九年级下数学相似三角形经典习题(含答案)

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九年级数学下册《第二十七章 相似三角形》练习题附答案解析-人教版

九年级数学下册《第二十七章 相似三角形》练习题附答案解析-人教版

九年级数学下册《第二十七章 相似三角形》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名:___________考号:____________一、单选题1.如图,锐角ABC ,P 是AB 边上异于A 、B 的一点,过点P 作直线截ABC ,所截得的三角形与原ABC 相似,满足这样条件的直线共有( )条.A .1B .2C .3D .42.如图,正方形ABCD 中,E 是CD 的中点,P 是BC 边上的一点,下列条件中,不能推出ABP 与ECP △相似的是( )A .APB EPC ∠=∠ B .90APE ∠= C .P 是BC 的中点D .:2:3BP BC =3.如图,在△ABC 中,D 、E 分别在BA 、CA 的延长线上,且DE ∥BC ,下列比例式成立的是( )A .AD DE DB BC = B .AD DE AB BC = C .AD AE DB AC = D .AD AB AE EC= 4.下列说法正确的是( )A .两个直角三角形相似B .两条边对应成比例,一组对应角相等的两个三角形相似C .有一个角为40°的两个等腰三角形相似D .有一个角为100°的两个等腰三角形相似5.如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,以点A 为圆心,以AB 的长为半径作弧交AC 于点D ,连接BD ,再分别以点B ,D 为圆心,大于12BD 的长为半径作弧,两弧交于点P ,作射线AP 交BC 于点E ,连接DE ,则下列结论正确的是( )A .DE 垂直平分ACB .△ABE ∽△CBAC .2BD BC BE =⋅ D .CE AB BE CA ⋅=⋅6.已知△ABC 如图,则下列4个三角形中,与△ABC 相似的是( )A .B .C .D .7.如图,在Rt ABC ∆中90C ∠=︒,30B ∠=︒且8AB =,点P 是边BC 上一动点,点D 在边AB 上,且14BD AB = 则PA PD +的最小值为( )A .8B .C .D二、解答题8.如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,AD =BD .(1)求证:△ABC ∽△BDC .(2)若∠C =90°,BC =2,求AB 的长.9.如图,在ABC 中,点D 、点E 分别在AC 、AB 上,点P 是BD 上的一点,联结EP 并延长交AC 于点F ,且A EPB ECB ∠=∠=∠.(1)求证:BE BA BP BD ⋅=⋅(2)若90ACB ∠=︒,求证:CP BD ⊥10.同学们还记得吗?图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形.受这两个图形的启发,数学兴趣小组提出了以下三个问题,请你回答:(1)【问题一】如图①,正方形ABCD 的对角线相交于点O ,点O 又是正方形111A B C O 的一个顶点,1OA 交AB于点E ,1OC 交BC 于点F ,则AE 与BF 的数量关系为_________;(2)【问题二】受图①启发,兴趣小组画出了图③:直线m 、n 经过正方形ABCD 的对称中心O ,直线m 分别与AD 、BC 交于点E 、F ,直线n 分别与AB 、CD 交于点G 、H ,且m n ⊥,若正方形ABCD 边长为8,求四边形OEAG 的面积;(3)【问题三】受图②启发,兴趣小组画出了图④:正方形CEFG 的顶点G 在正方形ABCD 的边CD 上,顶点E 在BC 的延长线上,且6BC =,2CE =在直线BE 上是否存在点P ,使APF 为直角三角形?若存在,求出BP 的长度;若不存在,说明理由.11.在平面直角坐标系中,矩形OACB 的顶点O 在坐标原点,顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,A (3,0),B (0,4),D 为边OB 的中点.(1)若E 为边OA 上的一个动点,求CDE 的周长最小值;(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点,且EF =1,当四边形CDEF 的周长最小时,求点E 、F 的坐标.12.图,点P ,M ,N 分别在等边△ABC 的各边上,且MP ⊥AB 于点P ,MN ⊥BC 于点M ,PN ⊥AC 于点N .(1)求证:△PMN是等边三角形;(2)若AB=12cm,求CM的长.三、填空题13.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,如果要使△ABC∽△ADC,那么还要补充的一个条件是________.(只要求写出一个条件即可)14.如图,四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O,CA平分∠BCD,若四边形ABCD的面积是30cm2,则AC=______cm.参考答案与解析1.D【分析】本题可以分两种方法,第一种:利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所截得的三角形与原三角形相似的判定定理,过点P分别做AC与BC的平行线.第二种:利用两边对应成相等比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理,过P分别做PE交AC或交BC于点E,使使AE:AB=AP:AC或使BP:CB=BE:AB,夹角是公共角∠A或∠B.【详解】(1)如图1,作PE 平行于BC ,则△APE △ABC ,(2)如图2,作PE 平行于AC ,则△BPE △BAC ,(3)如图3,作PE ,使AE :AB =AP :AC ,此时∠A.是公共角,△APE △ACB ,(4)如图4,作PE ,使BP :CB =BE :AB .此时∠B 是公共角,△PEB △ACB所以共有四种画法,即四条直线满足条件,故选D .【点睛】本题综合考查了平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所截得的三角形与原三角形相似的判定定理与两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理,熟练掌握是解题关键.2.C【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可.【详解】A .APB EPC ∠=∠根据正方形性质得到∠B =∠C ,可以得到ABP ∆∽ECP △,不合题意;B.90APE ︒∠=根据正方形性质得到∠B =∠C ,根据同角的余角相等,得到APB PEC ∠=∠,从而有ABP ∆∽PCE ,不合题意;C .P 是BC 的中点,无法判断ABP ∆与ECP △相似,符合题意;D .:2:3BP BC = 根据正方形性质得到::3:2AB BP EC PC ==,又∵∠B =∠C ,则ABP ∆∽ECP △,不合题意.故选:C【点睛】本题考查相似三角形的判定定理,熟练掌握判定定理是解题关键.3.B【分析】利用平行线分线段成比例和相似三角形的性质可逐一判断.【详解】解:∵DE ∥BC∴AD AE DB EC =,故C 错误; ∴AD DB AE EC=,故D 错误; ∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC∴AD DE AB BC =,故B 正确,A 错误 故选:B .【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例,相似三角形的判定与性质,利用相似三角形的性质是解题的关键.4.D【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可得解.【详解】解:A 、∵两个直角三角形只有一组角相等∴两个直角三角形不一定相似,故选项A 不合题意;B 、∵两条边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似∴两条边对应成比例,一组对应角相等的两个三角形不一定相似故选项B 不合题意;C 、∵底角为40°的等腰三角形和顶角为40°的等腰三角形不相似∴有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似,故选项C 不合题意;D 、∵有一个角为100°的两个等腰三角形相似∴选项D 符合题意;故选:D .【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.5.D【分析】根据作图可知AP 是BAC ∠的角平分线AB AD =,根据SAS 证明ABE ADE ≌,可得EB ED = 90ADE ABE ∠=∠=︒根据面积法可得11221122ABE AEC AB BE AB BE SS AC DE AB EC ⋅⋅==⋅⋅,可得AB BE AC EC =即可判断D 选项正确,其他选项无法证明.【详解】解:根据作图可知AP 是BAC ∠的角平分线,AB AD =∴EAB EAD ∠=∠在ABE △与ADE 中AE AE EAB EAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ADE ≌∴EB ED =90ABC ∠=︒∴90ADE ABE ∠=∠=︒∴,BE AB ED C ⊥⊥11221122ABE AEC AB BE AB BE SS AC DE AB EC ⋅⋅==⋅⋅ ∴AB BE AC EC= 即CE AB BE CA ⋅=⋅.A,B,C 选项无法证明.故选:D .【点睛】本题考查了作角平分线,全等三角形的性质与判定,三角形面积公式,证明两三角形相似,垂直平分线的性质,理解基本作图是解题的关键.6.D【分析】由题意知△ABC 是等腰三角形,底角是75°,则顶角是30°,看各个选项是否符合相似的条件.【详解】解:∵由图可知,AB =AC =6,∠B =75°∴∠C =75°,∠A =30°A 、三角形各角的度数都是60°B 、三角形各角的度数分别为75°,52.5°,52.5°C 、三角形各角的度数分别为40°,70°,70°D 、三角形各角的度数分别为75°,30°,75°∴只有D 选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等故选:D .【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质,三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握.7.C【分析】延长AC 到点A ',使得AC CA =',连接A D ',A P '过D 作DE AC ⊥于点E ,则PA PD PA PD A D +='+'当点A '、P 、D 三点共线时PA PD A D +='为最小值,求得A D '的值便可.【详解】解:延长AC 到点A',使得AC CA =',再连接A D ',A P '过D 作DE AC ⊥于点E ,如图90ACB ∠=︒,30B ∠=︒且8AB =142A C AC AB ∴'===BC ∴==14=BD AB ∴34AD AB = DE AC ⊥ 90ACB ∠=︒DE BC ∴∥∴AED ACB ∽∴34AE DE AD AC BC AB === 334AE AC ∴== 34DE BC ==4435A E AA AE ∴'='-=+-=A D ∴'PA PD PA PD A D +='+'∴当点A '、P 、D 三点共线时,取等号∴PA PD A D +='=PA PD +的最小值.故选:C .【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题,含30°角的直角三角形的性质,勾股定理、相似三角形的判定与性质,解题的关键是掌握求PA PD +的最小值的方法.8.(1)见解析;(2)4.【分析】(1)先证明∠A =∠DBA ,进而得到∠A =∠CBD ,再根据∠C =∠C ,即可证明△ABC ∽△BDC ;(2)根据∠C=90°得到∠A+∠ABC=90°,根据(1)得到∠A =∠ABD=∠CBD,即可求出∠A=30°,即可求出AB=4.(1)证明:如图,∵AD=BD∴∠A=∠DBA∵BD平分∠ABC交AC于点D∴∠CBD=∠DBA∴∠A=∠CBD∵∠C=∠C∴△ABC∽△BDC;(2)解:如图,∵∠C=90°∴∠A+∠ABC=90°由(1)得∴∠A =∠ABD=∠CBD∴∠A+∠ABD+∠CBD=3∠A=90°∴∠A=30°∵BC=2∴AB=4.【点睛】本题考查了相似三角形的证明和直角三角形的性质,熟知相似三角形的判定方法是解题关键,第(2)步中求出∠A=30°是解题关键.9.(1)见解析(2)见解析【分析】(1)证明PBE △和ABD △相似,即可证明.(2)先证明ABC ∽CBE △,再证明PBC ∽CBD △,得到90BPC BCD ∠=∠=︒,即可证明.(1)证明:A EPB ∠=∠ PBE ABD ∠=∠PBE ∴∽ABD △ ∴BE BP BD BA= BE BA BP BD ∴⋅=⋅.(2)证明:A ECB ∠=∠ ABC CBE ∠=∠ABC ∴∽CBE △BC BA BE BC∴= 2BE BA BC ∴⋅=又∵BE BA BP BD ⋅=⋅2BC BP BD ∴=⋅BC BP BD BC∴= PBC CBD ∠=∠PBC ∴△∽CBD △90ACB ∠=︒90BPC BCD ∴∠=∠=︒CP BD ∴⊥.【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质,解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出相应的比例式,再经过适当的变形使所得的比例式符合“两边成比例且夹角相等”的形式.10.(1)AE BF =(2)16(3)BP 的长度为2或3或6或7.【分析】(1)由正方形的性质可得,BAO OBC AO BO ∠=∠=,AOE BOF ∠=∠根据ASA 可证AOE BOF ∆≅∆ 由全等三角形的性质可得结论;(2) 过点O 作,MN AB ∥交AD 于点M ,交BC 于点N ,作.TR AD ∥交AB 于点T ,交CD 于点R ,证明△OME OTG ≅∆,进而证明16ATOM AEOG S S ==正方形四边形;(3)分三种情况:利用三垂线构造出相似三角形,得出比例式求解,即可求出答案.(1)∵四边形ABCD 是正方形∴∠90BAD ABC ︒=∠=∵,AC BD 是对角线 ∴∠11,,22BAO BAD OBF ABC AC BD =∠∠=∠= ∴∠11,,9022BAO OBC AO BO AC BD AOB ︒=∠===∠= ∵四边形111A B C O 是正方形∴∠1190A OC ︒=∴∠1190AOB BOC ︒+∠= 又∠1190AOA A OB ︒+∠=∴AOE BOF ∠=∠∴AOE BOF ∆≅∆∴AE BF =故答案为: AE BF =(2)过点O 作,MN AB ∥交AD 于点M ,交BC 于点N ,作.TR AD ∥交AB 于点T ,交CD 于点R ,如图∵点O 是正方形ABCD 的中心∴11=,22AT TO OM MA AB AD ==== 又∠A =90°∴四边形ATOM 是正方形 ∴21116,44ATOM ABCD S S AB ===正方形正方形 同(1)可证△.OME OTG ≅∆∴16ATOM AEOG S S ==正方形四边形(3)解:在直线BE 上存在点P ,使△APF 为直角三角形①当∠AFP =90°时,如图④,延长EF ,AD 相交于点Q∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形∴EQ =AB =6,∠BAD =∠B =∠E =90°∴四边形ABEQ 是矩形∴AQ =BE =BC +CE =8,EQ =AB =6,∠Q =90°=∠E∴∠EFP +∠EPF =90∵∠AFP =90°∴∠EFP +∠AFQ =90°∴△EFP ∽△QAF∴EP EF QF AQ = ∵QF =EQ -EF =4∴248EP = ∴EP =1∴BP =BE -EP =7;②当∠APF =90°时,如图⑤同①的方法得,△ABP∽△PEF∴AB BP PE EF=∵PE=BE-BP=8-BP∴682BPBP=-∴BP=2或BP=6;③当∠PAF=90°时,如图⑥过点P作AB的平行线交DA的延长线于M,延长EF,AD相交于N 同①的方法得,四边形ABPM是矩形∴PM=AB=6,AM=BP,∠M=90°同①的方法得,四边形ABEN是矩形∴AN=BE=8,EN=AB=6∴FN=EN-EF=4同①的方法得,△AMP∽△FNA∴PM AM AN FN=∴684AM =∴AM=3∴BP =3即BP 的长度为2或3或6或7.【点睛】此题是几何变换综合题,主要考查了正方形的性质,矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键.11.(2)2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】(1)作点D 关于x 轴的对称点D ,连接CD '与x 轴交于点E ,连接DE ,先求出直线CD '的关系式,得出点E 的坐标,求出AE =2,根据勾股定理求出CD =DE =CE =(2)将点D 向右平移1个单位得到1,2D '(),作D 关于x 轴的对称点1,2D ''-(),连接CD ''交x 轴于点F ,将点F 向左平移1个单位到点E ,此时点E 和点F 为所求作的点,用待定系数法求出CD ''的关系式,然后求出与x 轴的交点坐标,即可得出答案.(1)解:如图,作点D 关于x 轴的对称点D ,连接CD '与x 轴交于点E ,连接DE ,由模型可知CDE 的周长最小∵在矩形OACB 中,OA =3,OB =4,D 为OB 的中点∴D (0,2),C (3,4)和02D '-(,)设直线CD '为y =kx +b ,把C (3,4),02D '-(,)代入得34k b =+,2b =-解得k =2和2b =-∴直线CD '为22y x =-令y =0,得x =1∴点E 的坐标为(1,0).∴OE =1,AE =2利用勾股定理得CD =DE =CE =∴△CDE =(2)解:如图,将点D 向右平移1个单位得到1,2D '(),作D 关于x 轴的对称点1,2D ''-(),连接CD ''交x 轴于点F ,将点F 向左平移1个单位到点E ,此时点E 和点F 为所求作的点,连接D F '',此时四边形CDEF 周长最小理由如下:∵四边形CDEF 的周长为CD +DE +EF +CF ,CD 与EF 是定值∴DE +CF 最小时,四边形CDEF 周长最小∵DD EF '∥,且DD EF '=∴四边形DD FE '为平行四边形∴DE D F '=根据轴对称可知D F D F '''=∴DE CF D F CF FD CF CD '''''===+++设直线CD ''的解析式为y =kx +b ,把C (3,4),1,2D ''-()代入得342k b k b =⎧⎨=-⎩++,解得35k b =⎧⎨=-⎩∴直线CD ''的解析式为35y x =-令y =0,得53x =∴点F 坐标为5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭∴点E 坐标为2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质,将军饮马问题,根据题意作出辅助线,找出最短时动点的位置,是解题的关键.12.(1)见解析(2)4cm【分析】(1)根据等边三角形的性质得出A B C ∠=∠=∠进而得出===90MPB NMC PNA ∠∠∠︒再根据平角的意义即可得出NPM PMN MNP ∠=∠=∠即可证得PMN △是等边三角形;(2)易证得PBM MCN NAP ≌≌,得出PA BM CN ==,PB MC AN ==从而求得12BM PB AB +==cm 根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB BM =,即可求得PB 的长,进而得出CM 的长.(1)证明:∵ABC 是正三角形∴A B C ∠∠∠==.∵MP AB ⊥,MN BC ⊥且PN AC ⊥∴90MPB NMC PNA∠∠∠︒=== ∴PMB MNC APN ∠∠∠==∴NPM PMN MNP ∠∠∠==∴ABC 是等边三角形;(2)解:∵PMN △是等边三角形,ABC 是正三角形∴PM MN NP == ===60B C A ∠∠∠︒在PBM 和MCN △中===90=B C BPM CMN PM MN ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴()PBM MCN AAS ≌在MCN △和NAP 中===90=C A CMN ANP MN NP ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴()MCN NAP AAS ≌同理可得()PBM NAP AAS ≌∴()PBM MCN NAP AAS ≌≌∴PABM CN == PB MC AN == ∴12BM PB AB +==cm∵△ABC 是正三角形∴60AB C ∠∠∠︒=== ∴2PB BM =∴212PB PB +=cm∴4PB =cm∴4MC =cm .【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质,平角的意义,三角形全等的判定和性质等,得出NPM PMN MNP ∠=∠=∠是本题的关键.13.B DCA ∠=∠或BAC D ∠=∠或AD AC AC BC(答案不唯一) 【分析】先由AD ∥BC ,得到∠DAC =∠ACB ,然后利用相似三角形的判定定理,做题即可.【详解】解:∵AD ∥BC∴∠DAC =∠ACB∴当∠B =∠DCA 或∠BAC =∠D 或AD AC AC BC∴都可得相似.故答案为:∠B =∠DCA 或∠BAC =∠D 或AD AC AC BC (答案不唯一). 【点睛】此题考查了相似三角形的判定,熟知相似三角形的判定条件是解题的关键:①如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;②如果两个三角形的两条对应边的比相等,且夹角相等,那么这两个三角形相似;③如果两个三角形的两个对应角相等,那么这两个三角形相似.平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似.14.【分析】过A 点作AE ⊥AC ,交CD 的延长线与点E ,证明△ABC ≌△ADE ,从而得到四边形ABCD 的面积等于△ACE 的面积,然后证明出△ACE 是等腰直角三角形,根据三角形的面积公式即可求出AC 的长度.【详解】如图,过A 点作AE ⊥AC ,交CD 的延长线与点E .∵BD 为⊙O 的直径∴∠BAD =∠BCD =90°∵CA 平分∠BCD∴∠BCA =∠ACD =45°∴∠E =∠ACD =45°∴AC =AE∵AE ⊥AC∴∠CAE =90°∴∠CAD +∠DAE =90°又∵∠BAC +∠CAD =90°∴∠BAC =∠DAE又∵∠BCA =∠E =45°在△ABC ≌△ADE 中BCA E AC AEBAC DAE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩=== ∴△ABC ≌△ADE (ASA )∴=ABC ADE SS ∴四边形==30ADE ABCD SS ∴21302=AC ∴=AC故答案为:【点睛】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质,关键在于运用转化思想,将四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积.。

人教版九年级下册数学 27.2相似三角形 同步练习(含解析)

人教版九年级下册数学 27.2相似三角形 同步练习(含解析)

27.2相似三角形同步练习一.选择题1.如图,△ABC∽△DCA,∠B=33°,∠D=117°,则∠BAD的度数是()A.150°B.147°C.135°D.120°2.两个相似三角形对应角平分线的比为4:3,那么这两个三角形的面积的比是()A.2:3B.4:9C.16:36D.16:93.下列条件中,不能判断△ABC与△DEF相似的是()A.∠A=∠D,∠B=∠F B.且∠B=∠DC.D.且∠A=∠D4.如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,下列条件中能判断△ABC∽△AED 的是()①∠AED=∠B;②∠ADE=∠C;③=;④=.A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④5.如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE:EC=5:2,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为()A.5:7B.10:4C.25:4D.25:496.已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上,则下列判断正确的是()A.若△AEF与△ABC相似,则EF∥BCB.若AE×BE=AF×FC,则△AEF与△ABC相似C.若,则△AEF与△ABC相似D.若AF•BE=AE•FC,则△AEF与△ABC相似7.如图,在△ABC,D是BC上一点,BD:CD=1:2,E是AD上一点,DE:AE=1:2,连接CE,CE的延长线交AB于F,则AF:AB为()A.1:2B.2:3C.4:3D.4:78.如图,在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则△DEF与四边形EFCO的面积比为()A.1:4B.1:5C.1:6D.1:79.如图,AD∥BC,∠D=90°,AD=3,BC=4,DC=6,若在边DC上有点P,使△P AD 与△PBC相似,则这样的点P有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个10.如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC于F,连接DF,若BF=,BC =3,则DF=()A.4B.3C.2D.二.填空题11.已知△ABC∽△A′B′C′,且AB=3cm,A′B′=5cm,则相似比为.12.如图,△ABC中,CA=CB,点E在BC边上,点D在AC边上,连接AE、DE,若AB =AE,2∠AEB+∠ADE=180°,BE=8,CD=,则CE=.13.如图,在△ABC中,若DE∥BC,EF∥CD,AE=2EC,则AF:FD:DB=.14.如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且DE∥AC,AE、CD相交于点O,若S△DOE:S△COA=1:25,则的值是.15.如图,在矩形ABCD中,AD=2,AB=4,E、F分别是AB、CD边上的动点,EF⊥AC,则AF+CE的最小值为.三.解答题16.如图,点P是菱形ABCD的对角线AC上一点,连接DP并延长,交AB于点F,交CB 的延长线于点E.求证:(1)△APB≌△APD;(2)PD2=PE•PF.17.如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,DE、BC的延长线相交于点F,且EF•DF=CF•BF.求证:△CAB∽△DAE.18.如图,AF,AG分别是△ABC和△ADE的高,∠BAF=∠DAG.(1)求证:△ABC∽△ADE;(2)若DE=3,,求BC的长.参考答案一.选择题1.解:∵△ABC∽△DCA,∴∠BAC=∠D=117°,∠DAC=∠B=33°,∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=150°,故选:A.2.解:∵两个相似三角形对应角平分线的比为4:3,∴它们的相似比为4:3,∴它们的面积比为16:9.故选:D.3.解:A、∠A=∠D,∠B=∠F,可以得出△ABC∽△DFE,故此选项不合题意;B、=且∠B=∠D,不是两边成比例且夹角相等,故此选项符合题意;C、==,可以得出△ABC∽△DEF,故此选项不合题意;D、=且∠A=∠D,可以得出△ABC∽△DEF,故此选项不合题意;故选:B.4.解:∵∠A=∠A,∴∠AED=∠B或∠ADE=∠C时,△ABC∽△AED.∵=,∴=∵∠A=∠A,∴△ABC∽△AED,故①②③可以判断三角形相似,故选:B.5.解:设DE=5k,EC=2k,则CD=7k,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=7k,DE∥AB,∴△DEF∽△BAF,∴===,故选:D.6.解:选项A错误,∵△AEF与△ABC相似,可能是∠AEF=∠C,推不出EF∥BC.选项B错误,由AE×BE=AF×FC,推不出△AEF与△ABC相似.选项C错误,由,推不出△AEF与△ABC相似.选项D正确.理由:∵AF•BE=AE•FC,∴=,∴EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.故选:D.7.解:过D作DH∥AB交CF于H,如图,∵DH∥BF,∴=,∵BD:CD=1:2,∴CD:BC=2:3,∴BF=DH,∵DH∥AF,∴==2,∴AF=2DH,∴AF:BF=2DH:DH=4:3,∴AF:AB=4:7.故选:D.8.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BO=DO,AB∥CD,∵E为OD的中点,∴DE=EO=DO,∴BO=2EO,BE=3DE,∵DF∥AB,∴△DFE∽△BAE,∴=()2=,设S△DEF=x,则S△BEA=9x,∵BO=2OE,∴S△AOB=6x=S△DOC,∴四边形EFCO的面积=5x,∴△DEF与四边形EFCO的面积比=1:5,故选:B.9.解:∵AB⊥BC,∴∠B=90°.∵AD∥BC∴∠A=180°﹣∠B=90°,∴∠P AD=∠PBC=90°.设DP的长为x,则CP长为6﹣x.若AB边上存在P点,使△P AD与△PBC相似,那么分两种情况:①若△APD∽△BPC,则DP:CP=AD:BC,即x:(6﹣x)=3:4,解得:x=②若△APD∽△BPC,则DP:PC=AD:BC,即x:4=3:(6﹣x),整理得:x2﹣6x+12=0,∵△<0,这种情形不存在,∴满足条件的点P的个数是1个,故选:A.10.解:如图,连接BD,∵∠AEF=∠BEA,∠AFE=∠BAE=90°,∴△AEF∽△BEA,∴=,∵AE=ED,∴=,又∵∠FED=∠DEB,∴△FED∽△DEB,∴∠EFD=∠EDB,∵∠EFD+∠DFC=90°,∠EDB+∠ODC=90°,∴∠DFC=∠ODC,∵在矩形ABCD中,OC=AC,OD=BD,AC=BD,∴OD=OC,∴∠OCD=∠ODC,∴∠DFC=∠OCD,∴DF=DC,在Rt△BCF中,FC===2,∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF,∴==,∴AF=FC=,∴AB===3,∴DF=3,故选:B.二.填空题11.解:由题意得,=,∵△ABC∽△A′B′C′,∴△ABC与△A′B′C′的相似比为=,故答案为:.12.解:如图,过点A作AM⊥BE于E,过点D作DN⊥EC于N,∵CA=CB,AB=AE,∴∠B=∠CAB,∠B=∠AEB,∴∠B=∠CAB=∠AEB,∵∠B+∠BAC+∠C=180°,∠B+∠AEB+∠BAE=180°,∴∠C=∠BAE,∴2∠AEB+∠C=180°,又∵2∠AEB+∠ADE=180°,∴∠C=∠ADE,又∵∠ADE=∠C+∠DEC,∴∠C=∠DEC,∴DE=DC=,∵AB=AE,AM⊥BE,DE=CC,DN⊥EC,∴BM=ME=BE=4,EN=NC=EC,AM∥DN,∴△CDN∽△CAM,∴,∴,∴EC=12,EC=﹣5(不合题意舍去),故答案为:12.13.解:∵EF∥CD,AE=2EC,∴==2,∵DE∥BC,∴==2,设DF=m,则AF=2m,AD=3m,DB=m,∴AF:DF:DB=2m:m:m=4:2:3.故答案为:4:2:3.14.解:∵DE∥AC,∴△DOE∽△COA,∴=()2=,∴=,∵DE∥AC,∴△BDE∽△BAC,∴=,∴=,故答案为:.15.解:如图所示:设DF=x,则FC=4﹣x;过点C作CG∥EF,且CG=EF,连接FG,当点A、F、G三点共线时,AF+FG的最值小;∵CG∥EF,且CG=EF,∴四边形CEFG是平行四边形;∴EC∥FG,EC=FG,又∵点A、F、G三点共线,∴AF∥EC,又∵四边形ABCD是矩形,∴AE∥DC,∠D=90°,∴四边形AECF是平行四边形,∴OA=OC,OE=OF,又∵EF⊥AC,AF=CF=4﹣x,在Rt△ADF中,由勾股定理得:AD2+DF2=AF2,又∵AD=2,DF=x,则FC=4﹣x,∴22+x2=(4﹣x)2,解得:x=,∴AF=,在Rt△ADC中,由勾股定理得:AD2+DC2=AC2,∴AC=,∴AO=,又∵OF∥CG,∴△AOF∽△ACG,∴=,∴AG=5,又∵AG=AF+FG,FG=EC,∴AF+EC=5,故答案为5.三.解答题16.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠BAC=∠DAC,在△ABP和△ADP中,,∴△ABP≌△ADP(SAS);(2)∵△ABP≌△ADP,∴PB=PD,∠ADP=∠ABP,∵AD∥BC,∴∠ADP=∠E,∴∠E=∠ABP,又∵∠FPB=∠EPB,∴△EPB∽△BPF,∴,∴PB2=PE•PF,∴PD2=PE•PF.17.证明:∵EF•DF=CF•BF.∴,∵∠EFC=∠BFD,∴△EFC∽△BFD,∴∠CEF=∠B,∴∠B=∠AED,∵∠CAB=∠DAE,∴△CAB∽△DAE.18.(1)证明:∵AF,AG分别是△ABC和△ADE的高,∴AF⊥BC,AG⊥DE,∴∠AFB=90°,∠AGD=90°,∴∠BAF+∠B=90°,∠DAG+∠ADG=90°,∵∠BAF=∠DAG,∴∠B=∠ADG,又∵∠EAD=∠BAC,∴△ABC∽△ADE;(2)解:∵△ADE∽△ABC,∴,∵,BC=3,∴,∴BC=.。

九年级数学相似三角形练习题及答案

九年级数学相似三角形练习题及答案

相似三角形练习题1、如图,当四边形PABN 的周长最小时,a =.2、如图,等腰三角形 ABC 的边AB 长为2 ,DE 是它的中位线,那么下面四个结论: 〔1〕DE=1,〔2〕CDE ∆~CAB ∆,(3)CDE ∆的面积与CAB ∆面积之比为1:4,其中正确的有〔 〕A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 3、如图〔3〕,等腰ABC ∆中,底边BC=a ,A ∠=036,ABC ∠的平分线交AC 于D ,BCD ∠的512k -=,那么DE=( ) A 、2K a B 、3K a C 、2akD 、3a k4、:ABC ∆与DFE ∆相似且面积比为4:25,那么ABC ∆与DFE ∆的相似比为。

5、〔2021年滨州〕如下图,给出以下条件: ①B ACD ∠=∠;②ADC ACB ∠=∠;③AC AB CD BC=;④2AC AD AB =. 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为〔 〕 A .1B .2C .3D .4〔5题图〕〔6题图〕6、2021年XX 市)如图,AB CD EF ∥∥,那么以下结论正确的选项是〔 〕 A .AD BCDF CE=B .BC DFCE AD=C .CD BCEF BE=D .CD ADEF AF=7、(2021XX)△ABC ∽△DEF ,且AB :DE=1:2,那么△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 (A)1:2 (B)1:4 (C)2:1 (D)4:18、〔2021XX 綦江〕假设△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为1∶2,那么△ABC 与△DEF 的周长比为〔 〕 A .1∶4B .1∶2C .2∶1D 2y P (a ,0) N (a +2,A (1,-3)〔1题图〕 B (4,-1)O9、〔2021年XX 市〕如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ,那么x 的值〔 〕 A .只有1个 B .可以有2个 C .有2个以上但有限 D .有无数个10、(2021年XX 市〕如图,菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,M 、N 分别是边AB 、AD 的中点,连接OM 、ON 、MN ,那么以下表达正确的选项是〔 〕A .△AOM 和△AON 都是等边三角形B .四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C .四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D .四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形11、〔2021年XX 省〕如图,在55 方格纸中,将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么,下面的平 移方法中,正确的选项是〔 〕 A .先向下平移3格,再向右平移1格 B .先向下平移2格,再向右平移1格 C .先向下平移2格,再向右平移2格 D .先向下平移3格,再向右平移2格(11题图)〔13题图〕12、(2021年义乌)在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。

人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试(含答案及解析)

人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试(含答案及解析)

人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试(含答案及解析)1 / 17相似三角形的判定测试时间:100分钟 总分: 100一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)1. 如图,在 中,点P 在边AB 上,则在下列四个条件中::;;; ,能满足 与 相似的条件是A. B.C. D.2. 下列 的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则在网格图中的三角形与 相似的是A. B. C. D.3. 如图所示,每个小正方形的边长均为1,则下列A 、B 、C 、D 四个图中的三角形 阴影部分 与 相似的是A. B. C. D.4. 如图,在 中, , ,点D 在AC 上,且,如果要在AB 上找一点E ,使 与 相似,则AE 的长为A. B. C.3D.或5. 如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在BC ,CD 上,且 ,将 绕点A 顺时针旋转 ,使点E落在点处,则下列判断不正确的是A. 是等腰直角三角形B. AF 垂直平分C. ∽D. 是等腰三角形6.如图,在中,点D,E分别在边AB,AC上,下列条件中不能判断 ∽ 的是A.B.C.D.7.如图,点D,E分别在的AB,AC边上,增加下列条件中的一个:,,,,,使与一定相似的有A. B. C. D.8.如图,在钝角三角形ABC中,,,动点D从A点出发到B点止,动点E从C点出发到A点止点D运动的速度为秒,点E运动的速度为秒如果两点同时运动,那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时,运动的时间是A. 4或B. 3或C. 2或4D. 1或69.如图,在中,,,,将沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是A. B.C. D.10.如图,点E是矩形ABCD的边AD的中点,且于点F,则下列结论中错误的是A.B.C. 图中与相似的三角形共有4个D.人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试(含答案及解析)3 / 17二、填空题(本大题共10小题,共30.0分)11. 如图,已知 中,D 为边AC 上一点,P 为边AB 上一点,, , ,当AP 的长度为______ 时,和 相似.12. 如图,在 中, 、E 分别为边AB 、AC 上的点 , ,点F 为BC 边上一点,添加一个条件:______,可以使得 与 相似 只需写出一个13. 在 中, , ,点D 在边AB 上,且 ,点E 在边AC 上,当______时,以A 、D 、E 为顶点的三角形与 相似.14. 如图, , , , , ,点p 在BD 上移动,当 ______ 时, 和 相似.15. 如图,在 中,点E ,F 分别在AB ,AC 上,若∽ ,则需要增加的一个条件是______ 写出一个即可16. 如图, 中,D 、E 分别是AB 、AC 边上一点,连接 请你添加一个条件,使 ∽ ,则你添加的这一个条件可以是______ 写出一个即可 .17. 如图所示,中,E ,F 分别是边AB ,AC 上的点,且满足 ,则 与的面积比是______ .18. 已知在 中, , ,E 是边AB 上一点,且 ,若F 是AC 边上的点,且以A 、E 、F 为顶点的三角形与 相似,则AF 的长为______.19. 如图,在 中, , , ,点M 在AB 边上,且 ,过点M 作直线MN 与AC 边交于点N ,使截得的三角形与原三角形相似,则______ .20.如图,在正方形网格上有6个三角形:,,,,,.在 ~ 中,与相似的三角形的个数是______.三、计算题(本大题共4小题,共24.0分)21.如图示,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC相交于点G,连接CF.求证: ≌ ;求证: ∽ .22.如图,在中,D、E分别是AB、AC上的点,,,AD::3,的角平分线AF交DE于点G,交BC于点F.请你直接写出图中所有的相似三角形;求AG与GF的比.23.如图,已知,,垂足分别为B、D,AD与BC相交于点E,,垂足为F,试回答人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试(含答案及解析)5 / 17图中, ∽ ______ , ∽ ______ , ∽ ______ .24. 在图中, 的内部任取一点O ,连接AO 、BO 、CO ,并在AO 、BO 、CO 这三条线段的延长线上分别取点D 、E 、F ,使 ,画出 你认为与 相似吗?为什么?你认为它们也具有位似形的特征吗?四、解答题(本大题共2小题,共16.0分)25. 如图所示, , , ,点P从点B 出发,沿BC 向点C 以 的速度移动,点Q从点C 出发沿CA 向点A 以 的速度移动,如果P 、Q 分别从B 、C 同时出发,过多少时,以C 、P 、Q 为顶点的三角形恰与 相似?26. 如图,四边形ABCD 中,AC 平分 , , ,E 为AB的中点.求证: ∽ ;与AD 有怎样的位置关系?试说明理由;若 , ,求 的值.人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试(含答案及解析)7 / 17答案和解析【答案】1. D2. B3. B4. D5. D6. A7. A8. B 9. C 10. C11. 4或912. ,或 13. 或14. 或12cm 或2cm15.16.17. 1:918. 或19. 4或620. 321. 证明: 正方形ABCD ,等腰直角三角形EDF ,, , ,,,在 和 中,,≌ ;延长BA 到M ,交ED 于点M ,≌ ,,即 ,,,,,,∽ .22. 解: ∽ , ∽ , ∽ ;, , ,又 ,∽ ,,为角平分线,∽ ,,.23. DAB;BCD;DCE24. 解:相似如图,,,∽ ,,同理,∽ ,它们也具有位似形的特征.25. 解:设经过y秒后, ∽ ,此时,.,,,. ∽ ,,设经过y秒后, ∽ ,此时,..∽ ,所以,经过秒或者经过后两个三角形都相似26. 解:平分,,又,::AB,∽ ;,理由: ∽ ,,又为AB的中点,,,,,;,,,人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试(含答案及解析),,,∽ ,,.【解析】1. 解:当,,所以 ∽ ;当,,所以 ∽ ;当,即AC::AC,所以 ∽ ;当,即PC::AB,而,所以不能判断和相似.故选D.根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断;根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对进行判断.本题考查了相似三角形的判定:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似.2. 解:根据勾股定理,,,所以,夹直角的两边的比为,观各选项,只有B选项三角形符合,与所给图形的三角形相似.故选:B.可利用正方形的边把对应的线段表示出来,利用三边对应成比例两个三角形相似,分别计算各边的长度即可解题.此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法,本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键.3. 解:小正方形的边长为1,在中,,,,A中,一边,一边,一边,三边与中的三边不能对应成比例,故两三角形不相似故A错误;B中,一边,一边,一边,有,即三边与中的三边对应成比例,故两三角形相似故B正确;C中,一边,一边,一边,三边与中的三边不能对应成比例,故两三角形不相似故C错误;D中,一边,一边,一边,三边与中的三边不能对应成比例,故两三角形不相似故D错误.故选:B.根据相似三角形的判定,易得出的三边的边长,故只需分别求出各选项中三角形的边长,分析两三角形对应边是否成比例即可.本题考查了相似三角形的判定识别两三角形相似,除了要掌握定义外,还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角,可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角9 / 17的度数、对应边的比本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法.4. 解:是公共角,当,即时, ∽ ,解得:;当,即时, ∽ ,解得:,的长为:或.故选D.由是公共角,分别从当,即时, ∽ 与当,即时,∽ ,去分析求解即可求得答案.此题考查了相似三角形的判定注意分类讨论思想的应用.5. 解:将绕点A顺时针旋转,使点E落在点处,,,是等腰直角三角形,故A正确;将绕点A顺时针旋转,使点E落在点处,,四边形ABCD是正方形,,,,,,,垂直平分,故B正确;,,,,∽ ,故C正确;,但不一定等于,不一定是等腰三角形,故D错误;故选D.由旋转的性质得到,,于是得到是等腰直角三角形,故A正确;由旋转的性质得到,由正方形的性质得到,推出,于是得到AF垂直平分,故B正确;根据余角的性质得到,于是得到 ∽ ,故C正确;由于,但不一定等于,于是得到不一定是等腰三角形,故D错误.本题考查了旋转的性质,正方形的性质,相似三角形的判定,等腰直角三角形的判定,线段垂直平分线的判定,正确的识别图形是解题的关键.6. 解:,当或时, ∽ ;人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试(含答案及解析)11 / 17 当 即 时, ∽ .故选:A .根据相似三角形的判定定理进行判定即可.本题考查了相似三角形的判定:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似.7. 解: , ,∽ , 正确;, ,∽ , 正确;, ,∽ , 正确;由 ,或 不能证明 与 相似.故选:A .由两角相等的两个三角形相似得出 正确,由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出 正确;即可得出结果.本题考查了相似三角形的判定定理:两角对应相等的两个三角形相似;两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边对应成比例的两个三角形相似;如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.8. 解:根据题意得:设当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与 相似时,运动的时间是x 秒,若 ∽ ,则AD : :AC ,即x : :12,解得: ;若 ∽ ,则AD : :AB ,即x : :6,解得: ;所以当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与 相似时,运动的时间是3秒或 秒. 故选B .根据相似三角形的性质,由题意可知有两种相似形式,∽ 和 ∽ ,可求运动的时间是3秒或 秒.此题考查了相似三角形的性质,解题时要注意此题有两种相似形式,别漏解;还要注意运用方程思想解题.9. 解:A 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误;B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误;C 、两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项正确.D 、两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项错误;故选:C .根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.本题考查的是相似三角形的判定,熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键. 10. 解:A 、 ,∽ ,,,,故A正确,不符合题意;B、过D作交AC于N,,,四边形BMDE是平行四边形,,,,于点F,,,,,故B正确,不符合题意;C、图中与相似的三角形有,,,,共有5个,故C错误.D、设,由 ∽ ,有.,故D正确,不符合题意.故选C.由,又,所以,故A正确,不符合题意;过D作交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形,求出,得到,根据线段的垂直平分线的性质可得结论,故B正确,不符合题意;根据相似三角形的判定即可求解,故C正确,不符合题意;由 ∽ ,得到CD与AD的大小关系,根据正切函数可求的值,故D错误,符合题意.本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,图形面积的计算,正确的作出辅助线是解题的关键.11. 解:当 ∽ 时,,,解得:,当 ∽ 时,,,解得:,当AP的长度为4或9时,和相似.故答案为:4或9.人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试(含答案及解析)分别根据当 ∽ 时,当 ∽ 时,求出AP的长即可.此题主要考查了相似三角形的判定与性质,利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键.12. 解:,或.理由:,,∽ ,当时, ∽ ,∽ .当时,,∽ .故答案为,或.结论:,或根据相似三角形的判定方法一一证明即可.本题考查相似三角形的判定和性质平行线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.13. 解:当时,,∽ ,此时;当时,,∽ ,此时;故答案为:或.若A,D,E为顶点的三角形与相似时,则或,分情况进行讨论后即可求出AE的长度.本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定方法,解题的关键是分两种情况进行讨论.14. 解:由,,,设,则,若 ∽ ,则,即,变形得:,即,因式分解得:,解得:,,所以或12cm时, ∽ ;若 ∽ ,则,13 / 17即,解得:,,综上,或12cm或时, ∽ .故答案为:或12cm或2cm.设出,由表示出PD的长,若 ∽ ,根据相似三角形的对银边成比例可得比例式,把各边的长代入即可列出关于x的方程,求出方程的解即可得到x的值,即为PB的长.此题考查了相似三角形的判定与性质,相似三角形的性质有相似三角形的对应边成比例,对应角相等;相似三角形的判定方法有:1、两对对应角相等的两三角形相似;2、两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似;3、三边对应成比例的两三角形相似,本题属于条件开放型探究题,其解法:类似于分析法,假设结论成立,逐步探索其成立的条件.15. 解:当时, ∽ .故答案为.利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件.本题考查了相似三角形的判定:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.16. 解:,当时, ∽ .故答案为.利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件.本题考查了相似三角形的判定:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似.17. 解:,,又,∽ ,与的面积比:9,故答案为:1:9.由已知条件易证 ∽ ,根据相似三角形的性质即可求出与的面积比.本题考查了相似三角形的判定和性质,熟悉相似三角形的性质:相似三角形的面积比是相似比的平方是解题关键.18. 解:,以A、E、F为顶点的三角形与相似,有 ∽ 和 ∽ 两种情况:如图1:人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试(含答案及解析)当时, ∽ 时,即,解得:;如图2:当时, ∽ 时,即,解得:.所以或.故答案为或.根据相似三角形的相似比求AF,注意分情况考虑.本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理,分情况讨论是解决本题的关键.19. 解:如图1,当时,则 ∽ ,故,则,解得:,如图2所示:当时,又,∽ ,,即,解得:,故答案为:4或6.分别利用当时以及当时,得出相似三角形,再利用相似三角形的15 / 17性质得出答案.此题主要考查了相似三角形判定,正确利用分类讨论得出是解题关键.20. 解:,,,,,,,,,,,,,,,与不相似;,,,∽ ;,,,∽ ;,,,∽ ;,,,与不相似.故答案为3.先利用勾股定理计算出,,,,,,然后利用三组对应边的比相等的两个三角形相似依次判断,,,,与是否相似.本题考查了相似三角形的判定:三组对应边的比相等的两个三角形相似也考查了勾股定理.21. 由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF,得到两对边相等,一对直角相等,利用SAS即可得证;由第一问的全等三角形的对应角相等,根据等量代换得到,再由对顶角相等,利用两对角相等的三角形相似即可得证.此题考查了全等三角形的判定与性质,以及相似三角形的判定与性质,熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键.22. 可得到三组三角形相似;先利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明 ∽ ,则,再利用有两组角对应相等的两个三角形相似证明 ∽ ,然后利用相似比和比例的性质求的值.本题考查了相似三角形的判断:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似.23. 解:,,,,,,,,∽ ;,,∽ ;,,人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试(含答案及解析)∽ ,故答案为:DAB;BCD;DCE.由AB垂直于BD,CD垂直于BD,得到一对同旁内角互补,利用同旁内角互补两直线平行得到AB与CD平行,同理EF与AB平行,且与CD平行,根据EF与AB平行,利用两直线平行同位角相等得到两对角相等,确定出三角形DEF与三角形DAB相似;同理得到三角形BEF与三角形BCD相似;由两直线平行得到两对内错角相等,得到三角形ABE与三角形DEC相似.此题考查了相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.24. 由,可得 ∽ ,再由相似得出对应边成比例,即可得出与相似,由于它们有位似中心点O,所以它们也具有位似形的特征.本题主要考查了相似三角形的判定以及位似图形的问题,应熟练掌握位似与相似之间的联系及区别.25. 设经过y秒后相似,由于没有说明对应角的关系,所以共有两种情况: ∽与 ∽本题考查相似三角形的判定,解题的关键是分两种情况进行讨论,本题属于中等题型.26. 根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行求解;根据,,即可得出,进而得到;先根据,,判定 ∽ ,即可得出,进而得到.本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;或依据基本图形对图形进行分解、组合.17 / 17。

初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)

初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)

经典练习题相似三角形(附答案)一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠A BC= _________ °,BC= _________ ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:_________ ;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)25.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC=135°°,BC= ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.BC==22、,可得BC=∵BC=EC=;∴,∴8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.面积的面积的则有:(×3×6,即面积的因此有①,或t=(t=t=都符合题意,同时出发后,经过秒或9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.P=,即相似三角形的证明.还考查了相似三角形的判定.10.附加题:如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.CE=.AE=∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=∴.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.∴QM=PM=AB=12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.∴CM=MD=∴PC=BC=AD=∴.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.(AB=∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=∴t=t=时,△PAD∴PD=∵CE=t QE=t∴QH=BE=8﹣t t∴PH=t﹣t=t∴PQ=,,,>∴t=t=14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?时,有:;时,有:∴经过15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.=,即=,解得对应时,有=,即=16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.解:∵AC=∴CD==.要使这两个直角三角形相似,有两种情况:时,有=,∴AB==3时,有=,∴AB=.317.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.a①若△CDM∽△MAN,则=∴AN=②若△CDM∽△NAM,则AN=18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?或)当,∴x=;)当,∴x=.所以,经过秒或19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.∴=,∴=,∴=,∴=,∴=,∴AP=.AP=时,由BP=,∴=,、20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.∴∴中有21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.所以所以;=,即=,;=,即=,t=时,以点22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?∴,23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.∴∴,∴.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)∴,即与①类似得:∴∴,与①类似得:,∴,∴MN=r(25.(2007•白银)阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.AE∥BD,所以△ECA∽△DCB,则有∴∴26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.∵∴∴解得:.∴,,即.∴同理可得:,∴=)可知,即,同理可得:∴,由等比性质得:∴,所以人影顶端在地面上移动的速度为27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;。

完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案

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完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案1.填空题:1) 若$a=8$cm,$b=6$cm,$c=4$cm,则$a$、$b$、$c$的第四比例项$d=\underline{12}$;$a$、$c$的比例中项$x=\underline{5}$。

2) $(2-x):x=x:(1-x)$。

则$x=\underline{1}$。

3) 在比例尺为1:的地图上,距离为3cm的两地实际距离为\underline{30}公里。

4) 圆的周长与其直径的比为\underline{$\pi$}。

5) $\frac{a^5-ab}{b^3}=\frac{a^4}{b^2}$,则$\frac{a}{b}=\underline{a^2}$。

6) 若$a:b:c=1:2:3$,且$a-b+c=6$,则$a=\underline{2}$,$b=\underline{1}$,$c=\underline{3}$。

7) 如图1,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CE}=\underline{\frac{3}{2}}$;若$BD=10$cm,则$AD=\underline{6}$cm;若$\triangle ADE$的周长为16cm,则$\triangle ABC$的周长为\underline{24}cm。

8) 若点$c$是线段$AB$的黄金分割点,且$AC>CB$,则$\frac{AC}{AB}=\underline{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$,$\frac{CB}{AB}=\underline{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$。

2.选择题:1) 根据$ab=cd$,共可写出以$a$为第四比例项的比例式的个数是()A.$1$,B.$2$,C.$3$,D.$4$。

答案:B。

2) 若线段$a$、$b$、$c$、$d$成比例,则下列各式中一定能成立的是()A.$abcd=1$,B.$a+b=c+d$,C.$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,D.$a^2+b^2=c^2+d^2$。

九年级下数学相似三角形经典习题(含答案)

九年级下数学相似三角形经典习题(含答案)

九年级下数学相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中,选出相似的三角形.例2 已知:如图,ABCD 中,2:1:=EB AE ,求A E F ∆与CDF ∆的周长的比,如果2cm 6=∆AEF S ,求C D F S ∆. 例3 如图,已知ABD ∆∽ACE ∆,求证:ABC ∆∽ADE ∆.例4 下列命题中哪些是正确的,哪些是错误的?(1)所有的直角三角形都相似. (2)所有的等腰三角形都相似.(3)所有的等腰直角三角形都相似. (4)所有的等边三角形都相似.例5 如图,D 点是ABC ∆的边AC 上的一点,过D 点画线段DE ,使点E 在ABC ∆的边上,并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似.尽可能多地画出满足条件的图形,并说明线段DE 的画法. 例6 如图,一人拿着一支刻有厘米分画的小尺,站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高.例7 如图,小明为了测量一高楼MN 的高,在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜,小明沿NA 后退到C 点,正好从镜中看到楼顶M 点,若5.1=AC m ,小明的眼睛离地面的高度为1.6m ,请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1m ).例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形,说明理由.例9 根据下列各组条件,判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似,并说明理由:(1),cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A .(2)︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A .(3)︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB .例10 如图,下列每个图形中,存不存在相似的三角形,如果存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据.例11 已知:如图,在ABC ∆中,BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线,试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2.例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13,与其相似的C B A '''∆的最大边长为26,求C B A '''∆的面积S . 例13 在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处(如图),然后沿BC 方向走到D 处,这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上,又测得C 、D 两点的距离为3米,小芳的目高为1.5米,这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行?请说明理由.例14.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ,再在河的这一边选点B 和C ,使BC AB ⊥,然后再选点E ,使BC EC ⊥,确定BC 与AE 的交点为D ,测得120=BD 米,60=DC 米,50=EC 米,你能求出两岸之间AB 的大致距离吗?例15.如图,为了求出海岛上的山峰AB 的高度,在D 和F 处树立标杆DC 和FE ,标杆的高都是3丈,相隔1000步(1步等于5尺),并且AB 、CD 和EF 在同一平面内,从标杆DC 退后123步的G 处,可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上,从标杆FE 退后127步的H 处,可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上.求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少?(古代问题)例16 如图,已知△ABC 的边AB =32,AC =2,BC 边上的高AD =3.(1)求BC 的长;(2)如果有一个正方形的边在AB 上,另外两个顶点分别在AC ,BC 上,求这个正方形的面积.相似三角形经典习题答案例1. 解 ①、⑤、⑥相似,②、⑦相似,③、④、⑧相似例2. 解 ABCD 是平行四边形,∴CD AB CD AB =,//,∴AEF ∆∽CDF ∆, 又2:1:=EB AE ,∴3:1:=CD AE ,∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1:3. 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ,∴)cm (542=∆CDF S . 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆,则C A E B A D ∠=∠,因此DAE BAC ∠=∠,如果再进一步证明AE CA AD BA =,则问题得证.证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆,∴CAE BAD ∠=∠.又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ,∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠,∴DAE BAC ∠=∠.∵ABD ∆∽ACE ∆,∴AEAC AD AB =. 在ABC ∆和ADE ∆中,∵AE AC AD AB ADE BAC =∠=∠,,∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4.分析 (1)不正确,因为在直角三角形中,两个锐角的大小不确定,因此直角三角形的形状不同.(2)也不正确,等腰三角形的顶角大小不确定,因此等腰三角形的形状也不同.(3)正确.设有等腰直角三角形ABC 和C B A ''',其中︒='∠=∠90C C ,则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ,设ABC ∆的三边为a 、b 、c ,C B A '''∆的边为c b a '''、、, 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,, ∴a a c c b b a a '=''=',,∴ABC ∆∽C B A '''∆. (4)也正确,如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形,对应角相等,对应边都成比例,因此ABC ∆∽C B A '''∆. 答:(1)、(2)不正确.(3)、(4)正确.例5.解:画法略.例6.分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形,即60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=CE 米,求BC .由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,,又ACF ∆∽ABC ∆,∴BC GF EC DF =,从而可以求出BC 的长.解 EC DF EC AE //,⊥ ,∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,,∴ADF ∆∽AEC ∆.∴ACAF EC DF =. 又EC BC EC GF ⊥⊥,,∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//, ∴AGF ∆∽ABC ∆,∴BC GF AC AF =,∴BCGF EC DF =. 又60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=EC 米,∴6=BC 米.即电线杆的高为6米.例7.分析 根据物理学定律:光线的入射角等于反射角,这样,BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了. 解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,,所以BCA ∆∽MNA ∆.所以AC AN BC MN ::=,即5.1:206.1:=MN .所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN (m ). 说明 这是一个实际应用问题,方法看似简单,其实很巧妙,省却了使用仪器测量的麻烦. 例8.分析 这两个图如果不是画在格点中,那是无法判断的.实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度.解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,,所以︒=∠=∠90B E ,又4,2,2,1====AB BC DE EF .所以21==BC EF AB DE .所以DEF ∆∽ABC ∆. 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件,勿使遗漏.例9.解 (1)因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ,所以ABC ∆∽C B A '''∆; (2)因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ,两个三角形中只有A A '∠=∠,另外两个角都不相等,所以ABC ∆与C B A '''∆不相似;(3)因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ,所以ABC ∆相似于C B A '''∆. 例10.解 (1)ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等; (2)ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等;(3)CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等; (4)EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等;(5)ABD ∆∽ACB ∆两边成比例夹角相等; (6)ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等. 例11.分析 有一个角是65°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD 是底角的平分线,∴︒=∠36CBD ,则可推出ABC ∆∽BCD ∆,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系. 证明 AC AB A =︒=∠,36 ,∴︒=∠=∠72C ABC .又BD 平分ABC ∠,∴︒=∠=∠36CBD ABD .∴BC BD AD ==,且A B C ∆∽BCD ∆,∴BC CD AB BC ::=,∴CD AB BC ⋅=2,∴CD AC AD ⋅=2. 说明 (1)有两个角对应相等,那么这两个三角形相似,这是判断两个三角形相似最常用的方法,并且根据相等的角的位置,可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式cd ab =,或平方式bc a =2,一般都是证明比例式,b d c a =,或c a a b =,再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形,又因为ABC ∆∽C B A '''∆,所以C B A '''∆也是直角三角形,那么由C B A '''∆的最大边长为26,可以求出相似比,从而求出C B A '''∆的两条直角边长,再求得C B A '''∆的面积.解 设ABC ∆的三边依次为,13,12,5===AB AC BC ,则222AC BC AB += ,∴︒=∠90C . 又∵ABC ∆∽C B A '''∆,∴︒=∠='∠90C C .212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC , 又12,5==AC BC ,∴24,10=''=''C A C B . ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S . 例13.分析 判断方法是否可行,应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高.按这种测量方法,过F 作AB FG ⊥于G ,交CE 于H ,可知AGF ∆∽EHF ∆,且GF 、HF 、EH 可求,这样可求得AG ,故旗杆AB 可求.解 这种测量方法可行.理由如下:设旗杆高x AB =.过F 作AB FG ⊥于G ,交CE 于H (如图).所以AGF ∆∽EHF ∆. 因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ,所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH . 由AGF ∆∽EHF ∆,得HF GF EH AG =,即33025.1=-x ,所以205.1=-x ,解得5.21=x (米) 所以旗杆的高为21.5米.说明 在具体测量时,方法要现实、切实可行.例14. 解:︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ,∴ABD ∆∽ECD ∆,1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB (米),答:两岸间AB 大致相距100米. 例15. 答案:1506=AB 米,30750=BD 步,(注意:AK FE FH KE AK CD DG KC ⋅=⋅=,.) 例16. 分析:要求BC 的长,需画图来解,因AB 、AC 都大于高AD ,那么有两种情况存在,即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上,所以求BC 的长时要分两种情况讨论.求正方形的面积,关键是求正方形的边长. 解:(1)如上图,由AD ⊥BC ,由勾股定理得BD =3,DC =1,所以BC =BD +DC =3+1=4. 如下图,同理可求BD =3,DC =1,所以BC =BD -CD =3-1=2.(2)如下图,由题目中的图知BC =4,且162)32(2222=+=+AC AB ,162=BC ,∴222BC AC AB =+.所以△ABC 是直角三角形.由AE G F 是正方形,设G F =x ,则FC =2-x ,∵G F ∥AB ,∴AC FC AB GF =,即2232x x -=. ∴33-=x ,∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形. 如下图,当BC =2,AC =2,△ABC 是等腰三角形,作CP ⊥AB 于P ,∴AP =321=AB , 在Rt △APC 中,由勾股定理得CP =1,∵GH ∥AB ,∴△C GH ∽△CBA ,∵x x x-=132,32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此,正方形的面积为3612-或121348156-.。

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习(含答案)

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习(含答案)

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习(含答案)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如果△ABC ∽△DEF ,A 、B 分别对应D 、E ,且AB :DE =1:2,那么下列等式一定成立的是 A .BC :DE =1:2B .△ABC 的面积:△DEF 的面积=1:2 C .∠A 的度数:∠D 的度数=1:2D .△ABC 的周长:△DEF 的周长=1:2 【答案】D2.如图,AB 、CD 、EF 都与BD 垂直,且AB =1,CD =3,那么EF 的长是A .13B .23 C .34D .45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直,∴AB ∥CD ∥EF , ∴△DEF ∽△DAB ,△BEF ∽△BCD ,∴EF DF AB DB =,EF BF CD BD =,∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1. ∵AB =1,CD =3,∴13EF EF +=1,∴EF =34.故选C .3.已知:如图,在ABCD中,AE:EB=1:2,则FE:FC=A.1:2 B.2:3 C.3:4 D.3:2 【答案】B【解析】在ABCD中,AB=CD,AB∥CD,∵BE=2AE,∴BE=23AB=23CD,∵AB∥CD,∴EFFC=BEDC=23,故选B.4.已知:如图,E是ABCD的边AD上的一点,且32AEDE=,CE交BD于点F,BF=15cm,则DF的长为A.10cm B.5cmC.6cm D.9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,点E在边AD上,∴DE∥BC,且AD=BC,∴∠DEF=∠BCF;∠EDF=∠CBF,∴△EDF∽△CBF,∴BC BF ED DF=,∵32AEDE=,∴设AE=3k,DE=2k,则AD=BC=5k,52BC BFED DF==,∵BF=15cm,∴DF=25BF═6cm.故选C.5.已知△ABC∽△DEF,△ABC的周长为3,△DEF的周长为1,则△DEF与△ABC的面积之比为A.9:1 B.1:9C.3:1 D.1:3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF,△ABC的周长为3,△DEF的周长为1,∴△ABC与△DEF的相似比为3,∴△DEF与△ABC的相似比为1:3,∴△DEF与△ABC的面积之比为1:9,故选B.6.如图,△ABC∽△AB'C',∠A=35°,∠B=72°,则∠AC'B'的度数为A.63°B.72°C.73°D.83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=35°,∠B=72°,∴∠C=180°–35°–72°=73°,∵△ABC∽△AB'C',∴∠AC′B′=∠C=73°,故选C.7.如图,△ABC中,E为AB中点,AB=6,AC=4.5,∠ADE=∠B,则CD=A.32B.1C.12D.23【答案】C【解析】∵E为AB中点,∴AE=12AB,∵∠ADE=∠B,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,∴AE ADAC AB,∴12AB2=AD•AC,∴AD=4,∴CD=AC–AD=0.5,故选C.二、填空题:请将答案填在题中横线上.8.两个三角形相似,相似比是12,如果小三角形的面积是9,那么大三角形的面积是__________.【答案】36【解析】∵两个三角形相似,相似比是12,∴两个三角形的面积比是14,∵小三角形的面积是9,∴大三角形的面积是36,故答案为:36.9.矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为__________.【答案】65或310.如图,在△ABC纸板中,AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板,如果有4种不同的剪法,那么AP长的取值范围是__________.【答案】3≤AP<4【解析】如图所示,过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E,则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB,此时0<AP<4;如图所示,过P作∠APF=∠B交AB于F,则△APF∽△ABC,此时0<AP≤4;如图所示,过P作∠CPG=∠CBA交BC于G,则△CPG∽△CBA,此时,△CPG∽△CBA,当点G与点B重合时,CB2=CP×CA,即22=CP×4,∴CP=1,AP=3,∴此时,3≤AP<4;综上所述,AP长的取值范围是3≤AP<4.故答案为:3≤AP<4.11.如图,点A、B、C、D的坐标分别是(1,7)、(1,1)、(4,1)、(6,1),且△CDE与△ABC相似,则点E的坐标是__________.【答案】(6,0),(6,5),(6,2),(4,2)、(4,5)、(4,0).【解析】在△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=3,AB:BC=2.①当点E的坐标为(6,0)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=1,则AB:BC=CD:DE,△CDE∽△ABC;②当点E的坐标为(6,5)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=4,则AB:BC=DE:CD,△EDC∽△ABC;③当点E的坐标为(6,2)时,∠ECD=90°,CD=2,DE=1,则AB:BC=CD:DE,△CDE∽△ABC;同理,当点E的坐标为(4,2)、(4,5)、(4,0),故答案为:(6,0),(6,5),(6,2),(4,2)、(4,5)、(4,0).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.12.求证:相似三角形面积的比等于相似比的平方.(请根据题意画出图形,写出已知,求证并证明)【解析】已知:如图,已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应,△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k .求证:111ABC A B C S S △△=k 2;证明:作AD ⊥BC 于D ,A 1D 1⊥B 1C 1于D 1,∵△ABC ∽△A 1B 1C 1,顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应, ∴∠B =∠B 1,∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ,△A 1B 1C 1的高线, ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1,∴△ABD ∽△A 1B 1D 1,∴11AD A D =11ABA B =k , ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2.13.如图所示,Rt △ABC ∽Rt △DFE ,CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线,已知AC =9cm ,CB =12cm ,DE =3cm .(1)求CM 和EN 的长; (2)你发现CMEN的值与相似比有什么关系?得到什么结论?【解析】(1)在Rt △ABC 中,AB =22AC CB +=22912+=15,∵CM 是斜边AB 的中线, ∴CM =12AB=7.5, ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE , ∴DE DF AC AB =,即319315DF==, ∴DF =5,∵EN 为斜边DF 上的中线,∴EN =12DF =2.5; (2)∵7.532.51CM EN ==,相似比为9331AC DE ==,∴相似三角形对应中线的比等于相似比.14.如图,点C 、D 在线段AB 上,△PCD 是等边三角形,且△ACP ∽△PDB .(1)求∠APB 的大小.(2)说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系.15.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1,在△ABC 中,∠A =48°,CD 是△ABC 的完美分割线,且AD =CD ,则∠ACB =__________°. (2)如图2,在△ABC 中,AC =2,BC 2,CD 是△ABC 的完美分割线,且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.【解析】(1)当AD=CD时,如图,∠ACD=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.(2)由已知得AC=AD=2,∵△BCD∽△BAC,∴BCBA=BDBC,设BD=x2)2=x(x+2),∵x>0,∴x3–1,∵△BCD∽△BAC,∴CD BDAC BC=32,∴CD 312-×62.故答案为:96.。

九年级数学《相似三角形》练习参考答案

九年级数学《相似三角形》练习参考答案
A. = B. = C. = D. =
【考点】比例的性质. 菁优网版 权所有
【分析】根据比的性质,可得答案.
【解答】解:A、 = ⇒ab=cd,故 A 正确;
B、 = ⇒ab=cd,故 B 正确;
C、 = ⇒ab=cd,故 C 正确;
1
D、 = ⇒ad=bc,故 D 错误;
故选:D. 【点评】本题考查了比例的性质,利用了比例的性质:分子分母交叉相乘,乘积相等. 5.若 = ,则 的值为( )
A. ﹣1 B. C.1 D. 【考点】相似三角形的判定与性质;平移的性质.
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【专题】压轴题. 【分析】利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出 AʹB,再求 AAʹ就可以了. 【解答】解:设 BC 与 AʹCʹ交于点 E,
由平移的性质知,AC∥AʹCʹ ∴△BEAʹ∽△BCA
4
∴S△BEAʹ:S△BCA=AʹB2:AB2=1:2 ∵AB= ∴AʹB=1 ∴AAʹ=AB﹣AʹB= ﹣1 故选 A. 【点评】本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质:①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移, 对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等. 12.如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,DE⊥BC 交 AC 与 E,已知 AD=AB,连接 BE 交 AD 于 F,下列结论: ①BE=CE;②∠CAD=∠ABE;③AF=DF;④S△ABF=3S△DEF;⑤△DEF∽△DAE,其中正确的有( )个.
AF=DF,S△ABF=3S△DEF,利用角的关系代替证明∠5≠∠4,从而得出△DEF 与△DAE 不相似.根据以上的分析 可以得出正确的选项答案. 【解答】解:∵D 是 BC 的中点,且 DE⊥BC, ∴DE 是 BC 的垂直平分线,CD=BD, ∴CE=BE,故本答案正确; ∴∠C=∠7, ∵AD=AB, ∴∠8=∠ABC=∠6+∠7, ∵∠8=∠C+∠4, ∴∠C+∠4=∠6+∠7, ∴∠4=∠6,即∠CAD=∠ABE,故本答案正确; 作 AG⊥BD 于点 G,交 BE 于点 H, ∵AD=AB,DE⊥BC, ∴∠2=∠3,DG=BG= BD,DE∥AG,

初三最详细相似三角形解答题以及答案

初三最详细相似三角形解答题以及答案

一.解答题(共7小题)1.(2003•常德)如图1,D是△ABC的BC边上的中点,过点D的一条直线交AC于F,交BA的延长线于E,AG∥BC 交EF于G,我们可以证明EG•DC=ED•AG成立(不要求考生证明).(1)如图2,若将图1中的过点D的一条直线交AC于F,改为交CA的延长线于F,交BA的延长线于E,改为交BA于E,其它条件不变,则EG•DC=ED•AG还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说出理由;(2)根据图2,请你找出EG、FD、ED、FG四条线段之间的关系,并给出证明;(3)如图3,若将图1中的过点D的一条直线交AC于F,改为交CA的反向延长线于F,交BA的延长线于E,改为交BA于E,其它条件不变,则(2)得到的结论是否成立?2.(2003•厦门)如图,BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线,AE⊥BE,AD⊥BD,E、D为垂足.(1)求证:四边形AEBD是矩形;(2)若=3,F、G分别为AE、AD上的点,FG交AB于点H,且=3,求证:△AHG是等腰三角形.3.(2003•金华)如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,设运动时间为x.(1)当x为何值时,PQ∥BC;(2)当,求的值;(3)△APQ能否与△CQB相似?若能,求出AP的长;若不能,请说明理由.4.(2003•绍兴)已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,按以下要求解答问题:(1)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与边OA,OB交于点C,D.①在图甲中,证明:PC=PD;②在图乙中,点G是CD与OP的交点,且PG=PD,求△POD与△PDG的面积之比;(2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,一直角边与边OB交于点D,OD=1,另一直角边与直线OA,直线OB分别交于点C,E,使以P,D,E为顶点的三角形与△OCD相似,在图丙中作出图形,试求OP的长.5.(2002•盐城)已知:如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,E为AC上一点,点G在BE上,连接DG并延长交AE于F,若∠FGE=45°.(1)求证:BD•BC=BG•BE;(2)求证:AG⊥BE;(3)若E为AC的中点,求EF:FD的值.6.(2002•黄冈)已知:如图,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B、D,AD和BC相交于点E,EF⊥BD,垂足为F,我们可以证明成立(不要求考生证明).若将图中的垂线改为斜交,如图,AB∥CD,AD,BC相交于点E,过点E作EF∥AB交BD于点F,则:(1)还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;(2)请找出S△ABD,S△BED和S△BDC间的关系式,并给出证明.7.如图,已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AB=AC,AE⊥AC且AE=AD,连BE交AC于F.(1)如图1,若CD=AD,试猜想BF与EF的数量关系;(2)如图2,若CD≠AD,问题(1)BF与EF的数量关系是否仍然成立?若成立,请证明.若不成立,请说明理由;(3)如图2,在第(2)问的条件下,取BC中点M,问线段MF与线段BD之间是否存在某种确定的数量关系?若存在,证明你的结论,若不存在,说明理由.答案与评分标准一.解答题(共7小题)1.(2003•常德)如图1,D是△ABC的BC边上的中点,过点D的一条直线交AC于F,交BA的延长线于E,AG∥BC 交EF于G,我们可以证明EG•DC=ED•AG成立(不要求考生证明).(1)如图2,若将图1中的过点D的一条直线交AC于F,改为交CA的延长线于F,交BA的延长线于E,改为交BA于E,其它条件不变,则EG•DC=ED•AG还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说出理由;(2)根据图2,请你找出EG、FD、ED、FG四条线段之间的关系,并给出证明;(3)如图3,若将图1中的过点D的一条直线交AC于F,改为交CA的反向延长线于F,交BA的延长线于E,改为交BA于E,其它条件不变,则(2)得到的结论是否成立?考点:相似三角形的判定与性质。

人教版九年级数学下册《相似三角形》复习题及答案

人教版九年级数学下册《相似三角形》复习题及答案

初中数学试卷九年数学期辞《相似三角形》复习题及答案一.选择题(1) 4ABC中,D E、F分别是在AB AC BC上的点,DE// BC, EF// AB,那么下列各式正确的是()A AD = BFB AB = EFC AD = BF D AE = AD.DB EC . AC FC . DB FC .EC BF(2)在△ ABC中,BC=5,CA=45,AB=46,另一个与它相似的三角形的最短边是15,则最长边是()A.138B. 46C.135D.不确定3(3)在△ ABC中,AB=AC/A=36° , / ABC的平分线交AC于D,则构成的三个三角形中,相似的是()A. △ AB3△ BCDB. △ ABS △ BDCC.AABC^ AABDD.不存在(4)将三角形高分为四等分,过每个分点作底边的平行线,将三角形分四个部分,则四个部分面积之比是()A.1 :3 :5 :7B.1 :2 :3 :4C.1 :2 :4 :5D.1 :2 :3 :5⑸ 下列命题中,真命题是()A.有一个角为30°的两个等腰三角形相似B. 邻边之比都等于2的两个平行四边形相似C.底角为40。

的两个等腰梯形相似D. 有一个角为120。

的两个等腰三角形相似(6)直角梯形ABCD^, AD为上底,/ D=Rt/ , ACL AB, AD=4, BC=9 则AC等于()A.5B.6C.7D.8(7)已知CD为Rt^ABC斜边上的中线,E、F分别是AG BC中点,则CD与EF关系是()A.EF>CDB.EF=CDC.EFvCDD.不能确定(8)下列命题①相似三角形一定不是全等三角形②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比;③边数相同,对应角相等的两个多边形相似;④O是△ ABC内任意一点.OA、OB OC的中点连成白三角形△ A BC' s△ ABC其中正确的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个(9)D为△ ABC的AB边上一点,若八 ACD^ AABC;应满足条件有下列三种可能①/ACDW B ②/ ADCW ACB③AC=AB- AD其中正确的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个(10)下列命题错误的是()A.如果一个菱形的一个角等于另一个菱形的一个角,则它们相似B.如果一个矩形的两邻边之比等于另一个矩形的两邻边之比,则它们相似C.如果两个平行四边形相似,则它们对应高的比等于相似比D.对应角相等,对应边成比例的两个多边形相似二、填空题(1)比例的基本性质是____________________________________________(2)若线段a=3cm,b=12cm,a、b的比例中项c=,a、b、c的第四比例线段d=(3)如下图,EF// BC 若AE: EB=2: 1,EM=1,MF=2,则AM: AN=,BN: NC=(4)有同一三角形地块的甲乙两地图,比例尺分别为 1 : 200和1 : 500,则甲地图与乙地图的相似比为,面积比为(5)若两个相似三角形的面积之比为 1 : 2,则它们对应边上的高之比为(6)已知CD是RtAABCM边AB上的高,则CD=(7)把一个三角形改成和它相似的三角形,如果边长扩大为原来的10倍,那么面积扩大为原来的倍,周长扩大为原来的______ 倍倍.(8)Rt △ABC+, / C=90° ,CD 为斜边上的高。

九年级数学相似三角形的判定(基础)(含答案)

九年级数学相似三角形的判定(基础)(含答案)

相似三角形的判定(基础)一、单选题(共12道,每道8分)1.已知△ABC∽△A1B1C1,且∠A=60°,∠B=95°,则∠C1的度数为( )A.60°B.95°C.25°D.15°答案:C解题思路:∵在△ABC中,∠A=60°,∠B=95°∴∠C=180°-∠A-∠B=25°∵△ABC∽△A1B1C1∴∠C1=∠C=25°.试题难度:三颗星知识点:略2.已知如图(1)(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数如图上标注,则对图(1)(2)中的两个三角形,下列说法正确的是( )A.都相似B.都不相似C.只有(1)相似D.只有(2)相似答案:A解题思路:∵在图(1)中,∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-35°=70°∴∠A=∠D,∠C=∠E∴△ABC∽△DFE;∵在图(2)中,,∴又∠AOC=∠DOB∴△AOC∽△DOB.试题难度:三颗星知识点:略3.如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是( )A. B.C. D.答案:B解题思路:在△A1B1C1中,∠A1B1C1=135°,选项A,B,C,D中,只有B选项中的三角形含有135°的角,且满足两边成比例夹角相等.试题难度:三颗星知识点:略4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中相似三角形共有( )A.0对B.1对C.2对D.3对答案:D解题思路:∵∠ACB=90°,CD⊥AB∴∠ADC=∠ACB=∠BDC=90°,∠A=∠A∴△ABC∽△ACD同理△ACD∽△CBD,△ABC∽△CBD∴有3对相似三角形.试题难度:三颗星知识点:略5.如图,点F在平行四边形ABCD的边AB上,射线CF交DA的延长线于点E,在不添加辅助线的情况下,与△AEF相似的三角形有( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案:C解题思路:∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥BC,AB∥DC∴△AEF∽△BCF,△AEF∽△DEC∴与△AEF相似的三角形有2个.试题难度:三颗星知识点:略6.如图,AB∥EF∥DC,AD∥BC,EF与AC交于点G,则相似三角形共有( )A.3对B.5对C.6对D.8对答案:C解题思路:图中的三角形有△AEG,△ADC,△CFG,△CBA∵AB∥EF∥DC,AD∥BC∴△AEG∽△ADC,△AEG∽△CFG,△AEG∽△CBA△ADC∽△CBA,△ADC∽△CFG,△CFG∽△CBA.试题难度:三颗星知识点:略7.如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是( )A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC. D.答案:D解题思路:由图可知,∠BAP=∠CAB∴当∠ABP=∠C时,满足两角分别相等,则△ABP∽△ACB,故选项A正确;当∠APB=∠ABC时,满足两角分别相等,则△ABP∽△ACB,故选项B正确;当时,满足两边成比例且夹角相等,则△ABP∽△ACB,故选项C正确;当时,满足两边成比例,但是相等的角不是夹角,不能判断△ABP∽△ACB,故选项D不正确.试题难度:三颗星知识点:略8.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是( )A.∠AED=∠BB.∠ADE=∠CC. D.答案:D解题思路:由图可知,∠BAC=∠EAD∴当∠AED=∠B时,满足两角分别相等,则△ABC∽△AED,故选项A正确;当∠ADE=∠C时,满足两角分别相等,则△ABC∽△AED,故选项B正确;当时,即,满足两边成比例且夹角相等,则△ABC∽△AED,故选项C正确;当时,DE∥BC,则△ABC∽△ADE,故选项D错误.试题难度:三颗星知识点:略9.下列条件,能使△BEF∽△CDF的有( )①∠B=∠C;②∠ADB=∠AEC;③.A.0个B.1个C.2个D.3个答案:D解题思路:由图可知,∠BFE=∠CFD∴当∠B=∠C时,△BEF∽△CDF,故①正确当∠ADB=∠AEC时,∠ADB=∠C+∠CFD,∠AEC=∠B+∠BFE∴∠B=∠C∴△BEF∽△CDF,故②正确当时,△BEF∽△CDF,故③正确试题难度:三颗星知识点:略10.如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE与BC不平行.下列条件中,能判定△ADE与△ACB相似的是( )A. B.C. D.答案:A解题思路:在△ADE与△ACB中,∠DAE=∠CAB且DE与BC不平行当时,△ADE∽△ACB试题难度:三颗星知识点:略11.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D.下列条件:①;②;③.其中能证明△ABC是直角三角形的是( )A.①③B.①②C.②③D.①②③答案:D解题思路:∵CD⊥AB∴∠ADC=∠CDB=90°∵∴又∠B=∠B∴△ABC∽△CBD∴∠CDB=∠ACB∵∠CDB=90°∴∠ACB=90°,故①正确;∵,∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴∠ACB=∠ADC∵∠ADC=90°∴∠ACB=90°,故②正确;∵∴又∠ADC=∠BDC=90°∴△ACD∽△CBD∴∠ADC=∠B∵∠B+∠BCD=90°∴∠ACD+∠BCD=90°即∠ACB=90°,故③正确;综上所述,能证明△ABC是直角三角形的是①②③试题难度:三颗星知识点:略12.如图,正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且∠EFG=90°,连接EG,则下列说法不正确的是( )A.△EBF∽△FCGB.当F为BC中点时,△EBF∽△EFGC.当F为BC中点时,△FCG∽△EFGD.当F为BC中点时,无法判断△EFG与△EBF是否相似答案:D解题思路:∵四边形ABCD是正方形∴∠B=∠C=90°∵∠EFG=90°∴∠BFE+∠CFG=90°又∵∠BFE+∠BEF=90°∴∠BEF=∠CFG∴△EBF∽△FCG,故选项A正确;∴∵F为BC中点∴即又∵∠B=∠EFG=90°∴△EBF∽△EFG,故选项B正确,选项D错误;同理,当F为BC中点时,△FCG∽△EFG,故选项C正确.试题难度:三颗星知识点:略。

部编数学九年级下册专项32相似三角形射影定理综合应用(2种类型)(解析版)含答案

部编数学九年级下册专项32相似三角形射影定理综合应用(2种类型)(解析版)含答案

专项32 相似三角形-射影定理综合应用(2种类型) 一、射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项;且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图(1):Rt△ABC中,若CD为高,则有CD2=BD•AD、BC2=BD•AB或AC2=AD•AB。

(证明略)二、变式推广 1.逆用 如图(1):若△ABC中,CD为高,且有DC2=BD•AD或AC2=AD•AB或BC2=BD•AB,则有∠DCB=∠A或∠ACD=∠B,均可等到△ABC为直角三角形。

 2.一般化,若△ABC不为直角三角形,当点D满足一定条件时,类似地仍有部分结论成立。

(后文简称:射影定理变式(2)) 如图(2):△ABC中,D为AB上一点,若∠CDB=∠ACB,或∠DCB=∠A,则有△CDB∽△ACB,可得BC2=BD•AB;反之,若△ABC中,D为AB上一点,且有BC2=BD•AB,则有△CDB∽△ACB,可得到∠CDB=∠ACB,或∠DCB=∠A。

【类型1:直角三角形中射影定理】【典例1】(2021秋•南京期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,且=.(1)求证△ACD∽△ABC;(2)若AD=3,BD=2,求CD的长.【解答】(1)证明:∵=,∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC;(2)解:∵△ACD∽△ABC,∴∠ACD=∠B,∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠A+∠ACD=90°,∴∠ADC=90°,∴∠ADC=∠BDC,∵∠ACD=∠B,∴△ACD∽△CBD,∴=,∴=,∴CD=.【变式1-1】(2022•义乌市校级开学)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,若AD=4,BD=8,则CD的长为( )A.4B.4C.4D.【答案】A【解答】解:∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∵CD⊥AB,∴∠DCB+∠B=90°,∴∠A=∠DCB,∵∠ADC=∠CDB=90°,∴△ADC∽△CDB,∴=,即=,解得:CD=4,故选:A.【变式1-2】(2021秋•漳州期末)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,AD=3,CD=4,则BD的长为( )A.B.C.D.2【答案】A【解答】解:∵∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°,∵AD⊥BC,∴∠DAC+∠C=90°,∠ADB=∠ADC=90°,∴∠B=∠DAC,∴△BDA∽△ADC,∴=,∵AD=3,CD=4,∴=,解得:BD=,故选:A.【变式1-3】(2020秋•梁平区期末)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,下列结论中错误的是( )A.AC2=AD•AB B.CD2=CA•CB C.CD2=AD•DB D.BC2=BD•BA 【答案】B【解答】解:∵∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∴AC2=AD•AB,CD2=DA•DB,BC2=BD•BA.故选:B.【变式1-4】(2015•黄冈中学自主招生)将沿弦BC折叠,交直径AB于点D,若AD=4,DB=5,则BC的长是( )A.3B.8C.D.2【答案】A【解答】解:连接CA、CD;根据折叠的性质,知所对的圆周角等于∠CBD,又∵所对的圆周角是∠CBA,∵∠CBD=∠CBA,∴AC=CD(相等的圆周角所对的弦相等);∴△CAD是等腰三角形;过C作CE⊥AB于E.∵AD=4,则AE=DE=2;∴BE=BD+DE=7;在Rt△ACB中,CE⊥AB,根据射影定理,得:BC2=BE•AB=7×9=63;故BC=3.故选:A.【类型2:非直角三角形中射影定理】【典例2】如图,已知∠A=70°,∠APC=65°,AC2=AP•AB,则∠B的度数为( )A.45°B.50°C.55°D.60°【答案】A【解答】解:∵∠A=70°,∠APC=65°,∴∠ACP=180°﹣70°﹣65°=45°.∵AC2=AP•AB,∴=.∵∠B=∠B,∴△BAC∽△CPA.∴∠B=∠ACP=45°.故选:A.【变式2-1】如图,在△ABC中,点D在边AB上,若∠ACD=∠B,AD=3,BD=4,则AC的长为( )A.2B.C.5D.2【答案】B【解答】解:∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,∴△ADC∽△ACB,∴,∵AD=3,BD=4,∴AB=AD+BD=3+4=7,∴,∴AC=或﹣(舍去),故选:B.【变式2-2】如图,在△ABC中,点D在AB边上,∠ABC=∠ACD.(1)求证:△ABC∽△ACD;(2)若AD=2,AB=6.求AC的长.【解答】(1)证明:∵∠ABC=∠ACD,∠A=∠A,∴△ABC∽△ACD;(2)解:∵△ABC∽△ACD,∴,∴AC2=2×6=12,∴AC=2.【典例3】如图,在△ABC中,∠A=90°,点D、E分别在AC、BC边上,BD=CD=2DE,且∠C+∠CDE=45°,若AD=6,则BC的长为 .【答案】8【解答】解:∵∠A=90°,∴∠ABD+∠ADB=90°,∵BD=CD,∴∠DBC=∠C,∴∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C,∵∠C+∠CDE=45°∴2∠C+∠CDE=90°,∴∠ADB+∠CDE=90°,∴∠BDE=90°,作DF⊥BC于F,如图所示:则BF=CF,△DEF∽△BED∽△BDF,∴===,设EF=x,则DF=2x,BF=CF=4x,∴BC=8x,DE=x,∴CD=BD=2x,AC=6+2x,∵∠DFC=∠A=90°,∠C=∠C,∴△CDF∽△CBA,∴=,即=,解得:x=,∴BC=8;故答案为:8.【变式3】如图,在锐角△ABC中,BD⊥AC于D,DE⊥BC于E,AB=14,AD=4,BE:EC=9:2,则CD= .【答案】2【解答】解:∵BD⊥AC,∴∠ADB=90°,∴BD2=AB2﹣AD2=142﹣42=180,设BE=9x,EC=2x,∵DE⊥BC,∴BD2=BE•BC,即180=9x(9x+2x),解得x2=,∵CD2=CE•CB=2x•11x=22×=40,∴CD=2.1.(2022秋•义乌市月考)如图,小明在A时测得某树的影长为3m,B时又测得该树的影长为2m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为( )m.A.B.C.6D.【答案】B【解答】解:根据题意,作△EFC,树高为CD,且∠ECF=90°,ED=2m,FD=3m;∵∠E+∠F=90°,∠E+∠ECD=90°,∴∠ECD=∠F,∴△EDC∽△CDF,∴=,即DC2=ED•FD=2×3=6,解得CD=m.故选:B.2.(2012•麻城市校级自主招生)如图,⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D,与直角边AC相交于点E,且DE∥BC.已知AE=2,AC=3,BC=6,则⊙O的半径是( )A.3B.4C.4D.2【答案】D【解答】解:延长EC交圆于点F,连接DF.则根据90°的圆周角所对的弦是直径,得DF是直径.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴.则DE=4.在直角△ADF中,根据射影定理,得EF==4.根据勾股定理,得DF==4,则圆的半径是2.故选:D.3.(2022春•周村区期末)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BD=3,CD=12,则AD的长为 .【答案】6【解答】解:∵∠BAC=90°,AD⊥BC,∴AD2=CD•BD=36,∴AD=6,故答案为:6.4.(2021春•汉阴县期中)如图所示,在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,对角线AC,BD 交于O,且BE:ED=1:3,AD=6cm,则AE= cm.【答案】3【解答】解:设BE=x,因为BE:ED=1:3,故ED=3x,根据射影定理,AD2=3x (3x+x),即36=12x2,x2=3;由AE2=BE•ED,AE2=x•3x;即AE2=3x2=3×3=9;AE=3.5.(2022•武汉模拟)在矩形ABCD中,BE⊥AC交AD于点E,G为垂足.若CG=CD=1,则AC的长是 .【答案】【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=1,∠ABC=90°,∵BE⊥AC,∴∠AGB=90°=∠ABC,∵∠BAG=∠CAB,∴△ABG∽△ACB,∴=,∴AG•AC=AB2(射影定理),即(AC﹣1)•AC=12,解得:AC=或AC=(不合题意舍去),即AC的长为,故答案为:.6.(2021秋•滦州市期中)已知关于x的方程x2﹣2(a+b)x+c2+2ab=0有两个相等的实数根,其中a、b、c为△ABC的三边长.(1)试判断△ABC的形状,并说明理由;(2)若CD是AB边上的高,AC=2,AD=1,求BD的长.【解答】解:(1)∵两根相等,∴可得:4(a+b)2﹣4(c2+2ab)=0,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形;(2)由(1)可得:AC2=AD×AB,∵AC=2,AD=1,∴AB=4,∴BD=AB﹣AD=3.7.如图,点D在△ABC的边BC上,∠ADC+∠BAC=180°,AB=4,BC=8,求BD的长.【解答】解:∵∠ADC+∠BAC=180°,∠ADC+∠ADB=180°,∴∠ADB=∠BAC,又∵∠B=∠B,∴△BAD∽△BCA,∴=,∴BA2=BD•BC,∵AB=4,BC=8,∴BD=2.即AC⋅CF=CB⋅DF.8.(盐城校级模拟)【问题情境】如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD•AB,这个结论我们称之为射影定理,试证明这个定理;【结论运用】如图2,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E 在CD上,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,(1)试利用射影定理证明△BOF∽△BED;(2)若DE=2CE,求OF的长.【解答】【问题情境】证明:如图1,∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°,而∠CAD=∠BAC,∴Rt△ACD∽Rt△ABC,∴AC:AB=AD:AC,∴AC2=AD•AB;【结论运用】(1)证明:如图2,∵四边形ABCD为正方形,∴OC⊥BO,∠BCD=90°,∴BC2=BO•BD,∵CF⊥BE,∴BC2=BF•BE,∴BO•BD=BF•BE,即=,而∠OBF=∠EBD,∴△BOF∽△BED;(2)方法一:∵BC=CD=6,而DE=2CE,∴DE=4,CE=2,在Rt△BCE中,BE==2,在Rt△OBC中,OB=BC=3,∵△BOF∽△BED,∴=,即=,∴OF=.方法二:将△OFC绕O顺时针旋转90度得到△OGB,如图3,由△BOF∽△BED得到∠OFB=45°,∴∠OGB=∠OFC=45°+90°=135°,∵OG=OF,∴△OGF为等腰直角三角形,∴∠OGF=45°,∴G点在BE上,∵BG=CF=,∴GF=,∴OF=GF=.。

部编数学九年级下册专题15相似三角形之动点问题(解析版)含答案

部编数学九年级下册专题15相似三角形之动点问题(解析版)含答案

专题15 相似三角形之动点问题1.如图,在Rt ABC V 中,9034C AC BC Ð=°==,,,点E 是直角边AC 上动点,点F 是斜边AB 上的动点(点F 与A B 、两点均不重合).且EF 平分Rt ABC V 的周长,设AE 长为x .(1)试用含x 的代数式表示AF = ;(2)若AEF △的面积为165,求x 的值;(3)当AEF △是等腰三角形时,求出此时AE 的长.∵BC AC FD ⊥,∴BC DF ∥.∴FDA BCA ∽V V ∴BC DF AB AF =,即∵EMA C Ð=Ð=∴EAM BAC ∽V V ∴AE AM AB AC=,1(6)x -同理FAN BAC ∽V V ∴FA AN AB AC=,∴16253x x -=,2.如图,在ABC V 中,90ABC а=,4AB =,3BC =,点P 从点A 出发,沿线段AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动,当点P 不与点A 、B 重合时,作点P 关于直线AC 的对称点Q ,连结PQ ,以PQ 、PB 为边作PBMQ Y .设PBMQ Y 与ABC V 重叠部分图形的面积为S ,点P 的运动时间为t 秒.(1)直接用含t 的代数式表示线段PQ 的长并写出t 的取值范围;(2)当点M 落在边AC 上时,求t 的值及此时PBMQ Y 的面积;(3)求S 与t 之间的函数关系式;(4)当PBMQ Y 的对角线的交点到ABC V 的两个顶点的距离相等时,直接写出t 的值.由意得5AP t =,PO QO =∴225AC AB BC +==,∵ABC AOP ∽△△,AC BC \=1122ABC S AB BC AC =×=Q △125AB BC BM AC ×\==∵四边形PQMB 是平行四边形,(45PQMB TQO S S S t =-=-Y △当2455t << 时,如图3﹣BT AC⊥Q 125AB BC BT AC \==g 2224AT AB BT \=-=则AK CK =,设AK CK =在Rt CBK V 中,2CK BC =∴()22234x x =+-,解得258x =,∵OL AB ∥,QO OB = ,∴直线OL 平分QP ,∴点L 在线段PQ 上,且AL ∴5t =.3.如图,在矩形ABCD 中,BC CD >,,BC CD 分别是一元二次方程214480x x -+=的两个根,连结BD ,动点P 从B 出发,以1个单位每秒速度,沿BD 方向运动,同时,动点Q 从点D 出发,以同样的速度沿射线DA 运动,当点P 到达点D 时,点Q 即停止运动,设运动时间为t 秒.以PQ 为斜边作Rt PQM D ,使点M 落在线段BD 上.(1)求线段BD 的长度;D面积的最大值;(2)求PDQ(3)当PQMD与BCDD相似时,求t的值.4.如图,在ABC V 中,10cm AB = ,20cm BC =,点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm /s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm /s 的速度移动,如果P Q , 分别从A B , 同时出发,问经过几秒钟,△△P B Q A B C : .5.如图,在ABC V 中,90C Ð=°,6AC =,8BC =,D 是BC 边的中点,E 为AB 边上的一个动点,作90DEF Ð=°,EF 交射线BC 于点F .设BE x =,BED V 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(2)如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED V 相似,求BED V 的面积.【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质,函数关系式.注意(2)中都要分情况进行讨论:要分BEF Ð时钝角还是锐角进行分类讨论,不要丢掉任何一种情况.6.如图,矩形ABCD 中,AD AB ==25, ,P 为CD 边上的动点,当ADP △与BCP V 相似时,求DP 长.7.如图,在ABC V 中,908C AC Ð=°=,cm ,动点P 从点C 出发沿着C B A --的方向以2cm/s 的速度向终点A 运动,另一动点Q 同时从点A 出发沿着AC 方向以1cm/s 的速度向终点C 运动,P 、Q 两点同时到达各自的终点,设运动时间为t (s ).APQ V 的面积为2cm S .(1)求BC的长;(2)求S与t的函数关系式,并写出的取值范围;V相似?(3)当t为多少秒时,以P、C、Q为顶点的三角形和ABC8.如图,在ABC V 中,8cm 10cm AB AC ==、,点P 从A 出发,以2cm/s 的速度向B 运动,同时点Q 从C 出发,以3cm/s 的速度向A 运动,当其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设运动的时间为s t ,(1)则AP = ;AQ = ____ (用含t 的代数式表示)(2)求运动时间t 的值为多少时,以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC V 相似?9.如图1,在Rt ABC △中,=90=6cm =8cm ACB AC BC а,,,动点P 从点B 出发,在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动,同时动点Q 从点C 出发,在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动,运动时间为t 秒()02t <<,连接PQ .(1)若BPQ V 与ABC V 相似,求t 的值;(2)直接写出BPQ V 是等腰三角形时t 的值;(3)如图2,连接AQ 、CP ,若AQ CP ⊥,求t 的值.则12BG PB ==∵=QBG ABC ÐÐ∴BGQ BCA ~V V BG BQ =5∵PM BC ACB ⊥Ð,∴PM AC ∥,10.如图1,在ABC V 中,90,3,4BCA AC BC а===,点P 为斜边AB 上一点,过点P 作射线PD PE ⊥,分别交AC 、BC 于点D ,E .(1)问题产生∶若P 为AB 中点,当,PD AC PE BC ⊥⊥时,PD PE= ;(2)问题延伸:在(1)的情况下,将若∠DPE 绕着点P 旋转到图2的位置,PD PE 的值是否会发生改变?如果不变,请证明;如果改变,请说明理由;(3)问题解决:如图3,连接DE ,若PDE V 与ABC V 相似,求BP 的值.(3)如图2,连接CP,如图3,当PDE △∽△∵90DPE ACB Ð+Ð=°∴点C 、D 、P 、E 共圆,综上所述:165BP =或【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质.通过添加合适的辅助线证明三角形相似是解题的关键.同时,本题考查了三角形的中位线定理,以及利用四点共圆证明角相等,是一道综合题.11.如图,在平面直角坐标系内,已知点A (0,6)、点B (8,0),动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动,同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒.(1)当t 为何值时,△APQ 与△AOB 相似?(2)当t 为何值时,△APQ 的面积为245∵QE⊥AO,BO⊥AO,∴QE∥BO,∴△AEQ∽△AOB,∴45QE BOAQ AB==44812.如图,在矩形ABCD中,12AB=cm,=3AD cm,点E、F同时分别从D、B两点出发,以1cm/s 的速度沿DC、BA向终点C、A运动,点G、H分别为AE、CF的中点,设运动时间为t(s).(1)求证:四边形EGFH是平行四边形.(2)填空:①当t为______s时,四边形EGFH是菱形;②当t为______s时,四边形EGFH是矩形.13.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =4cm ,BC =8cm ,点D ,E 分别为边AB ,AC 的中点,连结DE ,点P 从点B 出发,沿折线BD -DE -EA 运动,到点A 后立即停止.点P 在BD 的速度运动,在折线DE -EA 上以1cm/s 的速度运动.在点P 的运动过程中,过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ,以PQ 为边作正方形PQMN ,点M 在线段BQ 上.设点P 的运动时间为t (s ).(1)当点P 在线段DE 上时,求正方形PQMN 的边长.(2)当点N 落在边AB 上时,求t 的值.(3)在点P 的整个运动过程中,记正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形面积为S (cm ²),求S 与t 的函数关系式,写出相应t的取值范围.14.如图,矩形ABCD 中,15AB cm =,10BC cm =,动点P 从点A 出发,沿AB 边以2/s cm 的速度cm的速度向点A匀速移动,一个动点到达端向点B匀速移动,动点Q从点D出发,沿DA边以1/s点时,另一个动点也停止运动,点P,Q同时出发,设运动时间为s t.(1)当t为何值时,APQ△的面积为216cm(2)t为何值时,以A,P,Q为顶点的三角形与ABCV相似.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定,一元二次方程的解法等知识,熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键,同时注意分类讨论思想的运用.15.阅读与思考如图是两位同学对一道习题的交流,请认真阅读下列对话并完成相应的任务.解决问题:(1)写出正确的比例式及后续解答.(2)指出另一个错误,并给出正确解答.拓展延伸:(3)如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.16.如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米.点P从点O开始沿OA向点A 以1厘米/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动.当一点运动到终点时,另一点也随之停止.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0<t<6),求当V POQ与V AOB相似时t的值.17.如图,△ABC中,AB=AC=10cm.BC=16cm,动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动,同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动,当其中一个动点停止运动时另一个动点也停止运动,设运动时间为t(单位:s),以点Q为圆心,BQ长为半径的⊙Q与射线BA、线段BC分别交于点D,E,连接DP.(1)当t为何值时,线段DP与⊙Q相切;(2)若⊙Q与线段DP只有一个公共点,求t的取值范围;(3)当△APC是等腰三角形时,直接写出t的值.18.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=8,AC=6,点P,Q同时从点B出发,点P以每秒5个单位长度的速度沿折线BA﹣AC运动,点Q以每秒3个单位长度的速度沿折线BC﹣CA运动,当点P,Q相遇时,两点同时停止运动,设点P运动的时间为t秒,△PBQ的面积为S.(1)当P,Q两点相遇时,t= 秒;(2)求S关于t的函数关系式,并直接写出t的取值范围.90PHB C \Ð=Ð=°,B B ÐÐ=Q ,ΔΔABC PBH \∽,\PH BP AC AB=,165PC t =-,113(16522S PQ PC t t =´=´´-当833t ……时,如图,248PQ t =-,118(248)22S PQ BC t =´=´-=-19.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=16,BC=12.动点P 从点B 出发,沿线段BA 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 A 运动,同时动点Q 从点 A 出发,沿折线AC—CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动.当点P 到达终点时,点Q 也停止运动.设运动的时间为t 秒.(1)AB= ;(2)用含t 的代数式表示线段CQ 的长;(3)当Q 在AC 上运动时,若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似,求t 的值;(4)设点O 是PA 的中点,当OQ 与△ABC 的一边垂直时,请直接写出t 的值.【点睛】本题考查了勾股定理,动点问题,相似三角形的性质与判定,分类讨论是解题的关键.20.如图,抛物线23y ax bx =+-交x 轴于()30A -,,()10B ,两点,与y 轴交于点.C 连接AC ,BC .(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点P 为抛物线在第三象限的一个动点,PM x ⊥轴于点M ,交AC 于点G ,PE AC ⊥于点E ,当PGE V 的面积为1时,求点P 的坐标;(3)如图2,若Q 为抛物线上一点,直线OQ 与线段AC 交于点N ,是否存在这样的点Q ,使得以A ,O ,N 为顶点的三角形与ABC V 相似.若存在,请求出此时点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)把()30A -,和()10B ,的坐标代入抛物线解析求出a 和b 即可求解;(2)求出直线AC 的解析式为3y x =--,设()223P n n n +-,,则()3G n n --,,由三角形面积可得出1n =-或2n =-,则可得出答案;(3)分两种情况,①若AON ABC V V ∽,②若AON ACB V V ∽,由相似三角形的性质可求出ON 的长,求出N 点坐标,联立直线ON 和抛物线的解析式可求出答案.(1)解:∵抛物线y =a 2x +bx -3交x 轴于()30A -,,()10B ,两点,∴933030a b a b --=ìí+-=î ,解得12a b =ìí=î,∴该抛物线的解析式为223y x x =+-;(2)解:∵抛物线的解析式为223y x x =+-,∴0x =时,=3y -,∴()03C -,,∴AO OC =.∵=90AOC а,∴45CAO Ð=°.∵PM OA ⊥,PE AC ⊥,∴45PGM PGE GPE Ð=Ð=Ð=°,设直线AC 的解析式为y kx m =+,∴303k m m +=ìí=-î ,∴13k m =-ìí=-î,∴直线AC 的解析式为3y x =--,设()223P n n n +-,,则()3G n n --,,∴94 AK=,∴93344 OK=-=,∴39,44Næö--ç÷èø,∴直线ON的解析式为3y=。

初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)

初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)

初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)一、题目描述在初中数学中,相似三角形是一个非常重要的概念。

本文为您提供一些经典的相似三角形练习题,通过解答这些练习题可以提高学生的解题能力和对相似三角形的理解。

本文附有详细的参考答案,供学生进行自我检测和复习。

二、练习题1. 已知△ABC和△DEF相似,AB = 6cm,BC = 8cm,AC = 10cm,DE = 9cm,计算EF的长度。

2. △ABC与△DEF相似,AB = 2cm,BC =3.5cm,AC = 4cm,EF= 7cm,求DE的长度。

3. 在△ABC中,角A的度数为50°,角B的度数为70°,BC = 8cm。

若与△ABC相似的三角形的边长分别为10cm和12cm,求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。

4. 在△ABC中,∠B = 90°,AC = 10cm,BC = 12cm。

若与△ABC相似的三角形的第二边为16cm,求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。

5. 已知△ABC与△DEF相似,AB = 6cm,AC = 8cm,DE = 12cm,若EF = 18cm,求BC的长度。

6. 高度为5cm的小树和高度为12cm的大树的影子长度之比为2:3。

如果小树的影子长度为10cm,求大树的影子长度。

7. 一个航拍无人机垂直飞行,发现自己离地面的垂直距离与航拍无人机的长度(包括机身和旋翼)的比例为3:2。

如果航拍无人机的长度为120cm,求离地面的垂直距离。

8. 在一个旅游小组中,由5名成年人和7名儿童组成,其平均年龄为30岁。

如果另一个旅游小组由2名成年人和3名儿童组成,其平均年龄为24岁。

求这两个旅游小组的总年龄之比。

三、参考答案1. 根据相似三角形的性质可知,EF与AC的比例应与DE与BC的比例相等。

即 EF/AC = DE/BC。

代入已知值,得 EF/10 = 9/8。

相似三角形经典练习题及答案

相似三角形经典练习题及答案

相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4,则它们的周长之比为()A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案:A解析:相似三角形面积的比等于相似比的平方,相似三角形周长的比等于相似比。

因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4,所以相似比为 1∶2,那么它们的周长之比为 1∶2。

2、如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,DE∥BC,若 AD∶DB = 1∶2,则下列结论中正确的是()A AE∶EC = 1∶2B AE∶EC = 1∶3 C DE∶BC = 1∶2 DDE∶BC = 1∶3答案:B解析:因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC。

因为 AD∶DB =1∶2,所以 AD∶AB = 1∶3。

因为相似三角形对应边成比例,所以AE∶AC = AD∶AB = 1∶3,所以 AE∶EC = 1∶2。

3、已知△ABC∽△A'B'C',相似比为 3∶4,△ABC 的周长为 6,则△A'B'C'的周长为()A 8B 7C 9D 10答案:A解析:因为相似三角形周长的比等于相似比,所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。

设△A'B'C'的周长为x,则6∶x =3∶4,解得 x = 8。

4、如图,在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上的点,且DE∥BC,如果 AD = 2cm,DB = 1cm,AE = 15cm,则 EC =()A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案:B解析:因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以 AD∶AB =AE∶AC。

因为 AD = 2cm,DB = 1cm,所以 AB = 3cm。

所以 2∶3= 15∶(15 + EC),解得 EC = 1cm。

5、下列各组图形一定相似的是()A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案:B解析:等边三角形的三个角都相等,都是 60°,所以两个等边三角形一定相似。

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九年级下数学相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中,选出相似的三角形.例2 已知:如图,ABCD 中,2:1:=EB AE ,求AEF ∆与CDF ∆的周长的比,如果2cm 6=∆AEF S ,求CDF S ∆.例3 如图,已知ABD ∆∽ACE ∆,求证:ABC ∆∽ADE ∆.例4 下列命题中哪些是正确的,哪些是错误的?(1)所有的直角三角形都相似. (2)所有的等腰三角形都相似. (3)所有的等腰直角三角形都相似. (4)所有的等边三角形都相似.例5 如图,D 点是ABC ∆的边AC 上的一点,过D 点画线段DE ,使点E 在ABC ∆的边上,并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似.尽可能多地画出满足条件的图形,并说明线段DE 的画法.例6 如图,一人拿着一支刻有厘米分画的小尺,站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高.例7 如图,小明为了测量一高楼MN 的高,在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜,小明沿NA 后退到C 点,正好从镜中看到楼顶M 点,若5.1=AC m ,小明的眼睛离地面的高度为1.6m ,请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1m ).例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形,说明理由.例9 根据下列各组条件,判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似,并说明理由:(1),cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A . (2)︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A .(3)︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB .例10 如图,下列每个图形中,存不存在相似的三角形,如果存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据.例11 已知:如图,在ABC ∆中,BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线,试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2.例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13,与其相似的C B A '''∆的最大边长为26,求C B A '''∆的面积S .例13 在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处(如图),然后沿BC 方向走到D 处,这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上,又测得C 、D 两点的距离为3米,小芳的目高为1.5米,这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行?请说明理由.例14.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ,再在河的这一边选点B 和C ,使BC AB ⊥,然后再选点E ,使BC EC ⊥,确定BC 与AE 的交点为D ,测得120=BD 米,60=DC 米,50=EC 米,你能求出两岸之间AB 的大致距离吗?例15.如图,为了求出海岛上的山峰AB 的高度,在D 和F 处树立标杆DC 和FE ,标杆的高都是3丈,相隔1000步(1步等于5尺),并且AB 、CD 和EF 在同一平面内,从标杆DC 退后123步的G 处,可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上,从标杆FE 退后127步的H 处,可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上.求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少?(古代问题)例16 如图,已知△ABC 的边AB =32,AC =2,BC 边上的高AD =3.(1)求BC 的长;(2)如果有一个正方形的边在AB 上,另外两个顶点分别在AC ,BC 上,求这个正方形的面积.相似三角形经典习题答案例1. 解 ①、⑤、⑥相似,②、⑦相似,③、④、⑧相似例2. 解 ABCD 是平行四边形,∴CD AB CD AB =,//,∴AEF ∆∽CDF ∆,又2:1:=EB AE ,∴3:1:=CD AE ,∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1:3. 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ,∴)cm (542=∆CDF S . 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆,则CAE BAD ∠=∠,因此DAE BAC ∠=∠,如果再进一步证明AECAAD BA =,则问题得证.证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆,∴CAE BAD ∠=∠.又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ,∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠, ∴DAE BAC ∠=∠. ∵ABD ∆∽ACE ∆,∴AEACAD AB =. 在ABC ∆和ADE ∆中,∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,,∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4.分析 (1)不正确,因为在直角三角形中,两个锐角的大小不确定,因此直角三角形的形状不同.(2)也不正确,等腰三角形的顶角大小不确定,因此等腰三角形的形状也不同. (3)正确.设有等腰直角三角形ABC 和C B A ''',其中︒='∠=∠90C C ,则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ,设ABC ∆的三边为a 、b 、c ,C B A '''∆的边为c b a '''、、, 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,,∴a ac c b b a a '=''=',,∴ABC ∆∽C B A '''∆. (4)也正确,如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形,对应角相等,对应边都成比例,因此ABC ∆∽C B A '''∆.答:(1)、(2)不正确.(3)、(4)正确. 例5.解:画法略.例6.分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形,即60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=CE 米,求BC .由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,,又ACF ∆∽ABC ∆,∴BC GFEC DF =,从而可以求出BC 的长. 解 EC DF EC AE //,⊥ ,∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,,∴ADF ∆∽AEC ∆.∴ACAFEC DF =. 又EC BC EC GF ⊥⊥,,∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//, ∴AGF ∆∽ABC ∆,∴BC GF AC AF =,∴BCGFEC DF =.又60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=EC 米,∴6=BC 米.即电线杆的高为6米. 例7.分析 根据物理学定律:光线的入射角等于反射角,这样,BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了.解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,,所以BCA ∆∽MNA ∆.所以AC AN BC MN ::=,即5.1:206.1:=MN .所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN (m ). 说明 这是一个实际应用问题,方法看似简单,其实很巧妙,省却了使用仪器测量的麻烦.例8.分析 这两个图如果不是画在格点中,那是无法判断的.实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度.解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,,所以︒=∠=∠90B E , 又4,2,2,1====AB BC DE EF .所以21==BC EF AB DE .所以DEF ∆∽ABC ∆. 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件,勿使遗漏.例9.解 (1)因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ,所以ABC ∆∽C B A '''∆; (2)因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ,两个三角形中只有A A '∠=∠,另外两个角都不相等,所以ABC ∆与C B A '''∆不相似;(3)因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ,所以ABC ∆相似于C B A '''∆.例10.解 (1)ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等; (2)ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等;(3)CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等; (4)EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等; (5)ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等; (6)ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等.例11.分析 有一个角是65°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD 是底角的平分线,∴︒=∠36CBD ,则可推出ABC ∆∽BCD ∆,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明 AC AB A =︒=∠,36 ,∴︒=∠=∠72C ABC . 又BD 平分ABC ∠,∴︒=∠=∠36CBD ABD .∴BC BD AD ==,且ABC ∆∽BCD ∆,∴BC CD AB BC ::=,∴CD AB BC ⋅=2,∴CD AC AD ⋅=2. 说明 (1)有两个角对应相等,那么这两个三角形相似,这是判断两个三角形相似最常用的方法,并且根据相等的角的位置,可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式cd ab =,或平方式bc a =2,一般都是证明比例式,b dc a =,或caa b =,再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形,又因为ABC ∆∽C B A '''∆,所以C B A '''∆也是直角三角形,那么由C B A '''∆的最大边长为26,可以求出相似比,从而求出C B A '''∆的两条直角边长,再求得C B A '''∆的面积.解 设ABC ∆的三边依次为,13,12,5===AB AC BC ,则222AC BC AB += ,∴︒=∠90C .又∵ABC ∆∽C B A '''∆,∴︒=∠='∠90C C .212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC , 又12,5==AC BC ,∴24,10=''=''C A C B . ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S .例13.分析 判断方法是否可行,应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高.按这种测量方法,过F作AB FG ⊥于G ,交CE 于H ,可知AGF ∆∽EHF ∆,且GF 、HF 、EH 可求,这样可求得AG ,故旗杆AB 可求.解 这种测量方法可行.理由如下:设旗杆高x AB =.过F 作AB FG ⊥于G ,交CE 于H (如图).所以AGF ∆∽EHF ∆.因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ,所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH .由AGF ∆∽EHF ∆,得HF GF EH AG =,即33025.1=-x ,所以205.1=-x ,解得5.21=x (米) 所以旗杆的高为21.5米.说明 在具体测量时,方法要现实、切实可行. 例14. 解:︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ,∴ABD ∆∽ECD ∆,1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB (米),答:两岸间AB 大致相距100米. 例15. 答案:1506=AB 米,30750=BD 步,(注意:AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,.) 例16. 分析:要求BC 的长,需画图来解,因AB 、AC 都大于高AD ,那么有两种情况存在,即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上,所以求BC 的长时要分两种情况讨论.求正方形的面积,关键是求正方形的边长. 解:(1)如上图,由AD ⊥BC ,由勾股定理得BD =3,DC =1,所以BC =BD +DC =3+1=4. 如下图,同理可求BD =3,DC =1,所以BC =BD -CD =3-1=2.(2)如下图,由题目中的图知BC =4,且162)32(2222=+=+AC AB ,162=BC ,∴222BC AC AB =+.所以△ABC 是直角三角形.由AE G F 是正方形,设G F =x ,则FC =2-x , ∵G F ∥AB ,∴AC FCAB GF =,即2232x x -=. ∴33-=x ,∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形. 如下图,当BC =2,AC =2,△ABC 是等腰三角形,作CP ⊥AB 于P ,∴AP =321=AB ,在Rt △APC 中,由勾股定理得CP =1, ∵GH ∥AB ,∴△C GH ∽△CBA ,∵x x x -=132,32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此,正方形的面积为3612-或121348156-.。

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