2018高考数学文二轮复习课件：第二编 专题整合突破 专题六 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线

线的离心率 e＝ac＝ 2＋1，故选 D.
4．[2016·黄冈质检]在以 O 为中心，F1，F2 为焦点的椭 圆上存在一点 M，满足|M→F1|＝2|M→O|＝2|M→F2|，则该椭圆的 离心率为( )
2 A. 2
3 B. 3
6 C. 3
2 D. 4
解析 延长 MO 与椭圆交于 N，因为 MN 与 F1F2 互相 平分，则四边形 NMF1F2 为平行四边形，则|MN|2＋|F1F2|2 ＝|MF1|2＋|MF2|2＋|NF1|2＋|NF2|2，又|MF1|＋|MF2|＝2|MF2| ＋|MF2|＝3|MF2|＝2a，故|NF1|＝|MF2|＝23a，|NF2|＝|MF1|＝43
解析 设所求双曲线的标准方程为y42－x2＝－λ(λ>0)， 即xλ2－4yλ2＝1，则有 4λ＋λ＝25，解得 λ＝5，所以所求双曲 线的标准方程为x52－2y02 ＝1.
8．设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交9C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的 面积为_____4______．
解 (1)直线 AB 的方程是 y＝2 2x－p2，代入 y2＝2px， 得 4x2－5px＋p2＝0，所以 x1＋x2＝54p，
由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝94p＝92， ∴p＝2， ∴抛物线 C 的方程是 y2＝4x.
(2)解法一：由题意知 l：x＝－1，F(1,0)．
∵所求圆的圆心在抛物线上，且与直线 l 相切，则圆过
∴当 a＝－1 时，交点有 1 个，圆有 1 个； 当 a<－1 时，交点有 0 个，圆有 0 个； 当 a>－1 且 a≠1，a≠2 时，交点有 2 个，圆有 2 个． 而当 a＝2 时，易验证有 2 个交点，圆有 2 个； 当 a＝1 时，易知交点有 1 个，圆有 1 个． 综上所述：当 a<－1 时，圆有 0 个； 当 a＝±1 时，圆有 1 个； 当 a>－1，且 a≠1 时，圆有 2 个．
12．[2016·山西太原二模]已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0) 的离心率为21，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 与直线 x－y＋ 6＝0 相切．
解析 ∵圆 G：x2＋y2－2 2x－2y＝0 与 x 轴，y 轴交
点为(2 2，0)和(0,2)， ∴c＝2 2，b＝2，∴a2＝b2＋c2＝12， ∴椭圆方程为1x22 ＋y42＝1，
设直线 l 的方程为 y＝－ 3(x－m)(m>2 3)，
y＝－ 3x－m，
由1x22 ＋y42＝1
得 10x2－18mx＋9m2－12＝0.
解析 易知直线 AB 的方程为 y＝ 33x－34，与 y2＝3x 联立并消去 x，得 4y2－12 3y－9＝0.设 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则 y1＋y2＝3 3，y1y2＝－94.S△OAB＝21|OF|·|y1 －y2|＝12×34 y1＋y22－4y1y2＝38 27＋9＝94.
得，x2－3px＋p42＝0.设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝3p，故|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝6，p＝32，故选 B.
2．[2016·沈阳质检]已知 P 是双曲线x32－y2＝1 上任意一
点，过点 P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为
A，B，则P→A·P→B的值是( )
题意得点 F 的坐标为p2，0，又因为 AF⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为2p，因为点 A 为抛物线与双曲线的交点，不妨设 点 A 位于第一象限，则 yA＝ 2pxA＝p，即点 A 的坐标为 p2，p，又因为点 F 为双曲线与抛物线的相同的焦点，所以 c＝2p，则点 A 的坐标为(c,2c)，代入双曲线的方程得ac22－4bc22 ＝1，结合 c2＝a2＋b2，化简得 c4－6a2c2＋a4＝0，解得双曲
大二轮·文
适考素能特训
一、选择题
1．[2015·陕西质检(一)]已知直线 l：x－y－m＝0 经过抛
物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点，l 与 C 交于 A、B 两点．若|AB|
＝6，则 p 的值为( )
1
3
A.2
B.2
C．1
D．2
解析 因为直线 l 过抛物线的焦点，所以 m＝p2.联立
x－y－p2＝0 y2＝2px
由 Δ＝324m2－40(9m2－12)>0，
可得－2
30 2 3 <m<
330，
∴2
2 30 3<m< 3 .
设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，
x1＋x2＝95m，x1·x2＝9m21－0 12，
N→C·N→D＝(x1－3，y1)·(x2－3，y2)
＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2
＝4x1x2－(3m＋3)(x1＋x2)＋9＋3m2>0.
A．－38
3 B.16
C．－
3 8
D．不能确定
解析
令点
P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是
x 3
－y＝0，x3＋y＝0，所以可取|PA|＝
x0313－＋y01，|PB|＝
x03＋y0， 31＋1
又 cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos2∠AOx＝－cosπ3＝－21， 所以P→A·P→B＝|P→A|·|P→B|·cos∠APB＝x302－4 y02·－12＝43×－12＝
a
c2＋ 2ac－a2>0， c2＋ac－a2<0，
两边同时除以 a2，关于离心率 e 的不
等式组为ee22＋ ＋e－2e1－<01，>0，
解得
6－ 2
2 <e<
52－1，故选
A.
二、填空题
7．[2016·唐山统考]焦点在 x 轴上，焦距为 10，且与双 曲线y42－x2＝1 有相同渐近线的双曲线的标准方程是 ____x52_－__2y_02_＝__1___．
(2)将直线 l 的方程 l：y＝kx＋m 代入椭圆 C 的方程x22＋
y2＝1 中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
由直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点知 Δ＝16k2m2
－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，
化简得 m2＝2k2＋1.
设
d1＝|F1M|＝|－kk2＋＋m1 |，d2＝|F2N|＝
3
－38，选 A.
3．[2016·南昌三模]已知抛物线 y2＝2px(p>0)与双曲线ax22
－by22＝1(a>0，b>0)有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的一个交
点，且 AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )
A. 2＋2
B. 5＋1
C. 3＋1
D. 2＋1
解析 本题考查抛物线的性质、双曲线的离心率．由
解析 由题意知 c＝3，∴e＝3a，∴a 越大 e 越小，而双 曲线为xm2－9－y2m＝1，把直线 y＝x－1 代入化简整理得(9－ 2m)x2＋2mx－10m＋m2＝0，由 Δ＝0 得 m＝5，于是 a＝ 5， e＝a3＝355，故选 B.
6．[2016·金版原创]在平面直角坐标系 xOy 中，以椭圆ax22 ＋by22＝1(a>b>0)上一点 A 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的一
化简得
2m2－9m＋7>0，解得
7 m>2.
∴m 的取值范围是27，2 330.
三、解答题 10．[2016·贵阳质检]设点 F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>1)的左、右焦点，P 为椭圆 C 上任意一点， 且P→F1·P→F2的最小值为 0.
(1)求椭圆 C 的方程； (2)如图，动直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 有且仅有一个 公共点，作 F1M⊥l，F2N⊥l 分别交直线 l 于 M，N 两点， 求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值． 解 (1)设 P(x，y)，则P→F1＝(－c－x，－y)，P→F2＝(c－ x，－y)， ∴P→F1·P→F2＝x2＋y2－c2＝a2a－2 1x2＋1－c2，x∈[－a，a]， 由题意得，1－c2＝0，c＝1，则 a2＝2， ∴椭圆 C 的方程为x22＋y2＝1.
解法二：设圆心 Q(x0，y0)(y20＝4x0)，P(a,2－a)，由于 准线 l：x＝－1，故若存在圆 Q 满足条件，则 r＝|PQ|＝
x0－a2＋y0＋a－22，且 r＝|x0＋1|， ∴(x0－a)2＋(y0＋a－2)2＝(x0＋1)2， 即 a2＋y02＋2(a－2)y0＋(a－2)2＝(2＋2a)x0＋1＝(2＋
焦点 F，又圆过点 P，∴圆心在线段 PF 的中垂线上，设 P(a,2
－a)，则线段 PF 中点的坐标为a＋2 1，2－2 a，当 a≠1，a≠2 时，kPF＝a2－－1a，∴线段 PF 的中垂线方程为
y
＝
a－1 a－2
x－a＋2 1
＋
2－a 2
，
化
简
得
y
＝
a－1 a－2
x
＋
－22a2a＋－42a－3①
②当 k＝0 时，四边形 F1MNF2 是矩形，此时 S＝2. ∴四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2.
11．已知过抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2 的直线交抛物线于 A(x1，y1)和 B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB| ＝92.
(1)求抛物线 C 的方程； (2)若抛物线 C 的准线为 l，焦点为 F，点 P 为直线 m： x＋y－2＝0 上的动点，且点 P 的横坐标为 a，试讨论当 a 取 不同的值时，圆心在抛物线 C 上，与直线 l 相切，且过点 P 的圆的个数．
2a)y402＋1， 整理得(1－a)y02＋(4a－8)y0＋4a2－8a＋6＝0 (*)， 当 a＝1 时，(*)式即－4y0＋2＝0，有 1 个解．
当 a≠1 时，(*)式中 Δ＝(4a－8)2－4(1－a)(4a2－8a＋6)＝16a3－32a2－8a＋ 40＝8(a＋1)(2a2－6a＋5)， ∵2a2－6a＋5＝2a－322＋12>0， ∴当 a>－1 时，Δ>0，(*)式有 2 个解； 当 a＝－1 时，Δ＝0，(*)式有 1 个解； 当 a<－1 时，Δ<0，(*)式无解． 综上，当 a<－1 时，圆有 0 个； 当 a＝±1 时，圆有 1 个； 当 a>－1，且 a≠1 时，圆有 2 个．
圆的个数即中垂线与抛物线的交点的个数，将 x＝y42代
入①得
4aa－－12y2－y＋－22a2a＋－42a－3＝0，
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判别式
Δ
＝
1
－
a－1 4·4a－2
－2a2＋4a－3 · 2a－2
＝
1
＋
a－12a2－4a＋3 2a－22
＝
2a－22＋2a3－6a2＋7a－3 2a－22
＝
2a3－24aa－2－2a2 ＋5＝a＋122aa－2－262a＋5，
|k＋m| k2＋1.
①当 k≠0 时，设直线 l 的倾斜角为 θ， 则|d1－d2|＝|MN|·|tanθ|， ∴|MN|＝|1k|·|d1－d2|，∴S＝21·|1k|·|d1－d2|·(d1＋d2)＝k22＋|m|1 ＝m42|＋m|1＝|m|＋4 |m1 |， ∵m2＝2k2＋1，∴当 k≠0 时，|m|>1，|m|＋|m1 |>2，即 S<2.
9．[2015·山东莱芜一模]已知圆 G：x2＋y2－2 2x－2y ＝0 经过椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点及上顶点．过椭圆 外一点 M(m,0)(m>a)，倾斜角为23π的直线 l 交椭圆于 C，D 两点，若点 N(3,0)在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部，则 m 的取值范围是_____72_，__2__33_0_______．
a，|F1F2|＝2c，所以43a2＋32a2＋23a2＋32a2＝43a2＋(2c)2，
即ac22＝32，故
e＝
6 3.
5．[2016·重庆测试]若以 F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的双 曲线与直线 y＝x－1 有公共点，则该双曲线的离心率的最小
值为( )
6 A. 2
3 C.2
35 B. 5 D. 3
个焦点，与 y 轴相交于 B，C 两点，若△ABC 是锐角三角形，
则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.
6－ 2
2，
5－1
2
C.
52－1，1
B.
6－ 2
2，1
D.0，
5－1
2
解析 本题考查椭圆的几何性质、直线与圆的位置关
系．利用直线与圆的位置关系建立椭圆基本量的关系求解 离心率．由题意可得，圆心 Ac，ba2，r＝ba2，由三角形 ABC 是锐角三角形得∠BAC<90°，则 c＝r·cos∠B2AC>r·cos45°， 即 c> 22r.又依题意 c<ba2，即 22<bc2<1，化简得