有限元法的概述
有限元法概述
大型商用的FEM通用软件分类
目前已经出现了许多大型结构分析通用软件，最早的 是美国国家宇航局（NASA）在1956年委托美国计算科学 公司和贝尔航空系统公司开发的ANASTRAN有限元分析 系统，该系统发展到现在已有几十个版本。此外，比较知 名的有限元分析软件还有德国的ASKA,英国PAFEC，法 国AYATUS，美国ABAUS、ADNA、ANSYS、BERSAF E、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC、STARNYNE 等。下面仅介绍几种当前比较流行的有限元软件。 （1） ANSYS。 ANSYS是融结构、流体、电场、磁 场和声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。其主要 特点是具有较好的前处理功能，如几何建模、网络划分、
电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦分 析，可以模拟多物理介质的相互作用，具有灵敏度分析 及优化分析能力；后处理的计算结果有多种显示和表达 能力。ANSYS软件系统主要包括ANSYS/Mutiphysics 多物理场仿真分析工具、LS-DYNA显示瞬态动力分析 工具、Design Space设计前期CAD集成工具、Design Xploere多目标快速优化工具和FE-SAFE结构疲劳耐久 性分析等。ANSYS已在工业界得到较广泛的认可和应 用。
现代设计理论及方法
有限元分析法
(Finite Element Analysis ， FEA)
概述
1、有限元法简介
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是将 弹性理论、计算数学和计算机软件有机结合在一起的一种 数值分析技术，是解决工程实际问题的一种有力的数值计 算工具。 目前，有限单元法在许多科学技术领域和实际工程问 题中得到了广泛的与应用，如，机械制造、材料加工、航 空航天、土木建筑、电子电气、国防军工、石油化工、船 舶、铁路、汽车和能源等，并受到了普遍的重视。 现有的商业化软件已经成功应用于固体力学、流体力 学、热传导、电磁学、声学和生物学等领域，能够求解由 杆、梁、板、壳和块体等单元构成的弹性、弹塑性或塑性 问题，求解各类场分布问题，求解水流管道、电路、润滑、 噪声以及固体、流体、温度间的相互作用等问题。
有限元法的原理_求解域_概述及解释说明
有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。
它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。
有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。
1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。
1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。
通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。
此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。
2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。
它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。
在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。
2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。
这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。
这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。
2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。
第1章 有限元法概述
第一章有限元法概述第一节有限元法的发展及基本思想随着现代工业、生产技术的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械及工程结构。
为此目的，人们必须预先通过有效的计算手段，确切地预测即将诞生的机械和工程结构，在未来工作时所发生的应力、应变和位移。
但是传统的一些方法往往难以完成对工程实际问题的有效分析。
弹性力学的经典理论，由于求解偏微分方程边值问题的困难，只能解决结构形状和承受载荷较简单的问题，对于几何形状复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变，以及几何非线性、材料非线性等问题往往遇到很多麻烦，试图按经典的弹性力学方法获得解析解是十分困难的，甚至是不可能的。
因此，需要寻求一种简单而又精确的数值分析方法。
有限元法正是适应这种要求而产生和发展起来的一种十分有效的数值计算方法。
这个方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。
1960年美国的克劳夫(C l o u g h)采用此方法进行飞机结构分析时，首次将这种方法起名为“有限单元法”(finite element method），简称“有限元法”。
有限单元法的基本思想，是在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定大小的单元，这些单元仅在有限个节点上相连接，并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。
对于每个单元,根据分块近似的思想，选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按弹性理论中的能量原理(或用变分原理)建立单元节点力和节点位移之间的关系。
最后，把所有单元的这种关系式集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个离散节点上的位移。
图1.1是用有限元法对直齿圆柱齿轮的轮齿进行的变形和应力分析，其中图1.1(a)为有限元模型，图1.1(b)是最大切应力等应力线图。
在图1.1(a)中采用8节点四边形等参数单元把轮齿划分成网格，这些网格称为单元；网格间互相连接的点称为节点；网格与网格的交界线称为边界。
汽车有限元法概述
汽车有限元法概述有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种工程数值分析方法，广泛应用于汽车工程领域，用于模拟和预测汽车结构在受力下的行为和性能。
本文将对汽车有限元法进行概述。
有限元法的基本原理是将连续结构离散化为有限个子结构，每个子结构称为有限元。
每个有限元内的应力和变形可以用简单的方程表示。
通过求解这些方程，可以推导出整个结构的应力和变形情况。
汽车有限元法主要有以下几个步骤：1.建模：将汽车的零部件、结构和系统进行建模，将其分割成有限元。
这个过程需要根据实际情况选择适当的网格划分和元素类型。
常见的元素包括线元素、面元素和体元素。
建模的准确性和合理性对于后续的分析和计算结果具有重要影响。
2.边界条件：确定模型的边界条件，包括支撑条件和外部加载条件。
支撑条件包括固定支撑和弹性支撑。
外部加载条件包括重力、加速度、风压等。
准确描述和设置边界条件是模拟计算的关键步骤。
3.材料特性：为每种材料分配相应的材料特性参数。
常见的材料特性包括弹性模量、泊松比、材料密度等。
这些参数将决定材料在受力下的行为和响应。
4.模拟计算：利用有限元软件对建模后的汽车结构进行计算和模拟。
通过求解每个有限元的位移和应变，再结合材料特性进行力学分析，得到汽车结构在受力下的应力和变形情况。
5.结果评估：根据计算得到的应力和变形结果，对汽车结构的强度、刚度、耐久性等性能进行评估和分析。
如果发现问题或不合理现象，可以进行模型修正和参数优化，以提高结构的性能。
在汽车工程领域，有限元法主要应用于以下几个方面：1.结构强度分析：通过有限元法，可以对汽车结构的强度进行评估和分析。
例如，分析车身在碰撞时的变形情况，以及主要部件在受力下的应力情况。
2.动态响应分析：有限元法可以模拟汽车在动力加载下的振动和动态响应情况。
例如，模拟车辆在行驶过程中的悬挂系统振动，以及发动机振动对车身的影响。
3.疲劳寿命评估：通过有限元法，可以分析汽车结构在复杂工况下的疲劳寿命。
有限元法
李中秋20111323 热能一班第一章有限元法简介有限元法是求取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。
将它用于在科学研究中，可成为探究物质客观规律的先进手段。
将它应用于工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具。
1.1 有限元法发展简史早在1870年，英国科学家Rayleigh就采用假想的“试函数”来求解复杂的微分方程，1909年Ritz将其发展成为完善的数值近似方法，为现代有限元方法打下坚实基础。
20世纪40年代，由于航空事业的飞速发展，设计师需要对飞机结构进行精确的设计和计算，便逐渐在工程中产生了的矩阵力学分析方法；1943年，Courant 发表了第一篇使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的论文；1956年波音公司的Turner，Clough，Martin和Topp在分析飞机结构时系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式；1960年Clough在处理平面弹性问题，第一次提出并使用“有限元方法”(finite element met hod)的名称；1955年德国的Argyris出版了第一本关于结构分析中的能量原理和矩阵方法的书，为后续的有限元研究奠定了重要的基础，1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有关有限元分析的专著；1970年以后，有限元方法开始应用于处理非线性和大变形问题；我国的一些学者也在有限元领域做出了重要的贡献，如胡海昌于1954提出了广义变分原理[8]，钱伟长最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间关系，钱令希在20世纪五十年代就研究了力学分析的余能原理，冯康在20世纪六十年代就独立地、并先于西方奠定了有限元分析收敛性的理论基础。
1.2基本概念1.2.1 有限单元数值计算的思路是将复杂问题简单化，求近似解。
即将复杂的结构分解成若干相对简单的构件或部件，分别分析，然后求解。
而且这种近似解可以收敛于问题的精确解。
有限元法简介
有限元法的孕育过程及诞生和发展 牛顿(Newton) 莱布尼茨(Leibniz G. W.)
大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积 分法，证明了该运算具有整体对局部的可加 性。虽然，积分运算与有限元技术对定义域 的划分是不同的，前者进行无限划分而后者 进行有限划分，但积分运算为实现有限元技 术准备好了一个理论基础。
思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得所有 力学信息，并使得该方法能够普及、简单、高效、方 便，一般人员可以使用。 实现办法：
技术路线：
发展过程： 如何处理 对象的离散化过程
常用单元的形状
.点 (质量)
面 (薄壳, 二维实体,
..
轴对称实体)
. .
...
. .
...
线性
二次
. . 线(弹簧，梁，杆，间隙)
有限元法介绍
有限元法的基本思想是将结构离散化，用 有限个容易分析的单元来表示复杂的对象， 单元之间通过有限个结点相互连接，然后 根据变形协调条件综合求解。由于单元的 数目是有限的，结点的数目也是有限的， 所以称为有限元法(FEM，Finite Element Method)。
有限元法是最重要的工程分析技术之一。 它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流 体力学、热传导等领域。有限元法是60年 代以来发展起来的新的数值计算方法，是 计算机时代的产物。虽然有限元的概念早 在40年代就有人提出，但由于当时计算机 尚未出现，它并未受到人们的重视。
X
0.056
0.058
X
0.06
Y
Y
0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
0
-0.001
-0.002
-0.003 0.054
有限元法概述
（2）MSC/NASTRAN。 MSC/NASTRAN是在原NAST RAN基础上进行大量改进后的系统软件，主要包括MS C.Patran并行框架式有限元前后处理及分析系统、 MS C.GS-Mesher快速有限元网格、 MSC.MARC非线性有 限元软件等。其中MSC.MARC具有较强的结构分析能
.
5.在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 6. 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 7. 进行机械事故分析，查找事故原因。
轴承强度分析
.
汽车碰撞实验
.
刹车制动时地盘的应力分析
.
钢板精轧机热轧制分析
.
三维椭圆封头开孔补强
.
水轮机叶轮的受力分析模拟
.
人体股骨端受力分析
.
半导体芯片温度场的数值仿真
知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法
中位移法应用范围最广。
.
2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St·Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于 各种原因都涉足过有限单元的概念。
.
4、有限元的特点
(1) 概念清楚,容易理解。可以在不同的专业背景和水平 上建立起对该方法的理解。从使用的观点来讲,每个人的 理论基础不同,理解的深度也可以不同,既可以通过直观的 物理意义来学习,也可以从严格的力学概念和数学概念推 导。
有限元法简介
有限元法简介
有限元法(Finite Element Method，FEM)，也称有限单元法或有限元素法，基本思想是将求解区域离散为一组有限的且按一定方式相互连接在一起的单元组合体。
有限单元法分析问题的思路是从结构矩阵分析推广而来的。
起源于50年代的杆系结构矩阵分析，是把每一杆件作为一个单元，整个结构就看作是由有限单元(杆件)连接而成的集合体，分析每个单元的力学特性后，再集中起来就能建立整体结构的力学方程式，然后利用计算机求解。
有限元离散化是假想把弹性连续体分割成数目有限的单元，并认为相邻单元之间仅在节点处相连(如图1所示)。
根据物体的几何形状特征、载荷特征、边界约束特征等，把单元划分为各种类型。
节点一般都在单元边界上，节点的位移分量是作为结构的基本未知量。
这样组成的有限单元结合体，在引进等效节点力及节点约束条件后，由于节点数目有限，就成为具有有限自由度的有限元计算模型，它替代了原来具有无限多自由度的连续体。
图1 二维有限元离散图
1
在此基础上，对每一单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数来近似模拟其位移分量的分布规律，即选择位移模式，再通过虚功原理(或变分原理或其他方法)求得每个单元的平衡方程，就是建立单元节点力与节点位移之间的关系。
最后，把所有单元的这种特性关系，按照保持节点位移连续和节点力平衡的方式集合起来，就可以得到整个物体的平衡方程组。
引入边界约束条件后，解此方程就求得节点位移，并计算出各单元应力。
完整的有限元分析(FEA)流程图如图2所示。
图2 有限元分析流程
2。
有限元法介绍
有限元法介绍周宇 2012330300302 12机制（1）班理论研究、科学实验以及计算分析是人们进行科学研究和解决实际工程问题的重要手段，随着计算机技术及数值分析方法的发展，以有限元方法为代表的数值计算技术得到越来越广泛的应用。
有限元法是一种高效能、常用的数值计算方法。
科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。
有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。
一、基本思想有限元方法是一种求解复杂对象方程的方法，基本思想来源于“化整为零”、“化弧为直”的直观思路，将实体的对象分割成不同大小、种类、小区域称为有限元。
根据不同领域的需求推导出每一个元素的作用力方程，组合整个系统的元素并构成系统方程组，最后将方程组求解。
由有限元的发展，该法具有下列的特色：1、整个系统散为有限个元素；2、利用能量最低原理与泛函数值定理（见附录）转换成一组线性联立方程；3、处理过程简明；4、整个区域左离散处理，需庞大的资料输出空间与计算机内存，解题耗时；5、线性、非线性均适用；6、无限区域的问题较难仿真。
二、基本概念1、有限元法是把分析的连续体假想地分割成有限个单元所组合成的组合体；2、这些单元仅在顶角处相互联接，这些联接点称为结点。
离散化的组合体和真实的弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。
但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠——单元之间只能通过结点来传递内力。
通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的载荷称为结点载荷。
当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，称为结点位移。
在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。
并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理（见附录）或其他方法，建立结点里与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。
有限元法的基本概念和特点
边界条件和载荷对分析结果的影 响
边界条件和载荷的设置直接影响分析结果 的精度和可靠性，因此需要仔细考虑和验 证。
03 有限元法的特点
适应性
有限元法能够适应各种复杂形状和边 界条件，通过将连续的求解域离散化 为有限个小的单元，实现对复杂问题 的近似求解。
有限元法的适应性表现在其能够处理 不规则区域、断裂、孔洞等复杂结构 ，并且可以根据需要自由地组合和修 改单元，以适应不同的求解需求。
降低制造成本。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
通过将不同物理场（如结构、流体、电磁等）耦 合在一起，可以更准确地模拟复杂系统的行为。
多物理场耦合分析将为解决复杂工程问题提供更 全面的解决方案面具有重要作用。
通过先进的建模技术和优化 算法，可以更有效地设计出 高性能、轻量化的结构。
有限元法在结构优化方面的应 用将有助于提高产品的性能和
近似性
利用数学近似方法对每个单元体的行 为进行描述，通过求解代数方程组来 获得近似解。
通用性
适用于各种复杂的几何形状和边界条 件，可以处理多种物理场耦合的问题。
高效性
通过计算机实现，能够处理大规模问 题，提高计算效率和精度。
02 有限元法的基本概念
离散化
离散化
将连续的物理系统分割成有限个小的、相互连接的单元，每个单 元称为“有限元”。
随着计算机技术的发展，有限元法的精度不断提高，对于一些高精度要求的问题 ，有限元法已经成为一种重要的数值分析工具。
04 有限元法的应用领域
工程结构分析
01
02
03
结构强度分析
通过有限元法，可以对工 程结构进行强度分析，评 估其在各种载荷条件下的 稳定性。
工程电磁场数值分析(有限元法)
04
有限元法在工程电磁场中的应用
静电场问题
总结词
有限元法在静电场问题中应用广泛，能够准确模拟和预测静电场 的分布和特性。
详细描述
静电场问题是指电荷在静止状态下产生的电场，有限元法通过将 连续的静电场离散化为有限个单元，对每个单元进行数学建模和 求解，能够得到精确的解。这种方法在电力设备设计、电磁兼容 性分析等领域具有重要应用。
单元分析
对每个单元进行数学建模，包 括建立单元的平衡方程、边界 条件和连接条件等。
整体分析
将所有单元的平衡方程和连接 条件组合起来，形成整体的代 数方程组。
求解代数方程组
通过求解代数方程组得到离散 点的场量值。
有限元法的优势和局限性
02
01
03
优势 可以处理复杂的几何形状和边界条件。 可以处理非线性问题和时变问题。
传统解析方法难以解决复杂电磁场问题，需要采用数值分析方法 进行求解。
有限元法的概述
有限元法是一种基于离散化的数值分 析方法，它将连续的求解域离散为有 限个小的单元，通过求解这些单元的 近似解来逼近原问题的解。
有限元法具有适应性强、精度高、计 算量小等优点，广泛应用于工程电磁 场问题的数值分析。
02
静磁场问题
总结词
有限元法在静磁场问题中同样适用，能够有效地解决磁场分布、磁力线走向等问题。
详细描述
静磁场问题是指恒定磁场，不随时间变化的磁场问题。有限元法通过将磁场离散化为有限个磁偶极子，对每个磁 偶极子进行数学建模和求解，能够得到静磁场的分布和特性。这种方法在电机设计、磁力泵设计等领域具有重要 应用。
有限元法的基本步骤
01
第五章偏微分方程的有限元法
有限元空间与基函数
针对椭圆型方程的特点，构造适当的有限元空间及 基函数，使得近似解能够较好地逼近真实解。
刚度矩阵与载荷向量
利用有限元基函数对椭圆型方程进行离散化 ，得到以刚度矩阵和载荷向量为未知量的线 性方程组。
抛物型偏微分方程的有限元法
时间离散与空间离散
抛物型偏微分方程涉及时间变量，需要采用合适的时间离散方案， 并结合空间有限元离散进行求解。
刚度矩阵反映了单元内部节点间的相 互作用力，需要根据形函数和单元刚 度矩阵进行组装得到整体刚度矩阵。
载荷向量组装
载荷向量反映了作用在节点上的外力 ，需要根据形函数和节点载荷进行组 装得到整体载荷向量。
边界条件处理与方程求解
边界条件处理
对于给定的边界条件，需要在整体刚度矩阵 和载荷向量中进行相应的处理，以保证求解 的正确性。常见的边界条件有Dirichlet边界 条件和Neumann边界条件。
分片插值
在每个单元内，选择基函数，用 单元基函数的线形组合来逼近单 元中的真解。
求解线性方程组
将问题的控制方程转化为等效的 线性方程组进行求解，得到每个 节点的待求量。
有限元法的发展历程
起源
有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其 方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。
素。
有限元法的实现过
04
程
网格划分与单元构造
网格划分
将求解区域划分为有限个互不重叠的子 区域，即单元。常见的网格划分方法有 结构化网格和非结构化网格。
VS
单元构造
对于每个单元，需要确定其形状、大小、 节点数及节点坐标等信息。常见的单元类 型有三角形、四边形、四面体等。
《有限元基本原理》课件
有限元法的历史与发展
01
有限元法的思想起源于20世纪40年代，但直到1960年 才由美国科学家克拉夫（Clough）正式提出“有限元 法”这一术语。
02
随着计算机技术的发展，有限元法得到了广泛应用和推 广，成为工程领域中解决复杂问题的有力工具。
03
近年来，随着计算能力的提升和算法优化，有限元法的 应用范围不断扩大，涉及的领域也更加广泛。
有限元法的基本思想
01
将连续体离散化为有限个单元，每个单元具 有简单的几何形状和物理属性。
03
02
通过在节点处设置位移约束，将各个单元相 互连接，形成一个整体模型。
通过在各个单元上设置方程，建立整个离散 化模型的平衡方程组。
高阶有限元方法
与其他方法的结合
研究高阶有限元方法，以提高计算的精度 和稳定性。
研究有限元方法与其他数值方法的结合， 如有限差分法、有限体积法等，以拓展其 应用范围。
谢谢聆听
04 有限元法的应用实例
静力分析实例
总结词
静力分析是有限元法最常用的领域之一，主要用于分析结构在恒定载荷下的响应。
详细描述
静力分析用于评估结构在恒定载荷下的应力、应变和位移。例如，桥梁、高层建筑和飞机机身等结构 的稳定性分析。通过有限元法，可以模拟复杂结构的整体行为，并预测其在各种载荷条件下的性能。
动力分析实例
总结词
动力分析涉及结构在动态载荷下的响应 ，如地震、风载和冲击载荷等。
VS
详细描述
动力分析用于评估结构在动态载荷作用下 的振动、冲击和响应。例如，地震工程中 建筑物和桥梁的抗震性能分析。通过有限 元法，可以模拟结构的动态行为，预测其 在地震或其他动态载荷下的破坏模式和倒 塌过程。
有限元法_精品文档
12
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
有限元
但在 23 边两端节点仅有二个节点法向导数值，不能唯
一确定 的二次函数，它与单元另一个节点 1 处的变
形有关。
2.2单元刚度矩阵
• 与上节矩形板弯曲单元的推导过程一样，单元刚度矩阵［k］的 计算公式是
• 式中
（2.7）
考虑到
式中
为常数矩阵，上式可改写为
（2.8）
式中
• 根据面积坐标求导公式
• 和
确定。由此证明，相邻单元在共同边界上位移连续， 在单元边界上由于法向
导数是 y(或 x)的三次多项式，而边界两端的两个节点上仅已知两个法向导数，
不能维一确定法向导数，故相邻单元在共同边界上法向导数不连续。
• 将节点坐标 1(-a,-b),2(a,-b),3(a,b),4(-a,b)代入挠度表达式(1.2)及其转 角表达式 中，列出各节点挠度值及转角值与待定系数
• 等等，代回(2.9)式得
（2.11）
左侧小孔固定 右侧小孔下侧受 压力作用
这是一个直角 支架的结构静 力分析的例子
ANSYS中支 架计算模型
ANSYS中计算 模型的网格划 分图
支架应力
彩图
• 及(1.9)式，得内力列阵
（1.14）
式中 为内力矩阵。弹性矩阵 见上页式，
见(1.8)式。 。再由(1.14)
求解线性方程组，就可得到单元节点位移列阵
式求出内力列阵
有 x、y坐标变量，因此内力列阵 有关。
。值得指出的是， 矩阵内含
与计算点的坐标值 x、y
有了计算点(x,y)处的内力列阵，就可计算该处的应力列阵 ｛σ｝，考虑到在板表面 处有最大应力，因此
是保证刚体运动条件所必需的，中间三项
是保证常曲
有限单元法知识点总结
有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。
有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。
有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。
2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。
离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。
加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。
形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。
3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。
建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。
建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。
施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。
求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。
后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。
4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。
结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。
板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。
梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。
壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。
体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。
5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。
第一章概述 有限元法基本原理及应用课件
第一章 概述
有限元法的基本思想 有限元法的特点 有限元法的发展及其应用领域
1.1有限元法的基本思想
2．有限元法是一种应用已知求解未知的思想
在弹性力学领域，已经能用数学偏微分方程将问 题加以表达，但是运用解析方法求解这些方程有时会 很难甚至无法求解。而有限元法是应用人们对事物规 律的已有认识并结合研究对象的各种约束条件，组织 一个运用已知的参量和规律来求解未知问题的有机过 程。
西班牙的Onate E和波兰的Rojek J将DEM 和FEM结合解决地质 力学中的动态分析问题；
瑞典的Birgersson F和英国的Finnveden S针对FEM在频域中的 应用提出了SFEM 。
FEM也从分析比较向优化设计方向发展。印度Mahanty博士用 ANSYS对拖拉机前桥进行优化设计
物体的几何形状可以用大大小小的多种单元进行拼装，所以 有限元法可以分析包括各种特殊结构的复杂结构体。
单元之间材料性质可以有跳跃性的变化，所以能处理许多物 体内部带有间断性的复杂问题，以适应不连续的边界条件和载荷 条件。
三维实体的四面体单元划分
平面问题的四边形单元划分
1.2 有限元法的特点
7．适合计算机的高效计算
20世纪90年代以来，大批FEA系统纷纷向微机移植， 出现了基于各种微机版FEA系统。有限元法向流体力学、 温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算 方面发展，并发展到求解一些交叉学科的问题。
1.3.1 有限元法的发展
3．有限元法的研究现状
美国的HeoFanis Strouboulis等人提出用GFEM 解决 分析域内含有大量孔洞特征的问题；比利时的Nguyen Dang Hung 和越南的Tran Thanh Ngoc 提出用HSM解 决实际开裂问题
有限元法在机械设计中的应用
有限元法在机械设计中的应用1. 引言1.1 有限元法概述有限元法是一种数值模拟方法，被广泛应用于工程领域中各种复杂问题的分析和求解。
其基本思想是利用数学分析的方法将连续的物理问题离散化，将问题转化为有限个简单的子问题，通过计算机对这些子问题进行求解，最终得到整体问题的解。
有限元法通过求解大量的线性或非线性代数方程组来模拟实际工程中的各种物理现象，如结构强度、热传导、流体力学等。
有限元法的应用范围非常广泛，涵盖了各种工程领域，如航空航天、汽车、船舶、建筑等。
在机械设计中，有限元法可以帮助工程师分析和优化产品的结构，预测产品在不同工况下的性能，减少实验测试的成本和时间，提高产品的设计效率和质量。
有限元法不仅可以帮助工程师了解产品的内部应力分布和变形情况，还可以帮助优化产品的结构设计，提高产品的可靠性和安全性。
有限元法在机械设计中的应用具有非常重要的意义，可以有效地帮助工程师解决复杂的工程问题，提高产品的设计水平和竞争力。
掌握和应用有限元法成为现代机械设计工程师的基本技能之一。
1.2 机械设计中的应用意义1. 提高设计效率：有限元法可以在数字化模型上进行快速、准确的分析，能够更好地理解和评估结构的工作性能，帮助设计人员快速找到问题，提高设计效率。
2. 降低设计成本：通过有限元法进行仿真分析，可以及早发现设计缺陷和问题，避免在实际制造过程中出现不必要的成本支出，从而降低设计成本。
3. 提高产品质量：有限元法可以帮助设计人员优化结构设计，提高产品的稳定性和可靠性，避免产品在使用中出现故障，提高产品质量。
4. 支持创新设计：有限元法能够帮助设计人员进行复杂结构的分析和优化，促进产品创新设计，推动技术的进步和发展。
有限元法在机械设计中的应用意义是不可替代的。
它不仅可以帮助设计人员更好地理解和评估结构性能，提高设计效率和质量，还能够支持创新设计，推动行业技术的发展和进步。
掌握有限元法在机械设计中的应用是设计人员必备的技能之一。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有限元法的概述
有限元方法(Finite Element Method)是力学，数学物理学，计算方法，计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物。
在人类研究自然界的三大科学研究方法(理论分析，科学试验，科学计算)中，对于大多数新型领域，由于科学理论和科学实践的局限性，科学计算成为一种最重要的研究手段。
在大多数工程研究领域，有限元方法是进行科学计算的重要方法之一;利用有限元方法几乎可以对任意复杂的工程结构进行分析，获取结构的各种机械性能信息，对工程结构进行评判，对工程事故进行分析。
有限元法在设计过程中有极为关键的作用。
人们对各种力学问题进行分析求解，其方法归结起来可以分为解析法(Analytical Method)和数值法(Numeric Method).如果给定一个问题，通过一定的推导可以用具体的表达式来获得问题的解答，这样的求解方法就称为解析法。
但是由于实际结构物的复杂性，除了少数极其简单的问题外，绝大多数科学研究和工程计算问题用解析法求解式极其困难的。
因此，数值法求解便成为了一种不可替代的广泛应用的方法，并取得了不断的发展，如有限元法，有限差分法，边界元方法等都是属于数值求解方法。
其中有限元法式 20 世纪中期伴随着计算机技术的发展而迅速发展起来的一种数值分析方法，它的数学逻辑严谨，物理概念清晰，应用非常广泛，能活灵活现处理和求解各种复杂的问题。
有限元方法采用矩阵式来表达基本公式，便于计算机编程，这些优点赋予了它强大的生命力。
有限元方法的实质是将复杂的连续体划分成为有限多个简单的单元体，化无限自由度问题为优先自由度问题，将连续场函数的(偏)微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。
用有限元方法分析工程结构的问题时，将一个理想体离散化后，如何保证其数值的收敛性和稳定性是有限元理论讨论的主要内容之一，而
数值解的收敛性与单元的划分及单元形状有关。
在求解过程中，通常以位移为基本变量，使用虚位移原理或最小是能原理来求解。
有限元方法的基本思想先化整为零，再积零为整，也就是把一个连续体认为分割成有限个单元;即把一个结构看成由若干通过结点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构进行整体分析。
从数学的角度上看，有限元方法是将一个偏微分方程化成一个代数方程组，然后利用计算机进行求解的方法。
由于有限元法采用了矩阵方法，因此借助计算机可以很方便的快速进行计算。