上海复旦初级中学数学几何图形初步专题练习(解析版)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）

1．感知：如图①，∠ACD为△ABC的外角，易得∠ACD=∠A+∠B(不需证明) ；

（1）探究：如图②,在四边形ABDC中,试探究∠BDC与∠A、∠B．、∠C之间的关系，并说明理由；

（2）应用：如图③，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ 恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=________度；(直接填答案，不需证明) （3）拓展：如图④，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC=100°，∠BDC=150°，则∠BEC=________度. (直接填答案，不需证明)

【答案】（1）解：如图5，连接AD并延长至点F.

∵∠BDF为△ABD的外角，

∴∠BDF=∠BAD+∠B，

同理可得∠CDF=∠CAD+∠C，

∴∠BDF+∠CDF=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，

即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；

（2）40°

（3）125°

【解析】【解答】解：（2）由题意可得∠BXC=90°，由（1）中结论可得∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，

∵∠A=50°，

∴∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；（3）如图6，∵∠A=100°，∠BDC=150°，∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，

∴∠ABD+∠ACD=150°-100°=50°，

∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，

∴∠ABE+∠ACE= （∠ABD+∠ACD）=25°，

又∵∠BEC=∠A+∠ABE+∠ACE，

∴∠BEC=100°+25°=125°.

【分析】（1）如图5，连接AD并延长至F，然后利用三角形外角的性质进行分析证明即可得到∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；（2）由题意可知∠BXC=90°，结合∠A=50°和（1）中所得结论即可得到∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；（3）如图6，利用（1）中所得结论结合已知条件进行分析解答即可.

2．问题情境1:如图1,AB∥CD,P是ABCD内部一点,P在BD的右侧,探究∠B,∠P,∠D之间的关系?

小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论)

问题情境2

如图3,AB∥CD,P是AB,CD内部一点,P在BD的左侧,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论)

问题迁移:请合理的利用上面的结论解决以下问题:

已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F

（1）如图4,若∠E=80°,求∠BFD的度数；

（2）如图5中,∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论。

（3）若∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,设∠E=m°,用含有n,m°的代数式直接写出∠M=________.

【答案】（1）解：根据问题情境2，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF

∵,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F

∴∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE

∴∠FBE+∠FDE=∠BFD

∵∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°

∴80°+∠BFD+∠BFD=360°

∴∠BFD=140°

（2）结论为：6∠M+∠E=360°

证明：∵∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF

∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM

∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F

∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM

∵∠ABE+∠CDE+∠E=360°

∴6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°

∵∠M=∠ABM+∠CDM

∴6∠M+∠E=360°

（3）证明：根据（2）的结论可知

2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°

2n（∠ABM+∠CDME）+∠E=360°

∵∠M=∠ABM+∠CDM

∴2n∠M+m°=360°

∴∠M=

【解析】问题情境1: 图1中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P+∠B+∠D=360°，问题情境2：图3中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P=∠B+∠D；

【分析】问题情境1和2 过点P作EP∥AB，利用平行线的性质，可证得结论。

（1）利用问题情境2的结论，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF，再根据角平分线的定义得出∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE，再证明∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°，就可建立方程80°+∠BFD+∠BFD=360°，解方程求出∠BFD的度数即可。

（2）根据已知可得出∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，再根据角平分线的定义得出，∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，然后根据问题情境1的结论∠ABE+∠CDE+∠E=360°，可推出6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°，变形即可证得结论。

（3）根据已知得出2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°，再根据∠M=∠ABM+∠CDM，代入变形即可得出结论。

3．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．

（1）若，，求∠D的度数；

（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．

【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD= ∠ABC= ×75°=37.5°，

∵CD平分△ABC的外角，

∴∠DCA= (180°-∠ACB)= (180°-45°)=67.5°，

∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-37.5°-67.5°-45°=30°.