图形专题相似和几何图形与圆的综合应用学案

学习过程一、复习预习本章知识网络图二、知识讲解考点1 相似三角形的判定方法（1）定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．考点2 常见的相似模型1.如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）2.如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）3.如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）4.如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

5.一线三角模型考点3 常用方法归纳（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”（2）找相似： 通过“横找”“竖看”寻找三角形（3）找中间比： 若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。

方法：将等式左右两边的比表示出来。

①)(,为中间比nm n m d c n m b a == ②'',,n n n m d c n m b a === ③),(,''''''nm n m n n m m n m d c n m b a =====或（4）添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

平面直角坐标系常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。

（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。

三、例题精析考点一相似三角形与简单几何图形结合问题例1、如图是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．（1）证明：△ABE≌△CBD；（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；（4）求线段BD的长．【规解答】：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°．（1分）∵四边形ACDE是等腰梯形，∠EAC=60°，∴AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°，∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD，即∠BAE=∠BCD．（2分）在△ABE和△BCD中，AB=BC，∠BAE=∠BCD，AE=CD，∴△ABE≌△CBD．（3分）（2）存在．答案不唯一．如△ABN∽△CDN．证明：∵∠BAN=60°=∠DCN，∠ANB=∠DNC，∴△ANB∽△CND．（5分）其相似比为：ABCD=21=2；（6分）（3）由（2）得ANCN=ABCD=2，∴CN=12AN=13AC，（8分）同理AM=13 AC，∴AM=MN=NC．（9分）（4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，∵∠BCD =120°，∴∠DCF =60°．（1O 分）在Rt△CDF 中，∴∠CDF =30°，∴CF =12CD =12， ∴DF 22CD CF +2211()2+3； （11分） 在Rt△BDF 中，∵BF =BC +CF =2+12=52，DF 3， ∴BD 22BF DF +2253()()22+7（12分） 【分析】：（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =BC ，∠BAC =∠BCA =60°，由四边形ACDE 是等腰梯形，得AE =CD ，∠ACD =∠CAE =60°，利用“S A S”判定△ABE ≌△CBD ；（2）存在．可利用AB ∥CD 或AE ∥BC 得出相似三角形；（3）由（2）的结论得AN CN =AB CD=2，即CN =13AC ，同理，得AM =13AC ，可证AM =MN =NC ； （4）作DF ⊥BC 交BC 的延长线于F ，在Rt△CDF 中，由∠CDF =30°，CD =AE =1，可求CF ，DF ，在Rt△BDF 中，由勾股定理求BD ．例2 、已知：如图所示的一矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。

（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.【规解答】：（1）证明：由题意可知OA=OC，EF⊥AO，∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm，设AB=a，BF=b，∵△ABF的面积为24cm2，∴a2+b2=100，ab=48，∴（a+b）2=196，∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去），∴△ABF的周长为14+10=24cm；（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP，∴△A O E∽△AEP，∴AEAP =AOAE，∴AE2=AO•AP，∵四边形AECF是菱形，∴AO=12AC，∴AE2=12AC•AP，∴2AE2=AC•AP．【分析】：（1）通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；（2）由勾股定理得AB2+FB2=100，△ABF的面积为24cm2可得，AB×BF=48；变换成完全平方式，即可解答；（3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明；考点二相似三角形与圆有关的综合问题例3、已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．（1）求证：∠PCA=∠PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．【规解答】：（1）证明：连结OC，OA，∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC，∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，∵∠AOC=2∠PBC，∴2∠ACO+2∠PBC=180°，∴∠ACO+∠PBC=90°，∵∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCA=∠PBC；（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，∴△PAC∽△PCB，∴=，∴PC2=PA•PB，∵PA=3，PB=5，∴PC==．【分析】：（1）连结OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出∠ACO=∠CAO，再由PC是⊙O的切线，C为切点得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中根据三角形角和定理可知∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，由圆周角定理可知∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根据∠PCA+∠ACO=90°即可得出结论；（2）先根据相似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．例4、如图所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．(1)求证CD CEAC CB(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值围．【规解答】:证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CD CE=.AC CB解： (2)∵AE＝8，OC＝12，∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．又∵CD CE=，AC CB∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．AE＝4，OC=12，连接OB，在△OBC中，OB＝12∴8＜BC＜16．【分析】:利用△CDE∽△CAB，可证明CD CE=．AC CB。