多项式除以单项式
第2课时 多项式除以单项式
探究点二:整式的混合运算 【例2】 计算:(1)[(2a+3b)2-(2a-b)(2a+b)]÷2b; (2)[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷x2y. 【导学探究】 应先计算 括号内 的,再算除法.
解:(1)原式=(4a2+12ab+9b2-4a2+b2)÷2b=(12ab+10b2)÷2b =12ab÷2b+10b2÷2b =6a+5b.
(2)原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)÷x2y =(2x3y2-2x2y)÷x2y =2xy-2.
整式混合运算有三个易错点 (1)运算顺序. (2)同底数幂乘、除、乘方运算中指数的变化规律. (3)运算过程中的符号问题.
1.计算(14a3b2-21ab2)÷7ab2等于( A )
(A)2a2-3
第2课时 多项式除以单项式
1.法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以 单项式 ,再 把所得的商相 加 . 2.符号表示:(a+b+c)÷m= a÷m+b÷m+c÷m (其中a,b,c,m都是单项式) 3.实质:多项式除以单项式法则的实质是将多项式除以单项式转化为
单项式除以单项式 的除法运算.
须是2xy,则小亮报的一个除式是
1 x2 y 2
.
9
4
解:(1)原式=25x2÷5x+(-10xy)÷5x+15x÷5x =5x-2y+3.
(4)[(x+2y)(x-2y)+4(x-y)2]÷6x.
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(B)2a-3
(C)2a2-3b
(D)2a2b-3
2.[(a2)4+a3·a-(ab)2]÷a的结果为( B )
多项式除以单项式（课件）
(ad+bd) ÷d
=(ad+bd)·
1 d
=ad·
1 d
+bd·
1 d
=a+b
除以一个数等于乘以这个数的倒数。 根据多项式乘以单项式法则。
新知讲解
类比有理数的除法
（ma+mb+mc) ÷m=（ma+mb+mc) · 1 =a+b+c. m
(a2b+3ab) ÷a
=(a2b+3ab)·
1 a
=a2b·
新知讲解
【做一做】
小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为v，所用时间为 t1；第二
阶段的平均速度为
1 2
v，所用时间为t2.
下山时，小明的平均速度保持为4v．已知小明上山的路程和下山的
路程是相同的，问小明下山用了多长时间？
【解】（12 vt2 + vt1）÷
4v
=
1 8
t2
+
1 4
t1
.
答：小明下山所用时间为
板书设计
1．多项式除以单项式的运算法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再 把所得的商相加． 2．多项式除以单项式的应用
作业布置
课本 P31 练习题 P31 习题1.14
C．3个
D．4个
课堂练习
4.计算：(－2x2y＋6x3y4－2xy)÷(－2xy)．
解：(－2x2y＋6x3y4－2xy)÷(－2xy) ＝－2x2y÷(－2xy)＋6x3y4÷(－2xy)－2xy÷(－2xy) ＝x－3x2y3＋1.
拓展提高
5. 先化简，再求值： [2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.
多项式除以单项式
多项式除以单项式教学目标：知识与能力1.理解整式除法运算的算理，体会除法运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。
2.会进行多项式除以单项式的运算法则。
过程与方法：.理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。
情感态度价值观：培养学生有条理的思考及有逻辑的思维能力和语言表达能力。
重点和难点：重点：多项式与单项式相除的法则。
难点：单项式的系数的符号是负时的情况。
教学过程一、复习提问1．计算并回答问题：以上的计算是什么运算？能否叙述这种运算的法则？2．计算并回答问题：(3)以上的计算是什么运算？能否叙述这种运算的法则？3．请同学利用2、3、6其间的数量关系，写出仅含以上三个数的等式．说明：希望学生能写出2×3=6，(2的3倍是6)3×2=6，(3的2倍是6)6÷2=3，(6是2的3倍)6÷3=2．(6是3的2倍)然后向大家指明，以上四个式子所表示的三个数间的关系是相同的，只是表示的角度不同，让学生理解被除式、除式与商式间的关系．二、新课1．新课引入．对照整式乘法的学习顺序，下面我们应该研究整式除法的什么内容？在学生思考的基础上，点明本节的主题，并板书标题．2．法则的推导．引例：(8x3-12x2+4x)÷4x=(？)分析：利用除法是乘法的逆运算的规定，我们可将上式化为4x · ( ？ ) =8x3-12x2＋4x．原乘法运算：乘式乘式积(现除法运算)：(除式) (待求的商式) (被除式)然后充分利用单项式乘多项式的运算法则，引导学生对“待求的商式”做大胆的猜测：大体上可以从结构(应是单项式还是多项式)、项数、各项的符号能否确定、各具体的项能否“猜”出几方面去思考．根据课上学生领悟的情况，考虑是否由学生完成引例的解答．解：(8x3-12x2+4x)÷4x=8x3÷4x-12x2÷4x+4x÷4x=2x2-3x+4x．思考题：(8x3-12x2＋4x)÷(-4x)=？以上的思想，可以概括为“法则”：法则的语言表达是3．巩固法则．例1计算：(l)(28a3-14a2+7a)÷7a；(2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y)．解：(l)(28a3-14a2+7a)÷7a=28a3÷7a-14a2+7a＋7a÷7a=4a2-2a+1；(2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y)=36x4y3÷(-6x2y)-24x3y2÷(-6x2y)＋3x2y2÷(-6x2y)小结：(l)当除式的系数为负数时，商式的各项符号与被除多项式各项的符号相反，要特别注意；(2)多项式除以单项式是利用相应法则，转化为单项式除以单项式而求得结果的．(3)在学习、巩固新的法则阶段，应尽量要求学生写出表现法则的那一步．本节是学习多项式与单项式的除法，因此对于单项式除以单项式的计算则可以从简．练习1．计算：(1)(6xy+5x)÷x； (2)(15x2y-10xy2)÷5xy；(3)(8a2b-4ab2)÷4ab；(4)(4c2d+c3d3)÷(-2c2d)．例2 化简［(2x＋y)2-y(y+4x)-8x］÷2x．解：[(2x＋y)2-y(y＋4x)-8x]÷2x=(4x2+4xy＋y2-y2-4xy-8x)÷2x=(4x2-8x)÷2x=2x-4．三、小结1．多项式除以单项式的法则写成下面的形式是否正确？(a+b＋c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m．答：上面的等式也反映出多项式除以单项式的基本方法(两个要点)：(1)多项式的每一项除以单项式；(2)所得的商相加．所以它也可以是多项式除以单项式法则的数字表示形成．学习了负指数之后，我们可以理解a、b、c是否能被m整除不是关键问题．2．多项式除以单项式的商在项数与各项的符号与什么式子有联系？有何联系？教学后记：。
多项式除以单项式
第13章 整式的乘法§13.4 整式的除法2. 多项式除以单项式【学习目标】1.通过探索过程理解多项式除以单项式的法则.2.会用多项式除以单项式的法则进行多项式除以单项式的除法及简单综合运算.【课前导习】1.下列运算正确的是( )A ．422x 3x x 2-=--B ．642x 16)x 2(=-C ．m m 2)1m 2(m 2-=-D ．232x x )1x x (x -=+-2.计算：)133()2(23--⋅-xy xy y x = . 3.填空：∵m （a ＋b ＋c ）＝∴（ma ＋mb ＋mc ）÷m ＝概括：多项式除以单项式法则多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的 ．4.（1） （9x 4－15x 2＋6x ）÷３x＝9x 4÷３x － ＋＝（2） （28a 3b 2c ＋a 2b 3－14a 2b 2）÷（－7a 2b ）＝ ＋a 2b 3÷（－7a 2b ）－ ＝【主动探究】试一试计算： （1） （ax ＋bx ）÷x ；（2） （ma ＋mb ＋mc ）÷m ．概 括：法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项 这个单项式，再把所得的 相加．先做后说，点评例题例3计算：（1） （9x 4－15x 2＋6x ）÷３x ；（2） （28a 3b 2c ＋a 2b 3－14a 2b 2）÷（－7a 2b ）．【当堂训练】1. 计算：（1） （3ab －2a ）÷a ； （2） （5ax 2＋15x ）÷5x ；（3） （12m 2n ＋15mn 2）÷6mn ； （4） （x3－2x 2y ）÷（－x 2）．2. 计算：（1）22232)2()41()2(xy y x xy -÷-⋅- ⑵()()a a a a 296423-÷+-3. （1） [(x+y)2+(x+y)(x －y)]÷2x （2）（16x 3－8x 2＋4x ）÷（－2x ）．4. 计算：（1） （4a 3b 3－6a 2b 3c －2ab5）÷（－２ab 2）；（2） x 2y 3－1/2x 3y 2＋2x 2y 2÷1/2xy 2．【回学反馈】1.计算：（1）（6a3b－9a2c）÷３a2；（2）（4a3－6a2＋9a）÷（－2a）（3）（－4m4＋20m3n－m2n2）÷（－4m2）；（4） x2y－1/2xy2－2xy÷1/2xy．2.计算：（1）（12p3q4＋20p3q2r－6p4q3）÷（－2pq）2；（2）［４y（2x－y）－2x（2x－y）］÷（2x－y）．3. 求下列各式的值：（1）（3x4－2x3）÷（－x）－（x－x2）·３x，其中x＝－1/2；（2）［（ab＋1）（ab－2）－2a2b2＋2］÷（－ab），其中a＝3/2，b＝－4/3．。
(附答案)《多项式除以单项式》典型例题
《多项式除以单项式》典型例题例1 计算：（1）2234993436x x x x ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；（2）()233454235.0612125.0b a b a a a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--．例2 计算：（1）()1213963-++÷-+n n n n a a a a ；（2）()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+．例3 （1）已知一多项式与单项式457y x -的积为()3235675272821y x y y x y x +-，求这个多项式．（2）已知一多项除以多项式342-+a a 所得的商是12+a ，余式是82+a ，求这个多项式．例4 ()()()2232232521525b a b ab a a ab -⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅-． 例5 计算题：（1）x x x x 4)4816(34÷--； （2）)4()7124(22323a b a b a a -÷-+-；（3）1214)1284(-++÷-+m m m m a a a a ．例6 化简：（1）x x x y y y x 2]8)4()2[(2÷-+-+；（2）)41()4()412)(124(43362x x x x x x -÷-+++-例7 计算)].(31[)](32)(2)[(23q p q p q p q p +÷+-+-+参考答案例 1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果．解：（1）原式()22232499934936x x x x x x ++÷+÷-= 127442++-=x x （2）原式()()()2334235423235.0615.0215.025.0b a b a b a b a b a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷= ab ab 31213++-= 21313-+=ab ab 说明：运算结果，应当按某一字母的降幂（或升幂）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处．例2 分析：（1）题利用法则直接计算. （2）题把()b a +看作一个整体，就是多项式除以单项式．解：（1）原式11211393633--+-+÷-÷+÷=n n n n n n a a a a a aa a a 3232-+=a a a 3223-+=（2）原式=()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+ ()()21232-+-+=b a b a 212323222---++=a a b ab a 例3 解：（1）所求的多项为()[]()4532356757272821y x y x y y x y x -÷+- ()()457956757562821y x y x y x y x -÷+-=343843y x xy y -+-=（2）所求多项式为 ()()()8212342+++-+a a a a8234682223++-++-+=a a a a a a59223++=a a说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
多项式除以单项式说课稿
多项式除以单项式说课稿一、说教材《多项式除以单项式》是数学教学中的重要内容，它位于代数学的初期阶段，起着承前启后的作用。
本文在课文中占据了显著的地位，不仅是学习整式除法的基础，也是培养学生数学运算能力和逻辑思维能力的有效载体。
（1）作用与地位：多项式除以单项式是整式除法运算的基础，是学生从算术除法过渡到代数除法的桥梁。
通过这部分内容的学习，学生可以巩固以往所学的整式知识，为后续学习多项式除法打下坚实基础。
（2）主要内容：本文主要介绍了多项式除以单项式的法则，包括商的确定、余数的判定以及除法运算的步骤。
通过具体实例，让学生掌握如何将多项式除以单项式的运算过程，并能够熟练运用到实际问题中。
（3）教材编排：本文按照“引入概念—讲解法则—举例说明—巩固练习”的顺序编排，旨在让学生在理解概念的基础上，通过具体实例掌握运算方法，从而提高解题能力。
二、说教学目标学习本课，学生需要达到以下教学目标：（1）理解多项式除以单项式的概念，掌握其运算规则。
（2）能够熟练地将多项式除以单项式，并正确求出商和余数。
（3）培养逻辑思维能力和数学运算能力，提高解题速度和准确率。
（4）通过本节课的学习，激发学生对数学学习的兴趣，增强克服困难的信心。
三、说教学重难点（1）重点：多项式除以单项式的运算规则，如何确定商和余数。
（2）难点：如何将多项式除以单项式的运算过程应用到实际问题中，提高解题能力。
在教学过程中，要充分关注这两个方面，确保学生能够扎实掌握多项式除以单项式的运算方法。
同时，注意引导学生克服难点，将所学知识运用到实际问题中，提高数学素养。
四、说教法在教学《多项式除以单项式》这一部分内容时，我计划采用以下几种教学方法，旨在提高教学效果，凸显教学亮点。
1. 启发法：在引入新课内容时，我将以实际生活中的问题作为切入点，引导学生发现多项式除以单项式的实际意义，激发学生的探究兴趣。
通过设置问题情境，让学生在思考中逐步理解多项式除以单项式的运算规则。
多项式除以单项式、平方差公式、完全平方公式练习题
多项式除以单项式：∵（a+b ）m=am+bm,∴（am+bm ）÷m=a+b,又am ÷m+bm ÷m=a+b,∴（am+bm ）÷m=am ÷m+bm ÷m.一般的，多项式除以单项式，先把这个‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗除以这个‗‗‗‗‗‗‗‗‗，再把所得的商‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗.1、计算.①);)(32(356334xy xy x y y x -÷-+ ②)32()53243532(xy y x y x y x -÷+-③)31(3)9132(26274b a b a b a -÷- ④;)()(23222y y y xy x x x x y x ÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⑤[]b a a b a b ab b a a 22322)()(÷----易出现一下几种常见的错误·：（1）忽略符号；（2）遗漏被除式中单独存在的字母；（3）当字母的指数是1时往往忽略不写，但在计算时，易忽略该指数.2、①计算=÷⨯⨯))103(106(46‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗. ②若))((22x x x n m n m -÷÷与2x ³是同类项，且m+5n=13，则m ²-25n ²的值为‗‗‗‗‗‗‗. 平方差公式：（a+b ）（a-b)=a ²－ab+ab －b ²=a ²－b ².两个数的和与这两个数的差的积，等于‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗，即（a+b ）（a-b)=a ²－b ². 这个公式叫做（乘法的）平方差公式.1、①（2m+3）（2m －3）=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗；②（2a －b ）（b+2a ）=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗； ③2015×2013=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗；④（－1+2a ）（2a+b ）=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗.2、下列各式能用平方差公式计算的是（ ）.A 、（x －3）（3－x ）B 、（－2x －1）（1－2x ）C 、（x －3）（2x+3）D 、（－x －3）（x ＋3）3、下列多项式中，与－x+y 相乘的结果为x ²－y ²得多项式是（ ）.A 、x+yB 、x －yC 、－x+yD 、－x －y3、对于任意整数n ，式子（2n+3）（2n －3）+（3+n ）(3－n)的结果一定能被‗‗‗‗‗数整除A 、3B 、4C 、5D 、64、（1+x ²）（x ²－1）的计算结果是（ ）.A 、x ²－1B 、x ²+1C 、x －1D 、1－x5、下列计算正确的是（ ）.A 、－3x ²y ∙5x ²y=2x ²yB 、－2x ²y ³∙2x ³y=－2x yC 、35x ³y ²÷5x ²y=7xyD 、（－2x －y ）（2x+y ）=4x ²－y ²6、①若a ，b ，c 是三角形的三边长，则代数式（a －b ）²－c ²的值（ ）A 、大于0B 、小于0C 、等于0D 、不能确定②一个三角形的三边分别是a ，b ，c ，则式子（a －c ）²－b ²的值（ ）A 、一定是正数B 、一定是负数C 、可能是正数，也可能是负数D 、可能是07、计算（x+3y ）(x －3y)的结果是（ ）A 、x ²－3y ²B 、x ²－6y ²C 、x ²－9y ²D 、2x ²－6y ²8、若（9+a ²）（a+3）‗‗‗‗‗‗‗=a －81，则横线内的式子是（ ）.A 、a+3B 、a －3C 、3－aD 、a －99、计算：（m+1）²－m ²=‗‗‗‗‗‗‗‗‗.10、计算：①（a+3）（a －3）+a （4－a ） ②);21)(21(b a b a ---11、用简便方法计算：①2013²－2012×2014 ② 20132015201420142⨯-12、先化简，再求值：x （x+1）－（x+1）（x －1），计算：(2+1)(2²+1)（2 +1）（2 +1）+1. 其中x=2014.14小红家有一块L 形菜地，要把L 形菜地按如图所示的那样分成面积相等的两个梯形以种上不同的蔬菜，已知这两个梯形的上底都是a 米，下底都是b 米，高都是（b －a ）米.（1） 请你算一算，小红家的菜地面积共有多少平方米？（2） 当a=10米，b=30米时，面积是多少？完全平方公式：由于（a+b ）²=（a+b ）（a+b ）=a ²+ab+ab+b ²=a ²+2ab+b ²，（a －b ）²=（a －b ）（a －b ）=a ²－ab －ab+b ²=a ²－2ab+b ²， 即（a+b ）²=a ²+2ab+b ²，（a －b ）²=a ²－2ab+b ².两个数和的平方，等于它们的‗‗‗‗‗‗‗，加上它们的积的‗‗‗‗‗‗；两个数差的平方，等于它们的‗‗‗‗‗‗‗，减去它们的积的‗‗‗‗‗‗；1、 计算：（1）（4m+n ）²； （2）)212( y（3）（2x+y ）（2x －y ）+(x+y)²－2（2x ²－xy ）(4)(2a －3b)²－（2a+3b ）(2a －3b)+（2a+3b ）²2、 先化简，再求值：（1） a （a+3b ）－（a+b ）²－（a+b ）（a －b ）.其中a=1，b=2；（2）[（x+y ）²－y(2x+y)－8x]÷2x ，其中x=－2.3、 用简便方法计算:(1)20.1² （2）201²－198×2024、 已知x+y=3,xy=－6，求下列各式的值：（1） x ²+y ²；（2）x ²－xy+y ²; (3)(x －y)².5、 若x+y=3,xy=1,则x ²+y ²=‗‗‗‗‗.6、 若（2x+a ）²=4x ²+bx+1，则a=‗‗‗‗‗，b=‗‗‗‗‗.添括号：由去括号法则：a+(b+c)=a+b+c;a －（b+c ）=a －b －c.反过来，就得到添括号法则：a+b+c= a+(b+c)a －b －c= a －（b+c ）也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.1、运用乘法公式计算：（1）（x+2y-3）（x －2y+3）； （2）（a+b+c ）².（3）（3a+b －2）（3a －b+2） （4）（x+2y －1）²2、若x ²+2（m －3）x ＋16是完全平方式，则m 的值等于（ ）A 、3B 、－5C 、7D 、7或－13、已知x ²－kx+41是一个完全平方式，那么k 的值为‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗. 4、若a ，b 均为正数，a －b=1,ab=2，则a+b 等于（ ）A 、3B 、－3C 、3±D 、95、a ²－b ²=20，且a+b=－5，则a －b 的值是‗‗‗‗‗‗‗‗.6、已知a+101=a ，则a －a1的值为（ ）A 、2 B 、6 C 、6± D 、22± 6、观察下列各式探索发现规律：2²－1=1×3；4²－1=15=3×5；6²－1=35=5×7；8²－1=63=7×9；10²－1=99=9×11；…用含正整数n 的等式表示你所发现的规律为‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗.。
多项式除以单项式-学生版
教学难点：1. 正确熟练地运用法则进行运算；【要点归纳】1. 多项式除以单项式的法则多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
2. 进行相关的混合运算时，既要注意运算法则，又要注意运算顺序。
3. 多项式除以单项式所得商的项数与那个多项式的项数相同，不要漏项。
4. 运算性质是整式乘除法的基础，只要抓住这关键的一步，才能准确地进行多项式除以单项式的运算。
5. 符号仍是运算中的重要问题，用多项式的每一项除以单项式时，要注意每一项的符号和单项式的符号。
一、复习引入 1. 运算并回答问题：(1) 4a3b4c ÷2a2b2c ； (2) (-43a2b2c)÷3ab2；提问：以上的运确实是什么运算? 能否叙述这种运算的法则? 2. 运算并回答问题：(1)3x(x2-61x+1)； (2)-4a ·(23a2-a+2)；提问：以上的运确实是什么运算? 能否叙述这种运算的法则? 二、讲授新课 1. 提出问题对比整式乘法的学习顺序，下面我们应该研究整式除法的什么内容? (多项式除以单项式)2. 多项式除以单项式的法则 引例： 运算 (am+bm+cm)÷m我们曾把多项式乘以单项式的运算转化为单项式乘以单项式的运算来进行，那么多项式除以单项式的运确实是否也能进行类似的转化呢?依照“除以一个数等于乘以那个数的倒数”，有 (a+b+c)÷m= (a+b+c)·m1=a ·m 1+b ·m 1+c ·m1=a ÷m+b ÷m+c ÷m这确实是多项式除以单项式的法则，你能用文字语言叙述吗?(多项式除以单项式，先把那个多项式的每一项除以那个单项式，再把所得的商相加)三、应用举例 例1. 运算(1) (28a3-14a2+7a)÷7a ； (2) (36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y)；解：(1) (28a3-14a2+7a)÷7a=_________-_________+__________ =4a2-2a+1；(2) (36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y)=___________÷(-6x2y)+ _________÷(-6x2y) +________÷(-6x2y)= -6x2y2+4xy-21y强调：当除式的系数为负数时，商式的各项符号与被除式各项的符号相反。
多项式除以单项式
例3 一个长方形的面积是 4（ab2)2+6ab-2b2，宽是2b,求它的 长是多少?
多项式除以单项式的法 则的应用：
例4.计算：
[5xy2(x2-3xy)-(-3x2y)3]
÷(2xy)
=[5x3y-215x2y-3(-27x6y3)]
÷4x2y
=[5x3y2-15x2y3+27x6y3)]
多项式除以单项式
m(a+b+c)= am+bm+ (am+bm+cm)÷m =am÷m+bm÷m+cm÷ =a+b+c
请说出多项式除以单项
多项式除 以单项式
多项式除以单项式，先把这个 多项式的每一项除以这个单项 式，再把所得的商相加。
例1 计算： 多项式除以单项式的法则：
（1） (2a 831a 427a)7a 解：原式 2 a 3 8 7 a 1 a 2 4 7 a 7 a 7 a 4a22a1
探究时空 1.小明在班级联欢晚会上表演的一个魔术
节目如下： 请你在心中想一个自然数，并且先按下列
程序运算后，直接告诉他答案：
n 平方 加 除以 答案 他能马上说出n你所想的n自然数。
你知道其中的奥妙在哪里吗？请你用所学 的数学知识来进行解释。
小结
2．运用该法则应 注意什么？
正确地把多项式除以单项式问题转化为单 项式除以单项式问题。计算不可丢项，分 清“约掉”与“消掉”的区别：“约掉” 对乘除法则言，不减项；“消掉”对加减 法而言，减项。
÷4x2y
=
5 4
x-15 4
y 27+ 4
x4y
整式的除法多项式除以单项式
汇报人： 2024-01-06
目录
• 整式的除法概述 • 多项式除以单项式的步骤 • 整式的除法运算实例 • 整式的除法在数学中的应用 • 练习与巩固
01
整式的除法概述
整式的除法定义
整式的除法是指将一个多项式除以一个单项式的运算。
整式的除法运算可以表示为：多项式除以单项式，即 $P(x) div Q(x)$，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 是多项式，$Q(x)$ 是一个非零单项式。
综合练习题
综合练习题1
$(x^4 - 2x^3y + xy^3) div (x + y)$
综合练习题2
$(4x^3y - 3xy^2 + 2y^4) div (x - y)$
综合练习题3
$(x^3y + 2xy^2 - y^4) div (x - y)$
THANKS
谢谢您的观看
化简复杂代数式
在代数中，有时需要化简复杂的 代数式，整式的除法可以帮助我 们化简这些代数式，使其更易于 理解和计算。
在函数中的应用
函数的简化
在研究函数的性质时，我们经常需要 将函数进行简化，整式的除法可以帮 助我们化简函数表达式。
函数的切线
在求函数的切线时，我们需要用到导 数，而整式的除法是求导数的一个重 要工具。
$(3x^2 - 4y) div (x)$
基础练习题3
$(2xy^2 + x^3) div (x^2)$
进阶练习题
01
02
03
进阶练习题1
$(x^3 - 2x^2y + xy^2) div (x)$
进阶练习题2
$(4x^2y - 3xy^2 + 2y^3) div (y)$
多项式除以单项式人教版八年级数学上册
多项式除以单项式人教版八年级数学 上册
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三级拓展延伸练 14. 小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习
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重难易错
6. （例 3）化简求值：［（x-y）2-x（3x-2y） +（x+y）（x-y）］÷2x，其中 x=1，y=-2.
解：原式＝（x2-2xy+y2-3x2+2xy+x2-y2）÷2x ＝（-x2）÷2x＝- x， 当 x＝1，y＝-2 时，原式＝- ．
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5. 计算：
（1）（16x3-8x2+4x）÷2x；
原式＝8x2-4x+2.
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（2）（8a3-4a2b+5a2）÷（2a）2.
原式＝（8a3-4a2b+5a2）÷4a2 ＝2a-b+ ．
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三级检测练
一级基础巩固练
8. 计算（-4x3+2x）÷2x 的结果，正确的是
（A ）
A. -2x2+1
B. 2x2+1
C. -2x3+1
D. -8x4+2x
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《多项式除以单项式》典型例题
《多项式除以单项式》典型例题例1 计算：〔1〕2234993436x x x x ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；〔2〕()233454235.0612125.0b a b a a a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--．例2 计算：〔1〕()1213963-++÷-+n n n n a a a a ；〔2〕()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+．例 3 〔1〕一多项式与单项式457y x -的积为()3235675272821y x y y x y x +-，求这个多项式．〔2〕一多项除以多项式342-+a a 所得的商是12+a ，余式是82+a ，求这个多项式．例4 ()()()2232232521525b a b ab a a ab -⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅-． 例5 计算题：〔1〕x x x x 4)4816(34÷--； 〔2〕)4()7124(22323a b a b a a -÷-+-； 〔3〕1214)1284(-++÷-+m m m m a a a a ．例6 化简：〔1〕x x x y y y x 2]8)4()2[(2÷-+-+；〔2〕)41()4()412)(124(43362x x x x x x -÷-+++-例7 计算)].(31[)](32)(2)[(23q p q p q p q p +÷+-+-+参考答案例 1 分析：此题应先利用法那么把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果．解：〔1〕原式()22232499934936x x x x x x ++÷+÷-= 127442++-=x x 〔2〕原式()()()2334235423235.0615.0215.025.0b a b a b a b a b a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷= ab ab 31213++-= 21313-+=ab ab 说明：运算结果，应当按某一字母的降幂〔或升幂〕排列，这样对于检验运算的正确性极有好处．例2 分析：〔1〕题利用法那么直接计算. 〔2〕题把()b a +看作一个整体，就是多项式除以单项式．解：〔1〕原式11211393633--+-+÷-÷+÷=n n n n n n a a a a a aa a a 3232-+=a a a 3223-+=〔2〕原式=()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+ ()()21232-+-+=b a b a 212323222---++=a a b ab a 例3 解：〔1〕所求的多项为()[]()4532356757272821y x y x y y x y x -÷+- ()()457956757562821y x y x y x y x -÷+-=343843y x xy y -+-=〔2〕所求多项式为 ()()()8212342+++-+a a a a8234682223++-++-+=a a a a a a59223++=a a说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
多项式除以单项式ppt
2. 将最大公因子提取 出来作为商。
3. 将多项式除以最大 公因子的结果作为新 的多项式，然后使用 移项法或系数除法进 行进一步的计算，得 到最终的商和余数。
03
多项式除以单项式的注意事项
除数不能为0
除数不能为0
在多项式除法中，除数不能为0，否则会导致无法进行除法运 算。
除法结果唯一性
如果两个多项式相除得到的结果相同，那么这两个多项式是 等价的，即多项式除法的结果具有唯一性。
多项式除以单项式
xx年xx月xx日
目 录
• 多项式除以单项式概述 • 多项式除以单项式的计算方法 • 多项式除以单项式的注意事项 • 多项式除以单项式的例题解析 • 多项式除以单项式的易错点分析 • 多项式除以单项式的实际应用案例
01
多项式除以单项式概述
定义与概念
• 多项式除以单项式的定义是，给定一个多项式和一个单项式 ，将多项式除以单项式得到一个新的多项式，也被称为商。 这个过程类似于长除法，但应用于多项式。
高难度例题可能涉及更复杂的数学 方法，如配方、开方等。
$(x^4+x^3+x^2+x+1)/(x^2+x +1)$
解析
05
多项式除以单项式的易错点分析
粗心错误
忽略除数不能为0的限制
在多项式除以单项式时，除数不能为0，否则会导致错误结果 或无法进行。
忽略余数的存在
在多项式除以单项式时，有时会忽略余数的存在，而直接得 出商，导致结果不准确。
顺序问题
顺序问题
在进行多项式除法时，需要注意运算的顺序，按照先乘除后加减的规则进行 计算。
乘除优先原则
在多项式中，乘除运算具有优先级，需要先进行乘除运算，再进行加减运算 。
多项式除以单项式解析题
多项式除以单项式解析题本文档将介绍多项式除以单项式的解析题。
在解析多项式除法的过程中，我们将探讨如何将多项式除以单项式，并给出相关的实例和解答。
1. 多项式除以单项式的概述多项式除以单项式是一种常见的数学运算，特别适用于代数学的研究。
它通常涉及将一个多项式除以一个单项式，并找出商和余数。
2. 解析题的要求解析题的主要要求是对给定的多项式和单项式进行除法运算，并给出正确的解答。
常见的解析题类型包括有理系数多项式除以一元一次多项式，一元二次多项式除以一元一次多项式等。
3. 解析题的解题步骤解析多项式除法的步骤如下：1. 对多项式进行降阶排列，确保多项式的次数按降序排列。
2. 确定单项式的次数，并找出单项式的首项系数。
3. 将单项式的首项系数除以多项式的首项系数，得到商的首项系数。
4. 通过将多项式的每一项与单项式的首项的相反数相乘，并将乘积加到多项式上，得到新的多项式。
5. 重复步骤3和4，直至无法再进行除法运算为止，得到最终的商和余数。
4. 实例解析考虑以下实例，我们将对一个多项式进行除法运算：多项式：$3x^3 - 7x^2 + 5x - 2$单项式：$x - 2$步骤1：降阶排列多项式按降序排列为：$3x^3 - 7x^2 + 5x - 2$步骤2：确定单项式的次数和首项系数单项式的次数为1，首项系数为1。
步骤3：计算商的首项系数商的首项系数为：$1/3$。
步骤4：进行除法运算将多项式的每一项与单项式的首项的相反数相乘，并将乘积加到多项式上，得到新的多项式：$3/1 * (x - 2) = 3x - 6$新的多项式为：$3x^3 - 7x^2 + 5x - 2 + (3x - 6)$步骤5：重复步骤3和4我们可以继续进行除法运算：$3/1 * (x - 2) = 3x - 6$新的多项式为：$3x^3 - 7x^2 + 5x - 2 + (3x - 6) + (3x - 6)$继续进行除法运算：$3/1 * (x - 2) = 3x - 6$最终的多项式为：$3x - 6$因此，多项式 $3x^3 - 7x^2 + 5x - 2$ 除以单项式 $x - 2$ 的解析解为：商 $= 3x - 6$ 余数 $= 0$。
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) ( a ) 3a 2b
2
(3) (
x 1
7 2
x ) 2 x 3 x 2 x 7 x
2
3
一个长方体模型的长、宽、高分 别为4a(cm),3a(cm),2a(cm)。某 种油漆每千克可漆 的面积， 问漆好这个模型需要多少油漆？
1 a cm
2
2
我学到 了什？
3 2 3 2
= -3 y 2 x y 4
3 2
练一练：计算
(1)
(2)
(1 5 x y 1 0 x y ) (5 x y )
2 2
(5 x 2 x 6 x ) ( 3 x )
3 2
第一题
第二题
第三题
第四题
同底数幂的除法，底 数不变，指数相减
（1）4a8 ÷2a 2= 2a 4 （2）10a3 ÷5a2=5a
问题：
（l）用式子表示乘法分配律．
m ( a b c ) ma mb mc
（2）单项式除以单项式法则是什么？ 单项式相除, 把系数、同底数的 幂分别相除后，作为商的因式；对 于只在被除式里含有的字母，则连 它的指数一起作为商的一个因式。
做一做：
(1) (100 75 50 ) 25
2
(a b c ) m
am bm cm
你能总结多项式除以单项式的法则吗?
多项式除以单项式的法则:
多项式除以单项式，先把这个多项式的每 一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
例2：计算
(1) (1 4 a 7 a ) (7 a )
3 2
解 原 式 = (1 4 a ) (7 a ) ( 7 a ) (7 a )
(
(
×)
系数相除
×)
求系数的商， ) 应注意符号
（3）(-9x5) ÷(-3x) =-3x4 (×
(
只在一个被除式里含有的字母，要连 同它的指3a
)
填空
(1) (2) (3) ( 3b
3
3
) 3 ab 9 ab
2
5
( 3m n ) (m n) 3m
3 2
= 2a a
2
( 2 ) (15 x y 10 x y 20 x y ) ( 5 x y )
3 5 4 4 3 2 3 2
解 原 式 = (1 5 x y ) ( 5 x y )
3 5 3 2
(10 x y ) (5 x y )
4 4 3 2
(20 x y ) (5 x y )
3
2
( 2 1a b c ) ( 3 a c ) 7 a b
2
(4)
(4c3 d44 3
3
6 c d ) ÷（-3c2d)
2
2
3
cd 2 d
练一练：填空
(1) ( 21 s t 14 st
2 2 3
) (7 st ) 3 s 2 t
2
(2)
(
3 2
3 a 2 ab
知 识
1.单项式除以 单项式法则 2.多项式除以 单项式的法则 数学中的转化思想
方 法
作业：
P38
习题 2 ， 3 ，4
100 2 5 75 25 50 25 25 25 25 4 3 2 9
(2) (4 a 6 ) 2
4a 2 6 2 2a 3
(3) (2a a ) 2a
2
2a 2a a 2a 1 a 2