数学建模 离散问题建模方法及案例分析

组成一个9阶的Steiner三元系。
• Steiner三元系的存在性：
•
•
容易见到：
n 1. 3 2
2.
2 (n 1)
1847年，Kirkman证明了： STS(n)存在当且仅当 n 6k 1 或者 6k 3 。
Steiner三元系的图形表示：
3. Steiner三元系的推广—平衡不完全区组设计
该集合的大小又是与某些参数的组合数 有关。因此，也常常被称为组合结构。
• •
讨论的问题类型很多，主要有： 安排(arrangement)、分类(grouping)、
排序(ordering)、选择(selection)等。
• • •
变量的“离散性” —对象通常是以个体形式
出现„„
问题的“离散性” — 二分问题、七桥问题、 八后问题、二十问问题„„ 方法的“离散性” — 由问题的离散性带来 方法上的离散性。不存在统一的求解模式：常 用的有整数规划、图论、数理逻辑等方法。更 大量的则是枚举法以及所谓的启发式算法„„
组别 上午第一节 上午第二节 上午第三节
1 15 39 4
2 29 68 --
3 48 1 27
4 36 -18
5 7 24 35
6 -57 69
组别 下午第一节
1 123
2 49
3 58
4 67
下午第二节
下午第三节
19
25
456
34
37
789
28
16
下午第四节
26
38
59
147
2.计数问题案例---- 截断切割(CMCM1997-B) • 一.问题的提出
4
5
6
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8
9
ຫໍສະໝຸດ Baidu
10 14
平均价格 22 20 24 18 18 16 20 12 15
请你帮图书馆出个主意，应该按照怎样的比例添置
新书。这里，既要考虑经费、图书馆藏书量等因素， 又要尽最大可能满足学生希望。 (2005-B DVD租赁)
二. 分析与建模
• 经费问题：通常图书馆购置新书的经费是有限的， 所以希望越小越好。
Steiner三元系还可以向两个方向推广： 1) 将“三元子集”推广到k元子集； 2) 将“唯一的”推广到大家重复λ次。 • 于是就有了平衡不完全区组设计的概念： • 设S是一个n元集合，B是由S的一些k元子集(或称k元 组) 组成的集合。如果S中的任意一对不同的元素，都 恰好同时包含在B的λ个 k 元子集中,则称（S, B）组成 一个区组长度为k, 相遇数为λ的平衡不完全区组设计。 记作B(k,λ; n)。
• 设：第j类图书的平均单价为c j ，进货量为 x j ，
( j 1,2,10)
则进货总量和经费总量分别为：
xj
j
cjxj
j
• 于是对于藏书量和经费的目标可分别表示为：
max
xj
j
min
cjxj
j
• 关于效用函数：
首先根据学生的喜好程度的排序，定义一个权值：
这里可以将学生偏爱的三类以及其它类的图书分别赋值
•
•
截断切割是指将物体沿某个切割平面切成两部分。
从一个长方体内加工出一个已知尺寸、位置预定的 长方体(两个长方体对应的平面相互平行)，通常要经 过6次切割。 假定切割费用与切割时扫过的面积成正比，则需要 考虑的不同切割方案的总数是多少？
•
• •
（其它要求和其它问题略）
• 二. 分析和结果
•
•
首先考虑到一共需要切割6次。按照排列，不同方 案应该有 6! 720 种。
• 2. Steiner三元系
设S是一个n元集合，B是由S的一些三元子集组成的 集合。如果S中的任意一对不同的元素，都恰好同时包 含在B的唯一的一个三元子集中, 则称( S, B )组成一个 n 阶的Steiner三元系, 记作STS(n)。 •
• • 例如： (1,2,3), (1,4,5), (1,6,7), (2,4,6), (2,5,7), (3,4,7), (3,5,6) 组成一个7阶的Steiner三元系。 (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)；(1,4,7), (2,5,8), (3,6,9)； (1,5,9), (2,6,7), (3,4,8)；(1,6,8), (2,4,9), (3,5,7)。
1. 存在性问题案例---- 董事会会议安排
Mix Well For Fruitful Discussion (MCM1997-B)
一. 问题的提出 An Tostal 公司董事会由29名董事(其中9名在职)组成。
公司要召开为期一天的董事会会议。 上午分3节(sessions), 每节分成6组(groups) 下午4 节, 每节分成4组。 为让董事们充分发表意见，应如何安排各节各组的 董事名单?
j
j
subject to
cjxj c
xj X
j
j
谢
2011.7
谢
•
•
藏书量问题：藏书量通常是考量图书馆规模等级的 重要指标。因此，总希望尽可能大。
尽最大可能满足学生希望： 这是一种所谓消费者的偏好问题，经济学中采用效 用函数的方法处理。---就是定义一个递增（有时也可 能是递减）的函数来表示消费者对不同商品的喜好程 度，来度量原来不能度量的东西，把偏序改为全序。
• 关于算法复杂性(complexity)
• 问题—算法—结果
•
An algorithm is considered “good” if the required number of elementary computational steps is bounded by a polynomial in the size of the problem.
二. 分析和建模
关于组合设计
1. Euler36军官问题和正交拉丁方
设 S {a1 , a2 ,, an } 是一个n元集合。A是一个 n n 阶
矩阵,它的元素为S中的元素。如果S 中的每一个元素都 恰好在A的每一行中出现一次,同时在A的每一列中出现 一次, 那么就称A为S上的一个n阶拉丁方。 假设A和B都是n阶拉丁方，A (aij ), B (bij ) 。如果 n 2 个有序对 (aij , bij ) 各不相同。则称该两个拉丁方正 交。
(种)
3.最优性问题案例一---通讯网络的最小Steiner树 (MCM1991-B) 一.问题的提出
•
9个通讯站位于以下坐标点处:
a (0,15) b (5,20) c (16,24) d (20,20) e (33,25) f (23,1 ) g (35,7) h (25,0) i (10,3) 1
然而，因为如果两次相继的加工是切割一对相互 平行的平面，那么交换其顺序对整个切割费用将不 产生任何影响。
•
这种相互平行的平面一共有3对。其中的1对在加 工顺序中相邻的共5!种，有某2 对相邻的共4!种， 3 对都相邻的有3!种。 根据组合学中的容斥原理便可得到结果：
•
•
6!3 5!3 4!3! 426
• 正交拉丁方的存在性
• 1782年，Euler猜测，当 n 2(mod4) 时，n阶正交拉丁 方都不存在。 其中，2阶的不存在性是显然的。6阶的不存在性是 Tarry在1900年证明的。也就是说，36军官问题确实没 有解。 • 直到1960年， Euler的猜想最终被推翻。Shrikhande, Bose, Parker证明了：除了2和6两种特殊情况， n阶正交 拉丁方都存在。
•
• 平衡不完全区组设计的存在性： • 容易见到， B(k,λ; n)存在的必要条件是： k (k 1) n(n 1) ； 1) (k 1) (n 1) 。 2)
• 有人证明了，除了少数情况，以上条件也是充分的。
回到原问题：由于董事会人数的关系，任意两位董事分在同组
的次数不可能做到完全平衡。只能力求平衡。以九名在职董事为 例 ，可以安排如下：
•
要设计一个连接这9个通讯站的局部网络,使总费 用最省. (假定连线费用与距离成正比).
二.问题的分析和建模


最小连接问题:
树—连通无圈图.
树的性质:
1.任意两点间存在唯一的路; 2.边数等于点数减1; 3.任意去掉一条边,树就变得不连通; 4.任意去掉一个非悬挂点,树就变得不连通;
5.任意添加一条边,就可得到唯一的圈.
• 一. 问题的提出
•
某学校图书馆准备添置一些新书。为了满足广大学
生的需求， 图书馆对具有代表性的300位同学中进行了
调查。要求被调查的学生在科技图书、中国小说、外国
文学、教辅读物等十大类书籍中选出自己的最喜欢的三 种并排出顺序。（调查结果略）
假定这十种图书每册的平均价格为（元/册）
图书种类
1
2
3
离散问题建模方法 及案例分析
上海海事大学 丁颂康
skding@shmtu.edu.cn
一. 离散数学的研究对象
•
离散数学是“研究离散变量相互关 系和结构的数学理论的总称。包括集 合论、数论、有限群论、组合数学、
图论、数理逻辑、可行计算理论等。”
-----《辞海》
•
离散数学研究的对象是有限集合。
注:3,4两条性质说明,就连通的意义而言,树具有极小性.
• • •
子图—生成子图—生成树 最小生成树 最小生成树的Kruskal算法和管梅谷算法 —避圈和破圈 三角形中到三个顶点距离之和最小的点 — Steiner点
•
•
推广— Steiner树
•
直角距离
最优性问题案例二---- 图书馆购书策略
---- J.Edmonds & R.M.Karp (1960) P --- NP --- NP-C
•
二. 离散问题建模方法
根据许多数学家的描述，离散问题通常 以以下三种形式出现： “ Does the arrangement exist? ” “ How many arrangements are there? ” “ What is a best arrangement? ” 这就是存在性问题、计数问题和最优性 问题。
7, 5, 3, 1，记第j类图书的权为 w j ；
• 构造出购书方案总的效用函数：
wj x j
j
“尽最大可能满足学生希望”的目标就是：
max w j x j
j
综合起来，便得到原问题的数学模型：
max
xj
j
min
cjxj
j
max w j x j
这是一个多目标最优化问题。 根据本问题的特点，可以采用将次要目标改成 约束的方法，即将它改为： max w j x j