安徽省合肥一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

安徽省合肥一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,1，2，4，6}，B={x|x2+2x−8≤0}，则A∩B=()A. {−1,1}B. {−1,1，2}C. {−1,1，2，4}D. {−1,1，2，4，6}2.函数f(x)=√2x2−3x−2log2(x−1)的定义域是()A. (−12,2) B. (−∞,−12]∪[2,+∞)C. (2,+∞)D. [1,+∞)3.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos2a=23，则=A. 15B. √55C. 2√55D. 14.《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的面积是()A. 415B. 158C. 100D. 1205.若θ∈[π4,π2]，sin2θ=3√78，则cosθ=()A. 34B. √78C. √74D. −346.函数f(x)=x1−2x −x2()A. 是偶函数，在(−∞,0)上是增函数B. 是偶函数，在(−∞,0)上是减函数C. 是奇函数，在(−∞,0)上是增函数D. 是奇函数，在(−∞,0)上是减函数7.要得到函数y=sin(2x−π3)的图象，应该把函数y=sin2x的图象()A. 向左平移π3B. 向右平移π3C. 向左平移π6D. 向右平移π68. 函数f(x)=x(e −x −e x )4x 2−1的部分图象大致是( )A.B.C.D.9. 函数y =b +asinx(a <0)的最大值为−1，最小值为−5，则y =tan(3a +b)x 的最小正周期为( )A. 2π9B. π9C. π3D. 2π310. 已知函数f(x)={3x −x 2,x <0ln(x +1),x ≥0，若|f(x)|≥ax ，则 a 取值范围是( )A. [−3,0]B. (−∞,1]C. (−∞,0]D. {−3,1}11. 已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)=f(2−x)，若函数y =|x 2−2x −3|与y =f(x)图象的交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…(x m ,y m )，则∑x i m i=1=( )A. 0B. mC. 2mD. 4m12. 关于函数f(x)=√3cos(2x +π6)，x ∈R ，下列结论中正确的个数是( )①若f(x 1)=f(x 2)，则x 1−x 2必是π的整数倍； ②函数f(x)的图象关于直线x =5π12对称； ③函数f(x)在区间[0,π2]上的值域为[−32,32]； ④函数f(x)的解析式可写为f(x)=√3sin(2x +2π3)．A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=ln(√1+x 2+x)+x 3+3，则f(m)=1，则f(−m)=__________．14. 已知sin(π−α)=35，α∈(π2,π)，则tanα=______． 15. 若cosα=13，则sin (α+π3)−12sinα=____ . 16. 若函数f(x)=x 3−(12)x−2，零点x 0∈(n,n +1)(n ∈Z)，则n =__________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知α∈(−π2,0)，sinα=−√55．(Ⅰ)求cos(π6−α)的值； (Ⅱ)求sin(π4+2α)的值． 18. 设函数．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间．19. 设函数y =f(x)是定义在R 上的函数，对任意实数x ，有f(1−x)=x 2−3x +3．(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−(1+2m)x+1(m∈R)在上的最小值为−2，求m的值．20.启东市政府拟在蝶湖建一个旅游观光项目，设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界，沿线段AB，BC，CD，DA建一个观景长廊，其中A，B，C，D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米，AB=8百米，在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭，且它们关于直线AC对称，在湖面建一条观景桥APC.观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设∠ABC=α．(1)若观景长廊AD=4百米，CD=AB，求由观景长廊所围成的四边形ABCD内的湖面面积；(2)当时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；(3)若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内(不包括边界)，试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时α的值；若没有，请说明理由．21.定义：对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．(1)已知二次函数f(x)=ax2+2x−4a(a∈R)，试判断f(x)是否为“局部奇函数”？并说明理由；(2)若f(x)=2x+m是定义在区间[−1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围;(3)若f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围。

22.f(x)=(log3x)2+(a−1)log3x+3a−2，(x>0,a∈R)．(1)若函数f(x)的值域是[2,+∞]，求a的值；(2)若f(3x)+log3(9x)≤0对于任意x∈[3,9]恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查的是交集及其运算，属于基础题． 由题意对集合B 进行化简，即可求解． 解：∵集合B ={x|x 2+2x −8≤0} ={x|−4≤x ≤2}， A ={−1,1，2，4，6}， ∴A ∩B ={−1,1，2}． 故选B ．2.答案：C解析：解：∵{2x 2−3x −2≥0log 2(x −1)≠0x −1>0，解得x >2，∴函数f(x)=√2x 2−3x−2log 2(x−1)的定义域是(2,+∞)．故选C ．3.答案：B解析：推导出cos2α=2cos 2α−1=23，从而|cosα|=√306，进而|tanα|=|b−a2−1|=|a −b|=|sinα||cosα|=√55.由此能求出结果．本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边上有两点A(1,a) ,B(2,b)，且cos2α=23， ∴cos2α=2cos 2α−1，解得cos 2α=56， ∴|cosα|=√306∴|sinα|=√1−56=√66，|tanα|=|b−a 2−1|=|a −b|=|sinα||cosα|=√55． 故选B ．4.答案：D解析：本题主要考查扇形面积问题，属于基础题． 解：S =30×164=120(平方步)．故选D ．5.答案：C解析：解：∵θ∈[π4,π2]， ∴2θ∈[π2,π]，则cos2θ=−√1−(3√78)2=−18，∵cos2θ=2cos 2θ−1=−18， ∴cos 2θ=716，即cosθ=√74， 故选：C根据三角函数的倍角公式，进行化简求解即可．本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键，考查学生的计算能力．6.答案：A解析：根据函数奇偶性的定义和单调性性质即可得到结论．本题主要考查函数单调性和奇偶性的判定，利用定义法即可得到结论． 解：f(x)=x1−2x −x2=x(11−2x −12)=x ⋅2−1+2x2(1−2x )=x ⋅1+2x2(1−2x )， 函数的定义域为{x|x ≠0}，则f(−x)=−x ⋅1+2−x2(1−2−x )=−x ⋅1+2x2(2x −1)=x ⋅1+2x2(1−2x )=f(x)，则f(x)为偶函数．设g(x)=1+2x 2(1−2x )=2x −1+22(1−2x )=11−2x −12，当x <0时，2x 是单调递增，则2x −1也是单调递增，11−2x 单调递增，则g(x)=11−2x −12单调递增， ∵y =x 也单调递增，使用f(x)=xg(x)在在(−∞,0)上是增函数， 故选：A7.答案：D解析：解：要得到函数y =sin(2x −π3)=sin[2(x −π6)]的图象，需要将函数y =sin2x 的图象，向右平移π6单位即可． 故选：D ．化简函数表达式，由左加右减上加下减的原则判断函数的平移的方向． 本题考查三角函数的图象的平移变换，考查平移的原则的应用，属于基础题．8.答案：B解析：本题考查了函数图象的应用，函数的奇偶性，函数值的变化趋势是关键，属于中档题.先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出．解：∵函数f(x)的定义域为(−∞,−12)∪(−12,12)∪(12,+∞)， 则f(−x)=−x(e x −e −x )4x 2−1=x(e −x −e x )4x 2−1=f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y 轴对称，故排除A ， 令f(x)=0，即x(e −x −e x )4x 2−1=0，解得x =0，∴函数f(x)只有一个零点，故排除D ， 当x =1时，f(1)=1e−e 3<0，故排除C ，综上所述，只有B 符合． 故选B ．解析：本题考查了正余弦函数的图象与性质，及正切函数的周期，属于基础题，本题注意a <0． 根据已知可得{b +a =−5b −a =−1，解得b =−3，a =−2，则y =tan(3a +b)x =tan(−9x)，从而最小正周期可求．解：函数y =b +asinx(a <0)的最大值为−1，最小值为−5， 故{b +a =−5b −a =−1，即b =−3，a =−2， 则y =tan(3a +b)x =tan(−9x)， ∴T =π9．故选B ．10.答案：A解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．①当x >0时，根据ln(x +1)>0恒成立，求得a ≤0；②当x ≤0时，可得x 2−3x ≥ax ，求得a 的范围．再把这两个a 的取值范围取交集，可得答案． 解：当x >0时，根据ln(x +1)>0恒成立，则此时a ≤0．当x ≤0时，根据−x 2+3x 的取值为(−∞,0]，|f(x)|=x 2−3x ≥ax ， x =0时左边=右边，a 取任意值． x <0时，有a ≥x −3，即a ≥−3． 综上可得，a 的取值为[−3,0]． 故选A ．11.答案：B解析：解：∵f(x)=f(2−x)，∴函数f(x)的图像关于直线x =1对称.又y =|x 2−2x −3|=|(x −1)2−4|的图像关于直线x =1对称，∴两函数图象的交点关于直线x =1对称．∑x i m i=1=2×m 2=m ；当m 为奇数时，∑x i m i=1=2×m−12+1=m ，，故选B ．解析：根据三角函数的图象关系、对称性进行判断．本题主要考查与三角函数有关的图象和性质，根据三角函数的对称性是解决本题的关键．解：①由题意，函数的周期为π，∴若f(x1)=f(x2)，则x1−x2必是π的整数倍，正确；②x=5π12时，f(x)=√3cos(2x+π6)=−√3，∴函数f(x)的图象关于直线x=5π12对称，正确；③在区间[0,π2]上，2x+π6∈[π6,7π6]，函数f(x)在区间[0,π2]上的值域为[−32−√3]，不正确；④函数f(x)的解析式可写为f(x)=√3cos(2x+π6)=√3sin(2x+π6+π2)=√3sin(2x+2π3)，正确．故选B．13.答案：5解析：本题考查函数奇偶性的应用，属于中档题．设g(x)=f(x)−3=ln(√1+x2+x)+x3，可得g(x)为奇函数，结合f(m)=1求解即可．解：设g(x)=f(x)−3=ln(√1+x2+x)+x3，g(−x)+g(x)=ln1+0=0，所以g(−x)=−g(x)，定义域为R，所以g(x)是奇函数，g(m)=f(m)−3=−2，g(−m)=f(−m)−3=2，所以f(−m)=2+3=5，故答案为5．14.答案：−34解析：解：∵sin(π−α)=sinα=35，α∈(π2,π)，∴cosα=−√1−sin 2α=−45 则tanα=sinαcosα=−34， 故答案为：−34．由题意利用诱导公式求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得tanα的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．15.答案：√36解析：本题考查两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题． 解：sin (α+π3)−12sinα=sinαcos π3+cosαsin π3−12sinα=13×√32=√36， 故答案为√36．16.答案：1解析：本题考查了复合函数的单调性和函数零点存在性定理. 利用复合函数的单调性得函数f(x)=x 3−(12)x−2在R 上是单调递增函数，再利用函数零点存在性定理计算得结论.解： 由于函数f(x)=x 3−(12)x−2在R 上是单调递增函数，f(1)=−1<0，f(2)=7>0， 故函数f(x)=x 3−(12)x−2的零点在区间(1,2)内，再由函数f(x)=x 3−(12)x−2的零点x 0∈(n,n +1)(n ∈Z)可得n =1．故答案为１．17.答案：解：(Ⅰ)∵已知α∈(−π2,0)，sinα=−√55，∴cosα=√1−sin2α=2√55，∴cos(π6−α)=cosπ6cosα+sinπ6sinα=2√15−√510．(Ⅱ)∵sin2α=2sinαcosα=−45，cos2α=2cos2α−1=35，求sin(π4+2α)=sinπ4cos2α+cosπ4sinα=√22⋅35+√22⋅(−45)=−√210．解析：(Ⅰ)利用同角三角函数的基本关系求得cosα，再利用两角差的余弦公式求的cos(π6−α)的值．(Ⅱ)先求出sin2α、cos2α的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(π4+2α)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，属于基础题．18.答案：解：(1)∵函数，∴函数f(x)的最小正周期为2π2=π．(2)令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，可得函数f(x)的增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z．记A=[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z，B=[0,π]，，所以f(x)在[0,π]上的单调递增区间为．解析：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于中档题．(1)利用三角函数的二倍角，和与差的公式以及辅助角公式化简即可求f(x)的最小正周期；(2)求解f(x)的单调增区间与[0,π]求交集可得单调递增区间．19.答案：解：(1)令t=1−x，则x=1−t，∵f(1−x)=x 2−3x +3，∴f(t)=(1−t)2−3(1−t)+3=t 2+t +1， 即f(x)=x 2+x +1;(2)由(1)得g(x)=f(x)−(1+2m)x +1=x 2−2mx +2=(x −m)2+2−m 2，x ∈[32,+∞), 若m ≥32，则当x =m 时，g(x)取最小值2−m 2=−2， 解得m =2，或m =−2(舍去)，若m <32，则当x =32时，g(x)取最小值174−3m =−2， 解得m =2512(舍去)， 综上可得：m =2．解析：本题主要考查的知识点是函数解析式的求法，函数的最值及其几何意义， 熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．(1)令t =1−x ，则x =1−t ，利用换元法，根据f(1−x)=x 2−3x +3.可得函数f(x)的解析式； (2)根据(1)中函数f(x)的解析式，求出函数g(x)的解析式，进而根据二次函数的图象和性质，进行分类讨论，可得答案．20.答案：解：(1)∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴∠ABC +∠ADC =π在△ABC 中，在△ADC 中，解得，，平方百米)答：四边形ABCD 内的湖面面积是32√3平方百米;，∴在△ABC 中，令AD =x ，CD =y ，在△ADC 中，∴x2+y2+xy=112，∵x2+y2≥2xy，(当且仅当x=y时，取等号)，∴xy≤1123∴S max28√3(平方百米)3平方百米．答：三角形区域ADC内的湖面面积最大值28√33(3)∵点P和点D关于直线AC对称，∴∠APC=∠ADC，PC=CD=8由(1)知∠ABC+∠ADC=π，∴∠ABC+∠APC=π∵∠ABC=α，∴∠APC=π−α∵点P在△ABC区域内∴α<π−α，，∵在△ABC中，在△APC中，解得或AP=−12(舍去)，，∴四边形ABCP内的湖面面积有最大值，即当时，四边形ABCP 内的湖面面积取到最大值，最大值为32平方百米．解析：本题考查解三角形以及三角函数在实际中的运用；(1)在△ABC 和△ADC 中，分别利用余弦定理建立α的等式，求得α的正弦值，得到面积的不等式，计算即可； (2)当时，令AD =x ，CD =y ，利用余弦定理得到x 2+y 2+xy =112，再求三角形ADC 区域内的湖面面积的最大值；(3)在△ABC 和△APC 中，分别利用余弦定理得到，求得AP ，得到面积ABCP 的不等式，依据三角函数的有界性得到最大值．21.答案：解：f(x)为“局部奇函数”等价于关于x 的方程f(x)+f(−x)=0有解．(1)当f(x)=ax 2+2x −4a(a ∈R)时，方程f(x)+f(−x)=0， 即2a(x 2−4)=0得x =±2， 所以f(x)为“局部奇函数”．(2)当f(x)=2x +m 时，f(x)+f(−x)=0可化为2x +2−x +2m =0， 因为f(x)的定义域为[−1,1]，所以方程2x +2−x +2m =0在[−1,1]上有解． 令t =2x ，则t ∈[12,2]，则−2m =t +1t ， 设g(t)=t +1t ，则g ′(t)=1−1t2=t 2−1t 2．当t ∈(0,1)时，g′(t)<0，故g(t)在(0,1)上为单调减函数； 当t ∈(1,+∞)时，g′(t)>0，故g(t)在(1,+∞)上为单调增函数． 因为g (12)=52，g(2)=52，g(1)=2，所以t ∈[12,2]时，g(t)∈[2,52]． 所以−2m ∈[2,52]，即m ∈[−54,−1]． (3)当f(x)=4x −m ·2x+1+m 2−3时，f(x)+f(−x)=0可化为4x +4−x −2m(2x +2−x )+2m 2−6=0，设t =2x +2−x ，则t ∈[2,+∞)，则4x +4−x =t 2−2，从而t 2−2mt +2m 2−8=0在[2,+∞)上有解即可保证f(x)为“局部奇函数”． 令F(t)=t 2−2mt +2m 2−8．①当F(2)≤0时，t 2−2mt +2m 2−8=0在[2,+∞)上有解， 由F(2)≤0，即2m 2−4m −4≤0，解得1−√3≤m ≤1+√3； ②当F(2)>0时，t 2−2mt +2m 2−8=0在[2,+∞)上有解等价于{Δ=4m 2−4(2m 2−8)≥0,m >2,F(2)>0,，解得1+√3<m ≤2√2．综上，所求实数m 的取值范围为[1−√3,2√2]．解析：本题考查函数的奇偶性、值域等，考查分类讨论思想、计算能力、转化能力等，属中档题． (1)题意可转化为看方程f(x)+f(−x)=0，即2a(x2−4)=0是否有实数解．(2)由已知方程f(x)+f(−x)=0，即2x +2−x +2m =0在[−1,1]上有解，这里令t =2x (t ∈[12,2])，并分离参数，转化为关于t 的方程−2m =t +1t 在[−1,1]上有解，根据函数与方程的思想，就是求函数g(t)=t +1t 在[−1,1]上的值域，得出−2m 的取值范围，就能得出m 的取值范围．(3)由f(x)+f(−x)=0得方程4x +4−x −2m(2x +2−x )+2m 2−6=0有实数根，换元令t =2x +2−x ，则t ∈[2,+∞)，转化为方程t 2−2mt +2m 2−8=0在[2,+∞)上有解，不便于分离参数，利用二次函数的图像判断一元二次方程根的分布，即可解答．22.答案：解：(1)令t =log 3t则y =t 2−(a −1)t +3a −2 当t =12(1−a )时，函数有最小值f (12(1−a ))=14(1−a )2+12(a −1)(1−a )+3a −2=2 解得a =7±4√2(2)由题意得(log 3(3x ))2(a −1)log 3(3x )+3a −2+log 3(9x )≤0 x ∈[3,9]恒成立 设m =log 3(3x )则m 2+(a −1)m +3a −2+m ≤0 m ∈[2,4]恒成立 即m 2+am +3a −1≤0 设ℎ(x )=m 2+am +3a −1则{ℎ(2)≤0ℎ(4)≤0⇒{4+2a+3a−1≤016+4a+3a−1≤0⇒a≤−157所以a的取值范围为(−∞,−157]．解析：(1)利用换元法，转化为二次函数求最值；(2)利用二次桉树的性质求解即可．。