实际问题中导数的意义
导数在生活中的意义
导数在生活中的意义导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数在这一点处的切线斜率。
导数的意义非常广泛，不仅仅存在于数学中，在生活中也有着重要的应用。
1.速度和加速度。
导数的最典型的应用就是描述物体在某一时刻的速度和加速度。
速度是物体在单位时间内所经过的路程，而导数描述了这个路程在某一瞬间的变化率，即速度。
而加速度则是速度的变化率，也就是速度随时间的导数。
在交通工具中，比如汽车，我们可以通过计算速度的导数来得到车辆的加速度，这对于提高车辆的性能和安全性非常重要。
2.经济分析。
在经济学中，导数被广泛应用于市场模型、成本和收益的估算以及货币政策的决策。
比如，股票市场中的价格变动无时不刻，导数可以帮助分析股票价格的涨跌规律，进而决定投资策略。
此外，导数还可以用来计算成本和收益的变化率，帮助企业制定最优的价格策略，提高利润率。
3.医学应用。
医学中也用到了导数，比如在病人的心电图中，导数可以用来计算心率以及诊断心跳问题，同时在医疗器械的设计中也需要使用导数。
更进一步的，导数可以用于血压和脉搏波等多种体征的分析，以此帮助医生诊断和治疗病患。
4.物理领域。
物理学也是一个广泛运用导数的领域，比如刚体运动描述，光学中的曲率计算和电磁学中的电场力的计算等等。
在运动描述中，导数被用来描述运动轨迹、加速度、速度和位移等量，为我们对物体的运动提供了深入理解。
所以导数在研究物理学的规律性和发展物理学理论方面，有着不可代替的作用。
综上所述，虽然导数是一门抽象而复杂的数学学科，但是它在生活中有着非常重要的应用。
从速度、加速度到经济和医学应用，再到物理学的探索，导数都有广泛的用途。
因此，我们应该学习微积分中的导数概念，更好地发掘和利用其在生活中的意义。
导数概念及意义范文
导数概念及意义范文导数是微积分中的一个重要概念，用来描述函数的变化率。
导数的意义在于解决了很多实际问题中的极限、斜率、速度和变化率等关键问题。
导数的定义可以通过极限来给出。
对于一个定义在区间上的函数，如果函数在其中一点上的导数存在，那么它就代表了在该点上函数的瞬时变化率。
导数被定义为该点上函数的斜率，表示了函数在该点附近的局部变化情况。
在直观上，导数可以理解为函数图像上其中一点处的切线的斜率。
切线的斜率可以用来描述函数在该点的变化速度，例如，对于一条直线函数来说，其导数在每一个点上都是相同的，即变化速度保持不变。
而对于曲线函数，导数在不同点上的值往往是不同的，因此可以用导数来描述曲线函数在不同点上的变化速度和方向。
导数的意义主要体现在以下几个方面：1.斜率的意义：在几何学中，斜率用来描述线段或曲线的倾斜程度。
导数可以精确计算出曲线在其中一点上的斜率，从而更好地描述曲线的性质。
2.速度的意义：对于物理学中的运动问题来说，导数可以表示物体的速度。
通过对位移函数关于时间的导数，可以得到速度函数，从而精确地描述物体在不同时间点上的瞬时速度。
3.变化率的意义：导数可以用来描述函数在给定点处的变化率，即函数值随自变量的变化而变化的快慢。
这对于许多实际问题中的分析和解决非常有用，比如经济学中的边际效应分析、生物学中的生长速率分析等。
4.最值和凹凸性的意义：导数的符号和变化规律可以用来判断函数的极值点和凹凸性。
根据导数的正负性可以判断函数的增减性，从而得到函数的最值点；而根据导数的单调性和凹凸性可以推断函数的趋势和拐点位置。
总之，导数是微积分中的一个基本概念，对于函数的性质研究和实际问题的分析具有重要意义。
它在物理、经济、生物等不同领域都起到了关键的作用，在解决实际问题和推导数学定理中都发挥了重要的作用。
第3章 2.1 实际问题中导数的意义
§2导数在实际问题中的应用2．1实际问题中导数的意义学习目标 1.了解导数在实际问题中的意义.2.能用导数解释一些实际问题．知识点实际问题中导数的意义(1)功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数．瞬时速度：在物理学中，物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度．(2)降雨强度：在气象学中，通常把在单位时间内的降雨量称为降雨强度，它是降雨量关于时间的导数．(3)边际成本：在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本．边际成本f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本．(4)线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数．1．对功关于时间的函数，W′(t)就是表示t s内的功率．(×)2．气象学中，用平均降雨量来衡量降雨强度．(√)3．在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本．(√)类型一导数在函数图像中的应用例1如图所示，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是()考点实际问题中导数的意义题点导数在函数图像中的应用答案 D解析选项A表示面积的增速是常数，与实际不符，选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符．选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符．选项D表示开始时段和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际，所以应选D.反思与感悟解决函数图像问题有两种方法：一是计算出该函数的解析式，由解析式得到函数的某些性质，再根据性质选择相对应的图像；二是利用导数知识，判断函数的平均变化率的变化趋势(越来越大、越来越小或是不变)，从而判断出函数图像的特征(下凸、上凸、直线)，再选择相对应的图像．跟踪训练1如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像，它们之间的对应关系分别是________________．考点实际问题中导数的意义题点导数在函数图像中的应用答案①→B②→A③→D④→C类型二导数在实际问题中的应用命题角度1导数在物理学中的应用例2某汽车启动阶段的路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系是s(t)＝2t3－5t2，则当t＝2时，汽车的加速度是________ m/s2.考点导数在实际问题中的应用题点导数在物理学中的应用答案14解析汽车的速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t，所以汽车的加速度为v′(t)＝12t－10，则v′(2)＝14 m/s2.反思与感悟(1)函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)就是导函数在x0处的函数值．(2)瞬时速度是运动物体的位移s(t)对于时间的导数，即v(t)＝s′(t)．(3)瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间的导数，即a(t)＝v′(t)．跟踪训练2某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－6t2＋16t.(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释实际意义；(2)求W′(1)，W′(2)，并解释它们的实际意义．考点导数在实际问题中的应用题点导数在物理学中的应用解(1)当t从1 s变到3 s时，功W从W(1)＝11 J变到W(3)＝21 J，此时功W关于时间t的平均变化率为W(3)－W(1)3－1＝21－113－1＝5(J/s)．它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间，这个人平均每秒做功5 J.(2)首先求W′(t)，根据导数公式和求导法则可得W′(t)＝3t2－12t＋16，W′(1)＝7 J/s，W′(2)＝4 J/s.W′(1)和W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时，这个人每秒做的功为7 J和4 J.命题角度2导数在经济生活中的应用例3某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x (件)的函数关系为C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义．考点 导数在实际问题中的应用题点 导数在经济生活中的应用解 当x 从10件提高到20件时，总成本C 从C (10)＝2 675元变到C (20)＝3 350元．此时总成本的平均改变量为C (20)－C (10)20－10＝67.5(元/件)， 其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量．引申探究若本例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义．解 因为C ′(x )＝12x ＋60， 所以C ′(75)＝12×75＋60＝97.5(元/件)， 它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元．反思与感悟 实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决．跟踪训练3 东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c 元与生产量x 台之间的关系式为c (x )＝－2x 2＋7 000x ＋600.(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；(3)求c ′(1 000)与c ′(1 500)，并说明它们的实际意义．考点 导数在实际问题中的应用题点 导数在经济生活中的应用解 (1)产量为1 000台时的总利润为c (1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)，平均利润为c (1 000)1 000＝5 000.6(元)．(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为c (1 500)－c (1 000)1 500－1 000＝6 000 600－5 000 600500＝2 000(元)． (3)∵c ′(x )＝(－2x 2＋7 000x ＋600)′＝－4x ＋7 000，∴c ′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)．c ′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)．c ′(1 000)＝3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元． c ′(1 500)＝1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元.1．在一次降雨过程中，降雨量y 是时间t 的函数，用y ＝f (t )表示，则f ′(10)表示( )A ．t ＝10时的降雨强度B ．t ＝10时的降雨量C ．t ＝10时的时间D ．t ＝10时的温度考点 导数在实际问题中的应用题点 导数在气象学中的应用答案 A解析 f ′(t )表示t 时刻的降雨强度．故选A.2．某旅游者爬山的高度h (单位：m)关于时间t (单位：h)的函数关系式是h (t )＝－100t 2＋800t ，则他在t ＝2 h 这一时刻的高度变化的速度是( )A ．500 m/hB ．1 000 m/hC ．400 m/hD ．1 200 m/h 考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用答案 C解析 ∵h ′(t )＝－200t ＋800，∴当t ＝2时，h ′(2)＝400.3．圆的面积S 关于半径r 的函数关系式是S (r )＝πr 2，那么在r ＝3时面积的变化率是( )A ．6B ．9C ．9πD ．6π考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 D解析∵S′(r)＝2πr，∴S′(3)＝2π×3＝6π.4．一个物体的运动方程为s(t)＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s 末的瞬时速度是()A．7 m/s B．6 m/sC．5 m/s D．8 m/s考点求瞬时速度题点瞬时速度在实际问题中的应用答案 C解析∵s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5.5．正方形的周长y关于边长x的函数是y＝4x，则y′＝______，其实际意义是_____．考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案4边长每增加一个单位，周长增加4个单位1．要理解实际问题中导数的意义，首先要掌握导数的定义，然后再依据导数的定义解释它在实际问题中的意义．2．实际问题中导数的意义(1)功关于时间的导数是功率．(2)降雨量关于时间的导数是降雨强度．(3)生产成本关于产量的导数是边际成本．(4)路程关于时间的导数是速度．(5)速度关于时间的导数是加速度.一、选择题1．吹气球时，气球的体积V (r )与半径r (dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3，当半径为2 dm 时体积的瞬时变化率为( )A.43π B ．4π C ．12π D ．16π 考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 D解析 ∵V ′(r )＝4πr 2，∴V ′(2)＝4π·22＝16π，∴气球的体积V (r )在半径为2 dm 时的瞬时变化率为16π.2．某汽车的紧急刹车在遇到特别情况时需在2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－13t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( ) A ．汽车刹车后1 s 内的位移B ．汽车刹车后1 s 内的平均速度C ．汽车刹车后1 s 时的瞬时速度D ．汽车刹车后1 s 时的位移考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 C解析由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．3．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f′(x)>0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较()A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小C．公司在亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利在增加，增加的幅度变大考点导数在某点处的导数的几何意义题点导数在经济生活中的应用答案 B解析因为导数的含义是变化率，f′(10)>f′(20)>0.4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是()考点实际问题中导数的意义题点导数在函数图像中的应用答案 A解析根据变化率的大小判断．5．细杆AB的长为20 cm，M为细杆AB上的一点，AM段的质量与A到M的距离的平方成正比，当AM＝2 cm时，AM的质量为8 g，那么当AM＝x cm时，M处的细杆线密度ρ(x)为() A．2x B．3x C．4x D．5x考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案 C解析设m(x)＝kx2，当AM＝2时，m(2)＝k·22＝8，∴k＝2.∴m(x)＝2x2.∴ρ(x)＝m′(x)＝4x.6．设球的半径关于时间t的函数为R(t)，若球的体积V以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径()A．成正比，比例系数为CB．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为CD．成反比，比例系数为2C考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案 D解析根据题意知，V＝43πR3(t)，S＝4πR2(t)，球的体积增长速度为V′＝4πR2(t)·R′(t)，球的表面积增长速度为S′＝2·4πR(t)·R′(t)．∵球的体积以均匀速度C增长，∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C.二、填空题7．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________.考点求瞬时速度题点瞬时速度在实际问题中的应用答案3 2解析s′＝6t＋1＝10，∴t＝3 2.8．若某段导体通过的电量Q(单位：C)与时间t(单位：s)的函数关系为Q＝f(t)＝120t2＋t－80，t∈[0,30]，则f′(15)＝________，它的实际意义是__________________．考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案52t＝15 s时的电流强度为52C/s9．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)的函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是________元/年．(1.0510≈1.628，ln 1.05≈0.049，结果精确到0.01)考点导数在实际问题中的应用题点导数在经济生活中的应用答案 0.08解析 因为p 0＝1，所以p (t )＝(1＋5%)t ＝1.05t ，在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t ＝10时的函数值．因为p ′(t )＝(1.05t )′＝1.05t ·ln 1.05，所以p ′(10)＝1.0510×ln 1.05≈0.08.因此，在第10个年头，这种商品的价格以约0.08元/年的速度上涨．10．如图，水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张，当半径为250 cm 时，一水波面的圆面积的膨胀率是________．考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 25 000π解析 ∵面积S ＝πr 2，半径r ＝50t ，∴S ＝2 500πt 2.令r ＝50t ＝250，∴t ＝5，又S ′＝5 000πt ，∴当t ＝5时的膨胀率为5 000π×5＝25 000π.三、解答题11．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系式为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t ＝0 min 到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0 min 到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(3)求T ′(5)，并说明它的实际意义．考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用解 (1)T (10)－T (0)＝12010＋5＋15－1200＋5－15＝－16 ℃， 所以蜥蜴的体温下降了16 ℃.(2)平均变化率是－1.6 ℃/min ，它表示从t ＝0 min 到t ＝10 min 这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6 ℃.(3)由已知得T ′(t )＝－120(t ＋5)2，所以T ′(5)＝－1.2，它表示t ＝5 min 时，蜥蜴体温的下降速度为1.2 ℃/min.12．江轮逆水上行300 km ，水速为6 km /h ，船相对于水的速度为x km/h ，已知船航行时每小时的耗油量为0.01x 2 L ，即与船相对于水的速度的平方成正比．(1)试写出江轮在此行程中耗油量y 关于船相对于水的速度x 的函数关系式：y ＝f (x )；(2)求f ′(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度＝船相对水的速度—水速)．考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用解 (1)船的实际速度为(x －6) km/h ，故全程用时300x －6 h ，所以耗油量y 关于x 的函数关系式为y ＝f (x )＝300×0.01x 2x －6＝3x 2x －6(x >6)． (2)f ′(x )＝3·2x (x －6)－x 2(x －6)2＝3x (x －12)(x －6)2， f ′(36)＝3×36×(36－12)(36－6)2＝2.88(L km/h )， f ′(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h 时，耗油量增加的速度为2.88 L km/h，也就是说当船相对于水的速度为36 km /h 时，船的航行速度每增加1 km/h ，耗油量就要增加2.88 L.四、探究与拓展13．在F 1赛车中，赛车位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)．求：(1)t ＝20，Δt ＝0.1时的Δs 与Δs Δt； (2)求t ＝20时的瞬时速度考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用解 (1)因为Δs ＝s (20.1)－s (20)＝(10×20.1＋5×20.12)－(10×20＋5×202)＝21.05(m)，所以Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s)． (2)因为s ′＝10＋10t ，所以当t ＝20时，s ′＝10＋10×20＝210(m/s)，即当t ＝20时的瞬时速度为210 m/s.14．水以20 m 3/min 的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m ，上底直径为12 m ，试求当水深10 m 时，水面上升的速度．考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用解 设容器中水的体积在t min 时为V ，水深为h ，则V ＝20t ，V ＝13πr 2h (r 如图所示)．由图知r h ＝630，∴r ＝15h ， ∴V ＝13π·⎝⎛⎭⎫152·h 3＝π75h 3， ∴20t ＝π75h 3，∴h ＝ 3 1 500πt ， 于是h ′＝ 3 1 500π·13·t －23， 当h ＝10时，t ＝2π3，此时h ′＝5π， ∴当水深10 m 时，水面上升的速度为5πm/min.。
导数与微分在实际问题中的作用
导数与微分在实际问题中的作用导数与微分是微积分的两个基本概念，它们不仅是高等数学中的重要内容，更是应用数学和理工科学习的重要工具。
在实际问题中，导数与微分具有广泛的应用，下面将从几个实际问题中探讨导数与微分的作用。
1. 最优化问题中的应用最优化问题是在给定的条件下寻找最佳解决方案的问题，例如最大化利润、最小化成本等。
导数与微分在最优化问题中发挥关键作用。
通过求解函数的导数可以找到其最大值或最小值的位置，并结合边界条件和约束条件，可以确定最优解。
例如，在经济学中，生产函数的边际产出可以通过导数来计算，而边际成本则可以通过微分来计算，进而确定最大利润的生产量。
2. 运动学问题中的应用导数与微分在运动学分析中扮演重要角色。
运动学研究物体的运动轨迹、速度和加速度等问题。
对于给定的位移函数，通过求导可以得到物体的速度函数，通过再次求导可以得到物体的加速度函数。
这些导数函数可以使我们更好地理解物体的运动规律，并能够解决与运动相关的实际问题，如交通流量研究、车辆行驶路径规划等。
3. 物理学问题中的应用导数与微分在物理学中也有广泛的应用。
物理学研究自然界中物体的运动、力学、能量、电磁学等问题。
在这些研究中，导数和微分的概念是无法忽视的。
例如，在力学中，通过对位移函数和速度函数求导，可以确定物体的加速度，从而研究物体受力和动量的变化。
在电磁学中，通过对电流的微分可以得到电场，进而研究电磁波的传播和电路的特性。
4. 经济学问题中的应用导数与微分在经济学中也有重要应用。
经济学研究资源的分配、供需关系、市场行为等问题。
通过导数和微分，经济学家可以分析价格的变化对需求和供给的影响，并确定市场均衡点。
此外，在经济学中，边际效益和边际成本的概念是基于导数和微分的，它们帮助经济学家决策和优化资源配置。
5. 生物学问题中的应用导数与微分在生物学中也有着广泛的应用。
生物学研究生物体的生命周期、进化、遗传等问题。
如在生物进化研究中，通过微分方程模型可以描述物种的数量变化，通过求解微分方程可以预测物种的演化轨迹。
2021-2022学年北师大版选择性必修第二册 第2章 实际问题中导数的意义实际问题中的最值问题
[跟进训练] 1．线段 AB 长 10 米，在它的两个端点处各有一个光源，线段 AB 上的点 P 距光源 A x 米，已知点 P 受两个光源的总光照度 I(x)＝x82 ＋10－1 x2，其单位为：勒克斯． (1)当 x 从 5 变到 8 时，求点 P 处的总光照度关于点 P 与 A 的距 离 x 的平均变化率，它代表什么实际意义？ (2)求 I′(5)并解释它的实际意义．
类型 2 导数在日常生活中的应用 【例 2】 某机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润 c 元与生产量 x 台之间的关系式为 c(x)＝－2x2＋7 000x＋600． (1)求产量为 1 000 台的总利润与平均利润； (2)求产量由 1 000 台提高到 1 500 台时，总利润的平均改变量； (3)求 c′(1 000)与 c′(1 500)，并说明它们的实际意义．
它表示从 t＝1 s 到 t＝3 s 这段时间，这个人平均每秒做功 5 J．
(2)首先求 W′(t)．根据导数公式和求导法则可得 W′(t)＝3t2－12t ＋16，
于是，W′(1)＝7 J/s，W′(2)＝4 J/s． W′(1)和 W′(2)分别表示 t＝1 s 和 t＝2 s 时，这个人每秒做的功分 别为 7 J 和 4 J．
(2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．
∴当 x＝8 时，S 取得最小值，则高为 4 dm．]
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4．某考生在参加 2020 年高考数学科考试时，其解答完的题目数 量 y(单位：道)与所用时间 x(单位：分钟)近似地满足函数关系 y＝2 x．
(1)求 x 从 0 分钟变化到 36 分钟时，y 关于 x 的平均变化率； (2)求 f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义．
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它具有丰富的几何意义和广泛的应用。
本文将详细阐述导数的几何意义以及在实际问题中的应用。
一、导数的几何意义导数的几何意义是切线的斜率。
考虑函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)，这个导数值代表函数曲线在该点处的斜率。
换言之，导数告诉我们曲线在特定点的变化速率。
如果导数为正，表示曲线在该点处是上升的；如果导数为负，表示曲线在该点处是下降的；如果导数为零，表示曲线在该点处有极值（最大值或最小值）。
基于这个几何意义，我们可以通过导数来研究曲线的特性。
例如，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性，也可以通过导数的零点来确定函数的极值点。
此外，导数还可以帮助我们理解曲线的弯曲程度。
曲线的弯曲程度与导数的变化率有关，较大的导数变化率表示曲线弯曲较陡峭，较小的导数变化率表示曲线弯曲相对平缓。
二、导数的应用1. 线性逼近导数的几何意义使得它在线性逼近问题中非常有用。
我们可以利用导数来构造一个称为切线的线性函数，用来近似曲线在该点的行为。
这种线性逼近方法在很多实际问题中被广泛应用。
例如，当我们需要确定一条曲线在某点的近似切线时，可以使用导数来计算该点处的切线斜率，并进一步确定切线方程。
2. 最优化问题导数在最优化问题中有重要的应用。
最优化问题涉及如何找到一个函数的最大值或最小值。
通过对函数求导，我们可以找到导数为零的点，即函数的极值点。
进一步分析导数的符号，可以确定函数的最大值或最小值。
这一方法在经济学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
3. 运动学问题导数在运动学中也有广泛的应用。
例如，我们可以通过对位移函数求导来得到速度函数，通过对速度函数再次求导得到加速度函数。
这种将导数应用于运动学问题的方法使得我们能够研究物体的速度和加速度变化。
这在物理学和工程学中对于研究物体的运动非常有用。
4. 统计学在统计学中，导数被用于估计和分析数据。
例如，在回归分析中，我们可以通过对观测数据进行拟合来得到一个最佳的函数。
《实际问题中导数的意义》 学历案
《实际问题中导数的意义》学历案一、学习目标1、理解导数的概念，掌握导数的定义式。
2、能够运用导数解决实际生活中的优化问题，如利润最大、成本最小等。
3、学会利用导数研究函数的单调性、极值和最值，从而解决实际问题中的最值问题。
二、学习重难点1、重点（1）导数的定义和几何意义。
（2）利用导数解决实际问题中的最值问题。
2、难点（1）将实际问题转化为数学模型，建立函数关系式。
（2）理解导数在实际问题中的作用，准确求出函数的导数。
三、知识回顾1、导数的定义设函数＼（y ＝ f(x)＼）在点＼（x_0\）处的自变量的增量为＼（＼Delta x\），函数值的增量为＼（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x)f(x_0)＼），则当＼（＼Delta x ＼to 0\）时，＼（＼frac{＼Delta y}｛＼Delta x}＼）的极限值叫做函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x_0\）处的导数，记作＼（f'（x_0)＼），即＼（f'（x_0) ＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{＼Delta y}｛＼Delta x} ＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼）2、导数的几何意义函数＼（y ＝ f(x)＼）在点＼（x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼），就是曲线＼（y ＝ f(x)＼）在点＼（P(x_0, f(x_0)）＼）处的切线的斜率＼（k\），即＼（k ＝ f'（x_0)＼）。
3、基本初等函数的导数公式（1）＼（（C)＇＝ 0\）（＼（C\）为常数）（2）＼（（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＼）（＼（n ＼in Q^＼））（3）＼（（＼sin x)＇＝＼cos x\）（4）＼（（＼cos x)＇＝＼sin x\）（5）＼（（e^x)＇＝ e^x\）（6）＼（（＼ln x)＇＝＼frac{1}｛x}＼）（7）＼（（＼log_a x)＇＝＼frac{1}｛x ＼ln a}＼）（＼（a ＞0\），且＼（a ＼neq 1\））四、新课导入在我们的日常生活和生产中，经常会遇到各种各样的优化问题，比如如何使生产效率最高、如何使成本最低、如何使利润最大等等。
导数产生的实际意义是什么
导数产生的实际意义是什么1、导数的实质：导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
2、几何意义：函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f （x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
3、作用：导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。
导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念，又称变化率。
扩展资料：一、导数的计算计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。
在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。
只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。
二、导数与函数的性质1、单调性（1）若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。
需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。
（2）若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。
2、凹凸性可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。
如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。
如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。
曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。
导数在生活中的意义
导数在生活中的意义导数是微积分的一个重要概念，它代表了函数在其中一点处的变化率。
导数在生活中有着广泛的应用，下面将从几个方面来介绍导数的意义。
首先，导数在经济学中有着重要的应用。
在经济学中，市场需求和供应曲线可以用函数表示，而市场均衡点则是函数的最大值或最小值所在的点。
而为了找到这个点，就需要使用导数来求取函数的极值点。
通过求导可以找到函数的最大值或最小值，从而确定市场均衡点。
这可以帮助经济学家做出正确的决策，从而实现资源的最优配置。
其次，导数在物理学中也起着重要的作用。
在物理学中，很多物理量的变化率都可以用导数来表示，例如速度就是位移对时间的导数，加速度就是速度对时间的导数。
通过求导可以研究物体的运动规律，帮助科学家预测和解释物体的运动现象。
同时，导数还可以用来描述物质的变化率，例如化学反应速率，物理量的变化速度等等。
除此之外，导数在工程学中也扮演着重要的角色。
在工程学中，导数可以用来优化系统的性能。
例如，导数可以用来求取函数的最大值或最小值，从而找到系统性能的最优解。
这可以帮助工程师在设计中提升产品的效率和性能。
导数还可以用来解决工程中的优化问题，例如如何降低生产成本、如何提高能源利用率等等。
此外，导数在生命科学中也有重要的应用。
在生物学中，导数可以用来研究生物体的生长和发展规律。
通过求导可以研究生物体的生长速率，分析生物体的变化趋势。
导数还可以用来解释植物的光合作用、动物的运动规律等等。
通过研究导数，生物学家可以更好地理解和预测生物体的行为和生态系统的变化。
最后，导数在计算机科学中也有广泛的应用。
在计算机图形学中，导数可以用来描述曲线和曲面的形状。
通过求导，可以得到曲线的切线方程，从而实现计算机图像的平滑和变形效果。
导数还可以用来研究算法的复杂度和效率，帮助优化计算机程序的运行速度和内存占用。
综上所述，导数在生活中有着广泛的应用。
不论是经济学、物理学、工程学、生命科学还是计算机科学，导数都扮演着重要的角色。
导数在生活中的应用
导数在生活中的应用导数作为微积分的重要概念，在生活中有着广泛的应用。
它可以帮助我们理解和解决许多实际问题，例如在工程、经济学、医学和科学研究中都有着重要的作用。
本文将探讨导数在生活中的应用，并举例说明其重要性。
首先，导数在物理学中有着广泛的应用。
在运动学中，导数可以帮助我们理解物体的速度、加速度和位置的变化。
例如，当我们知道一个物体的位置随时间的变化规律时，可以通过对位置函数求导来得到物体的速度和加速度。
这对于设计运动轨迹、预测物体的运动以及解决工程问题都有着重要的意义。
其次，导数在经济学和金融领域中也有着重要的应用。
在经济学中，导数可以帮助我们理解供求关系、成本函数和收益函数的变化规律。
通过对这些函数求导，可以得到边际成本、边际收益和边际利润等重要概念，从而指导企业和政府做出决策。
在金融领域中，导数可以帮助我们理解股票价格、债券价格和期权价格的变化规律，从而指导投资决策和风险管理。
此外，导数在医学和生物学研究中也有着重要的应用。
在医学中，导数可以帮助我们理解疾病的传播规律、药物的代谢规律以及人体器官的功能变化。
通过对这些变化规律进行建模和求导，可以帮助医生和研究人员更好地理解疾病的发展过程，设计更有效的治疗方案。
在生物学研究中，导数可以帮助我们理解生物体的生长、发育和遗传规律，从而推动基因工程和生物技术的发展。
综上所述，导数在生活中有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解决许多实际问题。
它在物理学、经济学、医学和生物学研究中都有着重要的作用，为我们提供了强大的工具和方法来探索自然界和人类社会的规律。
因此，学习和掌握导数的概念和方法对于我们的生活和工作都具有重要的意义。
实际问题中导数的意义
在实际生活中,导数也有着重要的应用,在具 应用过程中,要结合实际情况来分析.
f(t) 10t,求f(40)并解释它们的实 . 际意义
解: (1)当t从0变到10时,降雨量y从0变到10,此时, 降雨量y关于时间t的平均变化率为
y(10) y(0) 100 1(mm/ min). 100 100
它表示从0min到10min这段时间内 ,平均每分钟 降雨量为1mm.
当t从50变到60时,降雨量y从22变到24,此时, 降雨量y关于时间t的平均变化率为
(1)当x从100变到120时,建筑成y本 关于建筑面x的 积平均 变化率是多?它 少代表什么实际. 意义 (2)求f (100)并解释它的实际. 意义
解 : (1)当 x从 100 变到 120 时 , 建筑成本 y关于建筑面积 x的 平均变化率为
f (120 ) f (100 ) 120 100
它指的是 t 40 min 时降雨量 y 关于时间
的瞬时变化率 , 即降雨强度 .
f ( 40 ) 0 .25 就是说 t 40 min 这个时刻
的降雨强度为 0 .25 mm / min .
例3建造一幢面积 xm为 2的房屋需要成 y万本元, y是x的函
数,设函数y为 f (x) x x 0.3. 10 10
知识解释,0～10min这段时间的平均降雨 强度是1mm/ min,而50～60min这段时间的
平均降雨强度为0.2mm/ min.
( 2 )首先求导数 , 根据导数公式表可得
:
f (t) 5 . 10 t
将 t 40 代入 f ( t ), 得到
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用1. 引言1.1 导数的定义导数的定义是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。
具体地说，如果函数f(x)在x=a处的导数存在，那么导数f'(a)表示了当自变量x在a处发生一个小的变化Δx时，函数值f(x)将相应地发生多大的变化Δf，这种变化率可以用导数来描述。
导数的概念不仅仅在数学中有重要的应用，它在实际生活中也有着广泛的应用价值。
导数的定义让我们能够更好地理解和描述各种现象中的变化规律，帮助我们预测未来的发展趋势。
掌握导数的概念可以帮助我们更好地解决各种实际问题，提高工作和生活的效率。
了解导数的定义及其在实际生活中的重要性对于我们每个人都是有益的。
在接下来的内容中，我们将探讨导数在不同领域的具体应用，展示导数在实际生活中的广泛应用。
1.2 导数在实际生活中的重要性导数在实际生活中的重要性可以说是不可忽视的。
导数是微积分中的一个重要概念，在实际生活中有着广泛的应用。
通过导数，我们可以描述物体在某一时刻的变化率，帮助我们更好地理解和分析现实世界中的各种现象。
在经济学中，导数被广泛运用于描述市场需求和供给的变化趋势，分析价格弹性和收益最大化等问题。
导数的概念也被应用于金融领域，帮助投资者和分析师预测股价的波动和变化趋势。
在物理学中，导数被用来描述物体的运动状态，例如速度和加速度的变化。
通过导数，我们可以计算出物体在不同时间点的位置和速度，帮助我们更好地理解自然界中的各种物理现象。
在生物学中，导数可以用来描述生物体的生长和变化过程，帮助研究人员更好地理解生物体的发育和演化规律。
导数也被用来分析生物体在不同环境条件下的适应性和响应能力。
在工程学和医学领域，导数被广泛应用于设计和优化各种系统和流程。
通过导数，工程师和医生可以分析和改进各种工艺和治疗方案，提高效率和准确性，保障工程项目和医疗保健的质量和安全性。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的应用广泛而深远。
在物体运动的描述中，导数可以帮助我们准确地预测物体的速度和加速度。
在经济学中，导数被用来分析市场趋势和制定最优的经济政策。
医学领域中，导数可以帮助医生更好地理解生命体征数据，提高诊断和治疗的准确性。
工程领域中，导数在设计和优化各种系统、结构和器件中扮演着重要角色。
环境保护方面，导数可以帮助我们预测污染物在环境中的传播和影响。
导数在各个领域中的普遍性表明了其对现代社会的重要性。
通过对导数的深入研究和应用，我们能够更好地理解世界的运行规律，促进科技进步和社会发展。
【关键词】导数、实际生活、物体运动、经济学、医学领域、工程领域、环境保护、普遍性、重要性1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用广泛而深远。
在日常生活中，我们可能并不经常意识到导数的存在，但实际上，导数在我们生活的方方面面都有着重要的应用。
导数可以帮助我们描述物体的运动，预测经济的发展趋势，提高医学诊断的准确性，优化工程设计的效率，以及保护环境资源的可持续性。
物体运动的描述是导数在实际生活中的最常见应用之一。
通过导数，我们可以精确地描述物体在空间中的位置、速度和加速度变化，从而帮助我们进行准确的运动分析和预测。
在交通规划中，导数可以帮助我们优化车辆的行驶路线，缓解交通拥堵问题；在体育比赛中，导数可以帮助我们分析选手的表现，并优化训练计划。
除了物体运动，导数在经济学、医学、工程和环保领域中也有着重要的应用。
在经济学中，导数可以帮助我们分析市场的供需关系，预测商品价格的波动趋势，优化投资组合的收益率。
在医学领域，导数可以帮助医生精确地分析患者的病情，提高诊断和治疗的效率。
在工程领域，导数可以帮助工程师优化产品设计，提高生产效率和质量。
在环境保护领域，导数可以帮助我们优化资源利用，减少能源消耗和环境污染，实现可持续发展。
导数在各个领域中都有着重要的应用，对现代社会的发展起着至关重要的作用。
实际问题中导数的意义
探究点1 导数在物理学中的应用 例1：如图所示，某人拉动一个物体前进， 他所做的功W(单位：J)是时间t (单位：s) 的函数，设这个函数可以表示为
W W ( t ) t 3 6 t 2 1 6 t .
(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率， 并解释它的实际意义.
(2)求 W(1),W(2)，并解释它们的实际意义.
（1）如果用小男孩在某段时间内的平均速度来描
述其运动状态，那么
在0t1这段时间内 -v1
h(1) h(0) 1 0
4.9(m / s)
在1t2这段时间内
-v2
h(2) h(1) 2 1
14.7(m / s)
（2）如果用小男孩在某时刻的瞬时速度来描述其 运动状态，那么
在t=1时的瞬时速度v1=h(1) g 1 9.8(m / s)
y(10) y(0) 10 0 1(mm / min). 10 0 10 0
它表示从0 min到10 min这段时间内，平均每分降雨量 为1 mm.当t从50变到60时，降雨量y从22变到24，此 时，降雨量y关于时间t的平均变化率为
y(60) y(50) 24 22 0.2(mm / min). 60 50 60 50
解： （1）当t从1 s变到3 s时，功W从 W(1)=11J 变到W(3)=21J ，此时功W关于时间t的平均变化率 为
W (3)W (1)21115(J/s) 31 31
它表示从t=1 s到t=3 s这段时间，这个人平均每秒做 功5J.
（2）首先求 W (.t根) 据导数公式和求导法则可得
W (t) 3t2 12t 16
在t=2时的瞬时速度v2=h(2) g 2 19.6(m / s)
高中数学同步教学 第3章 §2 第1课时 实际问题中导数的意义
§2 导数在实际问题中的应用 第1课时 实际问题中导数的意义
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
• 低碳生活(lowcarbon life)可以理解为减少二氧化碳的 排
则f′(10)表示
A
•( )
• A．t＝10时的降雨强度 B．t＝10时的降雨量
• C．t＝10时的时间 D．t＝10时的温度
• [解析] f′(t)表示t时刻的降雨强度,故选A.
2．物体自由落体运动的方程为
s(t)＝12gt2，g＝9.8
m/s2，若lim Δt→0
s1＋Δt－s1 Δt
＝g＝9.8 m/s，那么下面说法正确的是( C )
即从 t＝2 变到 t＝3 时，s 关于 t 的平均变化率为 17，即此段时间质点的平均 速度为 17m/s.
(2)s′(t)＝6t＋2，∴s′(2)＝6×2＋2＝14(m/s)． 即当 t＝2 时的瞬时速度为 14m/s. (3)设该质点的速度为 v m/s，则 v(t)＝s′(t)＝6t＋2， ∴v′(t)＝6，∴v′(2)＝6.即当 t＝2 时的加速度为 6m/s2.
•放,就是低能量、低消耗、低开支的生活．低碳生活节能 环
•保,势在必行．现实生活中,当汽车行驶路程一定时,我们 •希望汽油的使用效率最高,即每千米路程的汽油消耗最少 或
•每升汽油能使汽车行驶的路程最长． • 如何使汽油的使用效率最高？
• 1．在日常生活和科学领域中,有许多需要用导数概念来理 解的量．以中路学程物关于理时为间例,速度是_______质_量__关_于__长_度的导数, 线密功度关是于_时_间____________的导数,功率是____________的导 数．
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用1. 引言1.1 导数的概念导数是微积分中的重要概念，是描述函数变化率的数学工具。
在数学上，导数可以理解为函数在某一点处的斜率，也就是函数在该点附近的局部近似线性变化率。
导数的计算可以帮助我们研究函数的几何性质和特征，如最大值、最小值、凹凸性等。
导数的概念最初由牛顿和莱布尼兹在17世纪同时独立发现，是微积分学科的基础之一。
导数在实际生活中扮演着至关重要的角色。
通过导数，我们可以了解事物的变化速率和趋势，从而为我们的决策和行为提供依据。
比如在经济领域，导数可以帮助我们预测股票价格的波动趋势，优化投资组合，分析市场需求和供给关系。
在工程领域，导数可以帮助我们设计建筑的结构稳定性，优化材料的使用效率，提高工程项目的效率和安全性。
在医学领域，导数可以帮助我们分析生物体的生长发育规律，制定治疗方案和药物剂量，提高医疗技术水平和治疗效果。
导数不仅是一种抽象的数学概念，更是一种强大的工具和思维方式，对我们的生活、工作和社会发展有着深远而广泛的影响。
1.2 导数在实际生活中的重要性导数在实际生活中的重要性体现在我们日常生活的方方面面。
导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率，可以帮助我们理解函数的变化规律以及预测未来的趋势。
在金融领域中，导数被广泛应用于投资和风险管理中，帮助分析股票价格的波动性和趋势，提高投资决策的准确性和效益。
在医学领域中，导数可以用来描述人体各种生理指标的变化趋势，帮助医生准确地诊断疾病和制定治疗方案。
在工程领域中，导数可以帮助工程师分析和优化设计方案，提高产品的质量和效率。
在生态学领域中，导数可以帮助科学家研究生态系统的稳定性和变化规律，提高环境保护和生态恢复的效果。
在物理学领域中，导数可以帮助研究人员描述物体的运动和相互作用，推动科学技术的发展和应用。
导数在实际生活中的重要性不言而喻，它不仅拓宽了我们对世界的认识，还促进了人类社会的进步和发展。
2. 正文2.1 金融领域中的应用金融领域中，导数的应用是非常广泛和重要的。
【数学】3.2.1 实际问题中导数的意义 课件(北师大版选修2-2)
5 （2）首先求导函数，根据导数公式可得 f'(t) 10t
5 将t=40代入可得 f'(t) 20 0.25(mm / min)
C C(q) 100 6q 0.4q 2 0.02q3 ，
的函数关系(即总成本函数)为 试问当生产水平为 q 10 (万件)时，从降低成本角度看，继续 提高产量是否合适？
解
当 q 10 时的总成本为
C(10) 100 6 10 0.4 102 0.02103 140 （万元)，
第三章 导数应用 3.2.1 实际问题中导数的意义
一．复习引入：
导数来源于生活，服务于生活。 实际生活中，有许多词语与导数有 关。如物理上的功率，线速度，加 速度，还有生活中常听说的降水强 度、边际成本等。这节课，我们就 来研究一下实际问题中导数的含义。
二．新课探析 1、功与功率 例1、如图所示，某人拉动一个物体前进， 他所做的功W（单位：J）是时间t（单 位：s）的函数，设这个函数可以表示为 3 2 W=W(t)= t 6t 16t (1) 求t从1s变到3s时，功W关于时间t的 平均变化率，并解释它的实际意义 (2) 求W’(1),W’(2),并解释它们的实际意 义
实际问题中导数的意义： （1）明确实际问题中的函数,自变量以及变化 率； （2）建立导数数学模型。 （3）结合实际，明确在实际问题中导数的含 义 以及需要用导数概念来理解的量。 请同学们仔细思考，结合实际问题讨论交流
导数的实际含义。
1＞0.2，说明这次降雨过程中，刚开始的10 min 比以后10 min的雨下的大. 在气象学中，通常把在单位时间（如1时、1天等） 内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的 一个重要指标.因此用气象学的知识解释，0～10 min 这段时间的平均降雨强度是1 mm/min，而50～60 min 这段时间的平均降雨强度为0.2 mm/min.
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2、1 实际问题中导数的意义
编写人：刘春林 审核人：罗保林
高二 班 组 姓名 组评 师评 使用说明：1、紧扣学习目标，认真阅读课本63-65页的内容。
2、阅读完后，独立完成自主学习部分的题目。
学习目标：1.（知识与技能）进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型。
2.（过程与方法）进一步体会和应用极限思想，学会用极限的思想分
析并解决问题。
3.（情感态度与价值观）通过不同背景的问题解决最后统一为导数模
型的过程，认识到数学与生活的关系和数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴涵的理性美产生发自内心的欣赏情感。
学习重点：理解导数概念，并利用导数概念形成过程中的基本思想分析问题。
学习难点：利用导数思想方法分析实际问题的一些量，得到导数模型； 一、 自主学习
1、平均速度刻画了 。
瞬时速度是指 。
2、函数的平均变化率是刻画函数值在区间[21,x x ]上 。
而瞬时变化率刻画的是函数在 。
3、在数学中，称瞬时变化率为函数)(x f y =在0x 点的 。
4、物体运动方程是536
1
23-+-=t t s ，物体在t=3时的速度为 。
二、合作探究 探究一：功与功率
例1 某人拉动一个物体前进，他所做的功W （单位：J ）是时间t （单位：s ）的函数，设这个函数可以表示为W=W （t ）=t t t 16623+-。
（1）求t 从1s 变到3s 时，功W 关于时间t 的平均变化率，并解释
它的实际意义；
（2）求)1(
W'，)2(
W'，并解释它们的实际意义。
在物理学中，通常力在单位时间内做的功为，单位瓦特。
探究二：降雨强度
例2 表3-5为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据。
显然，降雨量y是时间t的函数，用)
f
y=表示。
(x
（1）分别计算当t从0变到10，从50变到60时，降雨量y关于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；（2）假设得到降雨量y关于时间t的函数的近似表达式为t
)
(=，
f10
t
求)
f'并解释它的实际意义。
40
(
在气象学中，通过把单位时间（如1时，1天等）内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一个重要指标。
0~10min 这段时间的平均降雨强度是1mm/min.
探究三：边际成本 在经济学中，通常把 称为边际成本。
例3、建造一幢面积为2xm 的房屋需要成本y 万元，y 是x 的函数；
3.010
10)(++=
=x x x f y （1）当x 从100变到120时，建筑成本y 关于建设面积x 的平均变化是多少？它代表什么实际意义？ （2）求)100(f '并解释它的实际意义。
三、归纳总结：在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量，以中学物理为例，速度是 导数，加速度a 是 的导数，线密度是 的导数，电流是 导数。
功率是 的导数。
还有降雨强度是 ，边际成本是 的导数 。
四、课堂检测：
1、课本P65页练习
2、已知成本C与产量q的函数关系式为6
=q
C，求当产量
q
+
42-
q时的边际成本。
=
10
五、纠错反思
六、课后巩固：P69页习题3-2（A组）第1题。