一线三垂直模型
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第2题图
微专题 一线三垂直模型
①证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＋∠BCD＝90°，
∵∠ACE＋∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD，
在△CAE与△BCD中，
CEA BDC CAE BCD
，
AC CB
∴△CAE≌△BCD(AAS)，
∴EC＝BD；
微专题 一线三垂直模型
②解：由①知：BD＝CE＝a，CD＝AE＝b，
证明：(1)∵BE⊥AP，CF⊥AP， ∴∠AEB＝∠CFA＝90°. ∴∠FAC＋∠ACF＝90°. ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE＋∠FAC＝90°，
第1题图
ຫໍສະໝຸດ Baidu
微专题 一线三垂直模型
∴∠BAE＝∠ACF.
在△ABE和△CAF中，
AEB CFA BAE ACF
，
AB CA
∴△ABE≌△CAF(AAS)；
∴ ＝S1梯形a2A＋EDaBb＝＋121
(a＋b)(a＋b) b2.
又 ∴∵212Sa梯2形＋AaEDbB＋＝212S△bA2E＝C＋abS＋△B12CDc＋2. S△ABC＝12
ab＋1 ab＋ 1
2
2
c2＝ab＋1
2
c2.
整理，得a2＋b2＝c2.
(2)EF＝CF－BE.
(2)∵△ABE≌△CAF，
∴AE＝CF，BE＝AF.
∵EF＝AE－AF，
∴EF＝CF－BE.
第1题图
微专题 一线三垂直模型
模型演变
模型二 同侧一线三垂直型
微专题 一线三垂直模型
针对演练 2. (2019巴中)如图，等腰直角三角板如图放置.直角顶点C在直线m上，分别过 点A，B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D. ①求证：EC＝BD； ②若设△AEC三边分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理.
微专题 一线三垂直模型
微专题 一线三垂直模型
(必考，常在几何图形折叠与动点问题和二次函数压轴题中涉及考查)
模型一 异侧一线三垂直型
模型演变
微专题 一线三垂直模型
针对演练
1. 如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点(BP ＜CP)，分别过点B，C作BE⊥AP于点E，CF⊥AP于点F. 求证：(1)△ABE≌△CAF；
微专题 一线三垂直模型
①证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＋∠BCD＝90°，
∵∠ACE＋∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD，
在△CAE与△BCD中，
CEA BDC CAE BCD
，
AC CB
∴△CAE≌△BCD(AAS)，
∴EC＝BD；
微专题 一线三垂直模型
②解：由①知：BD＝CE＝a，CD＝AE＝b，
证明：(1)∵BE⊥AP，CF⊥AP， ∴∠AEB＝∠CFA＝90°. ∴∠FAC＋∠ACF＝90°. ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE＋∠FAC＝90°，
第1题图
ຫໍສະໝຸດ Baidu
微专题 一线三垂直模型
∴∠BAE＝∠ACF.
在△ABE和△CAF中，
AEB CFA BAE ACF
，
AB CA
∴△ABE≌△CAF(AAS)；
∴ ＝S1梯形a2A＋EDaBb＝＋121
(a＋b)(a＋b) b2.
又 ∴∵212Sa梯2形＋AaEDbB＋＝212S△bA2E＝C＋abS＋△B12CDc＋2. S△ABC＝12
ab＋1 ab＋ 1
2
2
c2＝ab＋1
2
c2.
整理，得a2＋b2＝c2.
(2)EF＝CF－BE.
(2)∵△ABE≌△CAF，
∴AE＝CF，BE＝AF.
∵EF＝AE－AF，
∴EF＝CF－BE.
第1题图
微专题 一线三垂直模型
模型演变
模型二 同侧一线三垂直型
微专题 一线三垂直模型
针对演练 2. (2019巴中)如图，等腰直角三角板如图放置.直角顶点C在直线m上，分别过 点A，B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D. ①求证：EC＝BD； ②若设△AEC三边分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理.
微专题 一线三垂直模型
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(必考，常在几何图形折叠与动点问题和二次函数压轴题中涉及考查)
模型一 异侧一线三垂直型
模型演变
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针对演练
1. 如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点(BP ＜CP)，分别过点B，C作BE⊥AP于点E，CF⊥AP于点F. 求证：(1)△ABE≌△CAF；