上海市北初级中学数学几何模型压轴题单元测试卷附答案

上海市北初级中学数学几何模型压轴题单元测试卷附答案

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．

(1) 如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，求证：PC＝PE；

(2) 如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探索PC与PE的数量关系，并说明理由．

(3) 如图3，把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转，点F落在边AB上．其他条件不变，问题(2)中的结论是否发生变化？如果不变，请加以证明；如果变化，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）PC＝PE，理由见解析；（3）成立，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可；

（2）先判断△CBP≌△HPF，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；

（3）先判断△DAF≌△EAF，再判断△DAP≌△EAP，然后用比例式即可；

【详解】

解：（1）证明：如图：

∵∠ACB＝∠AEF＝90°，

∴△FCB和△BEF都为直角三角形．

∵点P是BF的中点，

∴CP＝1

2BF，EP＝

1

2

BF，

∴PC＝PE．

（2）PC＝PE理由如下：

如图2，延长CP，EF交于点H，

∵∠ACB＝∠AEF＝90°，

∴EH//CB，

∴∠CBP＝∠PFH，∠H＝∠BCP，

∵点P是BF的中点，

∴PF＝PB，

∴△CBP≌△HFP(AAS)，

∴PC＝PH，

∵∠AEF＝90°，

∴在Rt△CEH中，EP＝1

2

CH，

∴PC＝PE．

（3）(2)中的结论，仍然成立，即PC＝PE，理由如下：

如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，

∵∠DAF＝∠EAF，∠FDA＝∠FEA＝90°，

在△DAF和△EAF中，

DAF,

,

,

EAF

FDA FEA

AF AF

∠=∠

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△DAF≌△EAF(AAS)，

∴AD＝AE，

在△DAP≌△EAP中，

,

,

,

AD AE

DAP EAP

AP AP

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△DAP≌△EAP (SAS)，

∴PD＝PF，

∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，

∴FD//BC//PM，

∴DM FP

MC PB

=，

∵点P是BF的中点，

∴DM＝MC，

又∵PM⊥AC，

∴PC＝PD，

又∵PD＝PE，

∴PC＝PE．

【点睛】

此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边一半，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线是解本题的关键也是难点．

2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．

（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为．

（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；

（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．

【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3．

【解析】

【分析】

（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；

（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；

（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论．

【详解】

解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AD，

∴AD＝2BC＝12，

∴△ABD的面积＝1

2

AD•BC＝

1

2

12×6＝36，

故答案为：36；

（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，

∴∠H＝∠C＝90°，

∵△BPQ是等腰直角三角形，

∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，

∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，

∴∠PQH＝∠BPC，

∴△PQH≌△BPC（AAS），

∴PH＝BC，QH＝CP，

∵AC＝BC，

∴PH＝AC，

∴CP＝AH，

∴QH＝AH，

∴∠HAQ＝45°，

∵∠BAC＝45°，

∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

∴AB⊥AQ；

（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，

∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°，

∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，

∴∠EAC＝30°，

则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，