部编版数学七年级上册24-第四章直线、射线、线段

性质
两点之间,线段最短
比较线段 的大小
(1)度量法:用刻度尺量出两条线段的长度,再比较两者的大小; (2)叠合法:把要比较的两条线段移到同一条直线上,使它们的一个端点重合,另一个端点落 在重合的端点的同一侧,进行比较
例3 如图4-2-3,C为线段AD上一点,点B为CD的中点,且AD=9,BD=2. (1)求AC的长; (2)若点E在直线AD上,且EA=1,求BE的长.
2
2
AD-CE,故C选项正确,不符合题意,故选D.
9.如图4-2-6所示,比较线段a和线段b的长度,结果正确的是 ( )
点M是线段AB的中点,
1
AM=BM=2 AB,即AB=2AM=2BM
线段的 画法
特征
(1)连接AB,就是要画出以A、B为端点的线段,不要向任何一方 延伸; (2)画一条线段等于已知线段a,可以用圆规在射线AC上截取AB =a,也可以先量出线段a的长度,再画一条等于这个长度的线段
有两个端点,不可延伸,可度量
图4-2-1
(1)点B在直线AD
;点C在直线AD
,直线CD过点
;
(2)点E是直线
与直线
的交点,点
是直线AD与直线CD的交点;
(3)过A点的直线有
条,分别是
.
解析 根据图形进行分析,即可完成各题,同一直线的表示方法不唯一. 答案 (1)上;外;E (2)AE;CD;D (3)3;直线AD、直线AE、直线AC
-BD=8-2=6,综上所述,BE的长为8或6.
图4-2-5
知识点四 直线、射线、线段的联系与区别 1.直线、射线、线段之间的联系 (1)射线和线段都是直线上的一部分,即整体与部分的关系.在直线上任取一点,则可 将直线分成两条射线;在直线上任取两点,如图4-2-6,则图中包含一条线段和四条 射线.
解析 (1)点A与点C位于点B的异侧,
①如图4-2-12所示,
当BN=1 BC时,有MN=1 AB+1 BC=3+4=7;
3
23
②如图4-2-13所示,
当BN=
2 3
BC时,有MN=12
AB+
2 3
BC=3+8=11.
图4-2-12 图4-2-13
(2)点A与点C位于点B的同侧,
①如图4-2-14所示,
故EC= 1 AC=x cm,CF= 1 CD= 3 x cm,
2
22
DG= 1 DB=2x cm.
2
由EG=EC+CD+DG=x+3x+2x=12,得x=2,
所以AF=AC+CF=2x+ 3 x= 7 x= 7 ×2=7(cm).
222
点拨 当已知中有线段之间的倍分关系时,往往需要设未知数,用同一条线段表示出 相关线段的长度,列方程求出结果.
知识点三 线段 8.如图4-2-5所示,线段AB=DE,点C为线段AE的中点,下列式子不正确的是 ( )
A.BC=CD B.CD= 1 AE-AB
2
C.CD=AD-CE D.CD=DE
图4-2-5
答案 D 因为点C为线段AE的中点,且线段AB=DE,所以BC=CD,故A选项正确,不
符合题意;CD=CE-DE= 1 AE-DE= 1 AE-AB,故B选项正确,不符合题意;CD=AD-AC=
点拨 判断两条射线是不是同一条射线,应抓住两点:(1)端点是否相同;(2)方向是否相 同.
知识点三 线段
内容
图例
Leabharlann Baidu
定义 表示 方法
直线上两点及两点间的部分
(1)用表示端点的两个大写字母表示; (2)用一个小写字母表示
线段AB或线段BA或线段a
线段的 把一条线段分成两条相等线段的点,叫做这条线段的中点 中点
题型三 线段长度计算的分类讨论 例3 在已知直线上有A,B,C三点,点M是线段AB的中点,点N是线段BC的一个三等 分点,如果AB=6,BC=12,确定线段MN的长度. 分析 三点位于一条直线上,因此点A与点C可以位于点B的同侧或异侧,点N是线 段BC的一个三等分点,每一种情况内又可以分两种情况,即点N到点B的距离较小 还是较大.
答案 B 知识点五 尺规作图作线段的和、差
名称 画法
图例
线段 在直线上作线段AB=a,再在AB的延长线上用圆规截取线段B 的和 C=b,线段AC就是a与b的和,记作AC=a+b
线段 设线段a>b,在直线上作线段AB=a,再在AB上用圆规截取线段 的差 BD=b,线段AD就是a与b的差,记作AD=a-b
直线 的相 关概 念
(1)点与直线的关系:点A在直线m上,也可以说成直线m经过点A;点B不在直线m上, 也可以说成 直线m不经过点B,如图.(2)两条直线相交:当两条不同的直线有一个公共点时,我们就称这两条 直线相交,这个公共点叫做它们的交点.如图,直线a与直线b相交于点O
例1 根据图4-2-1填空:
图4-2-6 (2)将射线反向延伸就可得到直线;将线段向一方延伸就可得到射线;将线段向两方 延伸就可得到直线.
2.三者的区别如下表:
直线
射线
线段
图形
表示方法 ①两个大写英文字母( 表示直线上两点);②一 个小写英文字母
①两个大写英文字母(前一个表示射 线的端点,后一个表示射线上除端点 外的任意一点); ②一个小写英文字母
解析 以端点和方向分类,以A为端点时左右各一条,可表示的是射线AB;以B为端 点时左右各一条,可表示的是射线BA;以C为端点时左右各一条,可表示的是射线 CA、射线CB;以D为端点时左右各一条,可表示的是射线DA、射线DB.故图4-2-2中 有8条射线,其中可表示的有6条:射线AB、射线BA、射线CA、射线CB、射线 DA、射线DB.
初中同步（人教版）七年级 上册
第四章 几何图形初步
教材知识全解
第4.2 直线、射线、线段
全解版
知识点一 直线
表示方法
图形举例
基本事实
特征
直线
(1)用表示直线上任意两 点的大写字母表示; (2)用一个小写字母表示
直线l或直线AB
经过两点有一条直线,并 (1)无端点; 且只有一条直线.简单说 (2)向两边无限延伸; 成:两点确定一条直线 (3)无长短
7.如图4-2-4,有下列结论:①以点C为端点的射线共有4条;②射线BD和射线DB是同 一条射线;③直线BC和直线BD是同一条直线;④射线AB,AC,AD的端点相同,其中正 确的结论是 ( )
A.②④
B.③④
C.②③
图4-2-4 D.①③
答案 B 以点C为端点的射线共有3条,故①错误;因为射线BD和射线DB端点不 同,方向也不同,所以不是同一条射线,故②错误;直线BC和直线BD是同一条直线,故 ③正确;射线AB,AC,AD的端点相同,故④正确.故选B.
图4-2-3 分析 (1)点B为CD的中点,根据中点的定义,得到CD=2BD,由BD=2便可求得CD的 长度,然后再根据AC=AD-CD,便可求出AC的长度; (2)中由于E在直线AD上位置不确定,可分E在线段DA的延长线和线段AD上两种情 况求解.
解析 (1)∵点B为CD的中点,BD=2,∴CD=2BD=4,
A.4个
B.3个
C.2个
图4-2-2 D.1个
答案 B 易知①②③正确,④中C、D应强调是直线l上任意两点,所以④错.
4.直线a,b,c是平面上任意三条直线,交点可能有 ( ) A.1个或2个或3个 B.0个或1 个或3个 C.0个或1个或2个 D.0个或1个或2个或3个
答案 D 如图,交点可能有0个或1个或2个或3个.
知识点二 射线
定义
表示方法
图形示例
射线
直线上一点和它一 (1)用表示射线的
旁的部分叫做射 端点和射线上另一 射线OA或射线l 线,这一点叫做射 点的大写字母表示
线的端点
(2)用一个小写字
母表示
特征
①有一个端点; ②有方向; ③无长短
例2 图4-2-2中有几条射线?其中可表示的是哪几条?
图4-2-2
全练版
知识能力全练
知识点一 直线 1.下列选项中,直线的表示方法正确的是 ( )
答案 C 点要用一个大写的英文字母表示,直线要用一个小写的英文字母或直线 上两个点对应的大写英文字母表示.
2.(2020独家原创试题)邱老师在教室后面墙的黑板上张贴学生优秀作品时,想要在 黑板上画出一条笔直的参照线,由于尺子不够长,邱老师想出了一个办法如图4-2-1, 这种画法的数学依据是 ( )
当BN=
1 3
BC时,有MN=13
BC-
1 2
AB=4-3=1;
图4-2-14
②如图4-2-15所示,
2
21
当BN= 3 BC时,有MN=3 BC-2 AB=8-3=5.
综上所述,MN的长为7或11或1或5.
图4-2-15
点拨 在求解没有图形的几何题时,应根据题意画出图形,同时注意图形的多样 性,以免漏解.
例5 如图4-2-7,已知线段a、b、c,用圆规和无刻度的直尺画线段,使它等于2a+b -c.(只需画图,不要求写画法)
图4-2-7 解析 如图4-2-8,AE即为所求作的线段.
图4-2-8
经典例题全解
题型一 直线、射线、线段的几何作图问题
例1 如图4-2-9所示,平面上有四个点A、B、C、D,根据下列语句画图:
图4-2-1
A.两点之间,线段最短
B.两点确定一条直线
C.线段的中点的定义
D.两点的距离的定义
答案 B 这种画法的数学依据是两点确定一条直线.故选B.
3.如图4-2-2,下列语句:①直线l经过C、D两点;②点C、D在直线l上;③直线l是 由C、D两点确定的;④l是一条直线,C、D是任意两点.其中正确的有 ( )
∵AD=9,∴AC=AD-CD=9-4=5.
(2)若E在线段DA的延长线,如图4-2-4,
∵EA=1,AD=9,∴ED=EA+AD=1+9=10, ∵BD=2,∴BE=ED-BD=10-2=8.
图4-2-4
若E在线段AD上,如图4-2-5,∵EA=1,AD=9,∴ED=AD-EA=9-1=8,∵BD=2,∴BE=ED
①两个大写英文字母(表示 线段的两端点); ②一个小写英文字母
端点个数
无
1
2
延伸性
向两方无限延伸
向一方无限延伸
不延伸
基本事实
两点确定一条直线
——
两点之间,线段最短
度量
不可以
不可以
可以
作图叙述
过A、B作直线AB
以A为端点作射线AB
连接AB
例4 下列说法:(1)线段BA和线段AB是同一条线段;(2)射线AC和射线AD是同一条
某班45名同学在毕业后的一次聚会中,若每两人握1次手问好,那么共握
次手.
答案 (1)3;6;10.(2) n(n-1) .(3)990.
2
解析 经过满足题意的n个点中任意两点最多可画直线的条数为1+2+3+…+n-1= n(n-1) .
2
知识点二 射线 6.下列可近似看作射线的图形是 ( ) A.绷紧的琴弦 B.太阳发出的光线 C.孙悟空的金箍棒 D.平直的铁路 答案 B 由于太阳可以看作一个端点,发出的光线可看作无限延伸的线,所以太 阳发出的光线可近似看作射线.
图4-2-11 分析 首先根据C,D将线段AB分成2∶3∶4三部分,设一份是x,用含有x的式子表示 出AC,CD,BD,EC,DG的长,根据EG=EC+CD+DG列出方程,求出x后根据AF=AC+CF 即可得到结果.
解析 设AC=2x cm,则CD=3x cm,DB=4x cm,
又有E,F,G分别是AC,CD,DB的中点,
5.如图4-2-3:
(1)试验观察: 如果经过两点画直线,那么:
图4-2-3
第1个图形最多可以画
条直线;第2个图形最多可以画
条直线;
第3个图形最多可以画
条直线;
(2)探索归纳:
如果平面上有n(n≥3)个点,且任意3个点均不在一条直线上,那么经过两点最多可
以画
条直线;(用含n的式子表示)
(3)解决问题:
(1)画直线AB、CD交于点E;
(2)画线段AC、BD交于点F;
(3)连接BC、EF交于点G; (4)连接AD并将其反向延长;
图4-2-9
(5)作射线BC;
(6)取一点P,使点P既在直线AB上,又在直线CD上.
解析 (1)(2)(3)(4)(5)(6)如图4-2-10所示: 图4-2-10
题型二 运用方程思想计算线段长度 例2 如图4-2-11所示,C,D将线段AB分成2∶3∶4三部分,E,F,G分别是AC,CD,DB 的中点,且EG=12 cm,求AF的长.
射线;(3)把射线AB反向延长可得到直线BA;(4)直线比射线长,射线比线段长.其中正
确结论的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 用两个字母表示线段时,不分字母顺序,故(1)正确;射线AC和射线AD的端点 相同,方向不一定相同,故(2)错误;射线是向一方延伸的,反向延长射线可得到直线, 故(3)正确;直线、射线都不能度量,不能比较长短,故(4)错误,因此选B.