2022届高考数学复习题：数列的综合应用

2022届高考数学复习题：数列的综合应用

1．已知a n ＝32n －101

(n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为( )

A ．99

B ．100

C ．101

D ．102

解析：由通项公式得a 1＋a 100＝a 2＋a 99＝a 3＋a 98＝…＝a 50＋a 51＝0，a 101＝3101>0，故选C.

答案：C

2．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，且a 3，a 4＋52，a 11成等比数列．若

p －q ＝10，则a p －a q ＝( )

A ．14

B ．15

C ．16

D ．17

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意分析知d >0，因为a 3，a 4＋52，a 11

成等比数列，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋522＝a 3a 11，即⎝ ⎛⎭

⎪⎫72＋3d 2＝(1＋2d )·(1＋10d )，即44d 2－ 36d －45＝0，所以d ＝32⎝ ⎛⎭

⎪⎫d ＝－1522舍去，所以a n ＝3n －12.所以a p －a q ＝32(p －q )＝15.

答案：B

3．已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2，若函数f (x )＝sin 2x

＋2cos 2x 2，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( )

A ．0

B ．－9

C ．9

D ．1 解析：由已知可得，数列{a n }为等差数列，f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＝1.

∵f (π－x )＝sin(2π－2x )＋cos(π－x )＋1＝－sin 2x －cos x ＋1，∴f (π－x )＋f (x )＝2.

∵a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，∴f (a 1)＋…＋f (a 9)＝2×4＋1＝9，即数列{y n }

的前9项和为9.

答案：C

4．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )

A ．n (n ＋1)

B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2 D.n (n －1)2

解析：因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1

＋14)，解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋n (n －1)2

×2＝n (n ＋1)．故选A. 答案：A

5．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成

等比数列，则S 8＝________.

解析：因为{a n }为等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，所以a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2a 1＝2，所以S 8＝64.

答案：64

6．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }

的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________. 解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22

＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋1

1－2＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－2

7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则

a n ＝________.

解析：由3S 1,2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，则3a 2＝a 3，得公比q ＝3，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1.

答案：3n －1

8．已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，

n ∈N *.

(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；

(2)设双曲线x 2

－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 21＋e 22＋…＋e 2n . 解析：(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.

又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故

a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．

所以数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列．

从而a n ＝q n －1.

由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3，

所以a 3＝2a 2，故q ＝2，

所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．

(2)由(1)可知，a n ＝q n －

1. 所以双曲线x 2－y 2

a 2n ＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝ 1＋q 2(n －1).

由e 2＝ 1＋q 2＝2解得q ＝ 3.

所以e 21＋e 22＋…＋e 2n ＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋[1＋q

2(n －1)] ＝n ＋[1＋q 2＋…＋q 2(n －1)]

＝n ＋q 2n －1q 2－1

＝n ＋12(3n －1)．

9．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n ，数列{b n }为等比

数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.

(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；

(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n

. 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，{b n }的公比为q ，则a n ＝1＋(n －

1)d ，b n ＝q n －1.

依题意有⎩⎨⎧

q (2＋d )＝6q ＋3＋3d ＝8，