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程．

13．如图，椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；

（ⅱ）求△AMN面积的最大值．

14．如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．

15．设P为椭圆上的一个点，过点P作椭圆的切线与⊙O：x2+y2=12相交于M，N

两点，⊙O在M，N两点处的切线相交于点Q．（1）若点P坐标为，求直线MN的方程．（2）若P为椭圆上的一个动点，求点Q的轨迹方程．

16．已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB 的内接圆（点C为圆心）

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）设圆M的方程为（x﹣4﹣7cosθ）2+（y﹣7sinθ）2=1，过圆M上任意一点P分别作圆C 的两条切线PE，PF，切点为E，F，求的最大值和最小值．

17．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．

（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；

（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；

（Ⅲ）若动圆P过点N（﹣2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

18．如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x=12．

（1）求椭圆的方程；

（2）在椭圆上任取三个不同点P1，P2，P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，证明：++为定值，并求此定值．

19．已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；