矩阵对角化的研究文献综述
浅谈矩阵的对角化问题(浓缩稿)
浅谈矩阵的对角化问题(浓缩版)学号：0807402069 学生姓名：马莉莹 指导老师：朱广俊数学科学学院，2008级，数学与应用数学（师范）摘要：矩阵的对角化是矩阵理论中的一个重要问题，本文利用高等代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件；从初等变换、线性方程组、特征子空间等不同角度探究了将一般矩阵和实对称矩阵对角化的若干方法；最后，分析了一些特殊矩阵的对角化问题，如幂等矩阵、幂零矩阵、实对称矩阵和Hermite 矩阵等. 关键词：对角化，特征值，特征向量，相似变换，线性变换.Abstract: Diagonalization of Matrix is an important problem in the matrix theory. We give several conditions of matrix diagonalization by the use of higher algebra related theory. We give some methods of diagonalization of general matrix and real symmetric matrix from different aspects, such as elementary transformation, system of linear equations and characteristic subspace. In the end, we analysis the diagonalization of some special matrix, such as idempotent matrix, nilpotent matrix ，real symmetric matrix and hermite matrix. Keywords : diagonalization ，eigenvalue ，eigenvectors ，similarity transformation ，linear transformation.一．矩阵相似对角化的条件由于矩阵的类型和所在数域的不同，其对角化的条件也不同. 1.任意数域上矩阵相似对角化的条件 充要条件设1,,m λλ 为n 阶方阵A 的m 个互异的特征值，且它们的重数分别为1,,m s s ，1,2,,i m = .A 可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量⇔对于A 的每个特征值i λ,其代数重数等于其几何重数 ⇔()i i r n s λ-=-I A ⇔A的最小多项式无重根⇔1()mii λ=-=∏I A 0⇔对于A 的每个特征值i λ，都有2()()r r λλ-=-I A I A⇔A 的初等因子都是1次的 ⇔A与某个循环矩阵相似充分条件A 有n 个不同特征值⇒A可对角化A的零化多项式无重根⇒A可对角化2.复数域上Hermite 矩阵必可酉相似于对角矩阵.3.实数域上对称矩阵必可正交相似于对角矩阵.二．矩阵对角化的若干方法（一）一般矩阵对角化的方法特征向量法是将矩阵对角化的常规方法，用该方法解决问题时需要求解齐次线性方程组，过程繁琐.下面介绍其它四种将矩阵对角化的方法. 1.矩阵乘积运算法设12,,,s λλλ 是A在数域F 上全部互异的特征值.其重数分别为12,,,s n n n ,且1sii nn ==∑，记i V λ为A 的属于i λ()1,2,,i s = 的特征子空间. 对()i λ-=I A X 0，有：（1）若A 可对角化，则对A 的每一特征值i λ，都有i n 个与之对应的线性无关的特征向量. （2）A 可对角化的充要条件是对于A 的每个特征值i λ,()ii dim V n λ=.采用类比推测，可得定理1.定理1：设12,,,s λλλ 是A 在数域F 上全部互异的特征值，其重数分别为12,,,s n n n ,且1sii nn ==∑，记i W =()1sj j j iλ=≠-∏I A ()1,2,,i s = . 对()()()12s λλλ---= I A I A I A 0，有：（1）若A 可对角化，则矩阵i W 的列向量组中有对应于i λ的i n 个线性无关的特征向量. （2）A 可对角化的充要条件是()i i rank n =W ()1,2,,i s = .定理1表明，要构造可对角化矩阵A 的相似变换矩阵P ,只需对每一特征值i λ，从矩阵乘积()1sj j j i λ=≠-∏I A 中找出i n 个与之对应的线性无关的特征向量，以这样所得的in n=∑个特征向量为列作一个n 阶矩阵即可.例1：设12202120221001⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求可逆矩阵P ，使得1-P A P 为对角矩阵. 解：由2(1)(5)(1)0λλλλ=-+--=I A ，得 11λ=-（二重），25λ=，31λ= ()()()()()123()50λλλ---=----=因为 I A I A I A I A I AI A ，所以A 可对角化.当11λ=-（二重）时：()()()()123584404840448000λλ--⎛⎫ ⎪-=--=-⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭--W I A I A I A I A 取1W 中两个线性无关的特征向量()()12844,04,8,4,0TT=--=--，，，αα. 当25λ=时：()()()()21388808880888000λλ=--⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=---W I A I A I A I A 取2W 中的特征向量()38,8,8,0T=α当31λ=时：()()()()312000000000050008λλ=--=--⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭W I A I A I A I A 取3W 中的特征向量()40,0,0,8T=-α.令()1234=，，，P αααα，则1(1,1,5,1)diag -=--P A P2.Jordan 标准形法由于复数域C 上任意n 阶矩阵A 都相似于一个Jordan 矩阵J ，所以存在可逆矩阵P ，使得1-=P A P J .如果J 为对角矩阵，则A 可对角化，否则，A 不可对角化.由于矩阵P 可逆，所以存在一系列的初等矩阵12,,,t P P P ，使得12t = P P P P .于是有：1112112t t ---= P P P A P P P J .可对A 先施行一次初等行变换后，接着施行一次相应的初等列变换,我们称此种初等变换为对A 施行了一次相似变换.显然，可对A 施行一系列的相似变换，将A 化为Jordan 形矩阵J .例2：设460350361⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭=A ，求可逆矩阵P ，使得1-P A P 为对角矩阵. 解：将A 化为Jordan 标准形3121121346026026011350010010(1)(1)361361001r r r r c c c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⎪⎪⎪--−−−−−−→−−−−−−→ ⎪⎪⎪+⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝=⎝⎭⎭A1221200(2)0102001r r c c -⎛⎫+⨯- ⎪−−−−−−→ ⎪+⨯ ⎪⎝⎭由A 的Jordan 标准形知，矩阵A 可对角化且它的特征值为-2,1,1.上述过程对A 共施行了三次相似变换，且三次初等列变换对应的矩阵分别为：123100100120110,010,010001101001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P所以123120110121⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪--⎝⎭P P P P ，且1211--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P A P .3.λ矩阵标准形法引理1：设A 是n 阶方阵，则必能用初等变换将λ-I A 变为对角矩阵：12()()()()n t t t λλλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭T 并且多项式 ()(1,2,,)i t i n λ= 的所有根恰好是A 的所有特征值.定理2：设A 是n 阶方阵，{}12()(),(),()n diag t t t λλλλ= T 是对角形λ矩阵，()λP ，()λQ 是可逆的λ矩阵，且满足()()()()λλλλ-=P I A Q T .如果()()()((),)((),())()TTTTTTλλλλλλλ--−−−−−−−−−−→Q I A P I A I T Q Q I.即对()T λ-I A 作初等行变换和初等列变换，使其变为对角矩阵()λT .I 随着()T λ-I A 行的变化而变为()T λQ .则（1） 若12(),(),()n t t t λλλ 的所有根12,,s λλλ 都在F 内，则12,,s λλλ 就是A 的所有特征值.（2） 对于A 的特征值12,,s λλλ ，设第12,,,m ik k k 行是()i λT 的全部为零的行，则()T i λQ 的第12,,,m ik k k 行即构成iV λ的基.其中iV λ为特征值i λ的特征子空间.（3）A 可对角化⇔,(1,2,)i i i r m i s λ∀== ，此处i r 是i λ的重数.根据定理2即可得到λ矩阵标准形法： (1) 作初等变换：()()()((),)((),())()TTTTTTλλλλλλλ--−−−−−−−−−−→Q I A P I A I T Q Q I设{}12()(),(),,()n diag t t t λλλλ= T ，求出12(),(),,()0n t t t λλλ= 的所有解. (2) 若12(),(),,()0n t t t λλλ= 的解都在F 内，并且对每个解i λ都有()i λT 中零行的数目 等于i λ的重数，则A 可对角化，转（3）；否则A 不可对角化，结束.(3) 对于A 的任一特征值i λ，若()i λT 的第12,,,m i k k k 行都为零，则取出()T i λQ 的第 1k ，2k , ,m ik 行构作:1111((),,(),,(),,())m s m sT TTTk kk s k s λλλλ= T Q Q Q Q则12112(,,,)sm m s m diag λλλ-= T AT I I I .例3：设132132264⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭A ，求可逆矩阵T ，使得1-T A T 为对角矩阵. 解：作初等变换：()2112100100100,33601002011222410021T λλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-+-→-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭I A I 按上述方法：（1）记2100002()00λλλλ⎛⎫⎪= ⎪ +⎪⎝⎭-T ，100()112201T λλ⎛⎫⎪=-+- ⎪ ⎪-⎝⎭Q 则1230,2λλλ===（2）当120λλ==时，(0)T 中零行的数目0=的重数2=-当32λ=时，(2)T 中零行的数目2=的重数1=-.所以A 可对角化.（3）当120λλ==时，()()()1001000,00001120021T ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭T Q 取(0)T Q 中与(0)T 中零行所对应的特征向量()11,1,2T=-α，()22,0,1T=-α 当32λ=时，()()()1001002,200011200221T ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭T Q 取(2)T Q 中与(2)T 中零行所对应的特征向量()31,1,2T=--α.令()123121,,101212--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭T ααα，则1002-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭T A T =4. 数字矩阵对角形法若矩阵A 在数域F 上可对角化，则存在F 上的可逆矩阵T ，使得1-=T AT B 为对角矩阵，且B 的主对角线上的元素为A 的全体特征值.由于矩阵T 可逆，所以存在一系列的初等矩阵12,,,s T T T ，使得12s = T T T T .于是：11111112s s s ----- B =TA T =T T T A T T T ，做初等变换：⎛⎫⎛⎫→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B I T . 即对A 施行一系列的初等行变换和初等列变换,使其变为对角矩阵B ，对I 只施行相应的初等列变换变为T .在施行初等变换时,可施行若干次行（或列）变换后再施行若干次相应的列（或行）变换，只要保持变换后所得矩阵与A 相似即可.例4：若1111111111111111⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭A ，求可逆矩阵T ，使得1-T A T 为对角矩阵.解：作初等变换：200002001111002011110002111111111111444100031110100444001013114440011131444-⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪⎪--⎛⎫ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭A I 所以A 可对角化.令1111444311144413114441131444⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎪=⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ---⎪⎝⎭T ，则有120000200002002--⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭T A T .利用初等变换将矩阵对角化时，我们可以从变换后的最终矩阵中直接读出相似变换矩阵和对角矩阵，大大简化了求解过程.(二）实对称矩阵对角化的方法Schmidt 正交法是将实对称矩阵对角化的基本方法，使用该方法时需要牢记公式且计算量较大.下面我们介绍另外两种方法. 1.直接正交法该方法从向量正交的基本定义出发，直接从特征子空间中求出正交向量，易于理解和掌握，且在特征值出现重根的情况下,计算量也大为减少.例5：设 1333313333133331---⎛⎫ ⎪--- ⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭A ，求正交矩阵P , 使得1-P A P 为对角矩阵. 解：由3(4)(8)0λλλ-=+-=I A ，得14λ=-（三重），28λ=. 设41234(,,,)T x x x x R =∈X当14λ=-时，解齐次线性方程组(4)--=I A X 0，得1243x x x x =+-.先取一个特征向量1(1,1,0,0)T =α. 设特征向量22222(,,,)T a b c d =α.因2α与1α正交，从而有220a b +=.又因为2222a b d c =+-，所以可得2222a d c =-. 取211(,,0,1)22T =-α.再设特征向量33333(,,,)T a b c d =α.因3α与1α和2α都正交，从而有330a b +=，33311022a b d -+=.又因为3333a b d c =+-，所以可得333a c =-.取3(2,2,6,2)T =---α. 现将1α，2α，3α都单位化：122,,0,022T⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭β，2666,,0,663T ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭β，33333,,,6626T⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭β. 当28λ=时,可求得单位特征向量：41111,,,2222T⎛⎫=-- ⎪⎝⎭β.令1234(,,,)=P ββββ，则()14,4,4,8T diag ----P AP =P AP =.2.度量矩阵法对于n 维欧氏空间V ,令1,,n αα是它的一个基，它的度量矩阵()()()()1111,,,,n n n n ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A αααααααα是正定矩阵,于是A 合同于单位矩阵I ，即可求得n 阶可逆矩阵U ，使得T =U AU I .利用U 和V 的基1,,n αα作一个新基:121(,,,)(,,)n n = βββααU .那么，新基的度量矩阵即为：()()()()1111,,,,n Tn n n ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=U A U Iββββββββ.所以12,,,n βββ是欧式空间V 的标准正交基.例6：设0111101111011110-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A ，求正交矩阵P , 使得1-P A P 为对角矩阵. 解：由3(1)(3)0λλλ-=-+=I A ，得11λ=（三重），23λ=-. 当11λ=时，解齐次线性方程组()-=I A X 0，得基础解系 1(1,1,0,0)T =α，2(1,0,1,0)T =α，3(1,0,0,1)T =-α当23λ=-时，解齐次线性方程组(3)--=I A X 0，得基础解系4(1,1,1,1)T =--α 则 1234,,,αααα是4R 一组基.记其度量矩阵为B ，那么21101210112004-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭B 对矩阵⎛⎫ ⎪⎝⎭B I 作合同变换：⎛⎫ ⎪⎝⎭B I =2110121011200004100001000010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→1000010000100001263026663003630002102⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.取263026663003630002102⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭U ，则有1111T ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭U B U . 利用U 和基1234,,,αααα作新基:12341234(,,,)(,,,)=ββββααααU .则： 122,,0,022T⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭β， 2666,,,0663T⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭β. 33333,,,6662T⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭β， 41111,,,2222T⎛⎫=-- ⎪⎝⎭β.由于1234,,,ββββ的度量矩阵T =U B U I ，故1234,,,ββββ是4R 的标准正交基.令1234(,,,)=P ββββ，则P 是正交矩阵且1T -P AP =P AP .三.特殊矩阵的对角化 1.幂等矩阵定理3：n 阶幂等矩阵A一定可以对角化，并且A的相似标准形是 0r⎛⎫⎪⎝⎭I ，其中()r rank =A ,r I 是r阶单位矩阵.证明： 因为2=A A ,所以A 有零化多项式2()(1)g λλλλλ=-=-，因为()g λ无重根，所以A可对角化.而A 的特征值只有0和1，所以A 的相似标准形是0r⎛⎫⎪⎝⎭I ,其中()r rank =A .由该定理可以推出幂等矩阵的若干性质： 性质1：幂等矩阵A 的迹等于A 的秩.证明：设A 是数域F 上的一个n 阶幂等矩阵，()r rank =A .如果0r =，则()0()rank tr ==A A .如果r n =，则=A I ．从而()()rank n tr ==A A ．下面设0r n <<.由A 的相似标准形0r⎛⎫⎪⎝⎭I 得： ()((,0))()r rank r tr diag tr ===A I A ．性质2：任意n 阶矩阵A 都可以表示成为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积. 证明：设n 阶方阵A 的秩为r ，则存在n 阶可逆矩阵,P Q 使得： 000r ⎛⎫=⎪⎝⎭I PA Q 所以1111100()()0000r r -----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭I I A PQ P Q Q Q . 令11--=B P Q ，1000r -⎛⎫=⎪⎝⎭I C Q Q .易知B 为可逆矩阵.因为2=C C ，所以C 为幂等矩阵.即任意n 阶矩阵A 都可以表示成为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积.2.幂零矩阵引理2：若()f λ 为A 的特征多项式，()m λ为A 的最小多项式，则()()f m ==A A 0. 引理3：设12,,,n λλλ 为n 阶矩阵A 的特征值，则对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为12(),(),,()n f f f λλλ .幂零矩阵具有下列性质：性质3：A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0.证明：（必要性) 若A 为幂零矩阵，则存在正整数k ，使得k =A 0.令0λ为A 的任意一个特征值，则存在≠α0,使得0λ=A αα.由引理3知0k λ为k A 的特征值. 所以存在 ≠β0，使得 0k k λ=A ββ，从而有00k λ=即有00λ=.又由k =A 0，知00kk ==⇒=A A A ，所以 0(1)(1)00k k ⨯-=-=-=-⋅=I A A A . 所以00λ=为A 的特征值.由0λ的任意性知A 的特征值全为0.（充分性）因为A 的特征值全为0, 所以A 的特征多项式为()n f λλλ=-=I A ,由引理2知()n f ==A A 0,所以A 为幂零矩阵.性质4：若A 为幂零矩阵且≠A 0，则A 不可对角化.证明：若A 可对角化，则存在可逆矩阵P ，使得1-=A P DP ，此处D 是n 阶对角形.若A 为 幂零矩阵，则存在正整数k ，使得k =A 0，即： 11()k k k --===A P DP P D P 0，因为1110kk k k k ---=====P D P P D P P P D D D ，所以有： 10,,-====D D 0A P DP 0， 与题设矛盾.3.幂幺矩阵性质5：幂幺矩阵在复数域上可对角化.证明：若A 为幂幺矩阵，则存在正整数k ，使得k =A I ，所以A 有零化多项式()1k g λλ=-. 因为在复数域上，()g λ的根都是k 次单位根，故()g λ无重根，所以A 可对角化.注意：A 在实数域上不一定可对角化！ 例如0110-⎛⎫=⎪⎝⎭A ，满足4=A I ，即A 为幂幺矩阵，但是2()1f λλλ=-=+I A 在实数域上无根，所以A 在实数域上不可对角化.4.实对称矩阵性质6：实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交.性质7：设λ是实对称矩阵的k 重特征值，则对应于特征值λ，矩阵有k 个线性无关的特征向量. 定理4:设A是一个n n ⨯实对称矩阵.则存在一个正交矩阵P,使得()112,,,Tn diag λλλ-== P AP PAP ,并且i λ是实数，1,2,,i n = .证明：设A的互不相等的特征值为12,,,()s s n λλλ≤ ，并且它们的重数依次为1212,,,()s s r r r r r r n +++= .则对于特征值(1,2,,)i i s λ= ，恰有i r 个线性无关的实特征向量.把它们正交化并单位化，即得i r 个单位正交的特征向量.由12s r r r n +++= 知，这样的特征向量共可得n 个.由于不同特征值的特征向量正交，故这n 个单位特征向量两两正交，以它们为列向量作成正交矩阵P ，则：1T -=P AP P AP 为一个实对称矩阵111,,,,,,s s sdiag r r λλλλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.5.Hermite 矩阵欧氏空间实质上是实数域上的一个内积空间.类似地考虑复数域上的内积空间—酉空间和酉空间上的线性变换.与正交变换和实对称矩阵类似，酉空间中有酉变换与Hermite 矩阵.性质8：设n n C ⨯∈A 是Hermite 矩阵，则A 的特征值均为实数.证明：设λ为A 的特征值，α为其对应的特征向量，即λ=A αα，那么： (,)(,)(,)(,)(,)(,)λλλλ=====ααααααααααααA A 但(,)0>αα，所以λλ=，即λ为实数.性质9：设n n C ⨯∈A 是Hermite 矩阵，则对应于A 的不同特征值的特征向量必正交. 证明：设,λμ是A的两个不同的特征值，,αβ分别是它们所对应的特征向量，则有λ=A αα，μ=A ββ.(,)(,)(,)(,)(,)(,)λλμμ=====αβαβαβαβαβαβA A ，即()(,)0λμ-=αβ.由于A 的特征值为实数，也即()(,)0λμ-=αβ.又因为λμ≠，所以(,)0=αβ，即,αβ正交.引理4：设n n C ⨯∈A ，则存在一个酉矩阵P ，使得1-P A P 是一个上三角形矩阵.定理5：设n n C ⨯∈A ，并且A是Hermite 矩阵，则存在一个酉矩阵P , 使得()112,,,Hn diag λλλ-== P AP PAP ,并且i λ是实数，1,2,,i n = .证明：由引理4知存在一个酉矩阵P ,使得 ()1H ij n n g -⨯===G P AP P AP 是一个上三角形矩阵.又P 是一个酉矩阵，故G 也是Hermite 矩阵.于是，对任意,,1i j i j n ≤<≤，都有ij ji g g =，这迫使当1,2,,,1,2,,,i n j n i j ==≠ 时，有0ij g =；并且i ii g λ=是实数，1,2,,i n = .因此，Hermite 矩阵必定可以对角化，且它的特征多项式的复数根都是实数.。
浅谈矩阵对角化及其应用(米亚兄) - 天津商业大学商学院【优秀资料】
浅谈矩阵对角化及其应用（米亚兄）- 天津商业大学商学院【优秀资料】(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）浅谈矩阵对角化及其应用写在前面：结识高等代数已经快一年了，我们从最初的认识行列式，一直到到现在的欧几里得空间，逐一学习了线性方程组、矩阵、多项式、二次型、线性空间、线性变换，现在就浅谈一下自己对矩阵对角化及其应用的认识。
众所周知：n维向量空间V中的线性变换δ可否对角化的问题是高等代数中十分重要的内容，而δ可对角化的充要条件是δ关于V的矩阵A可对角化。
内容摘要：文章综述了矩阵可以对角化的条件，讨论了可对角化矩阵的基本性质和结论，给出了矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基本方法，以及对应特征多项式的性质，最后讨论其在特征值、特征向量方面的应用。
关键词：矩阵对角化特征多项式特征值特征向量导言：文章由矩阵可对角化出发，说明矩阵可对角化的条件、讨论了可对角化矩阵的基本性质和结论，给出了矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基本方法，以及对应特征多项式的性质，最后讨论其在特征值、特征向量方面的应用。
具体内容：1、矩阵可对角化的条件：1）设δ是n维线性空间的一个线性变换，δ的矩阵可以在某一组基下维对角矩阵的充分必要条件是δ有n 个线性无关的特征向量。
2）方块矩阵A被称为可对角化的，如果它相似于对角矩阵，就是说，如果存在一个可逆矩阵P使得P−1AP是对角矩阵。
3）设A 是数域F上的n阶矩阵，如果存在F上n阶可逆矩阵T，使得T1-AT=∧,那么，就说矩阵A 是可以对角化的。
可对角化矩阵的基本性质和结论：1）数域F上n阶矩阵A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
2）数域F上n阶矩阵A在F内有n个不同的特征根，那么A可以对角化。
3） 属于不同特阵值的特征特真向量是线性无关的。
4）如果在n 维空间V 中，线性变换δ的特征多项式在数域P 中有n 个不同的根，即δ有n 个不同的特征值，那么在某组基下的矩阵是对角形的。
关于矩阵可对角化的研究
（ 尸 ２
两 边左乘 Ｐ ， 得Ｐ － ￣ ＡＰ ＝ Ａ， 即矩阵 Ａ与对角 阵 Ａ相似 ， 故可 对角 矩阵对 角化方法有很多 ． 如对于对称矩阵可以将其看成二次型所对应 化 ． 即充分性得证 。 的矩阵 ． 通过配方法将其 化为标准形从 而实现矩阵 的对角化 ． 再如通 必 要性 设 Ａ～ Ａ， 其 中 Ａ＝ ｄ ｉ ａ ｇ （ ， ￣ ， ＾ ： ， ． ． ． ， ＾ ， 存在 可逆矩 阵 Ｐ使 得 过求解 特征根 和特征向量方法 ，首先求解 ｌ Ａ Ｅ － Ａ ｌ ＿ ０ 得特 征根 Ａ 然 Ｐ － ￣ Ａ Ｐ ＝ Ａ， 则 有 ＡＰ ＝ Ｐ Ａ， 把矩 阵 Ｐ按列分块 ， 记Ｐ ＝ ， Ｐ ２ ， ． ． ． ， ＾ Ｄ＝ ， ， ｄ 后对每一个 Ａ 。 ， 解方程组 ＝ ０得 特征向量 ， 即寻 找一个可逆矩 ｄ Ｔ 则 ＡＰ ＝ ） 可 以写成：
ｎ ２＋… 十ｎ￡ ＝ｎ 。
定 理 ２ 设 Ａ＝ Ｐ ． 则 Ａ可以对角化 的充分必要条件是 ： ｆ １ Ｍ 的特征根都在数域 Ｐ内 Ａ （ ２ ） 对 Ａ的每个特征根 Ａ ， 有ｎ — ｒ ａ ｎ ｋ （ Ａ Ｅ － Ａ 声 ， 其中 ｋ ｌ 是Ａ 的重数 。
／ｆ ● ● ● ，
１ ． 引 言 对角化后 的矩阵在计算和应用等方面 比一般矩阵更具优越性 ． 而
ｒ （ ， ， … ） ＝ （ Ａ ， ， … ， ）
阵Ｐ ． 使得 Ｐ Ａ Ｐ ＝ Ａ ， 其 中 Ａ为对角阵 ． 于是可得 ＝ Ｐ Ａ Ｐｔ ， 在这个对角 化过程 中， Ａ 中的元 素即为矩阵 Ａ的特 征根 ． Ｐ中每个 列 向量 即为矩 阵 Ａ的属于每个 特征根的特征 向量
证 明 ：设 Ａ ， ， Ａ 。 ， ． ． ． ， Ａ ， 是 Ａ的所有不同的特征根， …Байду номын сангаас Ｏ ｔ ． 是齐次线 性方程 Ｅ － Ａ） Ｘ＝ Ｏ （ ］ ＝ Ｉ … ２． ． ， ｒ Ｊ 的一个基础解系 ， 则 Ａ 的特征 向量 “ …，
Jordan标准型与矩阵可对角化毕业论文
Jordan 标准型与矩阵可对角化摘要 本文以λ-矩阵的性质为基础,对角化问题为主线，推导出线性代数中最深刻的结论——Jordan 标准型定理.然后,应用Jordan 标准型定理去解决Hamilton-Cayley 定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组求解的问题.关键词 矩阵对角化 λ-矩阵 Smith 标准型 Jordan 标准型 Hamilton-Cayley 定理1 引言n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.那么当只有mm n <()个线性无关的特征向量时,A 与对角阵是不相似的.对这种情况,我们“退而求其次”,寻找“几乎对角的”矩阵来与A 相似.这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题.Jordan 标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角阵相似的理论作为特例.此外, Jordan 标准型的广泛应用涉及到Hamilton-Cayley 定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组的求解等等.2 λ-矩阵由于Jordan 标准型的求解与特征多项式有关,而从函数的角度看,特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对λ-矩阵的研究.2.1 λ-矩阵及其标准型定义1 称矩阵()(())ij A f λλ=为λ-矩阵,其中元素()(1,2,,;1,2,,)ij f i m j n λ==为数域F 上关于λ的多项式.定义2 称n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的,如果有()()()()n A B B A I λλλλ==并称B λ()为()A λ的逆矩阵.反之亦然.定理 [1]1 矩阵()A λ可逆的充要条件是其行列式为非零的常数,即(())0det A c λ=≠.证明：（1）充分性 设()=A d λ是一个非零的数.()*A λ表示()A λ的伴随矩阵,则()1*d A λ-也是一个λ-矩阵,且有()()()()1*1*A d A d A A I λλλλ--==因此, ()A λ是可逆的.(2)必要性 设()A λ有可逆矩阵B λ(),则()()A B I λλ=两边取行列式有()()1A B I λλ==由于()A λ与()B λ都是多项式,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式,即都是非零常数.证毕.例题1 判断λ-矩阵()2+121=11A λλλλλ⎛⎫- ⎪+ ⎪⎪⎝⎭是否可逆.解 虽然()22+121=1=01A λλλλλλλ-+-+≠()A λ是满秩的,但()A λ不是非零常数,因而()A λ是不可逆的.注意 与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的,可逆的本质就是要保证变换的矩阵可以通过非零常数的倒数逆回去.定义3 如果矩阵()A λ经过有限次的初等变换化成矩阵B λ()，则称矩阵()A λ与B λ()等价,记为()()A B λλ≅定理 2 矩阵()A λ与B λ()等价的充要与条件是存在可逆矩阵()()Q P λλ、,使得()()()()Q B P A λλλλ=证明 因为()()A B λλ≅,所以A λ()可以经过有限次初等变换变成B λ(),即存在初等矩阵12(),(),,()s P P P λλλ与初等矩阵12(),(),,()t Q Q Q λλλ使得1212()()()()()()()()s t B P P P A Q Q Q λλλλλλλλ=令12()()()()s P P P P λλλλ=, 12()()()()t Q Q Q Q λλλλ=就是所要求的λ-矩阵.它们都是初等矩阵的乘积,从而使可逆的.证毕.引理1 设λ-矩阵111212122212()()()()()()()=()()()n n m m mn a a a a a a A a a a λλλλλλλλλλ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭的左上角元素11()0a λ≠,并且至少有一个()ij a λ不能被11()a λ整除,则一定可以找到一个与()A λ等价的矩阵,它的左上角元素不为零,且次数比11()a λ的次数低.定理3 任意m n ⨯阶的λ-矩阵()A λ都必定可以通过初等变换找到一个与之等价的Smith 标准型.()1200r d d D d λλλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪≡⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()()()这里(())rank A r λ=.非零对角元12r (),(),,()d d d λλλ是首一（首项系数为1）多项式，并且1()()(i 1,2,,r 1)i i d d λλ+=-|例题[2]2求λ-矩阵22221()1+A λλλλλλλλλλ⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的Smith 标准型.解22222211100()000010000A λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭即为所求的Smith 标准型.2．2 λ-矩阵的性质定义4 矩阵()A λ的Smith 标准型中的非零对角元12r (),(),d ()d d λλλ，称为()A λ的不变因子.定义5 矩阵()A λ的所有非零k 阶子式的首一（最高次项系数为1） 最大公因式()D k λ称为()A λ的k 阶行列式因子.定理4 等价矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子.证明 设λ-矩阵()A λ经过一次行初等变换化为了B λ()，f λ()与g λ()分别是Aλ()与B λ()的k 阶行列式因子.需要证明f g λλ()=().分3种情况讨论：（1）[],i j A B λλ−−−→()(),此时,B λ()的每个k 阶子式或者等于A λ()的某个k 阶子式,或者与Aλ()的某个阶子式反号,所以,f λ()是B λ()的k 阶子式的公因子,从而f g λλ()|().（2）i A B λλ⎡⎤⎣⎦−−−→(c)()(),此时,B λ()的每个k 阶子式或者等于A λ()的某个k 阶子式,或者等于Aλ()的某个k 阶子式的c 倍.所以,f λ()是B λ()的k 阶子式的公因式,从而f g λλ()|().（3）i j A B ϕλλ+⎡⎤⎣⎦−−−−→()()(),此时,B λ()中那些包含i 行与j 行的阶子式和那些不包含i 行的k 阶子式都等于Aλ()中对应的k 阶子式；B λ()中那些包含i 行但不包含j 行的k 阶子式,按i 行分成两个部分,而等于Aλ()的一个k 阶子式与另一个k 阶子式的ϕλ±()倍的和,,也就是Aλ()的两个k 阶子式的线性组合,所以,f λ()是的k 阶子式公因式,从而f g λλ()|().对于列变换,可以一样地讨论.总之,Aλ()经过一系列的初等变换变成B λ()，那么f g λλ()|().又由于初等变换的可逆性,B λ()经过一系列的初等变换可以变成A λ(),从而也有g f λλ()|().当Aλ()所有的阶子式为零时,B λ()所有的k 阶子式也就等于零；反之亦然.故Aλ()与B λ()又相同的各阶行列式因子,从而有相同的秩.证毕. 既然初等变换不改变行列式因子,所以,每个λ-矩阵与它的标准型有完全相同的行列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因而,在求一个λ-矩阵的行列式因子时,只要求出它的标准型的行列式因子即可.现在来计算标准型矩阵的行列式因子.设标准型为1200r d d d λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()()()其中1,,i d i r λ=()()是首项系数为1的多项式,且11,,1i i d d i r λλ+=-()|()(),其他的元素都是0.易证,在这种形式的矩阵中,如果有一个k 阶子式包含的行与列的标号不完全相同,那么这个k 阶子式一定为0.因此,为了计算k 阶行列式因子,只要看由12,,,k i i i 有行与12,,,k i i i 列12k i i i r ≤≤(1<<<)组成的k 阶子式就可以了,而这个k 阶子式等于12i i ik d d d λλλ()()().显然,这种k 阶子式的最大公因式就是12k d d d λλλ()()().定理5 矩阵A λ()的Smith 标准型是唯一的,并且111()()(),2,3,,()k k k D d D d k r D λλλλλ-===()().证明 设()A λ的标准是1200r d d d λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()()(). 由于()A λ与1200r d d d λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()()()等价，则它们有相同的秩与相同的行列式因子,因此, ()A λ的秩就是标准型的主对角线上非零元素的个数r .()A λ的k 阶子式因子就是12()1,2,,k k D d d d k r λλλλ==()()() ()于是211211()()()()rr r D D d D d d D D λλλλλλλλ-()=(),()=,,()=. 这说明Aλ()的标准型的主对角线上的非零元素是被A λ()的行列式因子所唯一决定的,所以Aλ()得标准型是唯一的.证毕. 定理6 矩阵()A λ与B λ()等价的充要条件是它们有相同的行列式因子（或相同的不变因子）.证明：上一个定理的证明给出了λ-矩阵的行列式因子与不变因子之间的关系.这个关系式说明行列式因子与不变因子是相互确定的.因此,说两个矩阵有相同的各阶行列式因子,就等于说它们有相同的各级不变因子.必要性已由定理1.2.1给出.充分性显然.事实上，若λ-矩阵()A λ与B λ()有相同的不变因子,则()A λ与B λ()和同一个标准型等价,因而()A λ与B λ()等价.证毕.定义6 矩阵()A λ的所有非常数不变因子的首项系数为1的不可约因式方幂的全体称为()A λ的初等因子.定理7 矩阵()A λ与B λ()等价的充要条件是它们有相同的初等因子,并且秩相等.例题3 求矩阵B 的初等因子,其中11a b b a a b B b a a b b a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭=解:11a b b a a bI B b a a b b a λλλλλλλ-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭=由于有两个5阶子式222311[()](),011abbba aa b a b a babba aaa bλλλλλλλλλλλ-----=---=≠--------是互素的,所以5=1D λ()从而14D D λλ()==()=1而又2236[(a)b ]D I B λλλ-=--()=所以B 的不变因子为331566()()1,()(a b)(a b),d d d D λλλλλλ=====---+()所以B 的初等因子为33(a b),(a b).λλ---+3 Jordan 标准型与矩阵可对角化在掌握了λ-矩阵的基本概念:行列式因子、不变因子、初等因子基础上我们将进入Jordan 标准型与矩阵可对角化理论的核心.3．1 对角化的定义及判定定理定义7 如果方阵A 相似于对角阵,即存在可逆矩阵P 和对角阵D ,使得1A PDP -=,则称A 可对角化.定理 [3]8 (对角化定理) n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.事实上,1A PDP -=,D 为对角阵的充分必要条件是P 的列向量是A 的n 个线性无关的特征向量.此时,D 的对角线上的元素分别是A 的对应于P 中的特征向量的特征值.换句话说,A 可对角化的充分必要条件是有n 个线性无关的特征向量形成n的基,我们称这样的向量为特征向量基. 证 首先看到,若P 是列为12,,,n ννν的任一n 阶矩阵,D 是对角线元素为12,,,n λλλ的对角阵,那么[][]1212,,,,,,n n AP A A A A νννννν== （1）而[]121122,,,n n n A PD P λλλνλνλνλ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭（2）现在假设A 可对角化且1A PDP -=,用P 右乘等式两边,则有AP PD =.此时由（1）和（2）得[][]121122,,,,,,n n n A A A νννλνλνλν= （3）由列相等,有111222=,=,,=n n n A AA νλννλννλν （4）因为P 可逆,故P 的列12,,,n ννν必定线性无关.同样,因为这些12,,,nννν非零,（4）表示12,,,n λλλ是特征值,12,,,n ννν是相应的特征向量.这就证明了定理中第一,第二和随后的第三个命题的必要性.最后，给定任意n 个特征向量12,,,n ννν，用它们作为矩阵P 的列,并用相应的特征值来构造矩阵D ,由（1）~（3）,等式AP PD =成立而不需要特征向量有任何条件.若特征向量是线性无关的，则P 是可逆的,由AP PD =可推出1A PDP -=.证毕.例题4 可能的话,将下面的矩阵A 对角化：243463331A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭解 由A 的特征多项式：3220det()4(1)(2)A I λλλλλ=-=--+=--+得特征值是1λ=和2λ=.但当我们找特征向量时对于1λ=的特征向量：1111ν⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对于2λ=的特征向量：2110ν-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦没有有其他特征向量了,A 的每个特征向量都是1ν或2ν的倍数,因此不能利用A 的特征向量构造出3的基.由定理3.1.1,A 不能对角化.3．2 Jordan 标准型与对角化的关系定义8 形如1212()()()k n n n k J J J J λλλ⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,（12++=k n n n n +）的块对角阵为Jordan 型矩阵,并称方阵1(),(1,2,,)1i i iiin i i n nJ i k λλλλ⨯⎛⎫⎪⎪≡= ⎪ ⎪⎝⎭为i n 阶Jordan 块.注意 当()i n i J λ都是一阶Jordan 块时,即()()()121122(),(),,()k n n n k k J J J λλλλλλ===,有J 为对角阵,由此看出对角阵其实只是Jordan 阵的特例.性质 1 矩阵J 可对角化,当且仅当k n =.性质2 Jordan 块的个数k （相同的子块计重复出现的次数）是J 的.线性无关特征值向量的个数.定理9 两个数字方阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价.定义9 称n 阶数字矩阵A 的特征矩阵E A λ-的行列式因子、不变因子和初等因子为矩阵A 的行列式因子、不变因子和初等因子.定理10 两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的行列式因子（或不变因子）.定理11 复数域上两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.注意 其实,结合上定理,不难发现初等因子()ma λ-与m 阶Jordan 块m m11a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭存在一一对应关系.因此可利用特征矩阵的初等因子求矩阵的Jordan 标准型,即有如下定理：定理12(Jordan 标准型定理) 复数域上任何一个数字方阵A 都与一个Jordan 型矩阵相似,这个Jordan 型矩阵除去其中Jordan 块排序外是被A 唯一确定的,称它为A 的Jordan 标准型.证明: 设n 阶复矩阵A 的初等因子为12m m m 12(),(),,()s s λλλλλλ--- 其中12,,,s λλλ可能有相同的,指数12s m m m 也可能有相同的.每一个初等因子m ()ii λλ-对应于一个Jordan 块,1(),(1,2,,)1i i ii in i i n nJ i s λλλλ⨯⎛⎫⎪⎪≡= ⎪ ⎪⎝⎭.这些Jordan 块构成一个Jordan 型矩阵,12s J J J J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭易知, J 的初等因子就是12m m m 12(),(),,()s s λλλλλλ---..由于J 与A 有相同的初等因子,所以它们相似.假设有另一个Jordan 型矩阵K 与A 相似，那么与A 有相同的初等因子，因此，K 与J 除了其中Jordan 块排序外是相同的，唯一性得证.证毕.例题5（1）在例2.2.1中求出的B λ()的初等因子的基础上,求出B 的Jordan 标准型.（2）求出例3.1.1的Jordan 标准型. 解（1）由于B λ()的初等因子为:()()33,a b a b λλ---+所以B 的Jordan 标准型为1111a b a b a b a b a b a b +⎛⎫⎪+ ⎪⎪+ ⎪- ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭（2）由224314631331(1)(2)I A λλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=+≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+⎝⎭⎝⎭知A 的Jordan 标准型为1212⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 4 Jordan 标准型的性质及应用Jordan 标准化的应用是广泛的,下面将利用其给出Hamilton Cayley-定理的证明,并说明其在矩阵分解及在求解线性微分方程组中的应用.4．1 Jordan 标准型在证明Hamilton Cayley -定理中的应用定理 [4]13（Hamilton Cayley -定理）设A 是复数域C 上任意n 阶方阵,A 的特征多项式为()I A ϕλλ=-||,则()0A ϕ=,其中I 为n 阶单位矩阵.证明：存在秩为n 的n 阶复方阵P ,使1P AP J -=,其中J 是A 的Jordan 标准型,可以写成12n J λδλδλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中δ代表1或0,因为12,,,n λλλ是A 的特征值,故12()=---n I A ϕλλλλλλλλ=-||()()().从而12()---n A A I A I A I ϕλλλ=()()()11111212---(---n n PJP I PJP I PJP I P J I J I J I P λλλλλλ----=()()()=)()()12121211200n nn n P P λλλλδλλδδλλδλλδλλδ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 1210000000n nP P λλδλλδ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪**⎝⎭⎝⎭===0利用Hamilton Cayley -定理可以简化矩阵计算.其实,该定理换成线性变换语言为： 定理14[5]（关于线性变换的Hamilton Cayley -定理） 设V 为n 维复线性空间,:T V V →为给定的线性变换,设12m λλλ，，为T 的特征值.1()(()T m f λλλλλ=--)为T 的特征多项式.令g()T 表示将()T f λ中的λ用T 代替,k λ用k I λ代替之后所得到的常系数变换,即1g()((m T T I T I λλ=--））, 则g()T 是零算子,即g()T 将V 中每一个向量都映为零向量：g()()0,T x x V =∀∈.注意 每个特征值k λ都满足多项式方程()0T f λ=,Hamilton Cayley -定理则是说T 满足方程()0T f T =.4．2 Jordan 标准型在矩阵分解中的应用定理 15 复数域C 上任意n 阶方阵,都等于两个对称矩阵的乘积,并且其中之一是的非退化的.证明：设A 的Jordan 标准型为12S J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则存在P , 使1PAP J -=令111i Q ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, i Q 与i J 阶数相同.令12S Q Q Q Q ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则有'1',Q Q Q J QJ Q -===.故11'11'''11'''()(())()A P JP P QJ QP P Q P A PQP P Q P A PQP ------====令11'''(),B P Q P C A PQP--==, 则A BC =其中,B 对称且非退化,C 为对角阵,这是因为'''''1''1''C PQ PA PQ PAP P PQ PAP P PQ JP --==== ''''''1'''()PQJQQP P J QP P J P PQP A PQP C -=====.定理 16[6]设A 是数域P 上的n 阶方阵,能分解成P 上一次因子之积,则A M N =+,其中M 是幂零阵,N 相似于对角阵,且MN NM =.证明（证法一） A M λ()能分解成P 上一次因子之积,说明A 的Jordan 标准型J 是一个n 阶方阵12S J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令01010i ii i ii J B C λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭i B 是幂零Jordan 块,i C 是对角阵.设i J 的阶为i r ,12max(,,,)n k r r r =.则1111()A P JP P B C P P BP P CP ----==+=+其中1122,S S B C B C B C B C ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令11,P BP M P CP N --==则1100k k M P B P P P --===,N 相似于对角阵C ,且111111MN P BPP CP P BCP P CBP P CPP BP NM ------=====证毕.证明（证法二）由定理12,存在可逆矩阵P , 使得1A P JP -=,其中11()()s m m s J J J λλ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭并且()(1,,)i m i J i s λ=是主对角线元为i λ的i m 阶Jordan 块.令01(),(1,,)10i i i ii m i i m m mN J I i s λλ⨯⎛⎫⎪⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭,易知i N 是幂零矩阵, 因而11s N N P P N -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭也是幂零矩阵. 在令111s m s m I M P P I λλ-⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭, 则M 相似于对角矩阵，并且,M N A MN NM +==注意 定理16等价于如下命题：设δ是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换,则δϕτ=+.其中ϕ是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换且是幂零变换,τ也是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换且可对角化,并且ϕττϕ=.4．5 Jordan 标准型在求解线性微分方程组中的应用例题6 解线性微分方程组112212313432d dt d dt d dt ααααααααα⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 把微分方程组写成矩阵形式dxAx dt=， 其中112233110,,430102d dt d dx x A dt dt d dt αααααα⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥===- ⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦对微分方程组实行一个非奇异线性变换X PY =， 其中123010021111P Y βββ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦，. 于是得111200,011001dy dx P P AX P APY JY J dt dt ---⎛⎫⎪===== ⎪ ⎪⎝⎭. 故11223332+d dt d dt d dt βββββββ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩其一般解为21122333t t t t c e c e c te c e βββ⎧=⎪=+⎨⎪=⎩再由X PY =求得原微分方程组的一般解为123223231232(21)(1)t tt tt t t c e c te c e c t ec e c e c t e ααα⎧=+⎪=++⎨⎪=--+⎩ 其中123,,t t t 是任意常数.注意 解线性微分方程组可以用Jordan 标准型来考察.设P 是将A 化为Jordan 型的相似变换矩阵,若我们引进新变量z , 令y Pz =,则dzPAPz dt=, 亦即1dzP APz dt-=. 方程组的矩阵经过了一次相似变换,它现在是A 的Jordan 标准型.从例题6中可以看到,在解决具体问题中不仅要求出Jordan 标准型，而且需要求出变换矩阵P ,关于矩阵P 的求法可参看文献[6].结 束 语至此,我们透彻地解决了Jordan 标准型与矩阵可对角化的问题,也看到了Jordan 标准型在理解矩阵，多项式等方面的强大应用.但遗憾的是在数值应用方面，几乎没有用到Jordan 标准型——这限制了其在计算机方面的应用.这是因为一个矩阵的Jordan标准型未必是该矩阵的各元素的连续函数，这样，矩阵的各元的一个小的变化就会引起Jordan标准型的各元一个大的变化.这样就不能指望用稳定的方法计算Jordan标准型了.尽管有这样的局限性，Jordan标准型还是值得继续研究的，我们也将其更加深刻地认识到：在线性代数的理论体系下最深刻的概念之一矩阵的Jordan 标准型只不过是包含该矩阵的GL(n,C)-轨道的某一最简单的表示.这一更深刻的认识涉及到群表示理论.总之，在探寻Jordan标准型与矩阵可对角化的关系中,我们认识到了认识是无止境的这一哲学命题,我们也有理由相信还有更加美妙的结果在等待着我们去发现.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,高等代数（第二版）[M],北京,高等教育出版社,1998[2] 钱吉林,高等代数解题精粹（第二版）[M],北京,中央民族大学出版社,2002[3]David y,Linear Algebra and Its Applications (Third Edition)[M],Beijing,Pearson Education Asia Limited and China Machine Press,2005[4] Jordan标准型矩阵的性质及其应用[J],德州学院学报（自然科学版）,第9卷第4期2003年8月21-23[5]Tom M.Apostol,Linear Algebra:a first course,with applications to differential equations[M],Beijing,Posts & Telecom Press,2010[6] 王卿文,线性代数核心思想及应用[M],北京,科学出版社,2012Jordan Canonical Form and Diagonalization of MatrixAuthor: Xu Zhucheng Supervisor: Wan JinlongAbstract This paper basing on the properties of λ-matrix and diagonalization as the main line,deduces the most profound conclusion ofLinear Algebra -- Jordan canonical form theorem. Then,it uses the Jordancanonical form theorem to solve the problems of the proof of H-CaylayTheory, the matrix decomposition, linear differential equations and so on.Keywords diagonalization of matrixλ-matrix Smith canonical form Jordan canonical form Hamilton-Caylay Theory毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。
矩阵对角化及应用论文
矩阵对角化及应用理学院 数学082 缪仁东 指导师：陈巧云摘 要:本文是关于矩阵对角化问题的初步研究,对矩阵对角化充要条件的归纳,总结,通过对实对称矩阵,循环矩阵,特殊矩阵对角化方法的计算和研究,让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量,求可逆矩阵,使对角化,提供了简便,快捷的求解途征.关键词:对角矩阵;矩阵对角化;实对称矩阵;特征值;特征向量.矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结.因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论进行应用和举例,给出算法.特别给出了解题时方法的选择.1．矩阵对角化概念及其判定所有非主对角线元素全等于零的n 阶矩阵,称为对角矩阵或称为对角方阵.定义1.1 矩阵A 是数域P 上的一个n 级方阵. 如果存在一个P 上的n 级可逆矩阵X ,使1X AX - 为对角矩阵,则称矩阵A 可对角化.矩阵能否对角化与矩阵的特征值特征向量密切相关.定义 1.2 设A 是一个n 阶方阵,λ是一个数,如果方程组AX X λ= (1)存在非零解向量,则称λ为的A 一个特征值,相应的非零解向量X 称为属于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成,()0E A X λ-= (2)这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式=0E A λ-, (3)即1112121222120n nn n nna a a a a a a a a λλλ------=---上式是以λ为未知数的一元n 次方程,称为方阵A 的特征方程． 其左端A E λ-是λ的n 次多项式,记作()f λ,称为方阵的特征多项式．111212122212()||n nA n n nna a a a a a f E A a a a λλλλλ------=-=---111n n n n a a a λλλ--=++++显然,A 的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数（重根按重数计算）,因此,n 阶矩阵A 有n 个特征值．设n 阶矩阵()ij A a =的特征值为12,,n λλλ,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明（ⅰ）121122n nn a a a λλλ+++=+++;（ⅱ）12n A λλλ=.若λ为A 的一个特征值,则λ一定是方程=0A E λ-的根, 因此又称特征根,若λ为方程=0A E λ-的i n 重根,则λ称为A 的i n 重特征根．方程 ()0A E X λ-=的每一个非零解向量都是相应于λ的特征向量,于是我们可以得到求矩阵A 的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算A 的特征多项式E A λ-；第二步：求出特征方程=0E A λ-的全部根,即为A 的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值λ,求出齐次线性方程组：()0E A X λ-= 的一个基础解系12,,,s ξξξ,则A 的属于特征值λ的全部特征向量是 1122s s k k k ξξξ+++（其中12,,,s k k k 是不全为零的任意实数）．设P 是数域, Mn (P ) 是P 上n ×n 矩阵构成的线性空间, A ∈Mn (P ) , 1,2t ,,λλλ 为A 的t 个互不相同的特征值,高等代数第二版（北京大学数学系几何与代数教研室编）第四版（张和瑞、郝炳新编）课程中,我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如： (1) A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ; (3) A 可对角化当且仅当A 的初等因子是一次的; (4) A 可对角化当且仅当A 的最小多项式无重根我们知道线性变换A 的特征多项式为f (λ) ,它可分解成一次因式的乘积1212()()()()i r r r i f λλλλλλλ=---则V 可分解成不变子空间的直和其中i V = {ξ|iri 12-==s V V V V λ⊕⊕⊕（A E ）;ξ∈V}引理 1.1:设A, B 都是n 阶矩阵, 则秩( AB) ≥秩( A) + 秩( B) - n.定理 1.1:设A 是实数域F 上的一个n 阶矩阵, A 的特征根全在F 内, 若1λ, 2λ,...,K λ 是A 的全部不同的特征根, 其重数分别为1r , 2r ,... k r , 那么 (Ⅰ) 可对角化的充要条件是()i j i jE A r λ≠⎛⎫-= ⎪⎝⎭∏秩 j=1, 2,.......k(Ⅱ) 当( 1) 式成立时,()ii jE A λ≠-∏ 的列空间就是A 的属于特征根iλ的特征子子空间.证明: (Ⅰ) 设A 可对角化, 则存在可逆阵T, 使{}11122,,...,k K T AT diag E E E λλλ-=这里右边是分块对角矩阵, j E 为i r 阶单位阵, 于是有()()()11i i i i j i j i j E A T E A T E T AT λλλ--≠≠≠⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∏∏∏秩秩秩={}()122,,...,i K K i j E diag E E E λλλλ≠⎛⎫-⎪⎝⎭∏秩=()()(){}12,,...,,i j i j i j Ki j diag E E E λλλλλλ≠⎛⎫---⎪⎝⎭∏秩 =()0,0,...0,,0,0,...,0i j j j i jdiag E r λλ≠⎛⎫⎧⎫-= ⎪⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭∏秩 j=1,2, ......k.反之,若()()ijE A r λ-=∏秩i=1,2,.....k, 反复用引理可得()()()()()22i j i i i ji jE A E A K n n r k n λλ≠≠-≥---≥---∑∑∏秩r 秩 i j i jn r r ≠=-=∑ j=1,2,...,k.这里用到了齐次线性方程组()0i E A X λ-=的解空间的维数不大于i λ的重数不大于j r 这个结论.于是又()()iii j i jE A n r λ≠≠-=-∑∑秩从而()i iA n r λ-=-秩 i=1,2,......k. 这样的矩阵可以对角化.(Ⅱ)设( Ⅰ)式成立,则A 可对角化.故A 的最小多项式为()1kii x λ=-∏从而()10kii E A λ=-=∏ 即 ()()0i ii jE A E A λλ≠--=∏这就是说,列空间包含在i λ的特征子空间中,但是由(1), ()ii jE A λ≠-∏的列空间的维数是n,它正是j r 的特征子空间的维数,所以结论(Ⅱ) 成立.推论: 设A 为实数域F 上的n 阶矩阵,A 的特征根全为F 内,且1λ, 2λ 是A 的全部不同的特征根, 其维数分别为1r , 2r , 若秩()12E A r λ-=,秩()21E A r λ-=,则A 可以对角化,且()E A λ-的列向量组的极大无关组恰是属于2λ 的极大线性无关的特征向量组,2E A λ-的列向量组的极大无关组恰是属于1λ的极大无关的特征向量组.例1: 判断A=460350361⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭能否对角化,并求特征向量.解: 易知A 的特征根1λ =-2 , 2λ =1.1E A λ- =660350363--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ 和2E A λ- =360360360--⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩分别为2与1,故A 可对角化. 又因为可以选取001⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭和210-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭为的列空间的一个基,111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭是属于1λ的特征向量.定理和推论把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的问题联系起来,给出了一个不用解线性方程组而求得可对角化矩阵的特征向量的方法, 在矩阵的不同特征根较少时, 这个方法较方便.2．实对称矩阵对角化的计算方法我们知道任意实对称矩阵,总正交相似于一对角阵. 该对角阵的对角元即为实对称矩阵的特征值, 正交相似变换矩阵的各列构成相应的特征向量. 给定一实对称阵A ,如何求正交相似变换矩阵P ,使1T P AP PAP -=为对角阵. 理论上的解决方法为:首先利用特征方程: | λI - A | = 0 求出全部特征值,针对不同特征值求出相应的完全特征向量系,合在一起构成实对称阵A 的完全特征向量系. 再利用施密特正交化法得到 A 的规范化正交特征向量系. 以此作为列向量得到正交相似变换矩阵P , 1T PAP PAP -=为对角阵, 参见文献[5 ]. 此方法理论可行,但在具体操作时,由于要事先求出实对称阵A 的全部特征值,操作上有如下困难: (1) 特征方程: | λI- A | = 0 给出困难; (2) 特征方程求根困难(5 次以上的代数方程没有统一的求根公式) . 因此有必要寻求方法.定义2.1 (瑞雷商) 设A 为n 阶实对称阵,对于任一n 维非零列向量x ,称R ( x) =( A x , x)/( x , x) 为关于向量x 的瑞雷商.引理2.1 设A 为n 阶实对称阵, 1λ≥2λ≥......≥n λ 为A 的特征值.()()()()11/{0}/{0},,max ,min,,nnx R x R Ax x Ax x x x x x λλ∈∈== 定义2.2 设w 为n 维列向量,且T w w = 1 ,则n 阶矩阵H = I - 2Tww 称为Householder 阵.引理2.2 Householder 矩阵具有如下性质: (1) TH H =(2) T TH H HH I == ( H 是正交阵) .引理2.3 设x , y ∈nR , x ≠y , X Y =,则存在Householder 矩阵H, 使Hx = y. 其中()()22/TH I x y x y x y =----定理2.1 设A 是实对称矩阵,λ, x (2X= 1) 是A 的一个特征值和相应的特征向量,则存在P 为一个正交阵,使Px =1e = ()1,0,0 0. 且TPAP 的第一行和第一列的第一个元素为λ,其余元素均为零.证 设A 是实对称矩阵, 1λ≥ 2λ≥ ...≥ n λ为A 的特征值. 根据引理2.1 ,利用多元函数求极值的拉格朗日乘数法,可求得1λ 及相应的规范化特征向量1X . 不妨假设‖1X ‖ = 1 ,由引理2.3 ,存在1P 为一个正交阵,使11P X =1e =()1,0,0, 0.且TPAP 的第一行和第一列的第一个元素为1λ , 其余元素均为零. 设111100TP AP A λ⎛⎫=⎪⎝⎭, 为对称阵,故1A 也为对称阵,设2λ 及2X 为1A 最大特征值及相应的规范化特征向量,则根据引理2.3 ,存在2Q 为一个正交阵,使()2211,0,0, 0Q x e ==.且212T Q A Q 的第一行和第一列除2λ 外其余元素均为零. 令22100P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭,容易验证2P 亦为正交阵, 满足:1121122212200000000T TT P P AP P Q AQ A λλλ⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭依此类推, 存在正交阵1p ,2p , ⋯,1n p -, 使得1n p -...2p 1p 121...T T Tn Ap p p D -=,则T PAP =D,其中 D 为对角阵,令121P P P P n -=,则TPAP D =,P 即为将实对称阵对角化的正交相似变换矩阵.例2: 设矩阵210210582811A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 1λ≥2λ≥3λ为A 的特征值.按上面的算法进行对角化,求出正交矩阵P 及特征根和特征向量.解: (1)利用瑞雷商和多元函数求极值的拉格朗日乘数法,可求得1λ = 18 ,相应的特征向量为1122,,333Tx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) 计算正交矩1p =()()211112/Tp I x e x e x e =----=122333221333212333⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭,满足()1111,0,0T p x e ==且111800090009TP AP ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,至此已实现对角化. 借此可求得= 2λ=9 , 3λ = - 9. 相应的特征向量分别为2212,,333Tx ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,3221,,333Tx ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.3．循环矩阵对角化方法的研究在复数域 C 上,形如012110121230........................n n n a a a a a a a a A a a a a ---⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的矩阵,称关于元素列011,,...,n a a a -的循环矩阵.已知n 阶循环矩阵010 (00)01...0 (1)00...0K ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,并令ii K K = (1,2,,)i n =,称121,,,....,n E K K K -为循环矩阵基本列(其中E = n K 为单位矩阵).循环矩阵基本列有如下特点: ①121,,,...,n E K K K -都是循环矩阵;②n i i K K += ,即n i iK K +=;③n 阶循环矩阵K 有n 个特征根: cossinm mx mxi n nλ=+ (0,1,,1)m n =-④关于元素列0121,,,...,n a a a a -的n 阶循环矩阵 A 可用循环矩阵基本列表示为210121...n n A a E a K a K a K --=++++,反之,能用循环矩阵基本列线性表示的矩阵,则一定是循环矩阵. 循环矩阵的性质性质1 同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵. 性质2 同阶循环矩阵的乘积满足交换律.性质3 同阶循环矩阵的乘积为循环矩阵. 性质4 循环矩阵的逆矩阵为循环矩阵.n 阶矩阵A 关于多项式函数f (x) 生成的矩阵为f (A) ,A 的特征根与f (A) 的特征根有下面的结论:命题3.1 设f (x) 是一个n - 1 次多项式函数,若λ是矩阵A 的特征根,则 f (λ) 是矩阵f (A) 的特征根.命题3.2 设f (x) 是一个n - 1 次多项式函数,若矩阵A 相似于矩阵B , 则矩f (A) 相似于矩阵f (B) .考察n 阶循环矩阵K,K 的特征多项式为:()211,(n i njjnj E K ei πλλληη-=-=-=-==∏如果n 阶循环矩阵A 记为()210121...n A n A f K a E a K a K a K --==++++不难求得K 中与特征值j η相应的特征向量,记:()11...j j n x ηη-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, ()()22......11j j j j j j j j kx x ηηηηηη⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则由命题3.1得()()()()()jjj j A A Ax f K x f x η==,可以验证()()()()1111000,1,.11,1n n m kmkk k m xxm k mηη---==≠⎧==-=⎨=⎩∑∑.将这n 个两两正交的向量()j x 单位化,可得标准正交基()()()011,,...,n x x x -⎫⎬⎭,令矩阵()()()21011242(1)(1)2(1)(1)(1)111 (1)1...,,...,1..................1...n n n n n n n T x x ηηηηηηηηη-------⎛⎫ ⎪⎪⎫⎪==⎬⎪⎭⎪ ⎪⎝⎭则()()())0111',...n TT x x x --==命题 3.3 任意n 阶循环矩阵()A A f K = 在复数域 C 上都可对角化,即1T AT -=11[(0)(),...,()]n A A A diag f f f ηη-推论 n 阶循环矩阵A 可逆的充要条件是()0iA f η≠(i=0,1,...,n-1).例3:求四阶循环矩阵1234412334122341A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的特征根,并对角化.解: 令23()1234f x x x x =+++ 得 ()()A A f K =,0100001000011000K ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由于2i nei πη==, 所以A 的特征根分别为:()()0A f η=10 , ()()1A f η=-2-2i, ()()2A f η=-2, ()()3A f η=-2+2i11111111111211i i T i i ⎛⎫ ⎪--- ⎪= ⎪-- ⎪---⎝⎭, 111111*********i i T i i -⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭4．特殊矩阵特殊对角化的研究前面对实对称矩阵循环矩阵的对角化问题作了研究,本部分主要讨论,当矩阵只有两个特征根时的对角化问题,方法简捷. 对于数域F 上的n 阶矩阵A ,若仅有的两个特征根都在F 内,并且可以对角化,不通过解线性方程组求特征向量,而用初等变换求出可逆矩阵T,使1T AT -为对角形矩阵.定理4.1 设数域F 上的n 阶矩阵A 可以对角化,其特征根为1λ,2λ,如果()10n s n n s B I A p I λ⨯⨯-⎛⎫-⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪*⎝⎭⎝⎭初等变换P,B 为列满秩矩阵,那么(i) A 的属于1λ 的线性无关的特征向量为P 的n s -个列向量;A 的属于2λ的线性无关的特征向量为B 的s 个列向量.(ii) 令T = ( P ,B) ,则T 可逆,且有11122......T AT λλλλ-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中1λ 有n s -个, 2λ有s 个.证 因为初等矩阵不改变矩阵的秩,且B 为列满秩,则()12s B I A λλ==-=秩秩的重数. （i ）根据矩阵的初等变换和分块矩阵的运算性质,可得()())()(1,0n n s I A P B λ⨯--*=，从而()10I A P λ-= 因P 为列满秩矩阵,则P 的n s -个列向量为齐次线性方程组()10I A X λ-= 的基础解系,亦即P 的n s - 个列向量为A 的属于1λ的线性无关的特征向量. 又A 可以对角化,且2λ的重数为s ,则有可逆矩阵Q,使得11122......A Q Q λλλλ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 令1122......D λλλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则有()()()()111212I A I A I Q DQ I Q DQ λλλλ----=--=()()1112QI D QQ I D Q λλ----=()()112Q I D I D Q λλ--- = 10Q OQ -=由于B 的列向量为1I A λ- 的列空间的基,则B 的s 个列向量为齐次线性方程组()10I A X λ-=的基础解系, B 的s 个列向量为A 的属于2λ的线性无关的特征向量.(ii) 因矩阵A 的属于不同特征根的特征向量线性无关,且特征向量的个数之和等于A 的阶数n ,于是, 令 )(,T P B = 即有1T AT D -=例4:令矩阵001010100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求可逆矩阵T,使得1T AT -为对角形式.解: 方法一,先求A 的特征根()0101010A f λλλλ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭= ()()211λλ-+则1λ = 1 (二重) , 2λ = - 1. 可见,此例为定理所述的情况.对矩阵1I A I λ-⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换,即11011000000001011000100101010010001001I A B I P λ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎛⎫⎛⎫=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪*⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以,由定理4.1 知,A 的属于2λ = - 1 的线性无关的特征向量为()11,0,1Ta =-;A 的属于1λ = 1 的线性无关的特征向量为()20,1,0Ta = , ()31,0,1Ta =令011100011T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,则有1111T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 这与[1 ]的结果一致.方法二 在矩阵()I A λ-中,亦可取21λ=-,这时1011000200201011000100101010010001001I A B I P ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎛⎫⎛⎫=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-*⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则A 的属于1λ=1 的线性无关的特征向量为()11,0,1Ta =-- , ()20,2,0Ta =- ;A 的属于2λ=- 1 的线性无关的特征向量为()21,0,1Ta =-令101020101T --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,则有1111T AT -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.5．常规矩阵对角化方法的新探众所周知,对数域P 上一个n 阶矩阵A 是否存在一个可逆矩阵T ,使得1T AT -为对角形矩阵,当这种矩阵存在时,如何去寻求它.一般有关教材中都是先计算一个行列式,求出A 的特征值,再利用线性方程组和特征向量的有关理论及求法解决此问题的.在这里利用矩阵的初等变换解决此问题的,它比教材中的常规方法简单一些,因为不必解若干的齐次线性方程组,有时也不必计算行列式.5.1理论依据为说话方便,我们规定如果数域P 上,对n 阶矩阵存在一个可逆矩T ,使得1T AT -为对角形矩阵, 则称矩阵在数域P 上可对角化.当可对角化时, 我们说将A 对角化,即指求矩阵T ,使1T AT -为对角形矩阵.若矩阵n 在数域P 上可对角化, 则有P 上可逆矩阵T ,使得1T AT B-=为对角形矩阵.于是B 的主对角线上的元素,即为A 的全体特征值, 并且可表示：12,...S T Q Q Q = 其中i Q 为初等矩阵,i=1,2,...,s,于是,1111112......SS S B QQ Q AQ Q Q ----=,又1i Q -也是初等矩阵, 由初等矩阵与矩阵的初等变换的关系, 即知11Q AQ - , 相当于对A 施行了一次初等行变换与一次初等列变换.这里, 我们称此种初等变换为对A 施行了一次相似变换.显见, 可对A 施行一系列的相似变换化为B .又由, 12...S T EQ Q Q =（E 此处表单位矩阵）可如下进行初等变换, 则可将A 化为对角形矩阵B , 且可求得T ：A AB E T ⎛⎫⎛⎫−−−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对施行一系列相似变换,对E 只施行其中的初等列变换. 当A 不可对角化时, 也可经相似变换化简A 后, 求得其特征值, 判定它可否对角化. 类似地, 可由111111...S S TQ Q Q E -----=,做如下初等变换则可将A 化为对角形矩阵B,且可求得T 或由B 求A 的特征值, 判定可否对角化：()()A AE B T −−−−−−−→对施行一系列相似变换,对E 只施行其中的初等行变换.并且在施行相似变换时, 不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行, 可施行若干次行或列变换后再施行若干次相应的列或行变换, 只要保持变换后, 最后所得矩阵与Ａ相似即可.5.2 应用举例为叙述简便,这里用i r 表示i 第行,i c 表示第i 列,i j r kr +表示用数k 乘第j 行后再加到第i 行上,i j c kc +表示用数k 乘第j 列后再加到第i 列上.例5 求如下矩阵的特征值, 并判定它们可否对角化,若可则将其对角化:(1)511602311A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, (2)1111111111111111B ⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭. 解：（1）由31511`602202r r A +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ 13411402002c c C --⎛⎫⎪−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭,知A 与C 相似. 易得,C 的特征值为2,2,2,且2E-C 的秩为2,所以C 不能对角化,从而知A 的特征值为2,2,2且A 不可以对角化.（2）由1,2,3,41111111111112200111120201111200210001000010001000010001000010000i r r i +=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,2,3,4i c c i -=−−−−−→ 1111,2,3,4,2,3,4441112111222202000200002000200002000210001000110011001010101010011001i i r r i c c i -=+=⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−→−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎝⎭20000200002000021111444311144413114441131444-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭, 知B 可以对角化,B 的特征值为-2,2,2,2.令1111444311144413114441131444T ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--- ⎪=⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ---⎪⎝⎭, 则12000020000200002T AT --⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭.当不易直接用相似变换化简判定时, 可先求出特征值, 再用相似变换.例6判定1200320000230043A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭可否对角化,若可,则将其对角化. 解法1（教材中的方法）由120032000023043x x xE A x x ---=-- ()()()2461x x x =--+,知A 的特征值为4,6,-1,-1.解 齐次线性方程组()40E A X -=得一基础解系23100⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 齐次线性方程组()60E A X -=得一基础解系00341⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 齐次线性方程组()0E A X --=得一基础解系1100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,0011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭于是可,A 可对角化,且取201031010*******01T ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则140060000100001T AT -⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪-⎝⎭.解法2由12003200002300431000010000100001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 2143,r r r r --−−−−→ 12,3412004400002300661000010000100001c c c c ++-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12000400001300061000110000100011--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123423,57r r r r --−−−−−→2100504003001700061000110000100011⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭214323,57c c c c --−−−−−→100004000010000621005310053001740017-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭知,A 可对角化,且取.21005310053001740017T ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,11000040000100006T AT --⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭两法比较, 法2比法1简便, 因不必计算行列式和解几个线性方程组.上述内容为本人对各类基本常见的矩阵类型的对角化计算方法,计算技巧的一些探讨,比较传统的计算方法、计算技巧,有一些优越性.计算简便,步骤简单具体,有较强的实用性.参考文献：[1] 张禾瑞 赫炳新 高等代数[M] 第四版 北京 ：高等教育出版社 1998.166－410[3] 毛纲源 线性代数[M] 解题方法与技巧归纳 第二版 华中科技大学出版社 1997,7.213－241. [4] 丘维声 抽象代数[M] 北京 ：高等教育出版社 2003.160－190.[5] 王萼芳 石生明 高等代数[M] 北京 ：高等教育出版社 1987.176－254. [6] 王萼芳 高等代数教程[M] 北京清华大学 1996.91－184.[7] 张爱萍 循环矩阵的性质及其对角化[J] 广西师范自然科学报,2000,12.No.8.168－170. [8] 高吉全 矩阵特征根与特征向量的同步求解方法探讨[J] 数学通报,1991.12.No.7.23－26. [9] 郭亚梅．最小多项式与矩阵的对角化[J]河南机电高等专科学校学报．2006．No.4．106－108． [10]张正成 可对角化矩阵的应用[J] 科技资讯.2007.No.24.252－253.[11]张学元 线性代数能力试题解题[M] 武汉：华中理工大学出版社, 2000.34－37 [12]向人晶 矩阵可对角化的简单判定[J] 数学通报,2003,3.No.12.13－15.[13]靳廷昌有两个特征根矩阵对角化[J] 数学通报,1997,11.No.23.53－57.[14]李世余代数学的发展和展望[J] 广西大学学报．1985．No．1.146－148.[15]周立仁矩阵同时对角化的条件讨论[J] 湖南理工学院学报．2007．Vol.20．No.1．8－10．致谢本论文是在指导师陈巧云老师细心指导下完成.陈老师认真、负责、真诚的做人态度和作为教师对学生不倦教诲的精神,令我很受触动.同时,在论文的选题、修改、定稿都凝聚了陈老师的大量心血.陈老师尽心的指导与严格的监督,促使我最终完成了论文.值此论文完成之际,我谨向陈老师致以深深的敬意和感谢!On the martix diagonatization and application College of science Mathematics 082 Miao Rendong Director:Chen QiaoyunAbstract:This paper initially studied about matrit diagonatization concluding and summarizing about the necessary condition of matrix diagonalization,Through caclulation and research on read synmetrices matrices,cycle matrix,and special matrix diagonalizational ways it proride simple and fast ways of solution on the question of matrix diagonalization in the characteristic root,charateristic rector,and reversible matrix.Key words:diagonal matrix; matrix diagonalizationv; real symmetric matrix;eigenvalue; eigenvectors。
矩阵对角化方法范文
矩阵对角化方法范文首先，我们先来了解一下矩阵的对角化概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P和一个对角阵D，使得A=PDP^(-1)，则称A可对角化，P为可逆矩阵，D为对角阵。
接下来，我们将讨论矩阵对角化的具体步骤和方法。
设A为n阶方阵，我们要对其进行对角化分解。
具体步骤如下：1.求A的特征值和特征向量：求解方程，A-λI，=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
解该方程可得到A的特征值λ1,λ2,...,λn。
然后，将每个特征值代入(A-λI)X=0，其中X为特征向量，解该方程可得到A对应于每个特征值的特征向量X1,X2,...,Xn。
2.构造特征矩阵P：将特征向量组成的矩阵P=[X1,X2,...,Xn]。
3.求P的逆矩阵P^(-1)：由于P是由特征向量构成的，因此P一般是可逆的。
4.构造对角阵D：对角阵D为以特征值λ1,λ2,...,λn为对角线元素所构成的阵。
5.验证：计算A=PDP^(-1)，验证是否满足等式。
通过以上步骤，我们可以得到矩阵A的对角化结果。
为了更好地理解矩阵对角化方法，接下来我们通过一个实例进行阐述。
假设有一个3阶方阵A=[1,0,-1;1,2,0;4,1,3]。
首先，我们求解特征多项式，A-λI，=0，得到特征值的解为λ1=-1，λ2=2，λ3=4然后，我们将每个特征值代入(A-λI)X=0，求解特征向量。
以λ1=-1为例，代入(A+I)X=0，解该方程可得特征向量X1=[1,1,-1]。
以此类推，我们可以得到所有特征向量。
接下来，我们构造特征矩阵P，将特征向量组成的矩阵P=[X1,X2,X3]。
然后，求解P的逆矩阵P^(-1)。
最后，构造对角阵D，以特征值为对角线元素，得到D=[-1,0,0;0,2,0;0,0,4]。
最后一步，我们验证计算A=PDP^(-1)是否成立。
经过计算，我们得到矩阵A=PDP^(-1)。
通过上述实例，我们可以看出，矩阵对角化的方法主要分为求解特征值和特征向量、构造特征矩阵P、求解P的逆矩阵P^(-1)和构造对角阵D。
矩阵可对角化的判定条件文献综述
毕业论文文献综述数学与应用数学矩阵可对角化的判定条件一、前言部分矩阵(matrix) 是代数学中的一个基本概念，也是代数学的主要研究对象之一.“矩阵”（该词来源于拉丁语，表示一排数的意思）这一术语是英格兰数学家西尔维斯特(J.J.Sylvester,1814 — 1897) 在1850 年首先使用的.从19 世纪50 年代开始，英国数学家凯莱和西尔维斯特进一步发展了矩阵理论，且把矩阵作为极为重要的研究工具.凯莱一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章. 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他给出了现在通用的一系列定义，如两个矩阵的相等、零矩阵、单位矩阵、两个矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆矩阵、转置矩阵等.矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支—矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵及其理论现已应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域.如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、计算机层析及X 射线照相术等方面都有广泛的应用.随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决.于是作为处理离散问题的线性代数和矩阵计算，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础.矩阵是一个重要的数学工具，不仅在数学中有广泛的应用，在其他学科中也经常遇到.它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置.矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分，在矩阵论中占有重要的作用，研究矩阵对角化问题很有实用价值，关于矩阵对角化问题的研究，这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究，没有进行系统的分类归纳和总结.因此，我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结，对一些理论进行应用和举例，给出算法.特别给出了解题时方法的选择.矩阵的应用在现代社会中是十分广泛的，本文围绕有限维线性空间上的线性变换对角化问题与矩阵可对角化相互转换进行研究．根据矩阵的多项式对矩阵对角化问题进行判断，这种方法不仅为探讨矩阵对角化提供了一个简便的工具，也把矩阵和有限维空间相结合．在现代科技中，很多问题都是运用此类方式.矩阵对角化问题只是矩阵理论中的一个小问题，但是一个基础问题，这样矩阵可对角化作为矩阵理论里的最基础的知识，就显得格外的重要．通过对《高等代数》，《科学计算方法》等有关资料的查阅和分析研究，为我们对判定矩阵的可对角化的条件提供了相关依据和理论.二、主题部分(1)设()n A M F ∈，12...,m σσσσ=其中i σ为互不相交的循环置换，且12,1,2,...,,...,i i m n i m n n n n σ==+++=则矩阵A 可σ广义对角化的充要条件是11......,s s t na a a a F S S S S +=⊕⊕⊕⊕⊕并且i a S 关于矩阵A 的最小多项式为()(0),1,2,...,;i n i i i x x i s ψμμ=-≠=ja S 关于矩阵 A 的最小多项式为 1111(),1,2,...,;...;...;1,2,...,;...,jk k k r j q q t k k m s x x j s s t r r q s t t k m s s t t t ψ++--==++++=+++=-+++= 必要时调整12,,...,m n n n 的排列顺序.利用子空间关于矩阵的最小多项式研究了矩阵可广义对角化的充要条件，给出了矩阵可广义对角化的一种算法.做了矩阵广义对角化的探讨[1].(2)设A 是n 阶方阵，12,λλ是A 的仅有的两个互异的特征根，则A 可对角化当且仅当 12()()0.E A E A λλ--=并且1E A λ-的线性无关的列向量组就是A 的属于2λ的线性无关的特征向量；2E A λ-的线性无关的列向量组就是A 的属于1λ的线性无关的特征向量.有关n 阶方阵对角化问题的研究有很多，针对数域F 上的n 阶方阵A ，当A 仅有两个互异的特征根，并且A 与对角阵相似时，给出了矩阵A 的特征向量的一种求法，从而得到可逆矩阵T 使1T AT -为对角形矩阵.给出了一种更简单的判别仅有两个互异特征根的矩阵与对角阵相似以及求特征向量的方法[2].任意n 阶矩阵A 可以对角化的充要条件是A 相似于一个n 阶循回阵， 形式最简单的矩阵是对角阵.矩阵对角化是线性变换和化二次型到主轴上问题中经常遇到并需要解决的一个关键问题，但不是任何一个n 阶矩阵都可以对角化,利用循回阵的性质找出一个矩阵可对角化的充要条件[3].（LU 分解） 设A 的前1n -个顺序主子矩阵非奇异，则存在单位下三角阵L 及上三角阵U ,使,A LU = 而且这样的分解是唯一的.矩阵方程的快速求解是矩量法计算电大问题的关键,LU 分解是求解线性方程组的有效方法.该文详细地分析了Doolittle LU 分解过程,基于分解过程的特点,在MPI （Message-Passing interface ）并行环境下,提出了按直角式循环对进程进行任务分配的并行求解方法.实验证明该方法可以有效地减少进程间数据通信量,从而加快计算速度[4] .数域K 上n 级矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量12,,...,,n ααα此时令 12(,,...,),n p ααα=则 {}112,,...,,n P AP diag λλλ-= 其中i λ是i α所属的特征值，1,2,...,.i n =上述对角矩阵称为A 的相似标准形，除了主对角线上元素的排列次序外，A 的相似标准形是惟一的.数域K 上n 级矩阵A 可对角化的充分必要条件是：A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n .矩阵是高等代数研究及解决问题的一个重要的工具,在高等代数课程中应用的范围很广，阐述了矩阵可对角化的条件以及对实对称矩阵的可对角化[5].设,,n n A B P ⨯∈且22,,.A A B B AB BA ===则存在可逆阵p ，使,A B 可同时对角化.如果12(,,...,)n n n p diag p λλλ⨯=∈有n 个互不相同的对角元，对某个n n B P ⨯∈，则PB BP =当且仅当B 本身是对角矩阵.从幂等阵及可交换阵的性质出发，讨论了矩阵可对角化的条件，并给出了矩阵只有两个特征值的特殊情况下可对角化的一种简单判别方法.矩阵可对角化在求矩阵的高次幂中有重要应用，矩阵的对角化有多种判别方法[6].（3）并不是所有的22⨯分块矩阵都可以用分块矩阵初等变换对角化，如果分块矩阵没有极大元，则需分得更细，才能对角化.矩阵m n A ⨯的一种分块方法()ij s t A ⨯可以用分块矩阵的初等变换对角化的充分条件是：存在1s -行且存在1t -列有极大元.矩阵的初等变换与分块是两个不同的经典问题，对于分块矩阵可以直接将其对角化，分块矩阵22()ij A ⨯可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是：它有一个极大元，定义了分块矩阵的初等变换与初等分块矩阵，给出了非满秩情况下分块矩阵可以对角化的条件[7].（4）设(),T T A I A λλ=-其判定及求解步骤如下：对((),)T A I λ作初等变换化为((),()),D p λλ其中12()((),(),...,()),n D diag d d d λλλλ=则A 的特征值恰是12()()...()0n d d d λλλ=的根；如果A 的特征值全在F 内，且对每个i λ有()i D λ中零行数目=i λ的重数，则A 可以对角化，否则，A 不可以对角化；对于每个i λ在()i p λ中取出与()i D λ中零行对应的行向量12,,...,,i T T T i i im p p P 得A 属于i λ的线性无关的特征向量；若A 可以对角化，作可逆矩阵11112112(,,...,,...,,,...,)s T T T T T T m s s sm T P P P P P p =则11122(,,...,),s s i T AT diag I I I I λλλ-=为单位矩阵.在以往关于矩阵可对角化的判定条件的基础上，利用矩阵可以对角化的判定，以及求矩阵的线性无关的特征向量完全可以归纳为矩阵乘法的原理，使得矩阵的特征值与特征向量同步求解，从而得出矩阵可对角化更为直接的简单判定[8].（5）从特征值，特征向量和若尔当标准形入手讨论n 阶方阵可对角化的相关条件.n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是：A 的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于特征值的重数（即A 的每个特征子空间V λ的维数等于特征值i λ的重数）.n 阶方阵可对角化的充要条件A 有n 个互不相同的特征值，通过对n 阶方阵作初等变化是否可得到一个上三角阵来判断该矩阵与对角阵的相似性，则主要通过讨论n 阶方阵可对角化的充要条件来简化对其的判断过程[9].设,()n n i j n n A a C⨯⨯=∈（C 表示复数集），n H μ∈（n μ表示全体n n ⨯酉矩阵的集合）.H A 表示矩阵的共轭转置，,,S V P 为n 维列向量.可以将矩阵化为双对角矩阵.矩阵计算的基本途径是设法把一个较复杂的矩阵计算问题转化为一个简单的、易于求解的矩阵计算问题，尤其是研究线性系统特性或求特征值问题.将系数矩阵化为双对角矩阵或三角形矩阵会对矩阵特征值的研究及问题的求解带来极大的便利.复系数矩阵通过若干次变换可化为上双对角矩阵，该方法在工程上具有较强的应用意义，并且该方法为计算复系数矩阵的条件数提供了思路，在研究实矩阵三角化计算方法的基础上给出了复系数矩阵上双对角化的一种通用计算方法[10].（6）如果方阵A 以一次多项式为一个零化多项式，则A 可以对角化.假定,,a b c 为实数，如果n 阶方阵A 适合条件220(40),A bA cE b c ++=->则A 可以对角化.矩阵的对角化理论是线性代数教学中的一个重要内容.然而，在教学中，多数相关的结论比较抽象.从教学的角度讨论了方阵对角化的另外一种解释.该解释可和二次方程的结论进行类比，从而易于学生理解记忆，便于教学[11].设01,00B ⎛⎫= ⎪⎝⎭T 是任意数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换，若存在V 的一个基，使T 在这个基下的矩阵是准对角形矩阵12...t K B K B K B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 其中i K 是不为零的数(1,2,...,),i t =则称T 可亚对角化.设01,00B ⎛⎫= ⎪⎝⎭A 是数域F 上的一个n 阶方阵，若存在数域F 上的一个可逆矩阵T ，使 121...t KB K B T AT K B -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中0(1,2,...,),i K i t ≠=则称A 可亚对角化. 引入了线性变换可亚对角化的定义，并给出了线性变换可亚对角化的充要条件[12].（7）设12,,...,s λλλ是A 在数域p 上的全部互不相同的特征值.作多项式12()()()...(),s g λλλλλλλ=---则A 在p 上可以对角化的充要条件是()0.g A =多判定条件加以改进，得出更为直接的简单判定对角化的条件[13].三、总结部分按照矩阵的特性，我们将分几类讨论对角化的问题：第一类是一般矩阵（方阵）的对角化问题，第二类是一类特殊矩阵的对角化问题——实对称矩阵的对角化.还有一类是复系数矩阵的对角化问题和矩阵广义对角化的研究等等，通过本文的写作，归纳和总结矩阵可对角化的条件，掌握矩阵对角化的计算步骤以及矩阵分解理论.了解矩阵分解在解决具体问题中的应用，将解题思路应用解决实际问题中.运用矩阵分析的相关知识，可以很好分析可对角化的思路，有助于提高判定的有利条件和提高解题的速度.矩阵可对角化的研究，对于矩阵的一些性质有了更进一步的掌握，计算方法的探讨从而也帮助了我们大大减少了计算量，以至于能在大工程中得到应用，为判定矩阵可对角化的条件给出了比较清楚的分析，为矩阵的发展做出了积极的探索[14-15].四、参考文献[1] 王新哲，蒋艳杰. 矩阵广义对角化的探讨[J]. 大学数学,2009,(4):140-144.[2] 张力宏，辛大伟.一类特殊矩阵可对角化的判别及特征向量的求法[J]. 大学数学, 2008,（4）:134-136.[3] 曲春平.矩阵可对角化的充分必要条件[J] .辽宁省交通高等专科学校学报,2003,（3）:50-51.[4] 黄明游，刘播，徐涛.数值计算方法[M] .北京:科学出版社,2005.[5] 丘维声.高等代数（上）[M] .北京:清华大学出版社,2005.[6] 贺福利，万小刚，许德云.关于矩阵可对角化的几个条件[J] .高等函授学报,2004,（1）:14-16.[7] 李大林.分块矩阵的对角化方法[J] .柳州职业技术学院学报,2002,（2）:64-67.[8] 朱靖红，朱永生.矩阵对角化的相关问题[J] .辽宁师范大学学报,2005,（3）:383-384.[9] 王治萍.试论n阶方阵的可对角化问题[J] .高等教育与学术研究,2009, (12) :158-160.[10] 高英.复系数矩阵的双对角化方法[J] .高校讲坛,2009, (23):548.[11] 辛向军，吕红杰.谈谈方阵的对角化教学[J] .四川教育学院学报,2009,(1):115-116.[12] 周仲旺.线性变换可亚对角化的充要条件[J] .潍坊学院学报,2001,（2）:15-17.[13] 向大晶.矩阵可对角化的简单判定[J] .数学通报,2000, (3):27-29.[14] Peter D Lax.Linear algebra and its applications[M] :Wiley.c , 1997.[15] Roger A. Horn,Charles R. Johnson. Matrix Analysis[M] :Wiley-VCH, 2005.。
矩阵可对角化的总结
矩阵可对角化的总结(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。
［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n 级方阵，都认为是复数域上的。
当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。
只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。
复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。
引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。
本文主要是讨论矩阵可对角化。
定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～B。
矩阵P称为由A到B的相似变换矩阵。
[]1[]2[]3[]423定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。
[]1[]2[]3[]4定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。
[]2定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。
[]1[]2[]3一、 首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的相关条件。
定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。
矩阵对角化问题 数学毕业论文
矩阵对角化问题高等代数中，在讲到线性空间和线性变换时，一个主要内容是讨论矩阵对角化,即在什么条件下矩阵与对角矩阵相似.而矩阵对角化的原始问题是：设V 是有限维复线性空间,A 是V 上的线性变换，能否在V 中找到一个基,使得A 在这个基下的矩阵比较简单.作为纯粹的几何问题就是V 能否分解成一些不变子空间的直和.讨论这个几何问题的证明对于了解线性空间有很大好处.本文将对V 分解成所谓根子空间的直和给出一种较为初等的证明，并由根子空间分解定理推出线性变换(或n 阶方阵)可对角化的充要条件.把这些充要条件与其他线性变换（或n 阶方阵）可对角化的充要条件进行汇总比较，从而得到线性变换的矩阵对角化的方法的优劣，便于学习和研究根据具体情况选用.1．预备知识1.1有关定义定义 1.1.1[]1 线性空间V 一个变换A 称为线性变换，如果对于V 中任意的元素αβ和数域P 中任意数K 都有A (α+β)=A （α）+A （β）A (k α）=k A(α) 定义1.1.2[]1 设A 是数域P 上的线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果W 中的向量在A 下像仍在W 中，换句话说，对于W 中任一向量ξ，有A ξ∈W ,我们就称W 是的A 不变子空间，简称A -空间.定义 1.1.3[]1设1V ,2V 线性空间V 的子空间，如果和1V +2V 中每个向α=1α+2α,1122,V V αα∈∈是唯一的,这个和就称为直和.定义1.1.4[]1如果数域P 上的n 阶矩阵A 相似于对角阵，则A 可对角化定义1.1.5[]1设A 是数域P 上的n 阶矩阵，如果数域P 上的多项式()f x 使得()f A = 0,则称()f A 以A 为根.在以A 为根的多项式中次数最低且首相系数为1的多项式称为A 的最小多项式.定义1.1.6 设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换，如果存在非零向量V ξ∈,数λ∈P ,m ∈N,使得()0m A λεξ-=，那么称ξ为属于λ的根向量.线性变换A 的属于特征根λ的根向量的全体，再添上零向量所组成的V 的子集是V 的一个子空间，称V 的这个子空间为A 的属于特征值λ的根子空间.Sylvester 不等式 设,A B 均为n 阶矩阵，秩（A ）+秩(B )≤n +秩（AB ）1.2 线性空间根子空分解定理引理 设A 是n 维复线性空间V 的线性变换, 12,...s λλλ是A 的所有不同的特征值,且12...s V V V V λλλ=++其中12,,...,s V V V λλλ是V 的全部根子空间,则i A λε-在i V λ上为幂零线性变换,而在1211......i i s V V V V V λλλλλ-+++++++上为可逆线性变换.证明 不失一般性,只证明1A λε-在1V λ上为幂零线性变换,而在23...s V V V λλλ++上为可逆线性变换.在1V λ中取一个基 12,...t γγγ, 则有正整数12,...t p p p ,使1()0i p i A λεγ-= , i = 1，2，…, t ,取p = max {}12,...t p p p , 有()10pi A λεγ-=, i = 1 ,2…t ,于是对任意γ∈1V λ，令1ti i i k γγ==∑,则1()pA λεγ- =1()pA λε-(1ti ii k γ=∑ )=11()0tPii i k A λεγ=-=∑ ,即在1V λ上,1()p A λε- =ϑ (ϑ为零变换) ,所以1A λε-在1V λ上为幂零线性变换.令W =2...s V V λλ++,若1()A W λε-不可逆,则1()A W λε-一定有一个特征根是0 ,因而1A λε-在W 上有属于特征根0 的特征向量0ξ (0ξ∈W) ,即有10()A W λεξ-=1()A λε-0ξ=0, 亦即010()A ξλξ=(0ξ≠0). 又因0ξ∈W = 2...sV V λλ++ ,所以有0ξ=23...s ξξξ++,其中ii V λξ∈ ( i = 2 ,…,s ) 于是有正整数i m ,使()0im i i A λεξ-= , i = 2 ,…,s ,令()()22...s m m s A A τλελε=--,则τ(i ξ) = ()()22...s m ms A A λελε--i ξ= 0 , i = 2 ,…, s ,从而τ(0ξ) = τ(2ξ) + … + τ(ξs) = 0 , 另一方面, 因为()010A ξλξ=，又τ(0ξ)=21()...()s m m s A A λελε--0ξ=()()2121...0s m ms λλλλ--≠这就导致了矛盾.所以1A λε-在2...s V V λλ++ 上为可逆线性变换.定理1.2.1 (根子空间分解定理) 设A 是n 维复线性空间V 的线性变换, 12,...s λλλ是A 的所有不同的特征值,i V λ是属于i λ 的根子空间, i = 1 ,2 ,…, s ,则12...S V V V V λλλ=⊕⊕⊕.证明 设A 的特征多项式为1212()()()...()s s f x x x x γγγλλλ=--- 令()()()ii i f x g x x γλ=- i = 1 ,2 ,…, s , 则12(),(),...,()s g x g x g x 互素, 于是有多项式12(),(),...,()s u x u x u x , 使1()()1si i i g x u x ==∑, 将A 代入上式, 得 1()()si i i g A u A ε==∑,(ε为单位变换), 任给ξ ∈ V ,有ξ =ε(ξ) =()()1s i i i g A u A =⎛⎫⎪⎝⎭∑ξ=1(()())siii g A u A ξ=∑, 记()()i i i g A u A ξξ=, i = 1 ,2 ,…, s ,于是12...s ξξξξ=+++. 下面证明i i V ξ∈ , i = 1 ,2 ,…,s因为()()()i i i f x x g x γλ=-,由哈密尔顿- 凯莱定理()()()i i i A g A f A γλεϑ-== (ϑ为零变换),于是有()i i i A γλεξ-=()()()i i i i A g A u A γλεξϑ-=（ϑ为零变换）即i i V λξ∈, i = 1 ,2,… , s ,所以12...S V V V V λλλ⊂+++,又显然12...S V V V V λλλ⊃+++ ,故12...S V V V V λλλ=+++.再证明上面的和是直和,设12...0,i s i V λαααα++=∈, i = 1 ,2 ,…,s 由引理知i A λε-在i V λ上为幂零变换，所以存在正整数i n ,使得在i V λ上()i n i A λεϑ-=(ϑ为零变换),又由引理 ，i A λε-在111.......i i s V V V V λλλλ-++++++上为可逆变换,所以()i n i A λε- 在111.......i i s V V V V λλλλ-++++++上也是可逆变换,于是0 =()(0)i n i A λε-=()i n i A λε-（12...s ααα++）= ()i n i A λε-i α+()i n i A λε-（1211...i i s ααααα-++++++）=()i n i A λε-（1211...i i s ααααα-++++++）从而1211...i i s ααααα-++++++=0 ,于是()1211......0i i i s αααααα-+=-+++++= , i = 1 ,2 ,… s,由零向量的表法唯一知12...S V V V V λλλ=⊕⊕⊕ 根子空间分解定理全部证完.运用根子空间分解定理可以推出一些矩阵对角化的充要条件.对角矩阵可以认你为是矩阵中最简单的一种，一些复杂的矩阵可以通过适当的方法化为对角阵.通过相应对角阵的研究学习,可以推知这些复杂矩阵的性质,促进对复杂矩阵的了解,简化很多复杂工作,给学习和研究带来很大方便.下面就矩阵对角化的充要条件作一详细论述.2. 矩阵可对角化的一些充要条件及矩阵对角化方法2.1 特征向量法定理2.1.1 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换, A 的矩阵可以在某一组基下为对角阵充要条件是, A 有n 个线性无关的特征向量.证明 设A 在基12,...n εεε下具有对角阵1...n λλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.即i i i A ελε= i=1,2…n 因此, 12,,...,n εεε就是A 的n 个线性无关的特征向量.反过来,如果A 有n 个线性无关的特征向量,那么就取12,,...,n εεε为基.显然, A 在这组基下的矩阵是对角阵. 证 毕.例1. 设线性变换A 在基12,,...,n εεε下的矩阵是(1)122212221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, (2)310410482A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭,问A 是否可以对角化? 解 (1)因为特征多项式为122212221E A λλλλ----=------=()()215λλ+-所以A 的特征值是-1(二重)和5把特征值-1代入齐次方程组得()()()123123123122021202210x x x x x x x x x λλλ---=⎧⎪-+--=⎨⎪--+-=⎩ (1)解得基础解系是101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦和011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因此属于-1的两个线性无关的特征向量是112223,ξεεξεε=-=-把特征值5代入(1)得基础解系111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,所以属于5的全部特征向量为3123ξεεε=++ 则A 在基123,,ξξξ下的矩阵为B=100010005-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭(2) E A λ-=310410482λλ--+-=()()212λλ-+，所特征值为1(二重)和-2. 对应特征值1的特征向量为11233620ξεεε=-+ 对应特征值-2的特征向量为23ξε=由此知A 有两个线性无关的特征向量，由定理1知A 不能对角化.运用此定理判定一个线性变换的矩阵是否可以对角化的方法简单易懂,但是过程比较繁琐.先计算一个行列式求出A 的特征值,再利用方程组和特征向量的有关理论及求法计算出A 是否有n 个线性无关的特征向量.计算过程容易出错.下面利用最小多项式给出一个线性变换的矩阵可角化的充要条件.此定理比定理2.1.1简洁实用2.2 最小多项式法引理 设A 是一个对角阵A=12A A ⎛⎫⎪⎝⎭，并设1A ,2A 的最小多项式为12(),()g x g x ，那么A 的最小多项式为12(),()g x g x 的最小公倍数[]12(),()g x g x .证明 ()g x =[]12(),()g x g x ，首先12()()()g A g A g A ⎛⎫= ⎪⎝⎭=0.因此()g x 能被A 的最小多项式整除.其次()0h A =.那么12()()()h A h A h A ⎛⎫= ⎪⎝⎭=0, 1()h A =0,2()h A =0,因而11()()g x h x ，22()()g x h x .并由此得()()g x h x .这样就证明了()g x 是A 的最小多项式. 这个结论可以推广到A 为若干矩阵组成的准对角阵的情形.即如果A=1 (00)S A A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，i A 的最小多项式为()i g x ，i=1,2,…,s.那么A 的最小多项式为[]12(),(),...,()s g x g x g x .定理2.2.1 数域P 上n 级矩阵A 与对角阵相似的充要条件为A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积.证明 根据引理的推广形式，条件的必要性是显然的. 下面证明充分性.根据矩阵和线性变换之间的关系，我们可以定义任意线性变换A 的最小多项式，它等于其对应矩阵A 的最小多项式.所以只需证明,若数域P 上某线性空间V 的线性变换A 的最小多项式()g x 是P 上互素的一次因式的乘积1()()li i g x x a ==-∏，则A 有一组特征向量做成V的基.实际上，由于()0g A V =.由定理 1.2.1同样的步骤可证12...l V V V V =⊕⊕⊕，其中{}()0,i i V A a V ξεξξ=-=∈,把12,...l V V V 各自的基合起来就是V 的基，而每个基向量都属于某个i V ，因而是A 的特征向量. 证毕.推论 复数矩阵A 与对角阵相似的充要条件是A 的最小多项式无重根. 不利用定理2.2.1,该推论也可证明.下面给出令一种证明.证明 必要性设A 相似diag 12(,...)n λλλ，所以存在可逆矩阵T 使1T AT -=∧,(∧为对角阵),从而1i i T A T -=∧,不妨12,...k λλλ是A 的互不相同的特征根()k n ≤ 记()()()11211()......k k k k k g a a a λλλλλλλλλλ--=---=+++ 因而()11111(...)k k k k T g A T T A a A a A a E T----=+++=1111111...k k k k T A T a T A T a T AT a T ET ------+++=11...k k k a a E -∧+∧++=()g ∧ 而()11...k k k g a a E -∧=∧+∧++=1111211121(,...)(,...)...(,...)k k k k k k n n k k k diag diag a a a diag a a a λλλλλλ---++= 11111.........k k k k k n n k a a a a λλλλ-⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭=diag ()()()12(),...n g g g λλλ=0所以()g A =0.于是()()A m g λλ，但是()g λ没有重根，因而()A m λ没有重根.充分性 设12,...n λλλ为最小多项式()A m λ的互不相同的根,则由()A m λ无重根()A m λ=()()()12...k λλλλλλ---，于是()A m A =()()()12...k A E A E A E λλλ---=0 令rank ()i A E λ-=i γ，则dim I V λ=n -i γ,所以A 共有()()()12...k n n n s γγγ---=个线性无关的特征向量并且显然s n ≤.另一方面()12...1k k n γγγ+++≤-.因而又有()()()12...k s n n n n γγγ=---≥，故s n =.这就说明了A 有n 个线性无关的特征向量由定理2.1.1知A 可对角化. 证毕.例2. 判下列矩阵是否可以对角化.（1）001010110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）3131131331311313--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪--⎝⎭解（1）可求的A 的特征多项式为()()2010101110E A λλλλλλ--=-=-+-由于A 的最小多项式为()()211λλ-+的因式，计算得0A E -≠,0A E +≠.而()A E -()A E +=0.因此A 的最小多项式为()()11λλ-+.显然A 的最小多项式是实数域上互素的一次因式的乘积，从而由定理2.2.1知A 可对角化.（2）可求得A 的最小多项式为E A λ-=3131131331311313λλλλ-----+---+=4λ由于的最小多项式为4λ的因式，计算得A 0≠, 2A =0.因此A 的最小多项式为2λ.从而由定理2.2.1知A 不可对角化.例3 k A =E,则A 与对角阵相似.(k=1，2…)证明 由k A E =知A 为多项式()1k f x λ=-的零点，即()f A =0.因A 的最小多项式()()A m f λλ，而()f λ无重根，所以()A m λ无重根，故由推论知A 与对角阵相似.对于单纯的判断一个线性变换的矩阵能否对角化运用定理 2.2.1及其推论是很简洁方便的，它部避免了运用定理2.1.1的繁琐过程.但是对于既要判定某个数域上的线性变换的矩阵是否可对角化，对于可对角化的矩阵又要求出相似变换矩阵及矩阵特征值的题目来说运用定理2.2.1及推论是达不到要求的.而运用定理2.1.1虽然能达到要求但方法却很繁琐.下面给出的方法仅需利用矩阵的乘法运算便可判定一个矩阵是否相似与对角阵，并且在判定的过程中简洁的构造出相似变换矩阵完全不需解性方程组.2.3 矩阵的乘法运算法定理 2.3.1 设12,,...,s λλλ为n 阶矩阵A 的全部相异特征值，其重数分别为12,,...,s n n n ，1sii nn ==∑,则A 与对角阵相似的充要条件是1()si i E A λ=-∏=0.(i=1,2,…,s)证明 必要性若A 相似于阵对角阵∧，则存在可逆矩阵P 使得A =P 1...s E E λλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1P -,其中i E 为in 阶单位矩阵（i=1,2,…,s ）于是()i E A λ-=()1i P E P λ--∧=()()111...i i s s E P P E λλλλ--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,于是1()s i i E A λ=-∏=()11s i i P E P λ-=-∧∏= P ()()1111...s i i si s s i E E λλλλ==⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭∏∏1P - 由于()i j j iE λλ-∏=0（j=1,2,…,s ）.所以1()si i E A λ=-∏=0.充分性 因为对于任何n 阶矩阵A 都存在可逆矩阵P ，使得A= P 12...S J J J ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1P -,其中jJ 为jordan 块(j=1,2,...,s).因此要证A 可对角化，只要证j J =j j E λ（j=1,2,…,s ）,由于()i E A λ-=()i P E J λ-1P -=P ()()()1122...i i i s s E J E J E j λλλ-⎛⎫ ⎪-⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭1P - ()()()()111221...i i i i i i s s i E J E J E A P P E J λλλλ-⎛⎫- ⎪ ⎪- ⎪-= ⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭∏∏∏∏所以若()0i iE A λ-=∏.则因P 可逆而有()0i j j iE J λ-=∏（j=1,2,…,s ）.又当i j ≠时()0ijλλ-≠，()i jj EJ λ-可逆，所以()i j j E J λ-0≠，即j j j J E λ=(j=1,2,…,s)定理2.3.2 设12,,...,s λλλ时n 阶矩阵的全部相异特征根，其重数分别为12,...s n n n ，则A 于对角阵相似的充要条件是()j i i jW E A λ≠=-∏的秩为()j j R W n =（j=1,2,…,s ）.证明 必要性()()()111...i i j j i i ji s S i E W E A P P E λλλλλ≠-≠⎛⎫- ⎪⎪=-=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭∏∏∏=()110...0ijji js P P Eλλ-≠⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∏ 其中0,j j E 分别是j n 阶的零矩阵和单位矩阵（j=1,2,…,s ）.由于P 满秩且i j λλ≠.所以()j R W =()i j j i j R E λλ≠⎛⎫- ⎪⎝⎭∏=()j j R E n =.充分性 用反证法假设()i j j i j R E λλ≠⎛⎫- ⎪⎝⎭∏不可对角化，则因几何重数≤代数重数[]5，必至少存在一整数k 使得()k R E A λ->()j R E []3，于是j k ≠时.由sylvester 不等式知j n =()k i j R E A λ≠⎛⎫- ⎪⎝⎭∏≥()()2i i jR E A s n λ≠---∑>()()2j i j n n s n ≠---∑=()()()12i j j i js n n s n n n n n ≠-=--=--=∑矛盾.所以A 可对角化.推论 1 设12,,...,s λλλ为n 阶矩阵A 的相异的特征根，其重数为12,,...,s n n n ，则矩阵j W =()k i jE A λ≠-∏的列向量中由对应于j λ的j n 个线性无关的特征向量.证明 因A 可对角化，由定理2.3.1得()i i jE A λ≠-∏=0，()jE A λ-()i i jE A λ≠-∏=()j jE A Wλ-=0.由此，j W 中每一列非零向量都是方程组()i E A λ-X=0解向量,即j λ的特征向量.又有定理2.3.2知()j j R W n =，所以j W 的列向量组中有恰好对应于j λ的j n 个线性无关的特征向量.上述的结论表明，要构造可对角化矩阵 A 的相似变换矩阵P ,完全可以不像传统的方法那样解方程组()k E A λ-X=0，而只需对每一特征值j λ（j=1,2,…,s ）从矩阵乘积()ki jE A λ≠-∏中直接找出jn个与j λ对应的线性无关的特征向量，这样所得的j n n =∑个特征向量为列作一n 阶矩阵即可.推论2 若n 阶可对角化矩阵A 只有两个相异特征值1λ（k 重）和2λ（n k -重），则矩阵()1E A λ-（或()2E A λ-的n k - (或k )个线性无关列向量就是对应2λ（或1λ）的特征向量的极大无关组.这一结论进一步表明，在可对角化矩阵A 只有2个相异特征值的情况下，不仅不需要解方程组，而且不需要计算矩阵的乘积就可以把对应于不同特征值的特征向量立即求出.例4 求下列矩阵A 相似变换矩阵.(1)A =741471444-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ （2）A =1220212022100001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 （1）A 的特征值1λ=12，2λ=3（二重）21541451448W E A λ-⎛⎫⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭,124441W E A λ-⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭－４１－４－４１由于()()120E A E A λλ--=,所以A 可对角化，有推论2知1λ的一个特征向量()11,1,1α=-（取1W 的第3列）2λ的2个线性无关的特征向量()()234,5,4,1,1,8αα=-故相似变换矩阵P =()123,,ααα=141151148-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，1(12,3,3)PAP diag -=（2）A 的特征值1λ=-1(二重)，2λ=5，3λ=1，而()()123W E A E A λλ=--=8448*4400-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ()()1300*08E A E A λλ⎛⎫ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪⎝⎭２Ｗ＝,3Ｗ＝88*80⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭由推论2可得1λ的特征向量()()1284404αα''=--=-，，，，，8，-4，0. 23λλ，的特征向量分别为()()3400088880αα==，，，，，，，于是相似变换矩阵为P=()1234αααα，，，==84008440000-⎛⎫⎪⎪⎪--⎪⎝⎭8-488－8 P A 1P -=diag(-1,-1,5,-1).上文讨论了矩阵是否可对角化的判定及矩阵对角化方法问题，给出了简便易行的判定和求法.区别于传统的方法，定理2.3.1定理2.3.2及推论把矩阵对角化问题归结为矩阵的乘法运算，不需要解方程组就可以得到特征向量及相似变换矩阵,但是上述方法都没有达到特征值，特征向量，相似变换矩阵同步求解的效果.下面引入λ-矩阵，改进在一般情形下矩阵对角化的方法，使判定和求解一步到位并得到矩阵对角化十分简单的方法，主要依据下面两个定理.2.4 引入λ-矩阵推出数字矩阵可对角化的充要条件定理2.4.1 设A 是数域P 上的n 阶方阵，()()A E A λλ=-为其特征矩阵E 为n 阶单位阵.如果()A λ经过初等变换化为对角阵()D λ,则A 的特征值为()D λ的对角线上元素的乘积的多项式的根. （证明略）定理2.4.2 在定理2.4.1 的假设下，如果()()(),T A D λλ经初等变换化为()()(),D P λλ,且()D λ为对角阵，则（1） 对于A 的每个特征值i λ，()i P λ中与()i D λ的零行对应的行向量生成属于i λ的特征子空间.（2） 若A 的特征值都在P 内，设12,,...,s λλλ为A 的全部不同的特征值，其重数分别为12,,...,s γγγ，则A 可以对角化的充要条件是()i D λ中零行的数目=i λ的重数i γ（i=1,2,…,s ）证明 (1)因为()D λ与()T A λ的秩为n ，则总有可逆的λ-矩阵()P λ,()Q λ,使()()()()()()()12(,,...,)T n P A Q diag d d d D λλλλλλλ==.即对()T A λ施行()P λ对应的一些行初等变换和()Q λ对应的一些列初等变换可使()T A λ化为对角阵()D λ，有()()()(),T P A Q E λλλ→()()(),D P λλ (1) 这里相当于初等列变换的()Q λ右乘作用在()T A λ而不作用于E.因为()()()T P A Q λλλ=()D λ，所以()()()()T T T Q A P D λλλλ==()D λ.于是对A 的每个特征值i λ有()()()T T i i i Q A P λλλ=diag(()()()12,,...,i i n i d d d λλλ)设()i D λ中有i m 个零行，相应的i m 个为的对角元记为()()()12...0i i i i i im i d d d λλλ====()1i m n ≤≤，取()T i P λ中对应的列向量1,2,...,i i i im P P P ,则()()T i i Q E A λλ- ()1,2,...,i i i im P P P =0.因为()T i Q λ可逆，所以()i E A λ- ()1,2,...,i i i im P P P =0 （2）由于()T i P λ可逆，故()12,,...,i T T T i i im P P P 列满秩，从而由（2）知12,,...,i T T Ti i im P P P 正是A 属于iλ的i m 个线性无关的特征向量，再从（1）式，注意到()i D λ中n -i m 个非零行是行满秩的.由[]7中定理1知A 属于i λ的线性无关的特征向量就是()i P λ中与()i D λ的零行对应的行向量，他们生成i λ对应的特征子空间.(2) A 可对角化⇔秩()i E A λ-=i n γ-=i n m -,即i m =i γ（i=1,2,…,s ） 证毕. 基于以上讨论我们不难得到矩阵对角化的简单方法，其步骤如下： (1)对(),TiE A E λ-作初等变换化为()()(),D P λλ,其中()()()()12(,...,)n D diag d d d λλλλ=，，则A 的特征值恰是()()()12...n d d d λλλ=0的根. (2) 如果A 的特征向量全在P 内，且对每个i λ有()i D λ中零行数目=i λ的重数，则A 可以对角化，否则不可对角化.(3) 对于每个i λ，在()i P λ中取出与()i D λ中零行对应的行向量12,,...,i i i im P P P 得A 属于i λ线性无关的特征向量.(4) 若A 可以对角化，作可逆矩阵()1121,,...,,...,,...,si i im s sm T P P P P P =，则11122(,,...,)s s T AT diag E E E λλλ-=，i E 为i γ阶矩阵.例5 判定下列矩阵可否对角化，若可以求可逆矩阵T ，使1T AT -为对角阵.(1) A =011111011⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ (2) A =321222361-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭解 ()()10100,111010011100T A E λλλλ-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭→2011002011111001λλλλλλλ⎛⎫-- ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭ →21110010111102011λλλλλ--⎛⎫⎪-+ ⎪ ⎪---⎝⎭→210000101111020011λλλ-⎛⎫ ⎪-+ ⎪ ⎪--⎝⎭→()22100001010111001231λλλλλλλ⎛⎫-⎪-+ ⎪ ⎪⎪---++-++⎝⎭故P 的特征值是120,1λλ==(二重),因()1D 中的零行数目2λ≠的重数,故P 不可对角化.(2)()()2323100121001,22601002240121210010242103T A E λλλλλλλλλλλ⎛⎫----+⎛⎫⎪ ⎪=-+-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+-+⎝⎭⎝⎭()()2100001100001022*******012024241030242103λλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+-+--+-+⎝⎭⎝⎭()()()1000010200120024121λλλλ⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--+--+⎝⎭故A 的特征值为12λ=（2重根）, 24λ=-.又()2D 中零行数=2=1λ的重数；()4D -的零行数=1=2λ的重数,故P 可对角化，且由()()()2,2D P =100001000012000123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭可得出()()αβ''＝０，１，２，＝１，－２，－３是A 属于2的线性无关特征向量由()()()4D -，Ｐ－４=100001060012000123⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭得()1,2,3γ'=-是A 属于-4的线性无关的特征向量.令T=011122233⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭,则1224T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭参考文献[1] 北京大学数学系.高等代数.北京：高等教育出版社，第88版，1988.[2] 许以超.代数学引论[]M.上海：社会科学技术出版社，1966[3] 钱吉林.矩阵及其广义矩阵[]M.武汉：华中师范大学出版社.[4] 王心介.高等代数与解析几何[]M.北京：科学出版社,2002.[5] 张远达.线性代数原理.上海：上海教育出版社，1980.[6] 彭海明.对“矩阵特征值与特征向量同步求解方法探讨”的改进意见[]J.数学通报，1993(2):45-47.[7] 刘国洪.王宝智.利用矩阵的初等行变换对矩阵的特征值和特征向量同步求解,数学通报,1996,2.。
矩阵相似对角化研究涂广伟
矩阵相似对角化研究涂广伟引言矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域中。
矩阵的相似对角化是矩阵理论中的一个重要概念，它将一个矩阵转化为对角矩阵，简化了矩阵的计算。
本文将对矩阵相似对角化进行深入研究，并以涂广伟为例解析其在实际应用中的意义。
矩阵相似对角化基本概念在开始研究矩阵相似对角化之前，我们先来回顾一下矩阵的基本定义。
矩阵是一个由数字符号排列成的矩形阵列。
矩阵相似对角化是指将一个矩阵通过相似变换转化为对角矩阵。
假设A和B是两个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = B，则称矩阵A和B是相似的，并且称B是对角化的。
其中P是由A的特征向量组成的矩阵。
矩阵相似对角化的理论基础是矩阵的特征值和特征向量。
矩阵A的特征值是满足方程det(A-λI)=0的值，其中I是单位矩阵。
特征向量是满足方程(A-λI)x=0的非零向量。
矩阵相似对角化的步骤下面我们将介绍矩阵相似对角化的具体步骤。
1.找出矩阵A的特征值。
通过求解方程det(A-λI)=0，可以得到矩阵A的特征值。
2.找出每个特征值对应的特征向量。
对于每个特征值λ，通过求解方程(A-λI)x=0，可以得到特征值λ对应的特征向量。
3.构建可逆矩阵P。
将每个特征值对应的特征向量排列成矩阵P的列向量，得到可逆矩阵P。
4.计算对角矩阵D。
通过D = P^-1AP，可以得到对角矩阵D。
矩阵相似对角化的关键在于寻找矩阵的特征值和特征向量，通过对特征值和特征向量的研究，可以将复杂的矩阵转化为简单的对角矩阵。
矩阵相似对角化在实际应用中的意义矩阵相似对角化在实际应用中具有重要意义，主要体现在以下几个方面：1.简化矩阵计算。
由于对角矩阵具有简单的形式，对角化后的矩阵可以大大简化矩阵的计算过程。
例如，在求矩阵的幂、指数和逆矩阵等问题时，对角化后的矩阵可以大幅度减少计算量。
2.揭示矩阵的结构。
对于一个已经对角化的矩阵，可以通过观察对角元素的取值来推断矩阵的性质。
矩阵对角化的研究文献综述
矩阵对角化的研究文献综述文献综述矩阵对角化的研究一、前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点)(一)写作目的矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个基本问题.通过此次写作希望能比较全面的认识矩阵的对角化的基础知识,深入理解其基本内容,领会其思想方法,并掌握求矩阵的对角化的方法.通过求矩阵的对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题,并通过比较总结出一套比较简单易行的方案.除此之外,还要在原有的基础上,得到一些有意义的结果,争取在某些方面有所创新.(二)有关概念首先,我们给出文中常用的符号如下[1]:i表示实数域;ii表示实数域上的阶矩阵的集合;iii表示阶复矩阵的集合;iv表示实矩阵集合;v表示阶实矩阵的集合;vi表示阶的单位矩阵;vii表示矩阵的行列式;viii表示主对角线上为元素的对角矩阵;定义1[2]: 对角线以外的元都等于0,即当时有的方阵称为对角矩阵.记为.如:特别地,称为单位矩阵,简称单位阵,记.定义2[3]: 若阶矩阵与对角矩阵相似,则称可对角化,也称是单纯矩阵.(三)综述范围若一个阶矩阵相似于对角阵时,可以使许多问题的研究和计算简化.求解矩阵对角化先得确定矩阵是否符合可对角化的条件,所以在文献[4-5]具体介绍了矩阵可对角化的条件,根据这些条件求一般矩阵以及一些特殊矩阵的对角化,在文献[6-8]中比较详细的介绍了他们的定理及证明方法.通常,矩阵可对角化问题与特征值密切相关,除此之外我们还可以通过可逆矩阵求解矩阵的对角阵.通过求矩阵可对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题,并通过比较总结出一套比较简单易行的方案[9].本文结合矩阵的基本知识原理,对矩阵对角化的各种常用求法进行梳理、归纳,并举例进行说明.(四)主要的问题矩阵相似于对角阵时,可以使许多问题的研究和计算简化.如何用最简便的方法解决不同矩阵(如对称矩阵,幂等矩阵,对合矩阵)的对角化问题.二、主体部分(阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述)(一)历史背景矩阵这个概念是从解线性方程组中产生的.我国现存的最古老的数学书《九章算术》(成书于公元1世纪,作者不详)中,就有一个线性方程组的例子:为了使用加减消去法解方程,古人把系数排成如下图所示的方形:古时称这种矩形的数表为“方程”或“方阵”,其意思与矩阵相仿.在西方,矩阵这个词是1850年由西尔维斯特(James Joseph Sylvester,1814-1897,英国人)提出的.用矩阵来称呼由线性方程组的系数所排列起来的长方形表,与我国“方程”一词的意思是一致.(二)现状和发展方向矩阵可对角化作为矩阵理论中的一个重要组成部分,目前已经有了丰富的研究成果,其中包括对实对称矩阵的对角化、幂等矩阵的对角化、对合矩阵的对角化、四元数矩阵的对角化的研究.主要成果有:刁成海[10]把判断矩阵是否可对角化与求它的特征向量联系起来,同时给出一个不用线性方程组即可求得可对角化矩阵特征向量的方法.王新民,孙霞,张景晓[11]给出了解决矩阵对角化问题的一个简便方法,即对特征矩阵施行初等变换.应用这个方法,可同时求出的特征根及特征向量,判断是否可对角化,在可对角化时,可直接写出相应的可逆矩阵,使为对角形矩阵.付立志,杨庆玺[12]对于对称矩阵对角化的正交变换模型进行了可行性研究,给出了相关定理的证明,以及模型法的操作原则、步骤和应用举例,使对称矩阵对角化的正交变换凸现了程序化简捷化的特点,从而回避了常规解法中求特征值要解高次方程,求特征向量要解线性方程组的繁琐过程.夏银红,赵文菊[13]在给出了次转置矩阵逆矩阵的性质的基础上,根据矩阵对角化理论,给出并证明了次转置矩阵可对角化的条件.陈惠汝[14]讨论两个矩阵可同时合同对角化、同时相似对角化的充分或充要条件,由此进一步推出了多个矩阵同时对角化的条件,并给出两个矩阵同时合同对角化和同时相似对角化的算法.姜同松, 魏木生[15] 通过引入友向量的方法,进一步研究了四元数矩阵的对角化问题,构造性地给出了四元数矩阵对角化的实用算法.岳嵘[16] 利用矩阵的对角化的方法,对两类具有特殊性质的数列的通项公式.丘维声[17]给出了特征不等于2的域F上两个It级对称矩阵一齐合同对角化的充分必要条件;证明了秩为1的两个2级对称矩阵一定可以一齐合同对角化.金佑来[18]指出特征值出现重根的情形下,需用Schmidt正交方法求正交特征向量,计算较为繁难.他给出另一种解法,即利用向量内积构造齐次线性方程组,求出每个特征值对应的特征向量,从而求出正交矩阵.张伟涛,刘宁,楼顺天[19]针对避免奇异解的联合对角化算法计算量大的问题,提出两种改进的高效算法.在第一种改进算法中,将对角化矩阵行列武按当前更新的列展开,从而避免了计算行列式过程中的矩阵求逆.另一种改进算法将列交换后的对角化矩阵进行QR分解,由分解得到的上三角矩阵计算对角化矩阵的行列式.由于两种改进算法减少了一次矩阵求逆,因此降低了原算法的计算量.仿真结果表明,当目标矩阵个数和维数较大时,两种改进算法的计算量分别为原算法的18.9%和13.5%.其中关于外文文献的引用参见文献[8]和文献[19] 三研究内容1.矩阵是否可对角化,可按下列思路进行:思路1:计算出的特征值,如果得所有特征值两两互异,则可对角化充分条件.如果的特征方程有重根;在计算对应每个特征值的特征向置,如果有个线性无关的特征向量,则可对角化充要条件.思路2:不计算矩阵的特征向量,只需计算的特征值两两互异,则可对角化.思路3:计算矩阵的特征值,不计算的特征向量,只需计算特征矩阵的秩,如果对于每个重特征值的特征矩阵的秩等于.即秩,则方阵可对角化,否则不可对角化.思路4:不计算矩阵的特征值和特征向量.只需证明存在可逆矩阵和对角矩阵使得,则与相似,即可对角化.对于矩阵分解一般采用思路1,思路2和思路3的方法.2.矩阵可对角化的几个定理及引理归纳如下定理1[2]阶矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量;定理2[10] 阶矩阵可对角化的充要条件是特征子空间维数之和为;定理3[10] 阶矩阵可对角化的充要条件是的初等因子是一次的;定理4[10] 阶矩阵可对角化的充要条件是的最小多项式无重根引理1[12]可逆矩阵一定可化为一系列初等矩阵之积;引理2[13]对称矩阵一定可对角化;引理3[13] 设都是阶矩阵,则定理5[13]设是实数域上的?个阶矩阵,的特征根全在内,若是的全部不同的特征根,其重数分别为,那么1可对角化的充要条件是秩2当1式成立时.的列空问就是的属于特征根的特征子空间.推论1:设为实数域上的阶矩阵,的特征根全为内.且是的全部不同的特征根,其维数分别为,若秩,秩.,则可以对角化.且的列向量组的极大无关组恰是属于的极大线性无关的特征向量组,的列向量组的极大无关组恰是属于的极大无关的特征向量组.上述定理把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的同题联系起来,给出了一个不用线性方程而求得可对角化矩阵的特征向量的方莹.在矩阵的不同特征根较少时,这个方法较方便.定理 6 若是的全部不同的特征根.作多项式,则上可以对角化的充要条件是定理9若是的全部不同的特征根.如果,- 则属于的特征子空间就是的列向量空间.定理7若是的全部不同的特征根,如果对每个都有那么,.从上述几个定理可以看出,矩阵可对角化的判定以及求矩阵的线性无关的特征向量完全可以归结为矩阵的乘法运算.3.下面我们就实对称矩阵与等幂矩阵的对角化作写简要叙述就矩阵的对角化问题我们可通过正交矩阵实现。
有关对角化问题综述
江苏教 育学 院学报 （自然科 学）
Ｊｕ ｆ ｉｎｓ ｓｔｔ ｏ ｄ ｃｔ ｎ（ ａｕＭ Ｓ ｉ ｃｓ ｏｍＭ ｏ ａｇｕＩ ｔｕｅ ｆ ｕ ａ ｏ Ｎ ｔｒ ｃｅ ｅ） Ｊ ｎｉ Ｅ ｉ ｎ
Ｊｎ ２ １ ｕ ．，０ ０
Ｖｏ ， ６ Ｎｏ ６ ｌ２ ．
一
（） ２ Ａ是否 可对 角 化 ？若 可 对 角化 ， 可 逆 矩 阵 求
角化 有哪些判 断 方法 呢？ 以及 它们 有 哪些 应 用 ？这
些 问题 将在本 文 中给 出论述 ．
一
、
对 角 化条 件
角矩 阵
； 以 ｌ ， ， 为 列 而 ， … ２
１ 可对 角化概 念 ．
设 线性变 换 Ａ是 ｎ维 线性 空 间 的一 个 线性 变
所得 的矩 阵 ， 有
事 实上 ， Ａ ， … ， 是 Ａ（ 的 全 部 特 征 若 Ａ ， Ａ Ａ）
值， 又 ， ， ， 是 相 应 的线 性 无 关 的特 征 向量 ， … 则 Ａ 在线性 空 间 的基 ， ， ， 下 的矩 阵为 对 …
计 算它 的乘积 、 逆矩 阵 、 高次 幂还 是 特征 值 等都 特 别 方便 ． 么 ， 竟 哪些线 性变换 （ 阵 ） 对角 化 ？对 那 究 矩 可
性 无关 的特征 向量 最大个 数 等于该 特征 值 的重 数． 推论 ２ １ 充要 条 件 ） ．（ ｎ级矩 阵 Ａ 可 对 角 化 的充
要 条件是 对 于 Ａ 的每个 特征值 Ａ， 有 秩 （ Ｅ— Ａ Ａ）＝ ｎ一５其 中 Ｓ Ａ的重数． ， 是 推论 ２ ２ 充要 条件 ） ｎ维 线 性 空 间 中的线 ．（ 设
１０ １ １０ １ Ｊ Ｊ
矩阵对角化方法的应用
矩阵可对角化的定义： 定义１．设Ａ∈Ｐ椭，Ｐ是数域，若存在可逆矩阵Ｘ∈Ｐ棋”，使Ｘ．１ＡＸ为对角矩阵，则称矩阵Ａ 可对角化． 关于矩阵对角化，有以下几个结论： 引理１［２］ Ｉ＇Ｉ阶方阵Ａ可对角化的充要条件是Ａ有行个线性无关的特征向量． 引理２ｒ２３ 若行阶方阵Ａ有行个不同的特征值，则Ａ可对角化． 引理３Ｅ３］扎阶方阵Ａ可对角化的充要条件是对于Ａ的每个志重特征根．：ｌ。，有
３
１
取Ｘ＝（Ｘｌ Ｘ２ Ｘ。），则Ｘ＿１＝
３
１— ３
—１）Ｔ Ｘ３＝（１ １ １）ｒ．
１
１
３
３
一号ｏ ｏ
２ ３
一丢ｏ １ ．Ａ＝Ｘ
３
ｏ
Ｘ一．
１
１
３
３
Ｏ
Ｏ
１
口Ｐ
一丢ｏ ｏ
口ｉ∞
口∥ ＝Ｘ
０一百１
口≯
厶Hale Waihona Puke ＯＯＸ一１ 口ｌｏ）
０
口；ｏ）
１
·＋２·（一丢）‘ ·一（一号）‘ ·一（一号）‘ 口ｉ０）
１ ３
·一（一丢）‘１－｛－２·－－号）‘·一－－专）‘
口５卜１）），口≯＝丢（口｛卜１）＋口；Ｈ）），‘
证明ｌｉ ｍ口中：竺ｉ：：±冀：±．坚（ｆ：１，２，３）．
证明
口， 口∥ 口５Ｄ
将锑椎关系组改写为下列矩阵形式：
０．．１—．．—１—
２
２
Ｏ
１—２
１—２
１—２
０ １—２
口｛卜１） 口扩＂ 口５Ｈ’
ｎ
１
１
ｕ 虿虿
口（ｏ）
高等代数论文
安徽师范大学数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：对角化的讨论及应用姓名：***学号：************安徽师范大学数学与应用数学系数学与应用数学专业2012级2013年8月25日对角化的讨论及应用摘要：本文主要讨论了线性变换的对角化以及实以对称矩阵的对角化的问题,线性变换的对,角化实质上也是矩阵的对角化,分析对角化问题,讨论矩阵是否可与对角矩阵相似,若相似,则有相同的特征值,即可用一定的初等变换将之化为对角阵,以及对角阵在解题材上下班具有比较简便的求法,化一个矩阵为对角阵,不但可以使矩阵运算简化,而且在理论上和应用上都具有十分重要的意义 .关键词: 对角化实对称矩阵特征值相似标准形式.( 一 )线性变换的对角化.1212111,dim(),(),(),()[],()()()(),, ,.:()()()()(),()()t t j j t F n N L g x h x F x g h h g x x x x x l j x x x λλλννσνσσσσλλλσνννλλλλ+-+=∈∈∈=+++=----≠=-j j j,l 正文一对角化的条件:设是数域上的线性空间又设则多项式的运算满足乘法交换律知引理1,设是的两两不同的特征值则和是直和证明g 当时g 令g 1212112,0,1,2,.()()()()00()(0)()()()()()()()()()()()(),()0,0,,(j t lj lid l t t j j j j j j t j t c λαααλανσσσλασσααασασασασαλαλαμμμσν++=∈==-===++=++==≠=j j,l j j j j j j j j 这也是一个多项式,设其中由g g 有g g g g g 因为g g 而g 所以设是的所有的两两不同的特征值.记121212)()(),1,2,,(),()dim(),()(){,,},();(),()(,,)tj j j t j j t III III j t III c n III n III III III diag n μμμμννννννηηηνσηλησλλλσσ=⊕⊕====j 若是的一个基,则将合并得到的向量组线性无关并且是的一组基:引理2:如果而含有个向量.记则是的一组基记则在下的矩阵是推论:如果有个两两不同的特征值,则可对12121()():{,,},,,,,(),dim(()),,dim(),(),t n III VI c m c n F n N L σσσααααααννσννσνμ+∈=≥=∈∈角化.证明:注意到特征子空间的维数是正整数,则此时每一个特征子空间的维数只能是1,故可对角化.引理3:若有m 个向量,m<n,则不可对角化.证明:(反证)如果有基下的矩阵是对角矩阵因此所以与已知矛盾故不可对角化.定理1:设是数域上的线性空间21,,dim()j t tj nμμμσσλ==∑是的所有的两两不同的特征值,的可对角化的充分必要条件是:1212(),,,dim():(1),,(2)(1),n t j j j js j j j j L F m m m m n m Fψμμμψμωωψμμω⨯∈=++==∈A A n A 二 对角化的计算方法:现在考虑F 上n n 矩阵A 的对角化的计算问题,注意到A 否相似于对角矩阵,也就是是否可对角化.设是(也是A 的)的所有的两两不同的特征值,齐次线性方程组(E -A)X=0的解空间记为我们有可对角化的充分必要条件是的重数如果成立将的基(即(121212():{,,},,1,2,,(),,,,j n i i i t n III i n III μξξξξλξψλλλξξξ==n A -1E -A)X=0的一个基础解系),j=1,2,t合并起来得到向量组于是A 而在下的矩阵是对角矩阵B=diag()(3)若取C=(),则C 是可逆的,并且C AC=B三 相似标准形现在假定A 可对角化,我们来研究与A 相似的对角矩阵是否在某种意义下"惟一"?也就是说,如果G,H 都是12121112,,,,()()()()()(){,}t t j t i n n x x x x x x λλλμμμλλλμμμψεεε---=---A 对角矩阵,并且G H,G 与H 有什么进一步的关系?引理4:如果G=diag(),H=diag()都是对角矩阵,并且G H,则G 与H 只相差主对角线上排列的不同:证明:先证必要性:如果G H,则G 与H 的特征多功多项式相等因此,则结论成立.再证充分性,G 是在基12,()(),,,,t VI F P C σλλλ⨯⨯∈∈=-1n n n n 下的矩阵可以适当排列这个基得到另一个基(VI)使得在下的矩阵恰是H:定义1,设A Mat 如果存在F 上可逆矩阵C,使C AC 是对角矩阵G=diag(),则称G 为A 的(相似)标准形.定理2:如果矩阵A 可对角化,则它的相似标准形在引理4下意义下惟一.四 可对角化的等价情况设P 为数域A P 当时则下列条件等价: 1,A 的每个若尔当块皆为1级的, 2,A 的最小多项式无重根, 3,A 的最后一个不变因子无重根, 4,A 的初等因子是一次的, 5,A 的特征多项式无重根.112*,,,0n n λλλλλ<>⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭-1-1二实对称矩阵的对角化引理1'任意n 阶复矩阵A 必相似于上三角形矩阵,即存在可逆矩阵P, 使得P AP=其中为A 的全部特征根引理2'实对称矩阵的特征根为实数.引理3'设A 与B 为n 阶实矩阵,则A 与B 在实数域上相似的充要条件是 A 与B 在复数域上相似,即有实可逆矩阵P,使得P AP=B 的充要条件 1,μμμμ=-≠≠-1-12 是有可逆复矩阵Q,使得Q AQ=B. 证明:必要性显然.下证充分性,设有可逆复矩阵Q,使得Q AQ=B,且令Q=C+iD,其中C,D 是 实矩阵,i 而AQ=QB,于是AC=QB,AD=DB,因Q 可逆,故|Q|=|C+iD|0 即|C+iD|不是零多项式,则有实数,使得|C+D|0,即实矩阵C+D 可逆 令P=C+D,则有AP=AC 1*",0n μμλλ⎛⎫ ⎪⇒ ⎪ ⎪⎝⎭-1-1T -1+AD=CB+BD=PB,于是Q AP=B,即A 与B 在R 上相似 定理1'(1) n 阶实矩阵A 的特征根都是实数的充要条件是存在正交矩阵Q,使得 Q AQ= Q AQ 为上三角形矩阵.(2)当A 的特征根都为实数且A 为正交矩阵时,则A 为对称矩阵. 证明:(1) "由引理1'知,存在可逆矩阵P,使得P AQ= 由1*,0"n λλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⇐-1-1-1-1-1-1引理3'知,当在复数域上相似时,必有实域上相似,因而可令P 为实可逆矩阵,令P=QT,其中,Q 为正交矩阵,T 为上三角形矩阵,且主对角线上的元素都为正数 ,于是Q AQ=T(P AP)T 因T 为上三角形矩阵,则T 也为上三角形矩阵,可见Q AQ 为上三角形矩阵之积,所以,Q AQ 为上三角形矩阵 "设对于实矩阵A 11212*,,,0,,,n n n λλλλλλλλ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭=-1-1T T T -1-1T ,有正交矩阵Q,使得Q AQ 则为A 的全部特征根,且都是实数.(2)由(1)知存在正交矩阵Q,使得 Q AQ= Q AQ=B 为上三角形矩阵,因A 是正交矩阵,Q 是正交矩阵 Q 是正交矩阵,则B 作为正交矩阵之积自然也是正交矩阵,于是B B 而B 为上三角形矩阵, B 为下三角形矩阵,故)T ====T T T T T B 必为对角形矩阵,易得A (QBQ QB Q QBQ A-1T T T T T T T 定理2' n 阶实对称矩阵A 必正交相似于对角形矩阵,即有正交矩阵Q,使得 Q AQ= Q AQ=B 为对角矩阵.证明:因A 为实对称矩阵,则由引理2'知A 的特征根都为实数,又由定理1' 的(1)知,有正交矩阵Q,使得Q AQ=B 为上三角形矩阵,而A 是对称的,所以 B =(Q AQ)=Q AQ=B,但B 为下三角形矩阵,故B 必有对角形矩阵定理3'若n 阶实矩阵A 既正定又10,0110,,01I ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭T T正交,那么,A=I(单价阵)证明:因A 正定,则A 的特征根都是正实数,又A 是正交阵,则A 的特征根只能 均为1,从而,有正交矩阵Q,使得,Q AQ=所以A=Q Q(三)练习12311:,155,1,,λλλλλλλξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-+-===---1233T 1122例设A=212A 是否可对角化?如果A 可对角化,求可逆矩阵C,221 使得C AC 是对角矩阵.解:A 的特征多项式是|E A|=()()故A 的全部特征值是解齐次线性方程组(E A)X=0, 得到它的一个基础解系:{=(1 1 1)}, 这也是A 属于5的特征子空间的一个基,解齐次2,λξξξξξ-3T T 23123-1线性方程组(E A)X=0,得到它的两个基础解系: {=(-1 0 1),=(0 1 -1)},这是A 属于-1的特征子空间的一个基,令C=(,),则C 是可逆的, C AC=diag(5,-1,-1)⨯⨯T T T T T T T T T 例 2 设A,B 是两个n n 实对称矩阵,且B 是正定矩阵,证明存在一个n n 实 可逆矩阵T, 使得T AT 与T BT 同时为对角形. 证明: B 是正定矩阵,故存在可逆矩阵Q,使得Q BQ=EA 是实对称矩阵,故Q AQ 也是实对称矩阵,故存在正交矩阵P,使得P Q AQP=(QP)AQP 为对角矩阵 故令T=QP,则T AT 为对角矩阵. 则T BT=(QP T T T T )BQP=P EP=P P=E 则T BT 也是对角矩阵.123123,:2(6),2,6,2(1,1,0),(1,1,0),6(1,2,3)112E λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--======-===-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎣⎦k2T 1T T 231-11 例 3 已知 A=24-2求A -3-35解可求得det(A-)=-()所以A 的特征值为 对应于有两个线性无关的特征向量P P 对应于的特征向量为P 故A 可对角化,-1 则P=10013111,(2,2,6),()5*222123*222*43*23*23*2k k k k k k k k k k diag νν+++=⎥==⎡⎤---⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-1k-1k k k -1k k k k k k k k k P AP= 所以A P P Pdiag(2,2,6)P 66+6 =+2*6+2*6666+3*6121412,lim 21007111:,,,247111(,,),247111,,,lim 0247n n n n n diag →∞→∞⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦==n -1n-1n 例4 已知 A=求A 的值解A 有三个互异的特征值所以存在可逆阵P使得P AP= 而A Pdiag()P 故A1231231,1,(0,1,1),1,,,0,0λλλλλλ=-=====<>=====T 123T 112312311223例 5 设三阶实对称矩阵A 的特征值为 对应于的特征向量为P 求A解:因为A 为三阶实对称矩阵,故必可对角化,又因是A 的二重 特征值,故A 的与特征值1对应的线性无关的特征向量有两个,设为P P 且都与P 正交,设所求特征向量为X=(x ,x ,x )则P X 即x +x x x 由x xx 123123,(1,0,0),(0,1,1),(0,1,1),(1,0,0),1)|||110,0,100110110εεεεεενν⎧⎪==-⎨⎪-⎩======-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥==⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢-⎢⎣=T T232T T T123123-1T-1得P P xP P P 规范化得|P |P |P 010作正交矩阵P=(,)=则P P 有A=P PP 010010011001010000100101000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢-⎢⎣T P 010所以A=参考文献:1 屠伯埙 : 线性代数—方法导引 上海:复旦大学出版社,1968.2 李师正: 高等代数解题方法与技巧 高等教育出版社 20043 旋武杰: 高等代数 高等教育出版社 4陈重穆 等: 高等代数 北京:高等教育出版社 19905张禾瑞,郝炳新高等代数北京:高等教育出版社19836 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编北京:高等教育出版社7 扬子胥:高等代数习题解(修订版)山东科学技术出版社2001。
矩阵对角化及应用论文
丽水学院2012届学生毕业论文矩阵对角化及应用理学院数学082 缪仁东指导师：陈巧云摘要:本文是关于矩阵对角化问题的初步研究,对矩阵对角化充要条件的归纳,总结,通过对实对称矩阵,循环矩阵,特殊矩阵对角化方法的计算和研究,让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量,求可逆矩阵,使对角化,提供了简便,快捷的求解途征.关键词:对角矩阵;矩阵对角化;实对称矩阵;特征值;特征向量.矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结.因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论进行应用和举例,给出算法.特别给出了解题时方法的选择.1．矩阵对角化概念及其判定所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵,称为对角矩阵或称为对角方阵.定义1.1 矩阵A是数域P上的一个n级方阵. 如果存在一个P上的n级可逆矩阵X,使X-1AX 为对角矩阵,则称矩阵A可对角化.矩阵能否对角化与矩阵的特征值特征向量密切相关.定义 1.2 设A是一个n阶方阵,λ是一个数,如果方程组AX=λX (1)存在非零解向量,则称λ为的A一个特征值,相应的非零解向量X称为属于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成,(λE-A)X=0 (2)这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式λE-A=0, (3)丽水学院2012届学生毕业论文λ-a11即 -a21-an1-a12λ-a22-an2-a1n-a2n=0 λ-ann上式是以λ为未知数的一元n次方程,称为方阵A的特征方程．其左端A-λE是λ的n次多项式,记作f(λ),称为方阵的特征多项式．λ-a11fA(λ)=|λE-A|=-a12-a1n-a2n -a21-an1λ-a22-an2λ-ann+an-1λ+an =λn+a1λn-1+显然,A的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数（重根按重数计算）,因此,n阶矩阵A有n个特征值．设n阶矩阵A=(aij)的特征值为λ1,λ2,（ⅰ）λ1+λ2+（ⅱ）λ1λ2λn,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明 +ann;+λn=a11+a22+λn=A.若λ为A 的一个特征值,则λ一定是方程A-λE=0的根, 因此又称特征根,若λ为方程A-λE=0的ni重根,则λ称为A的ni重特征根．方程 (A-λE)X=0的每一个非零解向量都是相应于λ的特征向量,于是我们可以得到求矩阵A的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算A的特征多项式第二步：求出特征方程第三步：对于λE-A；λE-A=0的全部根,即为A的全部特征值；的每一个特征值λ,求出齐次线性方程组：(λE-A)X=0的一个基础解系ξ1,ξ2,k1ξ1+k,ξs,则A的属于特征值λ的全部特征向量是．ξ2+2+ksξs（其中k1,k2,,ks是不全为零的任意实数）设P是数域, Mn (P) 是P上n ×n 矩阵构成的线性空间, A ∈Mn (P) , λ1,λ2,,λt 为A 的t 个互不相同的特征值,高等代数第二版（北京大学数学系几何与代数教研室编）第四版（张和瑞、郝炳新编）课程中,我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如：(1) A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量;(2) A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ;丽水学院2012届学生毕业论文(3) A 可对角化当且仅当A 的初等因子是一次的;(4) A 可对角化当且仅当A 的最小多项式无重根我们知道线性变换A 的特征多项式为f (λ) ,它可分解成一次因式的乘积f(λ)=(λ-λ1)r1(λ-λ2)r2(λ-λi)ri则V 可分解成不变子空间的直和i其中Vi = {ξ| （A-λiE）=V=V1⊕V2⊕r⊕Vs;ξ∈V}引理 1.1:设A, B 都是n 阶矩阵, 则秩( AB) ≥秩( A) + 秩( B) - n.定理 1.1:设A 是实数域F上的一个n 阶矩阵, A 的特征根全在F 内, 若λ1, λ2,...,λK 是A 的全部不同的特征根, 其重数分别为r1, r2,... rk, 那么⎛⎫ (Ⅰ) 可对角化的充要条件是秩∏(λiE-A)⎪=rj j=1, 2,.......k⎝i≠j⎭(Ⅱ) 当( 1) 式成立时, ∏(λE-A) 的列空间就是A 的属于特征根λ的特征子子空间. ii i≠j证明: (Ⅰ) 设A 可对角化, 则存在可逆阵T, 使T-1AT=diag{λ1E1,λ2E2,...,λkEK}这里右边是分块对角矩阵, Ej 为ri阶单位阵, 于是有⎛-1⎛⎛⎫⎫⎫⎛⎫秩∏(λiE-A)⎪=秩T ∏(λiE-A)⎪T⎪=秩∏(λiE-T-1AT)⎪⎪⎝i≠j⎭⎝i≠j⎭⎭⎝i≠j⎭⎝⎛⎫ =秩∏(λiE-diag{λ1E,λ2E2,...,λKEK})⎪⎝i≠j⎭=秩⎛⎫diagλ-λE,λ-λE,...,λ-λE,(ij)1(ij)2(ij)K⎪ ∏⎝i≠j⎭{}⎛⎧⎫⎫ =秩 diag⎨0,0,...0,∏(λi-λj)Ej,0,0,...,0⎬⎪=rj j=1,2, ......k. ⎪i≠j⎩⎭⎭⎝反之,若秩(∏(λE-A))=r i=1,2,.....k, 反复用引理可得 ij秩(∏λiE-A)rj≥∑秩(λiE-A)-(K-2)n≥∑(n-ri)-(k-2)ni≠ji≠j丽水学院2012届学生毕业论文=n-∑ri=rj j=1,2,...,k.i≠j这里用到了齐次线性方程组(λiE-A)X=0的解空间的维数不大于λi的重数不大于rj 这个结论.于是又∑秩(λE-A)=∑(n-r)从而秩(λ-A)=n-r i=1,2,......k. 这样的矩阵可iiii i≠ji≠j以对角化.(Ⅱ)设( Ⅰ)式成立,则A 可对角化.故A的最小多项式为k∏(x-λ)从而 ii=1k∏(λE-A)=0 即(λE-A)∏(λE-A)=0 iiii=1i≠j这就是说,列空间包含在λi的特征子空间中,但是由(1),是rj的特征子空间的维数,所以结论(Ⅱ) 成立. ∏(λE-A)的列空间的维数是n,它正ii≠j推论: 设A 为实数域F上的n阶矩阵,A 的特征根全为F 内,且λ1, λ2 是A的全部不同的特征根, 其维数分别为r1, r2, 若秩(λ1E-A)=r2,秩(λ2E-A)=r1,则A 可以对角化,且(λE-A)的列向量组的极大无关组恰是属于λ2 的极大线性无关的特征向量组,λ2E-A的列向量组的极大无关组恰是属于λ1的极大无关的特征向量组.⎛460⎫⎪例1: 判断A= -3-50⎪能否对角化,并求特征向量.-361⎪⎝⎭解: 易知A的特征根λ1 =-2 , λ2 =1.⎛-6-60⎫⎛-3-60⎫⎪⎪350360 和=λ1E-A = λE-A2 ⎪⎪3-6-3⎪ 360⎪⎝⎭⎝⎭⎛0⎫⎛-2⎫⎛1⎫⎪⎪⎪的秩分别为2与1,故A可对角化. 又因为可以选取 0⎪和 1⎪为的列空间的一个基, -1⎪是属-1⎪ 1⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于λ1的特征向量.定理和推论把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的问题联系起来,给出了一个不 4丽水学院2012届学生毕业论文用解线性方程组而求得可对角化矩阵的特征向量的方法, 在矩阵的不同特征根较少时, 这个方法较方便.2．实对称矩阵对角化的计算方法我们知道任意实对称矩阵,总正交相似于一对角阵. 该对角阵的对角元即为实对称矩阵的特征值, 正交相似变换矩阵的各列构成相应的特征向量. 给定一实对称阵A ,如何求正交相似变换矩阵P ,使PAP=PAP为对角阵. 理论上的解决方法为:首先利用特征方程: | λI - A | = 0 求出全部特征值,针对不同特征值求出相应的完全特征向量系,合在一起构成实对称阵A 的完全特征向量系. 再利用施密特正交化法得到A 的规范化正交特征向量系. 以此作为列向量得到正交相似变换矩阵P , PAP-1-1T=PAPT为对角阵, 参见文献[5 ]. 此方法理论可行,但在具体操作时,由于要事先求出实对称阵A 的全部特征值,操作上有如下困难: (1) 特征方程: | λI- A | = 0 给出困难; (2) 特征方程求根困难(5 次以上的代数方程没有统一的求根公式) . 因此有必要寻求方法.定义2.1 (瑞雷商) 设A 为n 阶实对称阵,对于任一n维非零列向量x ,称R ( x) =( A x , x)/( x , x) 为关于向量x 的瑞雷商.引理2.1 设A 为n 阶实对称阵, λ1≥λ2≥......≥λn 为A 的特征值.λ1=maxn(Ax,x),λ=min(Ax,x) 1x∈R/{0}x,xx∈R/{0}x,xn定义2.2 设w 为n 维列向量,且ww= 1 ,则n 阶矩阵H = I - 2ww 称为Householder 阵.引理2.2 Householder 矩阵具有如下性质:(1) H=H(2) HH=HH=I ( H 是正交阵) .引理2.3 设x , y ∈R, x ≠y , X=Y,则存在Householder 矩阵H, 使Hx = y. 其中H=I-2(x-y)(x-y)/x-y定理2.1 设A 是实对称矩阵,λ, x (X2T2TTTTTn = 1) 是A 的一个特征值和相应的特征向量, 5丽水学院2012届学生毕业论文则存在P 为一个正交阵,使Px =e1 = (1,0,0...,0). 且PAP的第一行和第一列的第一个元素为TTλ,其余元素均为零.证设A 是实对称矩阵, λ1≥ λ2≥ ...≥ λn为A 的特征值. 根据引理2.1 ,利用多元函数求极值的拉格朗日乘数法,可求得λ1 及相应的规范化特征向量X1 . 不妨假设‖X1 ‖ = 1 ,由引1,0,0,...,0).且PAP的第一行和第一列的第一个理2.3 ,存在P1为一个正交阵,使P1X1=e1=(TT⎛λ1元素为λ1 , 其余元素均为零. 设PAP= 1⎝0T10⎫⎪, 为对称阵,故A1 也为对称阵,设λ2 及A1⎭X2 为A1最大特征值及相应的规范化特征向量,则根据引理2.3 ,存在Q2为一个正交阵,使TQ2x2=e1=(1,0,0,...,0).且Q2AQ12 的第一行和第一列除λ2 外其余元素均为零. 令T⎛10⎫P2= ⎪,容易验证P2亦为正交阵, 满足: 0Q⎝2⎭⎛λ1TTP2PAPP= 112⎝0⎛λ100⎫⎪=0λ2Q2A1Q2T⎭ 00⎝0⎫⎪0⎪ A2⎪⎭T依此类推, 存在正交阵p1,p2 , ⋯,pn-1, 使得pn-1...p2p1Ap1Tp2T...pn-1T=D,则PAP=D,其中D 为对角阵,令P=Pn-1 P2P1,则PAP=D,P即为将实对称阵对角化的正交相似变换矩阵. T⎛2102⎫⎪例2: 设矩阵A= 105-8⎪, λ1≥λ2≥λ3为A的特征值.按上面的算法进 2-811⎪⎝⎭行对角化,求出正交矩阵P及特征根和特征向量.解: (1)利用瑞雷商和多元函数求极值的拉格朗日乘数法,可求得λ1 = 18 ,相应的特征向量⎛1为x1= ,⎝32,32⎫-⎪ 3⎭T(2) 计算正交矩丽水学院2012届学生毕业论文p1=p1=I-2(x-e1)(x-e1)T⎛1 3 2/x-e1= 23 2 - ⎝3232-31-32⎫-⎪3⎪1-⎪, 3⎪⎪2⎪-⎪3⎭⎛1800⎫T ⎪T-90⎪,至此已实现对角化. 借此可求得= λ2=9 , 满足p1x1=e1=(1,0,0)且P1AP1= 0 009⎪⎝⎭212⎫λ3 = - 9. 相应的特征向量分别为x2=⎛-,-,- ⎪,33⎭⎝321⎫⎛2x3= ,-,-⎪.33⎭⎝3TT3．循环矩阵对角化方法的研究⎛a0an-1 在复数域C 上,形如A= ... ⎝a1a1a0...a2a2...an-1⎫⎪a1...an-2⎪的矩阵,称关于元素列a0,a1,...,an-1的.........⎪⎪a3 0⎛0 0循环矩阵.已知n阶循环矩阵K=... ⎝110⎫⎪01...0⎪,并令K=Ki (i=1,2,i.........⎪...⎪00...0⎭0...,n),称E,K1,K2,....,Kn-1为循环矩阵基本列(其中E= Kn为单位矩阵).循环矩阵基本列有如下特点: ①E,K1,K2,...,Kn-1都是循环矩阵; ②Kn+i=Ki ,即K n+i=Ki;③n 阶循环矩阵K有n 个特征根: λm=cosmxmx+isin (m=0,1,nn,n-1)④关于元素列a0,a1,a2,...n 阶循环矩阵A 可用循环矩阵基本列表示为na-,的1丽水学院2012届学生毕业论文A=a0E+a1K+a2K2+...+an-1Kn-1,反之,能用循环矩阵基本列线性表示的矩阵,则一定是循环矩阵.循环矩阵的性质性质1 同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵.性质2 同阶循环矩阵的乘积满足交换律.性质3 同阶循环矩阵的乘积为循环矩阵.性质4 循环矩阵的逆矩阵为循环矩阵.n阶矩阵A 关于多项式函数f (x) 生成的矩阵为f (A) ,A 的特征根与f (A) 的特征根有下面的结论:命题3.1 设f (x) 是一个n - 1 次多项式函数,若λ是矩阵A 的特征根,则f (λ) 是矩阵f (A) 的特征根.命题3.2 设f (x) 是一个n - 1 次多项式函数,若矩阵A 相似于矩阵B , 则矩f (A) 相似于矩阵f (B) .考察n 阶循环矩阵K,K的特征多项式为:λE-K=λ-1=∏(λ-η),η=enjjj=0n-12πin(i=如果n 阶循环矩阵A 记为A=fA(K)=a0E+a1K+a2K2+...+an-1Kn-1不难求得K中与特征值ηj相应的特征向量,记:⎡ηj⎤⎡ηj⎤⎡1⎤⎢2j⎥⎢2j⎥⎢j⎥ηη⎥(j)⎢⎥=ηj⎢η⎥=ηjx(j)⎢kx==⎢...⎥⎢...⎥⎢...⎥⎢⎥⎢⎥⎢n-1⎥⎢⎢⎣η⎦, ⎣1⎥⎦⎣1⎥⎦命n-1x(j)则由(1)(m)题-1k3.1 mkn-1得Ax(j)=fA(K)x(j)=fA(ηj)x(j),可以验证(x,x)=∑ηk=0.η⎧0,1≠m(j).将这n 个两两正交的向量x单位化,可得标=∑(m-1)k=⎨k=0⎩1,1=m(n-1)⎫x⎬,令矩阵⎭准正交基(0)x,(1)x,..., 8丽水学院2012届学生毕业论文(0)T=x,(1)x,...,11...1⎛1⎫⎪2n-11ηη...η⎪(n-1)⎫ 242(n-1)1η⎪xη...η⎬=⎪⎭...............⎪ 1η(n-1)η2(n-1)...η(n-1)(n-1)⎪⎝⎭则T-1=T'=x(0),(x(1)...x(n-1)-1)命题3.3 任意n 阶循环矩阵A=fA(K) 在复数域C 上都可对角化,即TAT=diag[fA(0)fA(η1),...,fA(ηn-1)]推论 n 阶循环矩阵A 可逆的充要条件是fA(ηi)≠0(i=0,1,...,n-1).⎛1 4 例3:求四阶循环矩阵A= 3 ⎝2214332144⎫⎪3⎪的特征根,并对角化. 2⎪⎪1⎭100001000⎫⎪0⎪ 1⎪⎪0⎭⎛0 0解: 令f(x)=1+2x+3x2+4x3 得 A=f(A)(K),K=0 ⎝1由于η=e2πin=i, 所以A的特征根分别为:f(A)(η0)=10 , f(A)(η1)=-2-2i, f(A)(η2)=-2, f(A)(η3)=-2+2i⎛1111⎫⎛1111⎫⎪⎪1-i-1i1 1-i-1-i⎪1⎪ , T-1= T=2 1-11-1⎪2 1-11-1⎪⎪⎪1-i-1-i1i-1-i⎝⎭⎝⎭4．特殊矩阵特殊对角化的研究前面对实对称矩阵循环矩阵的对角化问题作了研究,本部分主要讨论,当矩阵只有两个特征根时的对角化问题,方法简捷. 对于数域F 上的n 阶矩阵A ,若仅有的两个特征根都在F 内,并且可以对角化,不通过解线性方程组求特征向量,而用初等变换求出可逆矩阵T,使TAT为对角形矩阵.-1丽水学院2012届学生毕业论文定理4.1 设数域F 上的n 阶矩阵A 可以对角化,其特征根为λ1,λ2,如果⎛Bn⨯s⎛λ1I-A⎫→ ⎪−−−−初等变换 *⎝I⎭⎝P,B 为列满秩矩阵,那么⎫⎪ pn⨯(n-s)⎪⎭0(i) A 的属于λ1 的线性无关的特征向量为P 的n-s个列向量;A 的属于λ2的线性无关的特征向量为B 的s个列向量.⎛λ1⎫⎪... ⎪⎪λ1-1(ii) 令T = ( P ,B) ,则T 可逆,且有TAT= ⎪ λ2 ⎪⎪... ⎪ λ2⎪⎝⎭其中λ1 有n-s个, λ2有s个.证因为初等矩阵不改变矩阵的秩,且B为列满秩,则s=秩B=秩(λ1I-A)=λ2的重数. （i）根据矩阵的初等变换和分块矩阵的运算性质,可得Pn⨯(n-s))=(B,0) 从而(λ1I-A)P=0 (λ1I-A)(*，因P为列满秩矩阵,则P的n-s个列向量为齐次线性方程组(λ1I-A)X=0 的基础解系,亦即P的n-s 个列向量为A的属于λ1的线性无关的特征向量. 又A可以对角化,且λ2的重数为s ,则有可逆矩阵Q,使得⎛λ1⎫⎛λ1⎫⎪⎪...... ⎪⎪⎪⎪λ1λ1-1A=Q ⎪Q, 令D= ⎪, λλ22 ⎪⎪⎪⎪...... ⎪⎪⎪λ2⎭λ2⎪⎝⎝⎭则有(λ1I-A)(λ2I-A)=(λ1I-Q-1DQ)(λ2I-Q-1DQ)丽水学院2012届学生毕业论文=Q-1(λ1I-D)QQ-1(λ2I-D)Q=Q-1(λ1I-D)(λ2I-D)Q = Q-1OQ=0由于B 的列向量为λ1I-A 的列空间的基,则B的s 个列向量为齐次线性方程组(λ1I-A)X=0的基础解系, B 的s 个列向量为A 的属于λ2的线性无关的特征向量. (ii) 因矩阵A的属于不同特征根的特征向量线性无关,且特征向量的个数之和等于A的阶数n,于是, 令 T=P,B) 即有TAT=D -1(⎛001⎫⎪-1例4:令矩阵A= 010⎪,求可逆矩阵T,使得TAT为对角形式.100⎪⎝⎭解: 方法一,先求A的特征根0-1⎫⎛λ2 ⎪fA(λ)= 0λ-10⎪= (λ-1)(λ+1)-10λ⎪⎝⎭则λ1 = 1 (二重) , λ2 = - 1. 可见,此例为定理所述的情况.对矩阵作初等列变换,即⎛λ1I-A⎫⎪⎝I⎭⎛1 0⎛λ1I-A⎫ -1 ⎪= ⎝I⎭ 10 0⎝0-1⎫⎛1⎪ 00⎪ 001⎪ -1⎪→ 00⎪ 110⎪ 0⎪⎪01⎭⎝000⎫⎪00⎪00⎪⎛B0⎫⎪= ⎪01⎪⎝*P⎭ 10⎪⎪01⎪⎭T所以,由定理4.1 知,A 的属于λ2 = - 1 的线性无关的特征向量为a1=(1,0,-1);A 的属于λ1 =1 的线性无关的特征向量为a2=(0,1,0) , a3=(1,0,1) TT⎛011⎫⎛1⎫⎪⎪-11令T= 100⎪,则有TAT= ⎪. 这与[1 ]的结果一致.01-1⎪ -1⎪⎝⎭⎝⎭方法二在矩阵(λI-A)中,亦可取λ2=-1,这时丽水学院2012届学生毕业论文⎛-10-1⎫⎛-100⎫⎪⎪0-200-20 ⎪⎪⎛-I-A⎫ -10-1⎪ -100⎪⎛B0⎫⎪→ ⎪= ⎪= ⎪ I10010-1*P⎝⎭⎭⎪⎪⎝ 010⎪ 010⎪001⎪⎪ 001⎪⎪⎝⎭⎝⎭则A 的属于λ1=1 的线性无关的特征向量为a1=(-1,0,-1) , a2=(0,-2,0) ;A 的属于TT λ2=- 1 的线性无关的特征向量为a2=(-1,0,1)⎛-10-1⎫⎛1⎫⎪⎪-11令T= 0-20⎪,则有TAT= ⎪.-101⎪ -1⎪⎝⎭⎝⎭T5．常规矩阵对角化方法的新探众所周知,对数域P上一个n阶矩阵A是否存在一个可逆矩阵T,使得TAT为对角形矩阵,当这种矩阵存在时,如何去寻求它.一般有关教材中都是先计算一个行列式,求出A的特征值,再利用线性方程组和特征向量的有关理论及求法解决此问题的.在这里利用矩阵的初等变换解决此问题的,它比教材中的常规方法简单一些,因为不必解若干的齐次线性方程组,有时也不必计算行列式. -15.1理论依据为说话方便,我们规定如果数域P上,对n阶矩阵存在一个可逆矩T,使得TAT为对角形矩阵, 则称矩阵在数域P上可对角化.当可对角化时, 我们说将A对角化,即指求矩阵T,使-1T-1AT为对角形矩阵.若矩阵n在数域P上可对角化, 则有P上可逆矩阵T,使得T-1AT=B为对角形矩阵.于是B的主对角线上的元素,即为A的全体特征值, 并且可表示：T=QQ12...QS, 其中Qi为初等矩阵,i=1,2,...,s,-1于是,B=Q-1SQ-1S-1...Q1-1AQQ12...QS,又Qi也是初等矩阵, 由初等矩阵与矩阵的初等变换的关系, 即知Q1-1AQ , 相当于对A施行了一次初等行变换与一次初等列变换.这里, 我们称此种初等变换为对A施行了一次相似变换.显见, 可对A施行一系列的相似变换化为B.又由, T=EQQ12...QS（E此处表单位矩阵）可如下进行初等变换, 则可将A化为对角形矩阵B, 且可求得T：丽水学院2012届学生毕业论文⎛A⎫对A施行一系列相似变换⎛B⎫→ ⎪,对E只施行其中的初等列变换.⎪−−−−−−−⎝E⎭⎝T⎭当A不可对角化时, 也可经相似变换化简A后, 求得其特征值, 判定它可否对角化. 类似地, 可由T-1=Q-1SQ-1S-1...Q1-1E,做如下初等变换则可将A化为对角形矩阵B,且可求得T或由B求A的特征值, 判定可否对角化：(A对A施行一系列相似变换E)−−−−−−−→(BT),对E只施行其中的初等行变换. 并且在施行相似变换时, 不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行, 可施行若干次行或列变换后再施行若干次相应的列或行变换, 只要保持变换后, 最后所得矩阵与Ａ相似即可.5.2 应用举例为叙述简便,这里用ri表示i第行,ci表示第i列,ri+krj表示用数k乘第j行后再加到第i行上,ci+kcj表示用数k乘第j列后再加到第i列上.例5 求如下矩阵的特征值, 并判定它们可否对角化,若可则将其对角化:⎛1111⎫⎛5-11⎫⎪11-1-1 ⎪⎪. 02⎪, (2)B= (1)A= 6 1-11-1⎪ -311⎪⎪⎝⎭1-1-11⎝⎭⎛5-11`⎫⎛4-11⎫⎪⎪r3+r1c1-c3→ 602⎪ −−−→ 402⎪=C,知A与C相似. 解：（1）由A−−−202⎪ 002⎪⎝⎭⎝⎭易得,C的特征值为2,2,2,且2E-C的秩为2,所以C不能对角化,从而知A的特征值为2,2,2且A不可以对角化.⎛1111⎫⎛1111⎫⎪⎪11-1-12200 ⎪⎪ 1-11-1⎪ 2020⎪⎪⎪1-1-112002c1-ci,i=2,3,4ri+r1,i=2,3,4⎪−−−−→ ⎪ −−−−−→ （2）由 1000⎪ 1000⎪⎪⎪ 0100⎪0100⎪ 0010⎪ 0010⎪ 0001⎪⎪ 0000⎪⎪⎝⎭⎝⎭丽水学院2012届学生毕业论文⎛-2 0 0 0 1 -1 -1 -1⎝⎛-2 0 0 0 1 -1 -1 -1⎝⎛111⎫ -2⎪ 200⎪⎪020 0⎪ ri,i=2,3,4002⎪r1-14→ 0⎪000 1⎪ 100⎪-1⎪010 ⎪ -1⎪001⎭ -1⎝020014341-41-40020141-4341-40⎫⎪0⎪0⎪⎪2⎪1⎪, ⎪4⎪1⎪-⎪4⎪1-⎪4⎪⎪3⎪⎪4⎭1220001001202000101⎫2⎪⎪0⎪0⎪⎪ci+1c1,i=2,3,442⎪→0⎪⎪0⎪⎪0⎪1⎪⎭知B可以对角化,B的特征值为-2,2,2,2.1⎛1 4-13 4令T=-1-1 4 1 -1-⎝4141-4341-41⎫4⎪⎪⎛-21⎪- ⎪4, 则-1 0TAT=⎪ 01⎪- 4⎪⎝03⎪⎪4⎭000⎫⎪200⎪. ⎪020⎪002⎭当不易直接用相似变换化简判定时, 可先求出特征值, 再用相似变换.⎛1-200⎫⎪-3200⎪可否对角化,若可,则将其对角化. 例6判定A=002-3⎪⎪00-43⎝⎭解法1（教材中的方法）丽水学院2012届学生毕业论文x-12003x-2002由xE-A= =(x-4)(x-6)(x+1), 00x-23004x-3知A的特征值为4,6,-1,-1.⎛2⎫ -3⎪⎪1解齐次线性方程组(4E-A)X=0得一基础解系⎪0⎪ 0⎪⎪⎝⎭⎛0⎫⎪0 ⎪解齐次线性方程组(6E-A)X=0得一基础解系 3⎪-⎪4⎪ 1⎪⎝⎭⎛1⎫⎛0⎫⎪⎪10解齐次线性方程组(-E-A)X=0得一基础解系⎪, ⎪ 0⎪ 1⎪⎪⎪⎝0⎭⎝1⎭⎛2 -3 1于是可,A可对角化,且取T= 0 0⎝⎫10⎪⎛4000⎫⎪⎪010⎪0600-1⎪. ,则TAT= ⎪ 00-10⎪3-01⎪⎪4000-1⎪⎝⎭⎪101⎭0⎛1-200⎫⎛1-200⎫⎪⎪-3200-4400 ⎪⎪ 002-3⎪ 002-3⎪⎪⎪00-4300-66c1+c2,c3+c4r2-r1,r4-r3⎪ −−−−⎪−−−−→→ 解法2由 1000⎪ 1000⎪⎪⎪01000100 ⎪⎪ 0010⎪ 0010⎪ 0001⎪⎪ 0001⎪⎪⎝⎭⎝⎭丽水学院2012届学生毕业论文⎛-1-200⎫⎪0400 ⎪ 00-1-3⎪⎪0006 ⎪ 1000⎪⎪ 1100⎪ 0010⎪ 0011⎪⎪⎝⎭⎛-1 0 0 0 1 1 0 0⎝04002-5350000-1000110006→23r1-r2,r3-r4572⎛-1- 54 00 0 000 1 110 0 00⎝⎫0⎪⎪00⎪3⎪-1-⎪7⎪06⎪⎪00⎪00⎪⎪10⎪11⎪⎭0→23c2-c1,c4-c357⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 0⎪⎪⎪0⎪⎪3⎪-⎪7⎪4⎪⎪7⎭2⎛⎫1-00 ⎪5 ⎪3⎛-1 100⎪⎪05-1知,A可对角化,且取.T= ⎪,TAT=0 001-3⎪7⎪⎝0 ⎪4001⎪7⎭⎝0⎫⎪400⎪⎪0-10⎪006⎭00两法比较, 法2比法1简便, 因不必计算行列式和解几个线性方程组.上述内容为本人对各类基本常见的矩阵类型的对角化计算方法,计算技巧的一些探讨,比较传统的计算方法、计算技巧,有一些优越性.计算简便,步骤简单具体,有较强的实用性.参考文献：[1] 张禾瑞赫炳新高等代数[M] 第四版北京：高等教育出版社 1998.166－410 [3] 毛纲源线性代数[M] 解题方法与技巧归纳第二版华中科技大学出版社1997,7.213－241. [4] 丘维声抽象代数[M] 北京：高等教育出版社 2003.160－190.[5] 王萼芳石生明高等代数[M] 北京：高等教育出版社 1987.176－254.丽水学院2012届学生毕业论文[6] 王萼芳高等代数教程[M] 北京清华大学 1996.91－184.[7] 张爱萍循环矩阵的性质及其对角化[J] 广西师范自然科学报,2000,12.No.8.168－170.[8] 高吉全矩阵特征根与特征向量的同步求解方法探讨[J] 数学通报,1991.12.No.7.23－26.[9] 郭亚梅．最小多项式与矩阵的对角化[J]河南机电高等专科学校学报．2006．No.4．106－108．[10]张正成可对角化矩阵的应用[J] 科技资讯.2007.No.24.252－253.[11]张学元线性代数能力试题解题[M] 武汉：华中理工大学出版社, 2000.34－37[12]向人晶矩阵可对角化的简单判定[J] 数学通报,2003,3.No.12.13－15.[13]靳廷昌有两个特征根矩阵对角化[J] 数学通报,1997,11.No.23.53－57.[14]李世余代数学的发展和展望[J] 广西大学学报．1985．No．1.146－148.[15]周立仁矩阵同时对角化的条件讨论[J] 湖南理工学院学报．2007．Vol.20．No.1．8－10．致谢本论文是在指导师陈巧云老师细心指导下完成.陈老师认真、负责、真诚的做人态度和作为教师对学生不倦教诲的精神,令我很受触动.同时,在论文的选题、修改、定稿都凝聚了陈老师的大量心血.陈老师尽心的指导与严格的监督,促使我最终完成了论文.值此论文完成之际,我谨向陈老师致以深深的敬意和感谢!On the martix diagonatization and applicationCollege of science Mathematics 082 Miao Rendong Director:Chen Qiaoyun Abstract:This paper initially studied about matrit diagonatization concluding and summarizing about the necessary condition of matrix diagonalization,Through caclulation and research on read synmetrices matrices,cycle matrix,and special matrix diagonalizational ways it proride simple and fast ways of solution on the question of matrix diagonalization in the characteristic root,charateristic rector,and reversible matrix.Key words: diagonal matrix; matrix diagonalizationv; real symmetric matrix; eigenvalue; eigenvectors。
矩阵的对角化及其应用
矩阵的对角化及其应用13届分类号:单位代码:10452临沂大学理学院毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用2013年3月20日临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)摘要矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义.本文对可对角化矩阵做出了较全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论总结出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂)利用特征值求行列式的值)由特征值和特征向量反求矩阵)判断矩阵是否相似)向量空间)线性变换等方面的应用.关键词:对角化;特征值;特征向量;相似;线性变换临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)ABSTRACTMatrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory ofmatrix several conditions diagonolization, also discussed the matrix of the diagonal shape of method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear transformation, etc.Key words:The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)目录1 引言 (1)2矩阵对角化 (1)2.1可对角化的几个条件 (1)2.2可对角化的矩阵的性质 (3)2.3 矩阵的对角化 (5)2.3.1 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法 (5)2.3.2 利用内积构造齐次线性方程组的方法 (7)3 矩阵对角化的应用 (10)3.1 求具有线性递推关系( 组) 的数列的通项式与极限 (10)3.2 求解行列式的值 (14)3.3对角矩阵的其他方面的应用.................................... 15 4 结论 .......................................................... 19 参考文献 ..................................................... 19 致谢 (21)临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)1 引言对角化矩阵在求解一类具有递推关系式的数列的通项与极限及一类三对角线行列式、求方阵的高次幂、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、在向量空间、线性变换等方面的应用.对角矩阵贯穿于高等代数之中，有着十分重要的作用.定义1.1 对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵.对角线上的a元素可以为 0 或其他值.因此行列的矩阵= 若符合以下的性质: nnAa，，ij,ij,10,, ij,1,2,,…，nij,=0，，.形如. ，，,,01,,V定义1.2 矩阵可对角化:设是维线性空间的一个线性变换，如果存在n,V的一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换可对角化. ,, 定义1.3 矩阵是数域上的一个维方阵，如果存在数域上的级可逆APPnn,1TAT矩阵,使为对角矩阵，则称矩阵可对角化. AT2矩阵对角化通俗地说就是经过矩阵的一系列行、列变换(初等变换)后，能得到一个只有主对角线上元素不全为零，而其他位置全为零的另一个矩阵(这个矩阵称为对角阵)，这个过程就叫做矩阵的对角化，并不是所有矩阵都能对角化. 2.1可对角化的几个条件矩阵可对角化在求矩阵的高次幂中有重要应用, 矩阵的对角化有多种判别方法.本节对矩阵对角化作一点讨论，nn，22,PABB, 引理2.1 设,，且=,,.则存在可逆矩阵,ABAABBA,P使，可同时对角化. ABnn，,Pdiag,,,,,…，引理2.2 如果=有个互不相同的对角元，对某Pn，，12nnn，,P个，则当切仅当本身是对角阵. BPBBP,BE0,,r2AA,由于任意一个幂等矩阵A必相似于对角矩阵.而且每个与对角，，,,00,,n矩阵都可以进行谱分解，即=,A,其中是的特征值，为幂等阵.那么AA,A,iiiii,1任意有限个幂等阵的线性组合是否对角化,有如下结论:1临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)定理1.1 以=，为个数，Akkk,，,，，,…kkk，，…，n1122nn12nij,为个幂等阵，且两两可换，即=，，则可对,,,，，…，,,,,An，，12nijji 角化.证明为个幂等阵，且两两可换.由引理1可知，存在可逆阵,,,，，…，n12n ,1,1,使可同时对角化.即，…，，,,,，，…，,,,PPP,,,PP12n1nnnn1111 ,1,1,,，…，是对角阵PkP,PkP,.==++…Akkk,，,，，,…，，，，，，1n11221122nn,1,1PkP,PkkP,，,，,…+k++.由知,,，…，是对角阵，，，，nnnn11221n 也为对角阵，故可对角化. Akk,，,，,…+k1122nn如果矩阵只有两个不同的特征值，可有如下结论:nn，,P定理2.2 设，，为其两个不同的特征值，则可对角化存在AA,,,12 ,,,,幂等矩阵，使得=+,其中为幂等阵. ,AE,,，，211,E,,11-1证明必要性:若可对角化，存在可逆矩阵，使=相似APPAP,,11E,,,22,1PP,于对角阵，则= A,,0,,,1 = ,PEP，,,,,1,,,E,,，，21,,,,0,,,1,1,, =+, PPPEP,，，,,2111E2,,0,,,1,, =+, PP,E，，,,2111E2,,000,,,,,,,1,,112,PPPP且相似于== ,PP,,,,,,EEE222,,,,,,,,,,故为幂等阵，即存在幂等阵使得=+. ,,AE,，，211,,,,充分性:若存在使=+.因为为幂等阵，故存在可逆阵,使,AE,T,，，211 00,,,,,1,1,,,得=,则=+TT ,TTAE,，，,,,,211EE22,,,,2临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计),,0,,,1= ,TET，,,,,,,,E,,，，21,,,,,E,,11,1= TT,,E,22,,,E,,11,1,1TAT故= TT,,E,22,,即可对角化. AAB,如果满足条件的情况，有如下结论: ABBA=nn，nn，,P,P定理2.3 假设个互不相同的特征值，对某个个ABn有，则有AB,当且仅当同时对角化. ABBA=,1TPAP,证明必要性.由有个互不相同的特征值，则可对角化.设,AAndiag,,,,…，其中=.则T，，12，n,,11,,11,1,1,1,1PAPPBPPABPPBAPPBPPAPTPBPPBPT=====.即与T，，，，,1,1PBPPBP可交换，由引理2知是对角阵，从而是可对角化矩阵. B ,1AB,充分性.可同时对角化，故存在可逆阵，使得，PAPP,,1,1其中，为对角阵,,,1. BPP,,，，22,,11,1,1,,11=====. ABBAPPPP,,PP,,PP,,PPPP,,21121221对定理，我们可得到矩阵只有两个不同的特征值时可对角化的判别方法: A22,,=,,,,AE,,,/若，则可对角化，否则不可对角化.其中. AA，，，，122.2可对角化的矩阵的性质是数域上的一个可对角化的阶矩阵，是定理2.2.1 设APA,,,,,…，n12t 阶矩阵,使AA,,…，An的互不相同的特征根，则存在12t1+AAAA,，，,,,…; ，1122tt2+=E,EAAA，，…为单位矩阵; ，12t23AA,; ，ii,140,AAij,,，0为零矩阵，其中. ATBT,，ijii1证明由上一个阶可逆矩阵，使得 APTn，可对角化，则存在3临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计),0,,1,,,2,1,,TATB,, ,,…,,0,t,,其中的重数为，由于 s,ii10,,,,,,,,……,,,,,,,,10 B,,,，…+,,,,1t01,,,,,,,,……,,,,,,,,01,,,,记,所以 ,,,BBB，，…+1122tt,,11ATBTTBBBT,,，，,,,…+ ，，tt1122,,,111= TBTTBTTBT,,,，，…+t t1122,,11,,TBTTBT，…+= ，，，，tt11,1记，其中 ,,,AAA，，…+ATBT,1122tti故. AAAA,，，,,,…+1122tt 2由每个为对角形幂等阵，则, BBBE，，,…+B，12ti,1,1,,,111TET=ETBBBT，，…+===AAA，，…+TBTTBTTBT，，…+，，,t12t12t12故 AAA，，…+=E12t,,11,12,,113TBTTBT由，则== ATBT,ATBTTBT，，，，，iiiiiii,121,,1==,TBTTBBTTBTiiii=Ai2故. AA,ii,,11,1,,11TBTTBTTBBT4ij,TBTTBT当时，====0;0为零矩阵 AA，，，，，ijijijij故 AAij,,0,ij4临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)15115,,,,1,2,3例2.2.1 设是数域上的矩阵.是矩阵的特征根，A,,20158PA,,,,876,,, 100231,,,,,,,,,1则存在可逆矩阵,使得=,其中T,342TAT,020B,,,,,,,,112003,,,,,,652,,,,,1， T,,431,,,,111,,,100,,,,,,,,,,,,由于，记 BBB，，23B,，，02130123,,,,,,,,,,,,001,,,,,,,,11ATBTTBBBT,,，，23所以，，123,,,111TBTTBTTBT，，23= ，，，，123,1=,其中AAA，，23ATBT,123ii，,,,,121041293111,,,,,,,,,,,,，且满足: AAA,,,,,,,18156,16124,222123,,,,,,则 ,,,,,,,,,,652431222,,,,,,123AAAA,，，; ，1232AAAE，，,; ，12323AA,i,1,2,3,; ，，，ii40,AAij,,,0为零矩阵. ，，，ij通过一个具体的可对角化矩阵，鲜明地反映了上述性质是成立的.2.3 矩阵的对角化2.3.1 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法VV数域P上维线性空间的一个线性变换判定其是否在中能找到一组基n使它在此基下的矩阵为对角形矩阵; 当这种基存在时, 如何去寻求它是线性代数学上一个十分重要的问题，利用矩阵的初等变换法解决此问题.,1TAT若矩阵在数域上可对角化，则有上可逆矩阵使=为对角阵.APPBT5临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计) 于是的主对角线上的元素即为的全体特征值，并且可表示为，BATQQQ,…12s,1,,,111i,1,2,…，s其中为初等矩阵，，于是，,又也BQQQAQQQ,……QQis1112sS,,1是初等矩阵，由初等矩阵与矩阵的初等变换的关系，即知相当于对施AQAQ11行了一次初等行变换和一次初等列变换，将此种变换称为对施行了一次相似变A注:为单位矩阵E换.又由，可进行如下初等变换，则可将化A TEQQQ,…，，12S 为对角矩阵，且可求得: BTAB,,,,对施行一系列相似变换A,对只施行其中的初等列变换. E,,,,,,,,,,,,ET,,,,当不可对角化时，也可经相似变换化简后，求得其特征值，判定它可否对角AA 化.-1,,,111T类似地，可有=，做如下的初等变换则可将化为对角形矩阵AQQQE…s11s,，且可求得或由求的特征值，判定可否对角化: BBAAT对施行一系列相似变换A,1AEBT,,,,,,,,,对对只施行其中的初等行变换. E，，，，并且在施行相似变换时，不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行，可施行若干次行(或列)变换后再施行若干次相应的列(或行)变换,只要保持变换后,最后所得矩阵与相似即可. Ajk为叙述简便，这里用表示第行，表示第列，表示用数乘第行iicrkr，riiji jk后加到第行上，表示用数乘第列后加到第列上. iickc，ij注意到初等矩阵的逆矩阵,,11,1,1PijPijPikPijkPijkPijk,,,,,,,,,,,，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,1A故用左乘A，相当于对施行了变换，右乘A，相当于对A施rkr,Pijk,，，，，ji行了变换. ckc,ji例 2.3.1 求如下矩阵的特征值,并判定它们可否对角化,若可,则将其对角化: 1111,,511,,,,,1111,,,,,,21602，，，，，,,,,1111,,,,,311,,,,1111,,,,;511,411,,,,,,,,,rr，cc,31131CC解由=,知与相似.A,,,,602,,,,402A，，,,,, ,,,,,311002,,,,C2,2,2,2EC,C易知，的特征值为的秩为，所以不可对角化，从而知的特2A6临沂大学理学院2013届本科毕业论文(设计)2,2,2,征值为且不可对角化. A11111111,2111,,,,,,,,,,,,1111,,22000200,,,,,,,,,,,,1111,,20200020,,,,,,1111,,20020002rri，,,2,3,4cci,,,2,3,4,,,,,,i11i,,,,,,,,,,,2由，，,,,,,,100010001000,,,,,,01000100,1100,,,,,,,,,,,,00100010,1010,,,,,,,,,,,,00010001,1001,,,,,,，,2000,,111,,,2,,,,0200222,,,,,,00200200,,,,,,00020020,,1,,,2,3,4rri, ,,,1i，知可对角化，的BB111400021,,,,,,,,1,,cci，,,2,3,4ii4444,,,,,,,,,,1000,,311,,,,,1,,,,,11 00444,,,,131,1010,,,,,,,1,,,,444,1001,,,,113,,,,,1,,,,444 111,,1,,444,2,,,,,,311,,2,1,,,1,,,2,2,2,2。
矩阵对角化方法的研究
目录摘要 (I)Abstract. (II)第一章绪论 (1)1.1 引言 (1)1.2 预备知识 (1)1.2.1 可对角化概念及判断是否可对角化相关知识： (1)1.2.2 相关结论知识： (2)第二章矩阵对角化方法探究 (5)2.1 矩阵对角化的方法 (5)2.1.1 一般矩阵的3种对角化方法 (5)2.1.2 实对称矩阵的对角化 (10)第三章运用 (14)3.1 已知特征值和特征向量，求原矩阵 (14)3.2 计算方阵的高次幂 (14)参考文献: (17)致谢 (18).矩阵对角化方法的研究学生：胡邦群指导教师：何聪教师摘要对角矩阵是矩阵中形式最为简单但其地位却十分重要，因此对矩阵对角化问题的研究很有价值。
本文主要介绍了对于一般矩阵的3种对角化方法并对实对称矩阵的对角化方法以及对角矩阵的运用做了相关补充，同时配例题加以阐述。
关键词: 特征值；特征向量；可对角化；矩阵初等变化；正交变换；线性无关STUDY OF MATRIX DIAGONALIZATION METHODStudent: Hu Bangqun Supervisor: He Cong Abstract Diagonal matrix is the matrix form of the most simple ,but its position is very important. So the study torque Angle problem are valuable. This paper mainly introduces the three methods and the general matrix of real symmetric matrices diagonalization method as well as the application of diagonal matrix made relevant supplement, at the same time are discussed with examples.Keywords: The characteristic value; The feature vectors; Can diagonalization; Matrix elementary change; Orthogonal transformation; Linearly independent第一章 绪论1.1 引言对角矩阵在矩阵理论意义非凡，因而探究矩阵对角化方法很有实用价值。
矩阵对角化论文 最终版
矩阵对角化的判定条件及应用摘要：对角矩阵是矩阵中简单的一种，在高等代数中占有极其重要的位置。
本文归纳总结了矩阵对角化的若干方法，并且分情况讨论了有n个特征根的n阶矩阵的对角化方法。
然后基于定义及判定定理，引出了实对矩阵、反循环矩阵的若干重要性质，为读者对矩阵对角化中求特征值、特征向量、求可逆矩阵、使对角化问题，提供了简便、快捷的求解途径。
最后列举了几种常用矩阵的对角化问题。
关键词：矩阵，对角化，特征根，反循环矩阵Criterions of Matrix Diagonalization and GeneralizationsDiagonal matrix is a simple matrix in algebra occupies an extremely important position. This article summarizes some of the matrix diagonalization method, and the Points of discussion are n characteristic roots of the n-order matrix diagonalization. Then determined based on the definition and theorem, leads to the fact of the matrix, a number of important anti-cyclic nature of the matrix, matrix diagonalization for the readers in the eigenvalue, eigenvector, Inverse Matrix, so that diagonalization, to provide a simple, efficient way to solve. Finally, several commonly cited problem of matrix diagonalization.Key words: matrix, diagonalization, eigenvalues, anti-cyclic matrix引言可对角化矩阵是一类重要矩阵，它与有限维线性空间的线性变换的对角化问题密切相关，因而是矩阵论重点研究的内容之一。
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毕业论文文献综述数学与应用数学矩阵对角化的研究一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）（一）写作目的矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个基本问题.通过此次写作希望能比较全面的认识矩阵的对角化的基础知识，深入理解其基本内容，领会其思想方法，并掌握求矩阵的对角化的方法.通过求矩阵的对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题，并通过比较总结出一套比较简单易行的方案.除此之外，还要在原有的基础上，得到一些有意义的结果，争取在某些方面有所创新.（二）有关概念首先，我们给出文中常用的符号如下[1]：(i)C 表示实数域；(ii)m n C ⨯表示实数域上的m n ⨯阶矩阵的集合；(iii)()n M C 表示n 阶复矩阵的集合；(iv)n n R ⨯表示n n ⨯实矩阵集合；(v)()n M R 表示n 阶实矩阵的集合；(vi)n E 表示n n ⨯阶的单位矩阵；(vii)det A 表示矩阵A 的行列式；(viii)()1122,,,nn diag a a a L 表示主对角线上为元素1122,,,nn a a a L 的对角矩阵；定义1[2]： 对角线以外的元都等于0，即当i j ≠时有(),0A i j =的方阵称为对角矩阵.记为()1122,,,nn diag a a a L .如：()112211220000,,,00nn nn a a diag a a a def a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L M M O M L特别地，()1,1,,1diag L 称为单位矩阵，简称单位阵，记n E .定义2[3]： 若n 阶矩阵A 与对角矩阵相似，则称A 可对角化，也称A 是单纯矩阵.（三）综述范围若一个n 阶矩阵相似于对角阵时，可以使许多问题的研究和计算简化.求解矩阵对角化先得确定矩阵是否符合可对角化的条件，所以在文献[4-5]具体介绍了矩阵可对角化的条件，根据这些条件求一般矩阵以及一些特殊矩阵的对角化，在文献[6-8]中比较详细的介绍了他们的定理及证明方法.通常，矩阵可对角化问题与特征值密切相关，除此之外我们还可以通过可逆矩阵求解矩阵的对角阵.通过求矩阵可对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题，并通过比较总结出一套比较简单易行的方案[9].本文结合矩阵的基本知识原理，对矩阵对角化的各种常用求法进行梳理、归纳，并举例进行说明.（四）主要的问题矩阵相似于对角阵时，可以使许多问题的研究和计算简化.如何用最简便的方法解决不同矩阵（如对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵）的对角化问题.二、主体部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）（一）历史背景矩阵这个概念是从解线性方程组中产生的.我国现存的最古老的数学书《九章算术》（成书于公元1世纪，作者不详）中，就有一个线性方程组的例子：323923342326x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩为了使用加减消去法解方程，古人把系数排成如下图所示的方形：=≡≡古时称这种矩形的数表为“方程”或“方阵”，其意思与矩阵相仿.在西方，矩阵这个词是1850年由西尔维斯特（James Joseph Sylvester,1814-1897,英国人）提出的.用矩阵来称呼由线性方程组的系数所排列起来的长方形表，与我国“方程”一词的意思是一致.（二）现状和发展方向矩阵可对角化作为矩阵理论中的一个重要组成部分，目前已经有了丰富的研究成果，其中包括对实对称矩阵的对角化、幂等矩阵的对角化、对合矩阵的对角化、四元数矩阵的对角化的研究.主要成果有：刁成海[10]把判断矩阵是否可对角化与求它的特征向量联系起来，同时给出一个不用线性方程组即可求得可对角化矩阵特征向量的方法．王新民，孙霞，张景晓[11]给出了解决矩阵对角化问题的一个简便方法，即对特征矩阵E A λ-施行初等变换．应用这个方法，可同时求出A 的特征根及特征向量，判断A 是否可对角化，在A 可对角化时，可直接写出相应的可逆矩阵P ，使1P AP -为对角形矩阵．付立志,杨庆玺[12]对于对称矩阵对角化的正交变换模型进行了可行性研究，给出了相关定理的证明，以及模型法的操作原则、步骤和应用举例，使对称矩阵对角化的正交变换凸现了程序化简捷化的特点，从而回避了常规解法中求特征值要解高次方程，求特征向量要解线性方程组的繁琐过程．夏银红，赵文菊[13]在给出了次转置矩阵逆矩阵的性质的基础上，根据矩阵对角化理论，给出并证明了次转置矩阵可对角化的条件.陈惠汝[14]讨论两个矩阵可同时合同对角化、同时相似对角化的充分或充要条件，由此进一步推出了多个矩阵同时对角化的条件，并给出两个矩阵同时合同对角化和同时相似对角化的算法．姜同松, 魏木生[15] 通过引入友向量的方法，进一步研究了四元数矩阵的对角化问题，构造性地给出了四元数矩阵对角化的实用算法.岳嵘[16] 利用矩阵的对角化的方法，对两类具有特殊性质的数列的通项公式．丘维声[17]给出了特征不等于2的域F 上两个It 级对称矩阵一齐合同对角化的充分必要条件；证明了秩为1的两个2级对称矩阵一定可以一齐合同对角化.金佑来[18] 指出特征值出现重根的情形下，需用Schmidt 正交方法求正交特征向量，计算较为繁难．他给出另一种解法，即利用向量内积构造齐次线性方程组，求出每个特征值对应的特征向量，从而求出正交矩阵P .张伟涛，刘宁，楼顺天[19]针对避免奇异解的联合对角化算法计算量大的问题，提出两种改进的高效算法．在第一种改进算法中，将对角化矩阵行列武按当前更新的列展开,从而避免了计算行列式过程中的矩阵求逆．另一种改进算法将列交换后的对角化矩阵进行QR 分解，由分解得到的上三角矩阵计算对角化矩阵的行列式．由于两种改进算法减少了一次矩阵求逆，因此降低了原算法的计算量．仿真结果表明，当目标矩阵个数和维数较大时，两种改进算法的计算量分别为原算法的18．9％和13．5％．其中关于外文文献的引用参见文献[8]和文献[19] .(三) 研究内容1.矩阵A 是否可对角化,可按下列思路进行：思路1:计算出A 的特征值,如果A 得所有特征值两两互异,则A 可对角化(充分条件).如果A 的特征方程有重根；在计算对应每个特征值的特征向置，如果有n 个线性无关的特征向量，则A 可对角化(充要条件).思路2:不计算矩阵A 的特征向量，只需计算A 的特征值两两互异，则可A 对角化.思路3:计算矩阵A 的特征值，不计算A 的特征向量，只需计算特征矩阵E A λ-的秩，如果对于每个i K 重特征值i λ的特征矩阵i E A λ-的秩等于i n K -.即秩()i i E A n K λ-=-，则方阵A 可对角化，否则A 不可对角化.思路4:不计算矩阵A 的特征值和特征向量.只需证明存在可逆矩阵P 和对角矩阵B 使得1P AP B -=,则A 与B 相似，即A 可对角化.对于矩阵分解一般采用思路1，思路2和思路3的方法.2．矩阵可对角化的几个定理及引理归纳如下定理1[2] n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量；定理2[10] n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是特征子空间维数之和为n ；定理3[10] n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 的初等因子是一次的；定理4[10] n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式()A m λ无重根引理1[12] 可逆矩阵一定可化为一系列初等矩阵之积；引理2[13] 对称矩阵一定可对角化；引理3[13] 设,A B 都是n 阶矩阵，则()()()AB A B n ≥+-秩秩秩定理5[13] 设A 是实数域F 上的—个n 阶矩阵，A 的特征根全在F 内，若12,,,k λλλL 是A 的全部不同的特征根，其重数分别为12,,,k r r r L ，那么(1)可对角化的充要条件是秩()1,2,,i j i j E A r j k λ=⎛⎫-== ⎪⎝⎭∏L (2)当(1)式成立时．()ii j E A λ≠-∏的列空问就是A 的属于特征根i λ的特征子空间.推论1：设A 为实数域上F 的n 阶矩阵，A 的特征根全为F 内．且12,λλ是A 的全部不同的特征根，其维数分别为12,r r ，若秩12()E A r λ-=，秩21()E A r λ-=.，则A 可以对角化．且1E A λ-的列向量组的极大无关组恰是属于2λ的极大线性无关的特征向量组，2E A λ-的列向量组的极大无关组恰是属于1λ的极大无关的特征向量组.上述定理把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的同题联系起来，给出了一个不用线性方程而求得可对角化矩阵的特征向量的方莹.在矩阵的不同特征根较少时，这个方法较方便.定理 6 若12,,,k λλλL 是A 的全部不同的特征根.作多项式()()()()12k g λλλλλλλ=---L ,则A 上可以对角化的充要条件是()()10ki i g A A I λ==-=∏定理9 若12,,,k λλλL 是A 的全部不同的特征根.如果()()()120k A I A I A I λλλ---=L ,- 则A 属于i λ的特征子空间i V λ就是()1ki j j i A I λ=≠-∏的列向量空间i W . 定理7 若12,,,k λλλL 是A 的全部不同的特征根，如果对每个()1,2,,i i k =L 都有(),i i i i W W V W λλ=的意义同定理那么()10kj j A I λ=-=∏,.从上述几个定理可以看出，矩阵可对角化的判定以及求矩阵的线性无关的特征向量完全可以归结为矩阵的乘法运算.3.下面我们就实对称矩阵与等幂矩阵的对角化作写简要叙述就矩阵A 的对角化问题我们可通过正交矩阵P 实现。
具体计算时可以分以下几步进行：(1)计算矩阵A 的特征多项式，再求出它的所有根1,,r λλL ；(2)对于每个特征值i λ求出它的所有特征向量.具体做法是解齐次线性方程组()(),10,i n E A X X M λ-=∈¡，求出一个基础解系，这就是特征子空间i V λ的基.再通过正交化方法从这个基出发构造一个规范正交基1,,,i i i k ηηL ；(3)把(2)中构造的各个规范正交基合并，就得到V 的规范正交基1111,21,,,,,,r k r k ηηηηL L .这是因为对应A 的不同特征值的特征值的特征向量互相正交，而且特征子空间的维数之和等于空间V 的维数.以这个规范正交基作为列向量构成的矩阵就是所要求的正交矩阵P .上述方法是可行，但在具体操作时，由于要事先求出实对称矩阵A 的全部特征值.．操作上有如下困难：（1）特征方程：0E A λ-=给出困难（2）特征方程求根困难（5次以上的代数方程没有统一的求根公式）.因此有必要寻求其他方法.在数值分析中，数学家Jacobi 曾对此问题进行研究，给出Jacobi 迭代法，其基本思想是利用一系列的平面旋转变换（正交相似变换），使变换产生的迭代矩阵序列收敛于对角阵.此类方法有可操作性，但平面旋转变换对应的旋转角度每一步都不同，需反复计算，计算公式复杂、计算量大，而且迭代法通常无法通过有限步计算得到所要求的变换矩阵P 和相应的对角阵.本文就这些问题对称矩阵对角化的正交变换模型进行了可行性研究，给出了相关定理的证明，以及模型法的操作原则、步骤和应用举例，使对称矩阵对角化的正交变换凸现了程序化简捷化的特点，从而回避了常规解法中求特征值要解高次方程，求特征向量要解线性方程组的繁琐过程.操作步骤如下：定义3[2] 如果矩阵()n A M R ∈满足TA A =,则称A 为对称矩阵，显然E A λ-也为实对称矩阵，于是有，A 为对称矩阵，则总可以找到一个正交阵P ，使得()()1T P E A P P E A P E B λλλ--=-=-其中E 为单位矩阵；,B E B λ-为对角阵，且B 的主对角线上的元素全为A 的特征值；P 的列向量均为对应特征值的单位特征向量.定理8 若A 为对称矩阵，则E A λ-总可以经一系列对称的初等变换化为对角阵.定理9 若A 为对称矩阵，则E A λ-总可以经一系列可逆的初等变换化为对角阵E B λ-. 由定理8可得对角化(合同变换法)模型：E A E B E T λλ--⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称变换 其中对称变换即合同变换，即每对E A λ-施行一次初等行变换，同时对列施行一次相同的初等列变换，E 随E A λ-作同步列变换.由定理6可得对角化(相似变换法)模型：E A E B E T λλ--⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称变换,其中可逆变换即相似变换，即每对E A λ-施行一次初等行变换，同时对列施行一次可逆的初等列变换，E 随E A λ-作同步列变换.关于模型(2)，根据文献[3]中的有关结论，可给出较为简便的分步操作模型A B B E T P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可逆变换正交化 下面我仅对模型(1)进行讨论.定理10 设A 为对称矩阵.若E A λ-经一系列对称的初等变换化为对角阵，()T P E A P E B λλ-=-,且每次对称变换的倍乘系数均不含λ，即P 为不含λ的初等矩阵之积，则B 的主对角线上的元素必为A 的全部特征值，P 必为正交阵.显然，在模型中λ-矩阵的使用，确保了变换阵T 的正交性，但也相应地增加了变换的一些难度.因此我们有必要对上述模型进行一些改进:1)变换程序首先将nn a λ- (或从11a λ-始)所在行和列的其它元素化为0；再依次将1,12,211,,,n n n n a a a λλλ-------L ，所在行和列的其它元素化为O ；3最后将主对角线元素的系数化为1.2)操作原则①规范性原则,即在做倍加和倍乘变换时，所乘系数不得含有λ；②有序性原则,即尽可能由右向左、由下至上按顺序化简，逐个在主对角线上析出()i λλ-；③简化性原则.即尽可能的施行整数化和有理化运算；4)灵活性原则.即根据具体隋况在化简的方式方法和顺序等方面，均可以采取灵活多样应变措施.如可根据相同元素的多少直接进行两行两列相加减来增加0元素的个数.矩阵可对角化在求矩阵的高次幂中有重要应用定义4[3] 若n 阶方阵A 满足2A A =，则称A 为幂等阵.例如，形如(),00n r r rn n E M A C M C -⨯⨯⎡⎤=∈∈⎢⎥⎣⎦ 是幂等矩阵.定理11[3] 幂等矩阵一定可以对角化证明：设()n A M F ∈,且2A A =，则20A A -=从而()2f λλλ=-是A 的零化多项式，而A 的最小多项式()A m λ满足()()A m f λλ故()A m λ无重根，所以幂等阵A 可以对角化.如果矩阵只有两个不同的特征值，我们可以得到如下结论：定理12 设()n A M F ∈，1λ，2λ是的两个不同的特征值，则A 可以对角化⇔存在幂等阵B ，使得()121A E B λλλ=+-.注：将E 也看作幂等矩阵（因为2E E =），则此处A 可写成两个幂等阵的线性组合. 下面我们讨论,A B 满足条件AB BA =的情况，有如下结论：定理13 假设n n A R ⨯∈有n 个互不相同的特征值，对某个n n B R ⨯∈，则有AB BA =当且仅当,A B 同时对角化.引理4 设A ,n n B R⨯∈，且2A E =,2B E =,AB BA =,则存在可逆阵P ，使,A B 可同时对角化.4.矩阵可对角化的应用在矩阵乘法运算、矩阵方程、二次型化标准形、矩阵理论、线性变换等方面有着广泛的应用三． 总结部分（将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测）矩阵的可对角化是矩阵的奇异值分解、特征值分解和CS 分解的基础，而两个矩阵的同时可对角化又是矩阵束分解(广义特征值分解，广义分解等)的基础.我们讨论和运用的矩阵对角化多为一个矩阵的对角化：如文献[9]及一般的《高等代数》.矩阵可对角化问题与特征值也密切相关，在矩阵乘法运算、矩阵方程、矩阵理论、二次型化标准形及线性变换等方面有着广泛的应用，在高等代数和线性代数中占有重要地位.四、参考文献（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）[1]陈惠汝.代数逆特征值及矩阵同时对角化问题[C].湖北大学,2008,5.[2]陈志杰.高等代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社.2000,6.[3]史荣昌,魏丰.矩阵分析[M].北京:理工大学出版社. 2005[4]戴平凡.关于矩阵可对角化的几个条件[J].常州工程学院学报.2010,2(1):35-38[5]贺福利,万小刚,许德云.关于矩阵可对角化的几个条件[J].高等函授学报.2004,2(1):14-16[6]熊洪丽,林记.一类特殊矩阵的对角化问题[J].宜宾学院学报.2007,12(12):26-28[7]蔡静.实对称矩阵对角化的一种直接算法[J].湖南师范学院学报.2007,4(2) :123-125[8][美]阿廷(Artin,M.)著;郭晋云译.北京:机械工业出版社[M].2009,1[9]周明旺.关于矩阵可对角化的一个充要条件[J].通化师范学院学报.2007,4(4):35-37[10]刁成海.矩阵可对角化的一个充要条件[J].辽宁师专学报.2007,6(4):101-102[11]王新民,孙霞,张景晓.矩阵的特征根与特征向量及其相似对角形的统一求法[J].大学数学.2007,6(3):140-143[12]付立志,杨庆玺.对称矩阵对角化的正交变换模型[J].河南科学.2008,2(2):135-138[13]夏银红，赵文菊.次转置矩阵的可对角化条件[J].新乡学院学报（自然科学版）.2010,4(2):3-4[14]姜同松, 魏木生.四元数矩阵的对角化及其算法[J].工程数学学报.2005,2(1):179-183[15]岳嵘.矩阵可对角化的充要条件[J].文化教育.2007,4(36):170-171[16]丘维声.两个对称矩阵一齐合同对角化的充要条件[J].龙岩学院学报.2008,6(3):1-5[17]金佑来.矩阵对角化的一个新方法[J].合肥学院学报.2007,11(3):74-76[18]刘宁，楼顺天.避免奇异解联合对角化的两种高效算法[J].西安电子科技大学学报（自然科学）.2009,10(5):857-860[19]D avid y. Linear algebra and its application [M].电子工业出版社, 2004。