有限元与midas介绍

3. 应力与外力之间的平衡方程（力的平衡方程）
力的分类：体积力（内力）、表面力（外力） • 体积力：重力、离心力、惯性力等 • 表面力：外载荷、流体静压力等 根据力的平衡条件：
yx x zx px 0 Fx x y z xy y zy py 0 Fy x y z yz xz z Fz x y z p z 0
2

2. 应变和应力之间的弹性方程（材料的物理方程）
应力分量矩阵表达式：
x y z x xy yz zx
应变和应力的关系：
y
z xy yz zx

T
y z x
有限元法的基本思想
对弹性区域离散化
将单元内任一节点 位移通过函数表达 （位移函数）
进行单元集成， 在节点上加外载荷力
建立单元方程
引入位移边界条件 进行求解
求解得到节点位移
根据弹性力学公式得到单元应变、应力
有限元法的基本步骤
1. 结构离散； n y ii 2. 单元分析 i e e e a. 建立位移函数 k F b. 建立单元刚度方程 c. 计算等效节点力 K F 3. 进行单元集成； 4. 得到节点位移； 5. 根据弹性力学公式计算单元应变、应力。
3.单元矩阵 某有限单元各个物理量之间关系表达式，这种 关系可以是数学的，也可以物理等等。
自由度（DOFs）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
学科领域
自由度
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
结构 热 电 流体 磁
位移 温度 电位 压力 磁位
节点和单元
载荷 节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度并 存在相互物理作用。
J 三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ
I L K
I
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
二维或轴对称实体单元 UX, UY
I I P M L N K J I
L
K J 三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
J
O P 三维实体结构单元 UX, UY, UZ M L N
FEM的理论基础——
微分方程等效积分形式和加权余量法
－ （在数学上）建立有限元方程的基础； ( 求解工程微分方程问题的有效方法)
弹性力学问题变分原理 －（在力学上）建立有限元方程的基础
有限元法的分类
位移法：以节点位移为基本未知量； 力 法：以节点力为基本未知量；
混合法：一部分以节点位移为基本未知量， 一部分以节 点力为基本未知量。
3. 应力与外力之间的平衡方程（力的平衡方程）
根据合力矩为零的平衡条件：（作用在单元体上的力对x、y、z轴取矩）
xy yx xz zx zy yz
平面问题的定义
1、平面应力问题 条件：等厚度薄板（厚度< 截面尺寸/15）状弹性体； 受力方向沿薄板方向。 假设：力与板平行，沿厚 度方向均匀分布，沿厚度方 向应力分量为零，薄板不失 稳。 特点： z
节点3
连续梁铰接点作用有力矩载荷，求连续梁的内力。
第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法
单元分析
e mi

e i

e j
e mj
. . .
i
单元e
. .
j
取出一个单元，进行分析，求出单元转角。 最终求出单元的刚度矩阵。
第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法
单元分析
e e m i ii
e ji
O
三维实体热单元 TEMP
K
I
J
单元形函数(1)
•FEA仅仅求解节点处的DOF值。 •单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所 有点处DOF值的计算方法。 •因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。 •单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。 •单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。

弹性力学的基本方程
1. 位移和应变之间的几何关系（几何变形方程）
位移分量矩阵表达式：
u T v u v w w x
应变分量矩阵表达式：
y z x xy yz zx
有限元法将被求解对象看成由许多小的、彼此相连的杆和梁、一定形状的 板和壳等有限单元组成，这些单元通过节点相互相连；通过对有限单元进行数 学、物理以及电磁等联系建立单元矩阵；通过坐标转换以及单元矩阵集成形成 总体矩阵，对总体矩阵求解获得未知量的解的方法。
有限元分法是利用数学近似的方法对真实物理系统
（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互 作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去 逼近无限未知量的真实系统。
x x E x E
G
2. 应变和应力之间的弹性方程（材料的物理方程）
剪切弹性模量和弹性模量之间的关系：
G
21
E
2. 应变和应力之间的弹性方程（材料的物理方程）
应变和应力的相互换算：
1 x E x y z y 1 y x z E 1 z x y z E 1 xy xy G 1 yz yz G 1 zx zx G
单元形函数(2)
二次曲线的线性近 (不理想结果) DOF值二次分布 真实的二次曲线
.
1
节点 单元 线性近似 (更理想的结果)
.
2
真实的二次曲线
.
节点 单元
.
二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果)
.. . . .
3
节点 单元
.
4
节点 单元
.
单元形函数(3)
遵循: •DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单 元内的平均值与实际情况吻合得很好。 •这些平均意义上的典型解是从单元 DOF推导出来的（如，结 构应力，热梯度）。
剪应变与正应变之间的关系（平面问题）：
xy y u v x 2 2 2 xy y x x y y x 2
2 2 2 2 2
剪应变与正应变之间的关系（三维问题）：
xy x yz zx 2 yz x x y z
FEM的发展历程—— FEM的中国贡献
★钱伟长：拉格朗日乘子法与广义变分原理之间的关系。 ★钱令希：1950年代，余能原理。
★冯康：1960年代，独立地先于西方奠定了有限元分析收敛性。 。。。。。。
什么是FEM——
在工程应用问题中，经典的数学工具常无法求出它们的精确解，甚 至是近似解，在这种情况下常借助数值方法。
•如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOF，就不能很好 地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导 出来的。
单元形函数(4)
遵循原则: •当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种 单元类型所假定的单元形函数。 •在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分 析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。
1、Midas的 施工阶段分析； 2、Midas的 其他专项分析。 等等
1、Midas的 MCT使用； 2、一些问 题的讨论。
FEM的发展历程—— FEM的思想发源于哪里？
★距今几世纪前，我国古代数学家用多边形的周长近似代替圆周长堪称是有 限元法的雏形。 ★20世纪40年代，Courant第一次应用定义在三角区域上的分片连续函数和 最小位能原理来求解St.Venant扭转问题。 ★1956年，Turner、Clough等人在分析飞机结构时，将钢架位移法推广应用 于弹性力学平面问题，给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案
节点和单元(3)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
2 nodes
. . .
B
1 node
. .
A
. .
. .
A
. .
B
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
. .
.
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理）
节点和单元 (4)
节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
J
y
z
xy
yz zx
T
应变分量与位移分量之间的关系：
x y z xy yz zx
u x v y w z u y u wk.baidu.comx u x
v x w y u z
物理系统举例
几何体 载荷 物理系统
结构
热
电磁
什么是FEM——
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
★ 三个重要概念
1.有限单元 有限元法处理问题时，将对象虚拟离散出来的、 最简单的处理单元。如，杆、梁、三角形等单元。
2.节点 有限单元之间虚拟的连接点，有限元法处理载 荷时的重要依据。
zx zy 0
例子：链传动中的链片、 连杆、飞轮、小齿宽的直齿 圆柱齿轮
平面问题的定义
2、平面应变问题 条件：力与平面平行，沿厚度方向均匀分布；垂直于平面方向不产生变形。
假设：沿厚度方向的变形为零。
特点： 例子：水坝等
z zx zy 0
第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法
★ 1960年，Clough进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了"有限单元 法"，使人们认识到它的功效。
FEM的发展历程—— FEM的中国贡献 ★胡海昌的广义变分原理 ★第一类：根据力学原理作出简化假设，建立工程实用理论，大多数精确满 足连续条件和平衡条件，而近似满足本构关系的要求。——梁、板、壳 ★第二类：根据最小势能原理Rayleigh-Ritz Method 虽能精确满足连续条件 和本构关系的要求，但是只能近似地满足平衡条件。 ★ 第三类：最小余能原理Rayleigh-Ritz Method 虽能精确满足平衡条件和本 构关系，但是只能近似满足连续条件。 ★1950年，E.H.Reissner提出弹性力学的二类变量广义变分原理，展示了能 量法中同时近似地满足不同性质方程的可能性。 ★1954年，胡海昌提出了三类变量广义变分原理，位移、应变和应力三类变 量全部作为自变函数，全部方程都不必精确满足，是无条件变分。为之前的 工程实用结构理论提供了能量观点的解释，更为各种近似解法提供理论依据。
离散化
单元分析
支撑条件的引入
整体分析
非节点载荷的处理
解方程
第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法
问题 M1 M2
M3
. . .
. .
. .
连续梁铰接点作用有力矩载荷，求连续梁的内力。
第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法
离散化 M1 单元1 M2 单元2
M3
. . .
节点1
. .
节点2
. .
单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、 面或实体或者二维或三维的单元等种类。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之
间通过节点连接，并承受一定载荷。
每个单元的特性是通过几个线性方程式来描述的。 作为一个整体，有限个单元形成了整体结构的数学模型 尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即自由度），然 而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000个未知 量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。
内容
关于FEM与Midas的实现讲座
FEM的基本知识
Midas的软件设计介绍
Midas的建模流程
讨论与答疑
我们为同学们准备的FEM讲座及辅导包括——
基础
流程
技巧
提高
1、什么是 FEM； 2、玩FEM 必须知道的； 3、Midas的 软件设计；
1、FEM基本 流程与Midas 实现； 2、Midas建 模；
. . .
i
单元e
. .
j