第06章非正弦电路

【例1 】
i uS (t)
电路如图所示，已知 R 10 ，
L 10mH，C 120F，电源电压
a
R
C
b
L uL (t)
us(t) 10 2 50 sin t 2 30 sin(3t 30o) V
基波角频率 314rad/s ，试求流过电阻的电流i(t) 及电感
两端电压 uL (t) 。
(3)了解电路频率特性分析和模拟滤波器的基本概念。
6.1 非正弦周期信号的傅里叶级数分解(信号分解)
(1) 周期信号三角函数形式的傅里叶级数
设周期非正弦信号为：
u1
t
f (t) f (t kT ) （k为任意整数）
周期函数可表示成傅里叶三角级数
f (t)
或
a0 2
n1
(an
cos
n1t
bn
即有 i1(t) 2 4.7 sin(t 19.6o)A
uL1(t) 2 16.8 sin(t 70o)V
U1
1
jC
ab端入端阻抗
Zab1
R
j L ( j j L j
1)
C
1
10
j3.14 ( j26.5) j3.14 j26.5
b
10.619.6o
C
I&1
U&1 Zab1
500o 10.619.6o
A
4.7
19.6o A
UL0
.
j L UL1
电感两端电压 U&L1 U&1 RI&1 500oV 10 4.7 19.6oV 16.870oV
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51t
L
L
取不同项数时波形的逼近情况
f(t)
f(t)
Em
t
t
在实际工程计算中，由于傅里叶级数展开为无穷级数，因 此要根据级数开展后的收敛情况，电路频率特性及精度要求， 来确定所取的项数。
(2) 非正弦周期信号指数形式的傅里叶级数形式
f
(t)
a0 2
n1
an
e
jn1t
f (t)
n
an
jbn 2
e jn1t
n
F&ne jn1t
式中
F&n
an
jbn 2
An 2
e jn
F&n
an
jbn 2
1 T
T f (t)e jn1t dt
0
F&n 称为给定信号的复数频谱函数,它是 n1 的函数，它代
表了信号中各谐波分量的所有信息。
F&n 的模为对应谐波分量的幅值的一半，幅角（当n 取正值
第六章 信号分析和电路的频率特性
本章主要内容：
1）非正弦周期信号的傅里叶级数分解、信号频谱概念 2）非正弦周期信号电路的稳态计算，非正弦周期函数有
效值，平均功率 3）对称三相电路中的高次谐波分析 4）电路的频率特性分析
本章教学要求：
(1)掌握非正弦周期信号的傅里叶级数分解及其复指数形 式；了解频谱的概念； (2)了解非正弦周期量的有效值的定义及其算法；平均功 率的计算；掌握利用叠加原理分析简单非正弦电路；
T
2 0
U
cos
n1tdt
T
T U cos n1tdt 0 2
bn 2 T
T
f (t) sin n1tdt
0
2 T
T
2 0
U
sin
n1tdt
2 T
T
T (U ) sin n1tdt
2
2U
n1T
(cos
n1
T 2
1)
2U
n1T
(cos n1T
cos n1
T) 2
U
n
(2 2 cos n )
sin
1t)
f
(t)
a0 2
n1
An
cos(n1t
n )
T/2
T
1
2
T
1）形式1
f
(t )
a0 2
k 1
(ak
cos kt
bk
sin kt)
a0
2 T
T
f (t)dt
0
式中
2
ak T
T
f (t) cosk tdt
0
bk
2 T
T
f (t) sin ktdt
0
2) 形式 2
f (t) A0 Ak cos(kt k ) k 1
Us C L
2）分别计算直流分量和各频率谐波分量激励下的电路响应。 直流分量用直流电路分析方法；不同频率的正弦分量采用正弦 电路相量分析计算方法，这时需注意电路的阻抗特性随频率而 变化，各分量单独计算时应作出对应电路图；
3）在时域内把属于同一响应的各谐波响应分量相加得到总的 响应值。（注意：各分量的瞬时表达式叠加）。
cos
n1t
n1
bn
sin
n1t
a0 2
n1
an
e jn1t
e jn1t 2
bn
e jn1t
e jn1t 2j
a0 2
n1
an
jbn 2
e
jn1t
an
jbn 2
e
jn1t
a0 2
n1
an
jbn 2
e
jn1t
n1
an
jbn 2
T 2
T
2 Ue jn1t dt
2
U T
e
jn1
2
e
jn1
2
jn1
U
T
sin n1
2
n1
2
6.2 非正弦周期信号电路的稳态计算
6.2.1 稳态计算
i Us(t)为非正弦周期信号，求电流响应i (t)。
R
一般计算步骤：
1）把周期非正弦激励源分解为傅里叶级 数，即分解为直流分量与各次谐波分量之 和，根据所需精度确定项数；
解：本题的激励电压源已分解成各次谐波分量，因此可直接 进行各次谐波的计算。
1) 对于直流分量的计算，可用一般
Io a
直流电路的解题方法，画出等效直流 U0
R
电路如图所示。已知 U0 10V ，则
得
I0
U0 R
10 10
A
1A
UL0 0V
.b
. I1 a R
2）对于基波分量 u1(t) 2 50 sin t， 其等效电路如图所示，U&1 500oV
A0
a0 2
式中
Ak ak2 bk2
k
arctg
bk ak
例1 把如图方波信号进行分解
u(t)
U
U
0tT 2
T tT 2
u1
U
t
U
T/ 2
T
解：
2
a0 T
T
f (t)dt
2
0
T
T
2 Udt
0
T
T 2
(U )dt 0
an 2 T
T 0
f
(t)
cos
n1tdt
2 T
时）则为对应谐波分量的初相角。
F&n (n1) 称为振幅频谱。 (n1) 称为相位频谱。
例2 周期脉冲信号如图所示，求该信号的频谱函数，并作振幅
频谱图。
解：由波形图可知
0
u(t)
U
频谱函数为
0
T t
2
2
t
22
tT
22
u(t) t
T
22
U&(n1
)
1 T
T 2
u(t)e jn1tdt 1
4U
n
0
n 为奇数 n 为偶数
周期函数表示成傅里叶三角级数
f (t) 4U
sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
51t
L
L
式中
1
2
T
为基波角频率，第一项称为基波分量，其余
分量统称为高次谐波分量。
f
(t)
a0 2
n1
(an
cos
n1t
bn
sin
1t)
1
2
T
f (t) 4U
sin