函数模块专题复习

函数模块专题复习

平面直角坐标系

1．平面直角坐标系：

（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴叫做x 轴或横轴，铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，x 轴和y 轴统称坐标轴，它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点．这个平面叫做坐标平面． (2)象限:

一、一次函数

1．一次函数：若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数(x 是自变量,y 是因变量，k 称之为斜率,b 为截距〕特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数．

说明:（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.

（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.

（3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数. （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.

2．一次函数的图象：一次函数y=kx+b 的图象是经过点(0，b),(－b

k ，0 ）的一条直线，

正比例函数y=kx 的图象原点(0，0）的一条直线，如下表所示．

3.一次函数的图象和性质: y=kx+b(k 、b 为常数k ≠0)的图象是一条直线(b 是直线与y 轴的交点的纵坐标).当k>0时, y 随x 的增大而增大(直线从左向右上升);当k<0时,y 随x 的增大而减小(直线从左向右下降).特别:当b=0时,y=kx_又叫做正比例函数(y 与x 成正比例),图象必过原点；一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b>0）或向下(b<0)平移的到一条直线

例题精选：

例1、 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）

A ．m ﹤O

B ．m ＞0

C ．m ﹤

2

1

D ．m ＞M

例2、已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此函数的关系式．

例3、 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x

3

2 m +（m-4）是一次函数？

例4、 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．

例5、 已知一次函数y=（3-k ）x-2k 2+18.

（1）k 为何值时，它的图象经过原点？

（2）k 为何值时，它的图象在y 轴的截距为-2? （3）k 为何值时，它的图象平行于直线y=-3x+3？

（4）若这个函数是一次函数,且y 随着x 的增大而减小,求k 的取值范围.

例7、某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x分，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元．（1）写出y1，y2与x之间的关系；

（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？

（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？

例8、某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D 县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县．已知C，D两县运化肥到A，B两县的运费（元／吨）如下表所示．

（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．

例9、如图11－31所示，已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l 经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式．

二、反比例函数

1. 1.定义:一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成x

k

y =

(k 为常数，k ≠0)的形式，那么称y 是x 的反比例函数。 因为x

k

y =是一个分式，所以自变量X 的取值范围是X ≠0。x

k

y =

还可以写成kx y =1

-，k xy =

2.图象和性质: 利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y= k

x 具有如下的性质（见下表）①当k ＞0时，函数的图象在第一、

三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而减小；②当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而增大．

例题精选：

例1、如果函数2

22

-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k 的值是_______

例2、如果一次函数()的图像与反比例函数

x

m

n y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为________

例4、已知y 与x-1成反比例，并且x ＝-2时y ＝7，求： (1)求y 和x 之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y 的值； (3)y ＝-2时，x 的值。

例5、已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．

例6、 如图所示，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝k

x 的图象交于A 、B 两点，

与x 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（－2，1），点B 的坐标为（1

2

，m ）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围．

例7、一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出

发，则6小时可到达乙地．

（1）写出时间t （时）关于速度v （千米／时）的函数关系式．

（2）因故这辆汽车需在5小时内从甲地到乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少？