电磁场习题课

习题课1 场论&静电场1、真空中静电场的高斯定理的一种证明方法定理内容：在真空电场中，穿出任意闭合面E 的通量恒等于闭合面内电荷的代数和除以真空的介电常数0ε，即d sq ε⋅=⎰E S 证明：设电场E 由点电荷q 产生，即 204πRqεR =E e ，则E 的闭合面通量 20d d 4πR s s qεR⋅=⋅⎰⎰e E S S又d cos d R θ⋅=e s s ，则上式被积函数为:22d cos d R SR Rθ⋅=e S 以q 所在的r '点为圆心，R 为半径作一球面S '，S S '=d d cos θ是d S 在球面S '上的投影，如图所示。

S 'd 对点电荷q 所在的r '点形成一个空间锥，称这个空间锥为立体角，用Ωd 表示。

从图中可以看出，d S 和S 'd 对r '点所张的立体角是相等的。

整个球面对r '点所张的立体角为4π，而Ωd 与整个球面的立体角之比应等于面元S 'd 与整个球面面积之比，即2π4d 4d ΩR S '=π因此立体角:222d d cos d d RR S R S R Se ⋅=='=Ωθ上式为空间任意面元矢量对空间任一点所张的立体角Ωd 。

将它代入积分式得⎰⎰Ω=⋅ss εqd π4d 0S E 分析任意形状的闭合面S 对r '点所张的立体角：En er '① 当r '点位于S 内时，曲面S 与球面S '对r '点所张的立体角相等，为4π。

② 当r '点在闭合面外。

S 的一部分1S 对r '点所张的立体角为正，而另一部分2S 对r '点所张的立体角为负，两部分的立体角等值异号互相抵消，于是曲面S 对r '点所张的立体角为零。

由此可以更清楚的认识到：真空中电场强度E 的闭合面通量只与闭面内的电荷和0有关，而与闭面外的电荷无关。

结论可以推广到体电荷、面电荷、线电荷以及点电荷系产生的电场。

证毕。

2、证明狄拉克函数的一个重要等式()214,,r r'R r r'r r'r r'R πδ∇=--=-=-- 证明：先证积分形式20,14,r r'r r'r r'vdV π≠⎧∇=⎨-=-⎩⎰当r r'≠时233110R R R R R R ⎛⎫∇=∇⋅∇=∇⋅-=-∇⋅= ⎪⎝⎭当 r r'=，2331114s r r'r r'r r'r r'R ss R r r'vv sss sdV dV d d d d π∇=∇⋅∇=∇⋅----⋅=-⋅=-=-Ω-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰与狄拉克函数的积分形式比较即可得证。

3、证明电位函数是泊松方程的解推导静电场的泊松方程并证明1()d ()4πr r r -r V V ερϕ'''='⎰是其解。

解：（1）对于各向同性线性介质区域，将ϕ=-∇E 和ε=D E 代入ρ∇⋅=D 中，可得()εϕρ∇⋅-∇=2εϕεϕρ∇⋅∇+∇=-再考虑均匀介质条件，ε为常数，有Sr '2ρϕε∇=-（2）证明1()d ()4πr r r -r V V ερϕ'''='⎰是其解。

()()()2221()d ()1d 4π4π()()4πd d 4π()r r r -r r -r r r r -r r -r r V V V V V V εεV V εεερρϕρρδδρ''''⎛⎫''''∇=∇=∇ ⎪ ⎪''⎝⎭''''''=-=-=-⎰⎰⎰⎰4、几个矢量计算（1）设222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-='-=r r 为源点r ’到场点r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点。

证明：（a ）R R R R =∇'-=∇，（b ） 311R R R R -=∇'-=∇，（c ）03=⨯∇RR ，（d ）033=⋅∇'-=⋅∇R R R R )0(≠R （最后一式在0=R 点不成立）。

证：（a ）z y x e z Re y R e x R R ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇RR e R z z e R y y e R x x z y x=--+-=+ˆ)'(ˆ)'(ˆ)'( z y x ez Re y R e x R R ˆ'ˆ'ˆ''∂∂+∂∂+∂∂=∇RRe R z z e R y y e R x x z y x-=----+--=+ˆ)'(ˆ)'(ˆ)'( 所以 R RR R =-∇=∇'（b ）据公式u dudfu f ∇=∇)(3211R R R R R -=∇-=∇ 32'11'RRR R R=∇-=∇所以 31'1R RR R-=-∇=∇（c ）013=∇⨯-∇=⨯∇R RR （梯度的旋度等于零）（d ）33311R R R R R R ∇⋅+⋅∇=⋅∇R RR R ∇-⋅+=431)3(303353=-⋅+=R R R R )0(≠R 同理3331''1'R R R R R R ∇⋅+⋅∇=⋅∇R RR R '1)3(343∇-⋅+-=033353=⋅-∇=⋅+-=RRR R R R)0(≠R（2）221ln ln r r r r r ∇=∇⋅∇=∇⋅∇=∇⋅r22232221232311r r r r r r r r =-=⋅∇-+=⋅∇+⋅∇=r r r （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇-⋅∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇⋅∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇∇43222222211r r r r r r r r 444544411342r r 2r 3422r r r r r rr r -⎡⎤⎡⎤=-∇⋅+∇⋅=-+∇⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦5、证明恒等式()0u ∇⨯∇=和0A ∇⋅∇⨯=在普遍意义下成立。

证：（1）()s l scu d u d ∇⨯∇⋅=∇⋅⎰⎰2112()0l =s l sccu u uu d dx dy dz du x y zu d u d du du du ∂∂∂∇⋅++=∂∂∂∴∇⨯∇⋅=∇⋅==+=⎰⎰⎰⎰⎰（2）12A s A s A s vss s dV d d d ∇⋅=∇⨯⋅=∇⨯⋅+∇⨯⋅⎰⎰⎰⎰120A l A l c c d d =⋅+⋅=⎰⎰闭合曲线C1和C2是方向相反的同一条闭合曲线。

6、定理法求解电场强度电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题图()a 所示，求空间电场分布。

解：由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定理求解。

但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题图b 所示。

空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。

E S =/0sd q ε⋅⎰可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为2200120022r b b r r πρρπεε==r E e 2200120022r a a r r πρρπεε'-''==-''r E e点P 处总的电场为22011220()2b a r r ρε''=+=-'r r E E E（2）在b r <且a r >'区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为20020022r r r πρρπεε==r E e 2200220022r a a r r πρρπεε'-''==-''r E e点P 处总的电场为202220()2a r ρε''=+=-'r E E E r（3）在a r <'的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为20030022r r r πρρπεε==r E e 20030022r r r πρρπεε''-''==-'r E e 点P 处总的电场为003300()22ρρεε''=+=-=E E E r r c7、证明均匀介质内极化电荷密度p ρ等于自由电荷密度f ρ的⎪⎭⎫ ⎝⎛εε01－－倍。

证明：f p D D p ρεεεεεερ)1()1(])1[(000--=⋅∇--=-⋅-∇=⋅-∇=习题课2恒定电场、恒定磁场以及静态场边值问题1、求同轴线内外导体之间的漏电流密度问题同轴线内、外半径分别为a 和b ，内外导体之间介质的介电常数为ε ，电导率为 σ。

若在同轴线内外导体上施加电压U ab ，求内外导体之间的漏电流密度J 。

解：方法一：为了分析问题方便，本题采用圆柱形坐标系。

先用直接法来求内外导体之间的电流密度矢量J 。

设同轴线的长度为L 。

如果内外导体之间的总电流为I ，则任何给定半径 ρ 的同轴圆柱面S 上，由对称性可知，电流密度矢量、电场强度矢量与电流的关系为22I IJ E L L ρρρρρρσρσρσ===⇒===ππJ J e e E E e e在同轴线任意横截面上，沿 ρ 方向对电场强度矢量E 进行积分，可求得内外导体之间的电压ln 22b b ab L a a I d I bU d E d L L a ρρρρρσρσ=⋅=⋅==ππ⎰⎰⎰E l e e 由上式可求得同轴线内外导体之间的漏电流为2ln(/)abLU I b a σπ=于是可求得同轴线内外导体之间的漏电流密度矢量为2ln(/)ab U IJ L b a ρρρρσρρ===πJ e e e方法二：本题也可以通过拉普拉斯方程来求解。

在圆柱形坐标系中，电位函数的拉普拉斯方程为222222110z ψψψψρρρρρϕ⎛⎫∂∂∂∂∇=++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭注意上式中的 ρ 是圆柱形坐标系的坐标变量，而不是电荷密度。