【压轴题】空间立体几何经典大题汇编(含答案)20
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
17．将正方形 沿对角线 折叠，使平面 平面 .若直线 平面 ， .
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
18．如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD．
19．已知正方体 ， 是底 对角线的交点.
求证： 面 .
20．在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，过 作 ，垂足为 ，点 ， 分别是棱 ， 的中点．
（ ）求证：平面 平面 ．
（ ）求证： ．
21．如图1，在 中， ，D，E分别为 的中点，点F为线段 上的一点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图2.
(1)求二面角
(2)线段 上是否存在点 ，使 平面 ？说明理由.
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积；
3．在如图所示的四棱锥 中，四边形 为菱形，且 ， ，M为 中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求点M到平面 的距离．
4．在多面体 中, 平面 , ,四边形 是边长为 的菱形.
（1）证明: ；
（2）线段 上是否存在点 ,使 平面 ,若存在,求 的值；若不存在,请说明理由.
（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
26．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，四边形 满足 且 ，点 为 的中点，点 为 边上的动点，且 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）是否存在实数 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，试求出实数 的值；若不存在，说明理由.
27．在பைடு நூலகம்面体ABCD中，CB=CD， ，且E，F分别是AB，BD的中点，
22．如图，已知 平面 ，且平面 平面 ，求证
23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，面ADP⊥面ABCD，点F为棱PD的中点．
（1）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥面PCE，并说明理由；
（2）当二面角D﹣FC﹣B的余弦值为 时，求直线PB与平面ABCD所成的角．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若点E在线段PB上，且 ，求三棱锥 体积的最大值.
7．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形, 底面 , , , 是 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 与平面 所成角的正弦值为 ,求二面角 的余弦值.
8．在四棱锥 中，四边形 是直角梯形， ， ， 底面 ， ， ， ， 是 的中点.
（2）求三棱锥 的体积.
10．如图，在直三棱柱 中， 分别为 的中点， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
11．如图所示，四棱锥 的底面是梯形，且 ， 平面 ， 是 中点， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求三棱锥 的高．
12．如图，一个正 和一个平行四边形ABDE在同一个平面内，其中 ， ，AB，DE的中点分别为F，G.现沿直线AB将 翻折成 ，使二面角 为 ，设CE中点为H.
（1）求证：平面 平面 ；
（2） 上是否存在点 ，使得三棱锥 的体积是三棱锥 体积的 .若存在，请说明 点的位置；若不存在，请说明理由.
9．如图1，在梯形 中， ， ， ，过 ， 分别作 的垂线，垂足分别为 ， ，已知 ， ，将梯形 沿 ， 同侧折起，使得平面 平面 ，平面 平面 ，得到图2.
（1）证明： 平面 ；
（1） 平面 ；
（2） 平面 .
31．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点，求证：
（1）PQ∥平面DCC1D1
（2）EF∥平面BB1D1D．
32．如图，在 中， ，斜边 ， 可以通过 以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，D是AB的中点，求异面直线AO与CD所成角的大小.
24．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.
(1)求证：AD⊥平面BFED；
(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．
25．如图，在棱长均为 的三棱柱 中，平面 平面 ， ， 为 与 的交点．
（1）（i）求证：平面 平面AGH；
（ii）求异面直线AB与CE所成角的正切值；
（2）求二面角 的余弦值.
13．在如图所示的几何体中，四边形 为平行四边形， 平面 ，且 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求多面体 的体积 .
14．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 平面 ， ，点 ， 分别为 和 中点.
5．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．
6．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且 .D为线段AC的中点.
【压轴题】空间立体几何经典大题汇编（含答案)20
未命名
一、解答题
1．如图， 与 都是边长为2的正三角形，平面 平面 ， 平面 ， .
（1）证明：直线 平面
（2）求直线 与平面 所成的角的大小；
（3）求平面 与平面 所成的二面角的正弦值.
2．如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ， ， ， ，满足 ， ，底面是直角梯形， .
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
15．如图，在三棱锥 中， 面 .
（1）求证： 平面PAE；
（2）求三棱锥 的体积.
16．如图，菱形 的对角线 与 交于点O， ，点 分别在 上， ， 交 于点 .将 沿 折到△ 的位置， .
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
求证：（I）直线 ；
（II） ．
28．如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形， ，且 ．
求证： 平面BDEF；
求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．
29．如图，在直三棱柱 中， ， ， 为 的中点， 为 上的一点，且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： ．
30．如图，已知 是正三角形， 都垂直于平面 ，且 是 的中点，求证：
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
18．如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD．
19．已知正方体 ， 是底 对角线的交点.
求证： 面 .
20．在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，过 作 ，垂足为 ，点 ， 分别是棱 ， 的中点．
（ ）求证：平面 平面 ．
（ ）求证： ．
21．如图1，在 中， ，D，E分别为 的中点，点F为线段 上的一点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图2.
(1)求二面角
(2)线段 上是否存在点 ，使 平面 ？说明理由.
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积；
3．在如图所示的四棱锥 中，四边形 为菱形，且 ， ，M为 中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求点M到平面 的距离．
4．在多面体 中, 平面 , ,四边形 是边长为 的菱形.
（1）证明: ；
（2）线段 上是否存在点 ,使 平面 ,若存在,求 的值；若不存在,请说明理由.
（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
26．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，四边形 满足 且 ，点 为 的中点，点 为 边上的动点，且 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）是否存在实数 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，试求出实数 的值；若不存在，说明理由.
27．在பைடு நூலகம்面体ABCD中，CB=CD， ，且E，F分别是AB，BD的中点，
22．如图，已知 平面 ，且平面 平面 ，求证
23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，面ADP⊥面ABCD，点F为棱PD的中点．
（1）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥面PCE，并说明理由；
（2）当二面角D﹣FC﹣B的余弦值为 时，求直线PB与平面ABCD所成的角．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若点E在线段PB上，且 ，求三棱锥 体积的最大值.
7．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形, 底面 , , , 是 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 与平面 所成角的正弦值为 ,求二面角 的余弦值.
8．在四棱锥 中，四边形 是直角梯形， ， ， 底面 ， ， ， ， 是 的中点.
（2）求三棱锥 的体积.
10．如图，在直三棱柱 中， 分别为 的中点， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
11．如图所示，四棱锥 的底面是梯形，且 ， 平面 ， 是 中点， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求三棱锥 的高．
12．如图，一个正 和一个平行四边形ABDE在同一个平面内，其中 ， ，AB，DE的中点分别为F，G.现沿直线AB将 翻折成 ，使二面角 为 ，设CE中点为H.
（1）求证：平面 平面 ；
（2） 上是否存在点 ，使得三棱锥 的体积是三棱锥 体积的 .若存在，请说明 点的位置；若不存在，请说明理由.
9．如图1，在梯形 中， ， ， ，过 ， 分别作 的垂线，垂足分别为 ， ，已知 ， ，将梯形 沿 ， 同侧折起，使得平面 平面 ，平面 平面 ，得到图2.
（1）证明： 平面 ；
（1） 平面 ；
（2） 平面 .
31．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点，求证：
（1）PQ∥平面DCC1D1
（2）EF∥平面BB1D1D．
32．如图，在 中， ，斜边 ， 可以通过 以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，D是AB的中点，求异面直线AO与CD所成角的大小.
24．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.
(1)求证：AD⊥平面BFED；
(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．
25．如图，在棱长均为 的三棱柱 中，平面 平面 ， ， 为 与 的交点．
（1）（i）求证：平面 平面AGH；
（ii）求异面直线AB与CE所成角的正切值；
（2）求二面角 的余弦值.
13．在如图所示的几何体中，四边形 为平行四边形， 平面 ，且 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求多面体 的体积 .
14．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 平面 ， ，点 ， 分别为 和 中点.
5．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．
6．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且 .D为线段AC的中点.
【压轴题】空间立体几何经典大题汇编（含答案)20
未命名
一、解答题
1．如图， 与 都是边长为2的正三角形，平面 平面 ， 平面 ， .
（1）证明：直线 平面
（2）求直线 与平面 所成的角的大小；
（3）求平面 与平面 所成的二面角的正弦值.
2．如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ， ， ， ，满足 ， ，底面是直角梯形， .
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
15．如图，在三棱锥 中， 面 .
（1）求证： 平面PAE；
（2）求三棱锥 的体积.
16．如图，菱形 的对角线 与 交于点O， ，点 分别在 上， ， 交 于点 .将 沿 折到△ 的位置， .
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
求证：（I）直线 ；
（II） ．
28．如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形， ，且 ．
求证： 平面BDEF；
求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．
29．如图，在直三棱柱 中， ， ， 为 的中点， 为 上的一点，且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： ．
30．如图，已知 是正三角形， 都垂直于平面 ，且 是 的中点，求证：