《多项式除以单项式》典型例题
多项式除以单项式例题
多项式除以单项式例题【原创版】目录1.多项式除以单项式的概念2.多项式除以单项式的步骤3.多项式除以单项式的实例解析4.总结正文一、多项式除以单项式的概念多项式除以单项式是代数学中的一种基本运算。
多项式是指由若干个单项式通过加减运算组合而成的代数式，而单项式是指只包含一个变量或常数的代数式。
例如，多项式 3x^2 + 2x - 1 除以单项式 x 就是此类运算的一个例子。
二、多项式除以单项式的步骤多项式除以单项式的运算过程分为以下几个步骤：1.把除数（即单项式）的各项次数分别与被除数（即多项式）的各项次数相除，得到商的各项次数。
2.把商的各项次数与除数的各项次数相乘，得到商的各项。
3.用除数的各项去乘以商的各项，得到一个新的多项式。
4.把新多项式与被除数相减，得到余数。
如果余数为零，则除法运算完成；如果余数不为零，则继续用除数去乘以余数，直到余数为零为止。
三、多项式除以单项式的实例解析例如，我们把多项式 3x^2 + 2x - 1 除以单项式 x：1.首先，把除数 x 的各项次数分别与被除数的各项次数相除，得到商的各项次数：3/1=3，2/1=2，-1/1=-1。
2.然后，把商的各项次数与除数的各项次数相乘，得到商的各项：3x^2、2x 和 -1。
3.接着，用除数的各项去乘以商的各项，得到一个新的多项式：3x^3 + 2x^2 - x。
4.最后，把新多项式与被除数相减，得到余数：(3x^3 + 2x^2 - x) - (3x^2 + 2x - 1) = 3x^3 + 2x^2 - x - 3x^2 - 2x + 1 = 3x^3 - x - 1。
由于余数不为零，我们需要继续用除数去乘以余数，直到余数为零为止。
但这里我们不再继续，因为已经得到了商和余数。
四、总结多项式除以单项式是一种基本的代数运算，其步骤包括把除数的各项次数分别与被除数的各项次数相除，得到商的各项次数；把商的各项次数与除数的各项次数相乘，得到商的各项；用除数的各项去乘以商的各项，得到一个新的多项式；把新多项式与被除数相减，得到余数。
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《多项式除以单项式》典型例题例 1 计算：（1）36 x 44 39x2 9x 2；（ ）3 214a 51 4 30.5a 3 b2 ．x20.25a ba6 a b32例 2 计算：（1） 3an 16an 29an3an 1；（2） 2 a b53 a b4a b3a ab 3．例 3 （1）已知一多项式与单项式54的积为 21x 5y 728x 6y 57 y 2x 3y 2 37 x y，求这个多项式．（ 2）已知一多项除以多项式 a24a 3所得的商是 2a1，余式是 2a 8 ，求这个多项式．例 45ab2a32a 2 5ab23 1 b 5a 2b 2 ．2例 5 计算题：（1） (16 x 48x34x)4 x ； （ 2） ( 4a 312a 2b 7a 3b 2 ) ( 4a 2) ；（3） (4a m 18am 212a m) 4am 1．例 6化简：（1） [( 2x y) 2y( y4x) 8x] 2x ；（2） 4( 4x22x 1)(x1) (4x 6 x 3 ) ( 1 x 3 )24 4例 7计算 [( p q)32( p q)22( p q)][ 1( p q)].33参考答案例 1分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果．解：（1）原式36x49x24 x 3 9x 2 9x 2 9x 234x24x 127（2）原式0.25a3b20.5a 3b21 a 4b 5 0.5a 3b21 a 4b 3 0.5a 3 b2261 ab31ab 2 3ab31 ab 132说明：运算结果，应当按某一字母的降幂（或升幂）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处．例 2 分析：（1）题利用法则直接计算 . （2）题把 ab 看作一个整体，就是多项式除以单项式．解：（1）原式 3an 13an 16an 23an 19an3an 1a22a33a2a3a23a（ 2）原式 = 2 a b53 a b4a b3a a b3ab23 a b 122a22ab b23 a 3 a 12 2 2例 3 解：（1）所求的多项为 21x 5y 728x 6y57y 2x 3 y2 37x 5 y421x 5 y 728x 6 y556 x 9 y77x 5 y43 y34 xy 8x 4y3（2）所求多项式为a 24a 3 2a1 2a 82a 3 8a 2 6a a 24a 3 2a 8 2a 39a25说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
完整版多项式除以单项式典型例题
《多项式除以单项式》典型例题例1 计算：(1)36 x 4_4 39x 29x 2 ； ( 2 ) 0.25a 3b 2a 1 a 0 丄 a ib s0.5a 3b 2 ・326例2 计算：(1) 3a n 1 6a n 29a n3a n 1 ；(2) 2 a b 53 a b 4a b 3a ab 3・求这个多项式.求这个多项式.例45ab23a2a 25ab 2 3 _J b5a2, 2 ，b .2例5 计算题：(1) (16 x 4 8x 34x)4x ；(2)(:4a 3 12a 2b7a 3b 2 ) ( 4a 2)；(3)(4a m 1 8a m212a ra ) 4a m 1 .例6化简：(1) [(2xy)2y(y 4x) 8x] 2x ；()24(4x 22x1)伫 1‘ (4x 6 x 3> 1 (— 3)X244例7 计算Kpq )32(pQ )22q)] 丄(p例3 (1)已知一多项式与单项式 7x 5 y 4 的积为 2lx 5 y 7 28x 6 y 57 y 2x 3 y 2 3(2)已知一多项除以多项式a 24a3所得的商是2a 1,余式是2a 8 ,3 3参考答案例1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果.解：(1)原式36x°9X24 X3 9x29x29x234x2Ax 127(2)原式0.25a3b2 0.5a3b21 1a ib s20.5a3b21 a ib 360.5a3 b2ab3_ ab2 3ab3Lab -13 2说明：运算结果，应当按某一字母的降幕(或升幕)排列，这样对于检验运算的正确性极有好处.例2分析：(1)题利用法则直接计算・(2)题把a b看作一个整体，就是多项式除以单项式.解：(1)原式1 3a11 1 6a n 2 3a11 1 9a n 3aa2 2a3 3a2a3 a 2 3a(2)原式=2 a b 5 3 a b4 a b 3 a a b 3a b2 3. ab i2 2a 2 2ab b22a 3a J2 2 2例 3 解：(1)所求的多项为21x5y 7 28x6 y5 7 y 2x3 y2 37x5 y421x5 y7 28x6 y5 56 x9 y7 7x5 y43 y34 xy 8x4 y3(2)所求多项式为a2 4a 3 2a 1 2a 82a38 a2 6a a2 4a 3 2a 82a39a2 5说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
初一数学多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项除 以这个单项式，再把所得的 商相加。
2．注意事项：
1）符号 2）运算顺序。
作业:
人教版 p151----习题7.10 A组 1，2；B组 1
实验版 p137----习题6.3.3 A组 1，2；B组 1
(4)(15x2y-10xy2)÷5xy
=15x2y÷5xy -10xy2 ÷5xy =3x-2y
(5)(25x2+15x3y-20x4)÷(-5x2)
=25x2÷(-5x2) +15x3y÷(-5x2)
-20x4÷(-5x2) =-5-3xy+4x2
(6)(4c2d+c3d3)÷(-2c2d)
解:原式=[36a2+6ab+0.25b2 -36a2 +0.25b2
+2a2-0.5ab-0.25b2 -0.25b2] ÷a
2 (5.5ab+2a ) ÷a =
=5.5b+2a
当a=8,b=10时
原式=5.5b+2a
=5.5×10+2×8 =55+16
=71
小结
1．多项式除以单项式的法则是什么？
例：已知一多项式与单项式2a的积 再加上多项式2a+8,得2a3+6a2+8,求 此多项式 解：根据题意，所求多项式为： [(2a3+6a2+8)-(2a+8)] ÷2a
=(2a3+6a2-2a)÷2a
=2a3÷2a+6a2 ÷2a-2a÷2a
=a2+3a-1
例：先化简，再求值，其中a=8,b=10 [(6a+0.5b)2-(6a+0.5b)(6a-0.5b) +(2a+0.5b)(a-0.5b)-0.25b2]÷a
多项式除以单项式
多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式,先把这个多项 式的每一项除以这个单项式，再把所 得的商相加.
例1，计算： 1)(28a3-14a2+7a)÷7a 2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y)
例1，计算： 1)(28a3-14a2+7a)÷7a 2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y)
解： 1)(28a3-14a2+7a)÷7a
= 28a3÷7a-14a2÷7a+7a÷7a = 4a2-2a+1
例1，计算： 1)(28a3-14a2+7a)÷7a 2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y)
4)-[(-2a2)2]÷[-(-a3)] -4a
5)[a4·am· (a3)2]÷am-1 a11
6)-12(a2b3)3÷( 1 ab2)2 -48a4b5
2
4.叙述单项式与多项式相乘的法则：
单项式与多项式相乘,就是用单项式乘 多项式的每一项，再把所得的积相加.
5.计算：
1)m·(a+b+c) =am+bm+cm ; 2)(am+bm+cm)÷m = a+b+c .
• (3)在学习、巩固新的法则阶段，应尽量 写出表现法则的那一步
例2，化简： [(2x+y)2-y(y+4x`)-8x)]÷2x
解： 原式=(4x2+4xy+y2-y2-4xy-8x)÷2x
完整版多项式除以单项式典型例题
《多项式除以单项式》典型例题例1 计算:(1) 4 4 3 2 2 ；(2) 3 2 14 51 4 3336x x 9x 9x 0.25a b a aa b0.5a b32 6例2 计算:(1) n 13a6a n29a n n 13a(2) 2 a b53 a b 4a b 2 3 a a b 3求这个多项式.求这个多项式.例3 (1)已知一多项式与单项式 7x 5y 4 的积为 21x 5y 76 5 3 2 328x y 7y 2x y ，(2)已知一多项除以多项式a 24a 3所得的商是2a 1，余式是2a 8 ,例45ab 23a2a 2 ； 5ab 2 3 1 b 2例5 计算题：(1) (16x 48x 34x)4x；(2)((3) (4a m 1 8a 1 m 212a m )4a mi 1例6化简：(1) [(2x y)2 y(y 4x) 8x] 2x -(2) 4(4x 22xDG1)(4x 63、5a 2b 2.…3 2 3 22.4a 12a b 7a b )( 4a );13) (;x)参考答案例1 分析: 此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算, 解：（1）原式进而求出最后的结果.4x39x29x29x2 3 36x49x24x2Ax27（2）原式3 20.25a b 3 20.5a b 4b5 3 20.5a b *4b3品21 2 ab3ab3lab312〔ab3运算结果，应当按某一字母的降幕（或升幕）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处.说明:例2分析：（1）题利用法则直接计算.（2）题把a b看作一个整体，就是多项式除以单项式.解：(1)原式3a n 1 3a n1 6a n 2n 1 n n 13a 9a 3a2 3 八a 2a 3a2a3 a2 3a, , 5 4(2)原式=2 a b 3 a ba22ab 3a2.2 3b a2123 1a -2 2例3解：（1）所求的多项为 5 721x y 28x6y52 37y 2x3y27x5y45 76 5 9 721x y 28x y 56 x y 7x5y43y3 4xy 8x4y3（2）所求多项式为2a 4a 3 2a 1 2a 82a3 8a2 6a a2 4a 3 2a 83 22a 9a 5说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
多项式除以单项式例题
多项式除以单项式例题
摘要：
1.引言：介绍多项式除以单项式的概念和基本方法
2.例题分析：详细解析多项式除以单项式的步骤和方法
3.结论：总结多项式除以单项式的要点和技巧
4.练习题：提供多项式除以单项式的练习题以供读者自行尝试
正文：
一、引言
多项式除以单项式是代数学中的一种基本运算，它在解决许多实际问题中都有着广泛的应用。
对于初学者来说，掌握多项式除以单项式的方法和技巧是学习代数学的重要基础。
本文将通过一个例题来详细解析多项式除以单项式的步骤和方法。
二、例题分析
例题：计算多项式3x^2 - 9x + 6 除以单项式2x。
步骤1：将多项式的每一项分别除以单项式2x。
- 3x^2 ÷ 2x = 3/2 * x
- -9x ÷ 2x = -9/2
- 6 ÷ 2x = 3/x
步骤2：将所得的商相加。
- 3/2 * x - 9/2 + 3/x
步骤3：化简结果。
- 3/2 * x - 9/2 + 3/x = (3x - 9) / 2 + 3/x
因此，多项式3x^2 - 9x + 6 除以单项式2x 的结果为(3x - 9) / 2 + 3/x。
三、结论
通过以上例题，我们可以总结出多项式除以单项式的要点和技巧：
1.将多项式的每一项分别除以单项式。
2.将所得的商相加。
3.化简结果。
多项式除以单项式
2017年08月02日sunpeichun的初中数学组卷一. 选择题(共12小题)1. 计算(6x3-2x) 4- ( -2x)的结果是( )A. ・ 3x2B. - 3x2 - 1C. - 3x2+1D. 3x2 - 12. 若长方形面积是2a2-2ab+6a, 一边长为2a,则这个长方形的周长是( )A. 6a.2b+6B. 2a - 2b+6C. 6a - 2bD. 3a - b+33. 计算[(a+b) 2- (a- b) 2]4- (4ab)的结果( )A. 2abB. 1C. a - bD. a+b4. 计算(25x2y- 5xy2) ：5xy的结果等于( )A. - 5x+yB. 5x - yC. - 5x+1D. - 5x - 15. 计算(14x3- 21x2+7x) 4- ( -7x)的结果是( )A. - x2+3xB. - 2x2+3x - 1C. - 2x2+3x+1D. 2x2 - 3x+16. 计算：(・2x3y2・ 3x2y2+2xy) ：2xy,结果是( )A. x2y-^-xyB. 2x2y-^-xy+2C. -x2y-yxy+lD. -2x2y-^-xy+l7. 下列各式，计算结果错误的是( )A. (3a2+2a - 6ab) 4-2a=-^a - 3b+12B. (- 4a3+12a2b - 7a3b2) 4- ( - 4a2) =a - 3b+-^ab24C. (4x m+2 - 5x m 1) 4-3x m 2=A X4-3 3D. (3a n+1+a n+2 - 12a n) 4- (- 24a n) = - —a -8 24 28. 多项式x12 - x6+1除以x2・1的余式是( )A. 1B. - 1C. x- 1D. x+19. 要使12x6y3z4- (A) =4x5z成立，括号中应填入( )A. 3xy3zB. 3xy2zC. 3xy3D. -i-xy31能得到一般情况下（x n-1） 4- （x-1） = （n为正整数）；10. 若3x3.版2+4被3x - 1除后余5,则k的值为( )A. - 10B. 10C. -8D. 811. it算［(・¥) 3-3/( - a1 2) J-r ( -a) 2的结果是( )A.・ a3+3a2B. a3 - 3a2C. - a4+3a2D. - a4+a212. 现规定：f (x) =8x5 - 12x4+6x3.若M (x) =f (x) 4- ( - 2x2),则M ( - 2)的值为( )A. - 2B. - 14C. 60D. 62二. 填空题（共9小题）13. 已知一个多项式与-4泌的积为12a4・16a3+4a2,则这个多项式为.14. （ - 3y n+1+4y°+2 - 12^） 4-= - 24y n15. （22in4（-4m）= ------- •516. 欢欢、盈盈和贝贝各写了一个整式，欢欢写的是：2x2y,盈盈写的是：4x3y2 ・6x3y+2x4y2,贝贝写的整式恰好是盈盈写的整式除以欢欢写的整式的商，则贝贝写的式子是.17. 据测算，甲型H7N9病人的唾液中，一个单位体内的唾液中有甲型H7N9病毒1。
《多项式除以单项式》典型例题
1 / 4《多项式除以单项式》典型例题例1 计算：（1）2234993436x x x x ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；（2）()233454235.0612125.0b a b a a a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--．例2 计算：（1）；（2）()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+．例3 （1）已知一多项式与单项式457y x -的积为()3235675272821y x y y x y x +-，求这个多项式．（2）已知一多项除以多项式342-+a a 所得的商是12+a ，余式是82+a ，求这个多项式．例4 ()()()2232232521525b a b ab a a ab -⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅-． 例5 计算题：（1）x x x x 4)4816(34÷--； （2）)4()7124(22323a b a b a a -÷-+-；（3）1214)1284(-++÷-+m m m m a a a a ．例6 化简：（1）x x x y y y x 2]8)4()2[(2÷-+-+；（2）)41()4()412)(124(43362x x x x x x -÷-+++-例7 计算)].(31[)](32)(2)[(23q p q p q p q p +÷+-+-+参考答案例 1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果．解：（1）原式()22232499934936x x x x x x ++÷+÷-= 127442++-=x x （2）原式()()()2334235423235.0615.0215.025.0b a b a b a b a b a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷= ab ab 31213++-= 21313-+=ab ab 说明：运算结果，应当按某一字母的降幂（或升幂）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处．例2 分析：（1）题利用法则直接计算. （2）题把()b a +看作一个整体，就是多项式除以单项式．解：（1）原式11211393633--+-+÷-÷+÷=n n n n n n a a a a a aa a a 3232-+=a a a 3223-+=（2）原式=()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+ ()()21232-+-+=b a b a 212323222---++=a a b ab a 例3 解：（1）所求的多项为()[]()4532356757272821y x y x y y x y x -÷+- ()()457956757562821y x y x y x y x -÷+-=343843y x xy y -+-=（2）所求多项式为 ()()()8212342+++-+a a a a3 / 48234682223++-++-+=a a a a a a59223++=a a说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
多项式除以单项式最新版
3.已知： f(x)=25x4 +15x3-20x2,求： 解:(1) f(x)÷5x
=(25x4 +15x3-20x2)÷5x =5x3 +3x2-4x
.
2.已知： f(x)=25x4 +15x3-20x2,求： (2) f(x)÷(-10x2) =(25x4 +15x3-20x2)÷(-10x2) = -2.5x2 –1.5x+2
.
1.计算： (1)(-8x+6)÷(-4) (2)(6x2-9x)÷3x (3)(9a3b-12a2b2+8ab3)÷3ab (4)(4x2y-8x3y3)÷(-2x2y)
.
(5)(-7a4bc2+4a3b2-5a2b3) ÷(-2a2b)
(6)(
3 4
a6x3+ 6
5
a9x4
9 10
a是用单项式去乘多项式 的每一项，再把所得的 积 相加 。
.
计算下列各式，并说说你 是怎样计算的？
(1)(am bm)m (2)(a2 ab)a (3)(4x2y 2xy2) 2xy
.
多项式除以单项式
m(a+b+c)= am+bm+cm
反之(am+bm+cm)÷m =am÷m+bm÷m+cm÷m
.
2.已知： f(x)= -8x4 +3x3-2x2, g(x)= -4x2,求： (1) f(x)+g(x) (2) f(x)-g(x) (3) f(x)•g(x) (4) f(x)÷g(x)
.
.
÷3 ax3
5
.
课堂总结
1、多项式除以单项式法则：多 项式除以单项式，先把这个多项 式的每一项除以这个多项式，再 把所得的商相加。
1.7.2 多项式除以单项式 同步精练(含答案)
第2课时多项式除以单项式测试时间:20分钟一、选择题1.长方形的面积为4a2-6ab+2a,若它的一边长为2a,则它的周长为()A.4a-3bB.8a-6bC.4a-3b+1D.8a-6b+22.计算(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n)的结果是()A.2m2n-3mn+n2B.2n2-3mn2+nC.2m2-3mn+n2D.2m2-3mn+n3.当a=34时,代数式(28a3-28a2+7a)÷(7a)的值是()A.254B.14C.-94D.-4二、填空题4.计算:(6x2-12x)÷(3x)=.5.计算:-a2(a-a3b2)÷a3=.三、解答题6.先化简,再求值:(4ab3-8a2b2)÷(4ab)+(2a+b)(2a-b),其中a=2,b=1.7.先化简,再求值:[(y-2x)·(-y-2x)-4(x-y)2]÷(-2y),其中x=-1,y=2.8.计算:(16x2y3z-8x3y2z)÷(8x2y2).9.先化简,再求值:(x+2y)(x-2y)+(9x3y-12xy3+3xy2)÷(-3xy),其中x=1,y=-2..10.先化简,再求值:[(2a+3b)2-(2a-b)(2a+b)]÷(2b),其中a=-2,b=1211.一堂习题课上,数学老师在黑板上出了这样一道题:当a=2 017,b=2时,求[3a2b(b-a)+a(3a2b-ab2)]÷(a2b)的值.一会儿,陈灿说:“老师,您给的‘a=2 017’这个条件是多余的.”一旁的张云反驳道:“题目中有两个字母,不给这个条件,肯定求不出结果!”他们谁说的话有道理?请说明理由.参考答案一、选择题1.长方形的面积为4a2-6ab+2a,若它的一边长为2a,则它的周长为()A.4a-3bB.8a-6bC.4a-3b+1D.8a-6b+21.答案D一边长为2a,则其邻边长是(4a2-6ab+2a)÷(2a)=2a-3b+1,所以周长是2[(2a-3b+1)+2a]=8a-6b+2.故选D.2.计算(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n)的结果是()A.2m2n-3mn+n2B.2n2-3mn2+nC.2m2-3mn+n2D.2m2-3mn+n2.答案C(-8m4n+12m3n2-4m2n3)÷(-4m2n)=-8m4n÷(-4m2n)+12m3n2÷(-4m2n)-4m2n3÷(-4m2n)=2m2-3mn+n2.故选C.3.当a=34时,代数式(28a3-28a2+7a)÷(7a)的值是()A.254B.14C.-94D.-43.答案B(28a3-28a2+7a)÷(7a)=28a3÷(7a)-28a2÷(7a)+7a÷(7a)=4a2-4a+1,当a=34时,原式=4×(34)2-4×34+1=14.故选B.二、填空题4.计算:(6x2-12x)÷(3x)=.4.答案2x-4解析(6x2-12x)÷(3x)=6x2÷(3x)-12x÷(3x)=2x-4.5.计算:-a2(a-a3b2)÷a3=.5.答案-1+a2b2解析-a2(a-a3b2)÷a3=(-a3+a5b2)÷a3=-1+a2b2.三、解答题6.先化简,再求值:(4ab3-8a2b2)÷(4ab)+(2a+b)(2a-b),其中a=2,b=1.6.解析原式=b2-2ab+4a2-b2=4a2-2a b.当a=2,b=1时,原式=4×22-2×2×1=12.7.先化简,再求值:[(y-2x)·(-y-2x)-4(x-y)2]÷(-2y),其中x=-1,y=2. 7.解析[(y-2x)(-y-2x)-4(x-y)2]÷(-2y)=[4x2-y2-4(x2-2xy+y2)]÷(-2y)=(4x2-y2-4x2+8xy-4y2)÷(-2y)=(8xy-5y2)÷(-2y)=-4x+52y.当x=-1,y=2时,原式=-4×(-1)+52×2=9.8.(2015福建福安期中)计算:(16x 2y 3z -8x 3y 2z )÷(8x 2y 2).8.解析 原式=16x 2y 3z ÷(8x 2y 2)-8x 3y 2z ÷(8x 2y 2)=2yz -xz .9.先化简,再求值:(x +2y )(x -2y )+(9x 3y -12xy 3+3xy 2)÷(-3xy ),其中x =1,y =-2.9.解析 (x +2y )(x -2y )+(9x 3y -12xy 3+3xy 2)÷(-3xy )=x 2-4y 2-3x 2+4y 2-y =-2x 2-y ,当x =1,y =-2时,原式=-2×12-(-2)=0.10.先化简,再求值:[(2a +3b )2-(2a -b )(2a +b )]÷(2b ),其中a =-2,b =12. 10.解析 原式=[4a 2+12ab +9b 2-(4a 2-b 2)]÷(2b )=(10b 2+12ab )÷(2b )=5b +6a.当a =-2,b =12时, 原式=5×12+6×(-2)=-192. 11.一堂习题课上,数学老师在黑板上出了这样一道题:当a =2 017,b =2时,求[3a 2b (b -a )+a (3a 2b -ab 2)]÷(a 2b )的值.一会儿,陈灿说:“老师,您给的‘a =2 017’这个条件是多余的.”一旁的张云反驳道:“题目中有两个字母,不给这个条件,肯定求不出结果!”他们谁说的话有道理?请说明理由.11.解析 陈灿.因为[3a 2b (b -a )+a (3a 2b -ab 2)]÷(a 2b )=(3a 2b 2-3a 3b +3a 3b -a 2b 2)÷(a 2b )=2a 2b 2÷(a 2b )=2b.化简的结果中不含a ,这样代入求值就与a 无关,所以陈灿说的有道理.。
(完整版)《多项式除以单项式》典型例题
1 / 4《多项式除以单项式》典型例题例1 计算：（1）2234993436x x x x ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；（2）()233454235.0612125.0b a b a a a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--．例2 计算：（1）()1213963-++÷-+n n n n a a a a ；（2）()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+．例3 （1）已知一多项式与单项式457y x -的积为()3235675272821y x y y x y x +-，求这个多项式．（2）已知一多项除以多项式342-+a a 所得的商是12+a ，余式是82+a ，求这个多项式．例4 ()()()2232232521525b a b ab a a ab -⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅-． 例5 计算题：（1）x x x x 4)4816(34÷--； （2）)4()7124(22323a b a b a a -÷-+-；（3）1214)1284(-++÷-+m m m m a a a a ．例6 化简：（1）x x x y y y x 2]8)4()2[(2÷-+-+；（2）)41()4()412)(124(43362x x x x x x -÷-+++-例7 计算)].(31[)](32)(2)[(23q p q p q p q p +÷+-+-+参考答案例 1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果．解：（1）原式()22232499934936x x x x x x ++÷+÷-= 127442++-=x x （2）原式 ()()()2334235423235.0615.0215.025.0b a b a b a b a b a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷= ab ab 31213++-= 21313-+=ab ab 说明：运算结果，应当按某一字母的降幂（或升幂）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处．例2 分析：（1）题利用法则直接计算. （2）题把()b a +看作一个整体，就是多项式除以单项式．解：（1）原式11211393633--+-+÷-÷+÷=n n n n n n a a a a a aa a a 3232-+=a a a 3223-+=（2）原式=()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+ ()()21232-+-+=b a b a 212323222---++=a a b ab a 例3 解：（1）所求的多项为()[]()4532356757272821y x y x y y x y x -÷+- ()()457956757562821y x y x y x y x -÷+-=343843y x xy y -+-= （2）所求多项式为()()()8212342+++-+a a a a3 / 48234682223++-++-+=a a a a a a59223++=a a说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
多项式除以单项式时应注意的问题
应用多项式除以单项式的运算法则时，应注意的问题是什么（1）多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同，不要漏项；（2）要熟练地进行多项式除以单项式的运算，必须掌握它的基础运算，幂的运算性质是整式乘除法的基础，只有抓住关键的一步，才能准确地进行多项式除以单项式的运算；（3）符号仍是运算中的重要问题，用多项式的每一项除以单项式时，要注意每一项的符号和单项式的符号。
例1 计算：（1）232354345.0)1012175.0(b a b a b a c b a ÷--； （2）])(2[])()(5)(2[3345b a b a b a b a +÷--++-+。
思路启迪：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后结果。
其中第（2）小题中应将多项式)(b a +看成一个单项式来计算。
规范解法（1）原式)21101()2121()2143(232323542334b a b a b a b a b a c b a ÷-+÷-+÷= 51233--=ab abc ； （2）原式])(2)([])(2)(5[])(2)(2[333435b a b a b a b a b a b a +÷+-++÷+-++÷+=21)(25)(2-+-+=b a b a 212525222---++=b a b ab a 。
例2 计算：（1）a b a b a a b b a 4)]25)(2()32)(23[(÷-++-+；（2）)41()4()412)(12(4446x x x x x -÷-++-。
规范解法（1）原式a b ab a b a b a 4)]485()23)(23([22÷-++-+-=a b ab a b a 4)48549(2222÷-+++-=b a a ab a 24)84(2+-=÷+-=；（2）原式)41()()41(4)12)(12(4446x x x x x x -÷-+-÷++-= 31241614222+-=+--=x x x 。
(完整版)《多项式除以单项式》典型例题
1 / 4《多项式除以单项式》典型例题例1 计算：（1）2234993436x x x x ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；（2）()233454235.0612125.0b a b a a a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--．例2 计算：（1）()1213963-++÷-+n n n n a a a a ；（2）()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+．例3 （1）已知一多项式与单项式457y x -的积为()3235675272821y x y y x y x +-，求这个多项式．（2）已知一多项除以多项式342-+a a 所得的商是12+a ，余式是82+a ，求这个多项式．例4 ()()()2232232521525b a b ab a a ab -⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅-． 例5 计算题：（1）x x x x 4)4816(34÷--； （2）)4()7124(22323a b a b a a -÷-+-；（3）1214)1284(-++÷-+m m m m a a a a ．例6 化简：（1）x x x y y y x 2]8)4()2[(2÷-+-+；（2）)41()4()412)(124(43362x x x x x x -÷-+++-例7 计算)].(31[)](32)(2)[(23q p q p q p q p +÷+-+-+参考答案例 1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果．解：（1）原式()22232499934936x x x x x x ++÷+÷-= 127442++-=x x （2）原式 ()()()2334235423235.0615.0215.025.0b a b a b a b a b a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷= ab ab 31213++-= 21313-+=ab ab 说明：运算结果，应当按某一字母的降幂（或升幂）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处．例2 分析：（1）题利用法则直接计算. （2）题把()b a +看作一个整体，就是多项式除以单项式．解：（1）原式11211393633--+-+÷-÷+÷=n n n n n n a a a a a aa a a 3232-+=a a a 3223-+=（2）原式=()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+ ()()21232-+-+=b a b a 212323222---++=a a b ab a 例3 解：（1）所求的多项为()[]()4532356757272821y x y x y y x y x -÷+- ()()457956757562821y x y x y x y x -÷+-=343843y x xy y -+-= （2）所求多项式为()()()8212342+++-+a a a a3 / 48234682223++-++-+=a a a a a a59223++=a a说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
14.多项式除以单项式
多项式除以单项式教学目标：1、理解和掌握多项式除以单项式的运算法则。
2、会进行简单的多项式除以单项式的运算。
3、合作交流，自主探索多项式除以单项式的一般规律。
一、复习巩固，展示问题1、单项式除以单项式的法则是什么？2、计算：（1）、-12a5b3c÷(-4a2b) （2）、(-5a2b)2÷5a3b （3）、4(a+b)7÷(a+b)3二、自主探究，提出问题根据单项式除以单项式的法则，试一试下列的题目。
1、(4x+3x)÷x2、(5x3+6x5)÷x23、()xy y y+÷+÷ 4、(68)2ax bx x可以得出结论：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项_____这个单项式，再把所得的商_____。
三、合作交流，解决问题计算：1、(12a4b3+8a2b3)÷4a2b3 2、32+÷x y xy x(4)讨论交流后试做：1、 (15a4bc2+5a6c+a7b3)÷5a32、42--÷x x x x(1842)2四、巩固练习1、 3(2)()xy xy xy -÷2、4332222(36147)(7)x y x y x y x y --÷-3、43222(420)(4)m m n m n m -+-÷-4、2211(2)22x y xy xy xy --÷五、巩固提高1、 计算：已知2344a b c --=，求48164a b c ÷÷-的值。
想一想，4、8、16三个数有什么共同点，解这道题应该先把这三个数化成相同的底数_____再进行运算，试解出这道题，注意先化简再求值。
2、（1）2342343)2()62012(pq q p r q p q p -÷-+）（2）[])2()2(2)2(4y x y x x y x y -÷---六、课后反思本节课你掌握的怎么样？试着写出多项式除以单项式的步骤和所应注意的事项。
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《多项式除以单项式》典型例题
例1 计算:
(1)— 36x4+4x3+9x2〕+9x2; (2) 0.25a3b2—1a4a5—1a4b3L(—0.5a3b2). I 3 丿2 6 丿
例2 计算：
(2)2(a + b 5 -3(a +(-a-b j»a(a + b 3】.
3 例3 (1)已知一多项式与单项式-7x5y4的积为21x5y7一28x6y5• 7y 2x3y2, 求这个多项式.
(2)已知一多项除以多项式a24a - 3所得的商是2a 1，余式是2a 8 ,
求这个多项式.
例5计算题：
(1) (16x4_8x3—4x)“4x ；(2) (-4a312a2b-7a3b2) “(-4a2);
(3)(4a m18a m 2-12a m)，4a m」.
例6 化简：
(1)[(2x y)2-y(y 4x)-8x]」2x ；
(2)4(4x2-2x 1)(； * (4X6-X3)“(-*X3)
3 2
2 1
例7 计算[(p q) -2(p q) --(p q)?: [-(p q)]-
3 3
参考答案
例1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式
(1) 3a n16a n2-9a「3a n」
除以单项式的运算，进而求出最后的结果.
解：（1）原式--36x4-〉9x2• 4 x^ 9x29x29x2 3
=-4x2x 1
27
（2）原式
= 0.25a3b2*（—0.5a3b2）十—1 a4b54 （—0.5a3b2片〔丄a4b3h（—0.5a3b2）
I 2 丿I 6 丿
---ab3-ab
2 3
= ab3 -ab」
3 2
说明：运算结果，应当按某一字母的降幕（或升幕）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处.
例2分析：（1）题利用法则直接计算.（2）题把a b看作一个整体，就
是多项式除以单项式.
解：（1）原式=3a n1'3a n」-6a n3a n4 -9a^:'3a n4
二a22a3-3a
= 2a3a2-3a
（2）原式=2（a + b 5—3（a + b f +（—a —b『卜a（a + b 3】
= （a+bi -^（a+b）-£
2 2
2 2
3 3 1
=a 2ab b a a --
2 2 2
例 3 解：（1）所求的多项为21x5y7-28x6y5+7y（2x3y2 3哄—7x5y4）
二21x5y7-28x6y556x9y7亠-7x5y4
--3y34xy -8x4y3
(2)所求多项式为
a24a -3 2a 1 2a 8
= 2a‘ 8a2-6a a24a -3 2a 8
3 2
=2a 9a 5
说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
根据是“被除式=除式X 商式+余式”.
例4 分析：本题为混合运算，要按运算顺序逐步计算.
解：原式J25a2b2a3-2a2125a3b6“ 25a4b2
1 2」
二25a5b2-125a5b7-■ 25a4b2
=a -5ab5
例5分析：此三题均是多项式除以单项式，应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后结果.
解: （1）原式=16x44x ：-8x34x _4x ：-4x
二4x「2x「1
（2）原式=（-4a3）“（-4a2） 12a2b“（-4a2）-7a3b2-、（-4a2）
7 2
=a - 3b ab .
4
m 1 m 4 m 2 m」m m」
（3）原式=4a "4a 8a - 4a -12a - 4a
2丄^3 小^3丄2 小
=a 2a —3a = 2a a -3a .
说明：将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式时，要注意各项的符号. 例6 分析：题（1）不能先用2x去除各项，应先对括号内进行化简；题（2）则体现了对知识的综合运用.
解：(1)原式=(4x24xy y2- y2- 4xy - 8x)，2x
2
= (4x -8xp:_ 2x —8x 2x 二2x 一4.
1 1
(2)原式=(4x2-2x 1)(2x 1) 4x6弋x3)-x3( x3)
3 3 3
=8x 1 -16x 4 一-8x 5 .
例7 分析：把p q当成单项式，运用多项式除以单项式的法则.
解:
1 1
2 1
原式=（p q）3“3（P q）-2（P q）2“3（p q）-空（P q）"3（p q）2
= 3（p q） -6（p q） -2
2 2
= 3（p 2 pq q ）「6p「6q_2
2 2
=3p 6pq 3q -6p-6q-2.
说明：经题表面看来是多项式除以多项式，但观察后发现每个在底数均为(p q)，所以可把p q当作单项式，再进行计算，这种换元的思想希望同学们
掌握.。