线性方程组解题方法技巧与题型归纳

线性方程组解题方法技巧与题型归纳题型一 线性方程组解的基本概念 【例题1】如果α1、α2是方程组1231312332312104x x ax x x x ax x --=⎧⎪-=⎨⎪-++=⎩的两个不同的解向量，则a 的取值如何解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3， 对增广矩阵进行初等行变换：21131132031022352104002314510a a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， 故知a=-2。

【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T , 3α1+α2= （2，4，6，8）T ,求方程组Ax=b 的通解。

解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成，又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T , 是Ax=0的解，即其基础解系可以是（0，2，3，4）T , 由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4（α1+α2+2α3）是Ax=b 的一个解， 故Ax=b 的通解是()1,0,0,00,2,3,42TT k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T ，ξ2=（1，-5，13，0）T ，ξ3=（-7，-9，24，11）T 是方程组12234411223441234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩的三个解，求此方程组的通解。

分析：求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。

解：A 是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A 中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T , η2=ξ2-ξ3=(8,4,-11,-11)T 是Ax=0的两个线性无关的解向量， 于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k 1η1+k 2η2是通解。

总结：不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。

题型2 线性方程组求解【例题4】矩阵B 12100120100011012320-⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪--⎝⎭的各行向量都是方程组123451234523451234503230226054330x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩的解向量，问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系若不能，这4个行向量是多了还是少了若多了如何去掉，少了如何补充解：将方程组的系数矩阵A 化为行最简形阵11111110115321130122601226000005433100000A A ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭r(A)=2,n=5,因而一个基础解系含有3个解向量 α1=（1，-2，1，0，0）T , α2=(1,-2,0,1,0)T , α3=(5,-6,0,0,1)T ,B 矩阵的r 3=r 1-r 2，r 4=3r 1-2r 2， B 中线性无关的行向量只有1，2行，故B 中4个行向量不能构成基础解系，需增补α3。

题型3 含参数的线性方程组解的讨论1.参数取哪些值时使r(A)≠r(Ab)，方程组无解；2.参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)，方程组有解，继续讨论（1）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)＜n ，方程组有无穷多解；（2）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)=n ，方程组有唯一解。

一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组，只能用初等行变换求解； 二、当方程个数与未知量个数相等的线性方程组，用下面两种方法求解： 1.初等行变换法 2.系数行列式法，系数行列式不等于0时有唯一解，可用克莱姆法则求之；系数行列式为0时，用初等行变换进行讨论。

【例题5】设线性方程组23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩（1） 证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则线性方程组无解；（2）设a1= a3 =k ，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1=（-1，1，1）T ，β2=（1，1，-1）T 是该方程组的两个解，写出该方程组的通解。

解（1）（Ab)对应的行列式是范德蒙行列式，故r(Ab)=4,r(A)=3，所以方程组无解。

（2）当a1=a3=k ，a2=a4=-k 时，原方程组化为2312323123x kx k x kx kx k x k++=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，β2-β1=（-2，0，2）T ,是对应导出组的非零解，即为其基础解系，故非齐次组的通解为X=c(β2-β1)+β1。

（c 为任意常数。

）题型4 线性方程组的公共解、同解问题 情况1.已知两具体齐次线性方程组，求其非零公共解：将其联立，则联立方程组0A x B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的所有非零解，即为所求。

【例题6】设如下四元齐次方程组（Ⅰ）与（Ⅱ） ，求：（1）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的基础解系； （2）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的公共解。

123122423400:;()00x x x x x x x x x x -+=+=⎧⎧⎨⎨-=-+=⎩⎩ⅠⅡ 解：（1）（Ⅰ）的基础解系为α1=（-1，1，0，1）T，α2=（0，0，1，0）T ；同样得（Ⅱ）基础解系为α3=（1，1，0，-1）T，α4=(-1,0,1,1)T(2)将方程组Ⅰ和 Ⅱ联立组成新方程组Ⅲ：12241232340000x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩将其系数矩阵进行初等行变换11001001010101011110001201110000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭得Ⅲ的基础解系为（-1，1，2，1）T 于是方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解为 X=k （-1，1，2，1）T , k 取全体实数。

情况2 . 仅已知两齐次线性方程组的通解，求其非零公共解：令两通解相等，求出通解中任意常数满足的关系式，即可求得非零公共解，简言之，两通解相等的非零解即为所求的非零公共解。

【例题7】已知齐次线性方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系分别是α1=（1，2，5，7）T ,α2=(3,-1,1,7)T ，α3=（2，3，4，20）T ，Β1=（1，4，7，1）T ， β2=（1，-3，-4，2） T 。

求方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解。

解;显然方程组Ⅰ与Ⅱ的通解分别为k 1α1+k 2α2+k 3α3与λ1β1+λ2β2，令其相等得到 k 1α1+k 2α2+k 3α3=λ1β1+λ2β2 即123121231212312123123202343054740772020k k k k k k k k k k k k λλλλλλλλ++--=⎧⎪-+-+=⎪⎨++-+=⎪⎪++--=⎩310001413211421343010075147400100772012100012A ⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪⎪⎪---⎪ ⎪=→ ⎪- ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎪- ⎪⎝⎭于是（k 1,k 2,k 3,λ1，λ2）T =t(-3/14,4/7,0,1/2，1)T 即k 1=-3t/14, k 2=4t/7, k 3=0 ,λ1=t/2,λ2=t 于是可得λ1，λ2的关系为λ1=t/2=λ2/2，将此关系式代入通解即为所求的公共解为 λ1β1+λ2β2 =（λ2/2) β1+λ2β2 = （λ2/2) (β1+2β2 )= （λ2/2) (3,-2 ,-1,5)T ，=λ (3,-2 ,-1,5)T ，其中λ = λ2/2为任意实数。

情况3已知一齐次方程组的通解及另一具体方程组，求其非零公共解：常将通解代入另一方程组，求出通解中任意常数满足的关系，即求出通解中独立的任意常数，再代回通解，即得所求的非零公共解。

简言之：已知的通解中满足另一具体方程组的非零解即为所求的非零公共解。

题型5 与AB=0有关的问题已知矩阵A ，求矩阵B 使AB=0，此类问题常将B 按列分块，B=(b1,b2,….bn)，将列向量bi 视为Ax=o 的解向量，因而可以利用Ax=o 的一些解或一个基础解系充当所求矩阵B 的部分列向量， B 的其余列向量可取为零向量【例题8】设22139528A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，求一个4×2矩阵B 使AB=0，且r(B)=2.解：由AB=0知，B 的列向量均为Ax=o 的解向量。

显然r(A)=2，未知量的个数是4，因而Ax=o 的基础解系含有2个解向量，于是如果求出Ax=o 的基础解系，以其为列向量作矩阵即得所求的矩阵B 。

为此对A 进行初等行变换得2213510295288011A ---⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭基础解系α1=（1，5，8，0）T ,α2=(0,2,1,1)T 令B=(α1,α2) ,则B 即为所求。

题型6 已知基础解系反求其齐次线性方程组 法1：解方程组法（1）以所给的基础解系为行向量做矩阵B ， （2）解Bx=0，求出其基础解系；（3）以（2）中所得基础解系中的向量为行向量作矩阵，该矩阵即为所求的一个矩阵A. 法2：初等行变换法以所给的线性无关的向量作为行向量组成一矩阵B,用初等行变换将此矩阵化为行最简形矩阵，再写出Bx=0的一个基础解系，以这些基础解系为行向量组成的矩阵，就是所求的齐次线性方程组的一个系数矩阵A ，从而求出了所求的一个齐次线性方程组Ax=0. 【例题9】 写出一个以()()122,3,1,02,4,0,1TTX c c =-+-为通解的齐次线性方程组。

解：法1.令α1=（2，-3，1，0）T ，α2=（-2，4，0，1）T ，以α1T α2T为行向量作矩阵1223102401T t B αα⎛⎫-⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，只需写出Bx=0的一个基础解系β1=（1,0,-2,2）T,β2=(0,1,3,-4)T ,则所求齐次线性方程组的系数矩阵为1210220134TT A ββ⎛⎫-⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 所求的一个齐次线性方程组为Ax=0, 即134234220340x x x x x x -+=⎧⎨+-=⎩法2 把所给通解改写为341122*********2424422223434x x x c c x x x c c c x x c x c x c x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-+-+= ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令由上式易知所求方程组有两个自由未知数X3和x4和两个独立变量x1，x2，且对应的方程组为1342342234x x x x x x=-⎧⎨=-+⎩即134234220340x x x x x x -+=⎧⎨+-=⎩题型7 抽象线性方程组求解1.已知系数矩阵A 的秩，求Ax=0的通解:为求Ax=0的通解，必先由A的秩明确一个基础解系含多少个解向量，然后设法求出这些解向量。