特征函数在极限理论中的应用(可编辑修改word版)

⎨ n n k k n n

A k

n

n →∞ A n

A n

A A n 1. 集合列的特征函数

1.1 集合 E 的特征函数定义：对于 X 中的子集 E ，作

X = ⎧1, x ∈ E E ⎩0, x ∉ E

称 X E ： X → {0,1}是定义在 X 上的集合 E 的特征函数。

由定义知，特征函数 X E 在一定意义上作为集合 E 的代表。 借助特征函数，集列的极限运算可转换特征函数的相应运算。 1.2 定理：对任意的集合列{A n }，有

① lim X A = X lim A n ，

n →∞

n

n →∞

②

lim X A = X lim A ，

n →∞

n

n →∞ n

③集列{A }收敛的充要条件是它的特征函数列{X }

收敛，且 lim X A = X lim A

n

n →∞

n

n →∞

定理说明了集列{A n }取（上、下）极限的运算与求特征函数的运算是可交换运算的次序。集 列{A }收敛性与数列{X }

收敛性等价。

证明：由特征函数的定义， lim X A =1 或 0，

∀x ，设lim X n →∞

n

n →∞

=1 ⇔ 有无限个n k n

，使得 X A

=1，

⇔ 有无限个n ，使得 x ∈ A n ，

⇔ x ∈ lim A ，

n →∞

⇔ X lim

n →∞

A =1 （*1）

∀x ，设lim X n →∞

n

=0 ⇔ 有无限个n k ，使得 X =0 k

⇔ 有无限个n k ，使得 x ∉ A n ，

⇔ x ∉ lim A ， n →∞

⇔ X lim A n

=0 （*2）

n k

n

n

0 0 n 0 n 0 由（1）（2）式，得证。

2 迭代数列收敛性与特征函数

2.1.定义：设 F (x ) = x - f (x )在区间 I 上有定义，数列{x n }满足迭代关系：

x n +1 = f (x n )（n=1,2，……）

（*3）

若存在自然数 N ，使得当 n>N 时恒有 x n ∈I 成立，则称 F （x ）和 f （x ）分别为迭代数列（*3） 在区间 I 上的特征函数和迭代函数，而迭代数列（*3）称为 F(x)在区间 I 上的生成迭代数列。引理：设 f （x ）是在区间 I 上有定义的单调函数， x 0 是 I 的内点。若 lim f (x )存在，则 f （x ）

x → x 0

在 x 0 处连续。

证明： 不妨设lim f (x )=A ，f （x ）在区间 I 上单调增加。

x → x 0

故当 x< x 0 时， f (x ) < f (x 0 )，则 A= lim f (x ) ≤ x → x 0

f (x 0 )，

当 x > x 0 时， f (x ) > f (x 0 ),则 A= lim f (x ) ≥ x → x 0

f (x 0 )。

因此lim f (x )=A= f (x 0 )，

x → x 0

故 f (x ) 在 x 0 处连续。

定理 1：设 F (x )=x- f (x ) 是迭代数列（*3）在区间 I 上连续的特征函数，且 F (x )在 I 上单调增加。则

①若 I =[a,b>且 F （a ）=0，则lim x 存在且等于 a ， x →∞

②若 I =

注：约定区间[a,b> , 中尖括号一侧的端点可以是实数，也可以是- ∞ 或+ ∞ ；为实

数是可以包含端点，也可以不包含端点。

证明：（i ）由特征函数和极限的定义，不妨设对一切自然数 n ，

迭代数列（*3）恒有 x n ∈I =[a,b>, 则{x n }有下界。

再用反证法证明{x n }在 I 上单调减少：

若存在自然数n 0 使得 x n < x n +1

即 x < f (x )

,

n

n 0 n n

n n

→∞

n 0

0 n 0 n 0

则 F (x )

= x n - f (x )

<0. 因为 F (a )=0，所以 F (x )

< F (a )。这与 F (x )在 I 上的单调增加矛盾。

故数列{x }在 I 上单调减少有下界，即lim x 存在。 n →∞

在迭代数列（*3）中令n → ∞ ，可得 x= f (x ) 。由题设可得 F (x )=x- f (x ) =0 在 I 上有唯一实根， 于是由 F (a )=a- f (a )=0 得 x=a ， 故lim x =a 。 n →∞

（ii ）类似地可以证明数列{x }在 I =

定理 2：设 F (x )=x- f (x ) 是迭代数列（*3）在区间 I =上的特征函数， F (x )和 f (x ) 在 I 上单调增加且存在 I 的内点 x 0 使得 F (x 0 ) =0，则lim x n 存在且等于 x 0

n

证明：不妨设对一切自然数 n ，迭代数列（*3）恒有 x n ∈ I ，

记 I 1 =.

由题设及引理得 F (x )在 I 1 和 I 2 上均单调增加且连续。若对 x 1 ∈ I 有 x 2 = f (x ) ≤ x 0 ，则由 f (x ) 在 I 上单调增加有 x 3 = f (x 2 ) ≤ f (x 0 )= x 0 ，

一般地由数学归纳法易证 x n +1 = f (x 0 ) ≤ x 0 （n=1,2，……）；若对 x 1 ∈ I 有 x 2 = f (x 1 ) ≥ x 0 ，类似地可以证明 x n +1 = f (x n ) ≥ x 0 （n=1,2，……）。

所以 F (x )是迭代数列（*3）在 I 1 或 I 2 上的特征函数。 故由定理 1， lim x 存在且等于 x 。 n →∞

利用上述定理，可以把迭代数列收敛性的证明和求极限的问题转化为求其特征函数、迭代

函数单增区间和特征函数零点的问题，从而把判断函数单调性和求函数零点的一些方法应用