南京师范大学《高等几何》课程教学大纲
大学高等几何课件
多面体、旋转体、组合体等。
空间几何体的性质
体积、表面积、重心等。
平面几何与立体几何的关系
平面几何是立体几何的基础
01
立体几何中的许多概念和性质都可以从平面几何中推广而来。
空间几何体的投影
02
通过投影将三维空间中的几何体投影到二维平面上，从而将三
维问题转化为平面问题。
空间几何体的展开
数形结合的思想方法
数形结合
在高等几何中，数和形是密不可分的，通过数形结合可以将几何问 题转化为代数问题，或者将代数问题转化为几何问题。
代数方法
利用代数方法研究几何问题，如线性代数中的矩阵和向量等，可以 更深入地研究几何图形的性质和关系。
几何直观
通过几何直观来理解代数概念和性质，使得代数问题更加直观易懂。
05
CATALOGUE
高等几何中的数学思想与方法
抽象思维与具体表达的结合
1 2
抽象思维
高等几何中，点、线、面等基本元素不再是具体 的实物，而是通过抽象思维来定义和理解。
具体表达
高等几何中，通过几何图形、图像等方式将抽象 的数学概念具体化，便于理解和应用。
3
结合应用
抽象思维与具体表达的结合，使得高等几何能够 更深入地探索和研究几何学中的本质和规律。
差异性
然而，射影几何和仿射几何也存在差异性。例如，在射影空 间中，无穷远点是重要的元素，而在仿射空间中则不重要。 此外，射影变换通常会改变图形的形状和大小，而仿射变换 则不会。
04
CATALOGUE
欧式几何与非欧式几何
欧式几何的基本概念
欧式几何
基于平面的二维空间，研究点 、线、面及其性质和关系。
不同空间结构
大学高等几何授课讲义
• 2、已知仿射变换
x/ 2x y 1
• 求点 P1(1, 0), P2 (1, 0)
y/
x
y
3
• 的像点，及直线 x y 2 0的像直线。
第一章、仿射坐标与仿射变换
复习仿射坐标 及代数表示式
• 正交变换
x'
y
•
所以：
x'
y'
a11x a21x
a12 y a13 a22 y a23
第一章、仿射坐标与仿射变换
例 已知三点 O(0,0), E(1,1), P(1, 1)求仿射变换T使顺次 变为 O1(2,3), E1(2,5), P1(3, 7).
• 练习：1、求使直线x 0, y 0, x 2y 1 0分别变
点集拓扑 代数拓扑 解析拓扑
分形几何
微分拓扑 微分流形 纤维丛
五、课程简介
• 周学时3，一个学期，学习第一章～第六章
• 主要参考书：
•梅向明、门淑惠等编《高等几何》,高等教育出版社出版， 2008年; • 朱德祥、朱维宗等编《高等几何》（第二版）,高等教育出 版社出版，2010年; •罗崇善编《高等几何》,高等教育出版社出版,1999年6月； •朱德祥、李忠映、徐学钰等编《高等几何习题解答》。
x' y'
A
x y
a b
,
直线l1
:u
u1
u2
,l2
:vΒιβλιοθήκη v1v2l1
//
l2
u
v即
u1 u2
v1 v2
u1' u2'
A
u1 u2
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的基本概念和发展历程。
2. 掌握空间解析几何的基本知识。
3. 理解高等几何在数学和物理学中的应用。
教学内容：1. 高等几何的基本概念点的定义向量的定义线和面的定义2. 发展历程古典几何的发展微积分与解析几何的兴起高等几何的发展和应用3. 空间解析几何坐标系和坐标变换向量空间和线性变换行列式和矩阵运算教学重点与难点：1. 重点：高等几何的基本概念，发展历程，空间解析几何。
2. 难点：空间解析几何中的坐标变换和线性变换。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。
2. 通过示例和练习，让学生掌握空间解析几何的基本知识。
3. 利用图形和实物，帮助学生直观地理解高等几何的概念。
教学准备：1. 教案和教材。
2. 多媒体教学设备。
教学过程：1. 引入新课：通过简单的几何图形，引导学生思考高等几何的基本概念。
2. 讲解：按照教材的顺序，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。
3. 示例：通过具体的例子，讲解空间解析几何的基本知识。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
课后作业：1. 复习本节课的内容，整理笔记。
2. 完成教材中的练习题。
教学反思：在课后对教学效果进行反思，根据学生的反馈调整教学方法和内容。
教案章节：第二章向量空间教学目标：1. 掌握向量空间的基本概念。
2. 理解线性变换和矩阵运算。
3. 学会运用向量空间解决实际问题。
教学内容：1. 向量空间向量的定义和运算向量空间的性质向量空间的基底和维度2. 线性变换线性变换的定义和性质线性变换的矩阵表示线性变换的图像3. 矩阵运算矩阵的定义和运算矩阵的逆矩阵矩阵的秩教学重点与难点：1. 重点：向量空间的基本概念，线性变换和矩阵运算。
2. 难点：线性变换的矩阵表示和矩阵的秩。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍向量空间的基本概念。
高等几何
第五章高等几何第一节课程概论1、本课程的起源与发展早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。
法国数学家蒙日(GaspardMonge，1746-1818)在1768到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列（JeanPoncelet，1788-1867)继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专者。
继彭色列之后，法国人沙尔(Michel Chasles，1793-1880) 等对射影几何的研究都做出了重要贡献。
出生于德国数学家史坦纳(Jacob Steiner，1796-1863)改进了射影几何的研究工具，并且把它们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕结果。
到了19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。
在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。
英国人凯莱（Cayley，1821-1895）和德国人克莱因（Christian Felix Klein，1849-1925）等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整独立的学科。
射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。
克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。
在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。
如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。
正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。
这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。
更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。
2017年《高等几何》教学课件
§1.1 拓广平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2
: '
}
均不是双射
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线
存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个双射？
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的方法 综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容 形、数结合，利用代数、分析 的方法研究问题 以解析法为主，兼用综合法
解析法 本课程
课 程 概 论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
• 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想 • 训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养 • 新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他 学科，提高观点，加深理解，举一反三
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞ 区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l 总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射.
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
O投射中心(O l l ') OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU//l', 与l'不相交， U为l上的影消点 OV'//l, 与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射!
《高等几何》 教学大纲
《高等几何》教学大纲一、课程名称《高等几何》（Projective Geometry）二、课程性质数学与应用数学专业限选课。
它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系；它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而大有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。
本课程的主旨在于拓展读者的几何空间知识，学习了解变换群观点，进而达到训练理性思维的能力，提高数学修养的目的。
本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形。
通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。
本大纲要求本课程的内容处理上实行解析法与综合法并用，以解析法为主。
前修课程包括：初等几何、解析几何、数学分析、高等代数、近世代数。
三、课程教学目的通过本课程的学习，使学生掌握射影几何的基本内容和处理几何问题的方法，同时也认识射影几何、仿射几何、欧氏几何的内在联系，以及在初等几何和解析几何中的应用，并为学习数学的其他分支打好基础。
尤其是对无穷远元素的认识和理解，以开拓同学们的思维方式和视野，使同学们能以居高临下的观点来处理初等数学问题。
四、课程教学原则和方法1、理论与实践相结合的原则；2、《高等几何》知识与高等数学中的其它知识相结合原则；3、《高等几何》知识与初等几何知识相结合的原则；4、在课堂教学中使用传统的讲解法，并适当采用教具演示的方法相结合的原则；5、讲解法与自学相结合的原则。
五、课程总学时72学时，习题课占1/5。
六、教学内容要点及建议学时分配课程教学内容要点及建议学时分配第一章仿射坐标与仿射变换（计划学时6）一、本章教学目标：通过本章的学习，掌握透视仿射对应(变换)，仿射对应(变换)以及其代数表达式等。
二、本章主要内容：第一节透视仿射对应1、弄清共线三点的单比和透视仿射对应的基本概念。
2、熟练掌握透视仿射对应的四个性质---保持同素性、结合性、共线三点的单比和平行性。
第二节仿射对应与仿射变换1、掌握平面上的透视链、二直线间和二平面间的仿射对应与仿射变换的概念。
高等几何课程标准
高等几何课程标准一、课程概况课程目标1：掌握射影几何的基本概念、基础知识与基本理论，从而提升学生的专业知识素质，为后续课程及其它相关学科的学习建立良好的知识储备。
课程目标2:理解基本定理的证明过程，训练学生的抽象思维、逻辑推理和空间想象的能力，培养学生解决问题的基本意识与技能，提高学生的专业能力素质，为后续专业课程、其它相关学科的学习以及自主学习与职后发展奠定坚实的能力基础。
课程目标3:使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、对立与统一等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点，提高学生的直观想象以及数学建模的能力，掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，为后续专业课程、其它相关学科的学习以及自主学习与职后发展奠定坚实的思想方法基础。
课程目标4:使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，培养学生的终身学习和专业发展意识，以便能够高屋建瓶地掌握和处理中学数学教材；同时，通过课前预习、课堂引导和启发、课后作业等方式，激发学生探索与求知的欲望，培养学生自主学习与职后发展的能力。
三、课程目标与毕业要求的关系、课程目标与毕业要求的对应关系1课程目标4:使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，培养学生的终身学习和专业发展意识，以便能够高屋建箱德萨格定理及其逆定理、对偶原理、交比和调合比、一维射影坐标和一维射影对应（变换）的代数表示、二维射影变换和二地掌握和处理中学数学教材；同时，通过课前预习、课堂引导和维射影坐标、克莱因变换群观点、二次曲线的射影定义、二阶曲线与二级曲线、帕斯卡与布利安桑定理、极点与极线、配极启发、课后作业等方式，激发学生探索与求知的欲望，培养学生自主学习与职后发展的能力。
原则、二次曲线的中心和直径、二次曲线的渐近线。
同时包含出勤、课堂表现和平时作业的完成情况以及平时测验成绩。
参考《数学学院课程目标达成度评价方法》进行评价。
九、本课程各个课程目标的权重依据第八部分中的课程目标达成度评价方法，计算得到本课程的各个课程目标的权重如下：十、持续改进根据学生的课堂表现、平时作业、期中测验和期末考试情况及教学督导的反馈，检验学生对本课程涉及的学科素养和学会反思的达成情况，及时对教学中的不足之处进行改进，调整教学指导策略；根据学生的课堂表现、平时作业、期中测验及期末考试成绩，检验本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况;根据本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况，在学院教学指导委员会指导下，重新修订本课程大纲，实现持续改进。
课程教学大纲_高等代数与几何II
教学大纲《高等代数与几何II》教学大纲课程编号：123303A课程类型：☑通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□专业选修课□学科基础课总学时：48 讲课学时：32实验（上机）学时：16学分：3适用对象：数学与应用数学（金融数学）、统计学先修课程：无一、教学目标《高等代数与几何I》是数学专业最重要的必修课之一。
说明本课程的性质以及在人才培养方案中的地位、作用和任务，明确学生在学完本课程后，在思想、知识和能力等方面应达到的目标以及对后续课程的影响。
目标1：在学习方法和数学思想上初步完成从中学数学走向大学数学的适应与过渡；目标2：逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题和解决问题的能力，使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法；目标3：为后继课程如常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、近世代数、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。
二、教学内容及其与毕业要求的对应关系本课程在教学中要求学生正确理解《高等代数与空间解析几何》中的基本概念，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。
突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。
在讲解内容的同时，重点传授代数学的基本思想。
所选教材以线性空间为纲的做法，即把高等代数的主要内容放在线性空间的框架下展开，同时将必要的代数方法做尽可能详细的介绍。
讲课的难点在于把握几何直观和代数方法的对应关系和互动关系，使学生既能从几何的观点更好地理解内容，又可把握简洁和直接的代数方法。
通过活泼互动的课堂教学，刺激学生的学习兴趣；通过探索讨论课，调动学生的学习主动性；教学中逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题和解决问题的能力。
以上学生对重点、难点内容的理解与掌握，以及互动式教学方式的实现，是毕业要求中对数学知识理论与方法的掌握、应用数学知识定量分析问题、与外界交流沟通畅通以及具备终生学习的能力的重要训练。
南京师范大学《高等几何》课程教学大纲
南京师范大学《高等几何》课程教学大纲课程名称：高等几何（Higher Geometry）课程编号：06100020学分：3学时：90先修课程：解析几何, 高等代数(I), 数学分析(I)替代课程：无一、课程教学目的本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。
本课程在学生具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使学生能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。
通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。
概括来说，学习本课程后，要使得学生有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。
即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让学生了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。
如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。
（7）学会构造射影图形。
因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，学生要深刻领会这些技巧。
二、教学任务通过课堂教学、课外辅导等多个教学环节，教师主要完成下列教学任务：1、完成上述教学目的。
高等几何教案(高职高专)
高等几何教案(高职高专)一、教学目标：1. 了解高等几何的基本概念和理论；2. 掌握高等几何的基本运算方法和技巧；3. 能够应用高等几何解决实际问题。
二、教学内容：1. 高等几何的基本概念和性质；2. 高等几何的基本运算方法；3. 高等几何在实际问题中的应用。
三、教学步骤：1. 导入：引导学生回顾基本几何概念；2. 讲解：详细讲解高等几何的基本概念和性质；3. 实例演练：通过实例演示高等几何的基本运算方法；4. 练：布置练题，让学生巩固运算技巧；5. 应用拓展：引导学生思考高等几何在实际问题中的应用；6. 深化理解：通过讨论和交流，帮助学生进一步理解高等几何的概念和理论；四、教学资源：1. 课本：《高等几何教材》；2. 讲义：提供详细的课堂讲义；3. 实例：准备一些实际问题的例子供学生练。
五、教学评估：1. 布置作业：要求学生完成一定数量的练题；2. 小测验：进行小规模的测验，检查学生对基本概念和运算方法的掌握情况；3. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与和互动，评估他们的研究情况。
六、教学反思：根据学生的反馈和表现，及时调整教学策略，帮助他们更好地理解和掌握高等几何的知识。
七、教学特点：1. 系统性：按照一定的顺序和步骤进行教学；2. 实用性：注重高等几何在实际问题中的应用；3. 互动性：鼓励学生参与讨论和交流，增强研究效果。
八、教学方法：1. 讲授法：结合教材内容进行讲解；2. 演示法：通过实例演示高等几何的运算方法；3. 练法：布置练题，让学生进行实践和巩固；4. 探究法：引导学生自主思考和发现高等几何的性质。
九、教学时间安排：本教案为总共6课时，每课时为50分钟。
十、参考资料：1. 罗素·A·基地著，《高等几何教材》；2. 朱江等编著，《高等几何教学参考资料》。
十一、备注：本教案适用于高职高专高等几何课程教学，可根据实际情况进行调整和变化。
《高等几何》课程教学大纲
《高等几何》课程教学大纲课程编号：20811010总学时数：48（理论48）总学分数：3课程性质：专业基础和专业课程适用专业：数学与应用数学一、课程的任务和基本要求：几何学是数学的一个重要分支。
高等几何与高等代数，数学分析统称“三高”，是师范数学专业的重要的基础课。
本课程按传统的讲法，在欧氏平面的基础上讲授一维和二维射影几何和仿射几何的基本内容，使学生对射影几何和仿射几何有初步的，直观的，具体的认识。
为进一步充分运用代数知识学习抽象的高维射影几何理论做准备。
另一方面掌握射影几何和仿射几何的理论和方法，对中学几何有直接的指导作用。
使中学数学教师能居高临下，深入掌握中学数学内容，具备应有的水平和素质。
本课程总学时数为51学时，讲授与习题课学时数之比约为5:1。
二、基本内容和要求：（一）仿射坐标与仿射变换1、透视仿射对应，仿射对应与仿射变换。
2、仿射坐标系，仿射变换的代数表示，几种特殊的仿射变换。
3、图形的仿射性质。
要求：掌握仿射变换的定义、性质和解析表达式；知道几种特殊的仿射变换；理解图形的仿射性质，掌握单比的概念和坐标表示法。
（二）射影平面1、欧氏平面的拓广：中心投影与无穷远元素的引进。
2、射影直线与射影平面的概念。
3、齐次点坐标，直线的齐次方程，齐次线坐标，在齐次坐标下，有关点与直线结合性的命题。
4、德萨格定理，运用德萨格定理证明初等几何的有关命题。
5、射影平面上的对偶原理，对偶命题，对偶图形。
要求：掌握射影平面、仿射平面的概念；掌握直线的坐标和点的方程的概念；掌握对偶原则的内容，能写出一个命题的对偶命题。
理解德萨格定理，并会用它来推证某些“点共线”或“线共点”的问题。
（三）射影变换与射影坐标1、共线四点和共点四线的交比，调和比，完全四点形与完全四线形的调和性。
2、射影平面内的一维基本形，一维基本形间的透视对应，射影对应，一维基本形的射影变换，对合。
3、一维二维射影坐标系，射影坐标与仿射坐标，笛氏坐标的关系。
高等几何课件
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
给平行线添加交点！
§ 1.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1.1 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
•训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养。
•新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高 观点，加深理解，举一反三。
课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的 四、计划及注意点
高等几何
欧氏几何
研究图形的 正交变换不变性的科学
仿射几何
平行射影 透视仿射变换 仿射变换
有限次平行射影的结果 仿射几何 仿射不变性
研究图形的
仿射变换不变性的科学 比如——平行性、两平行 线段的比等等
射影几何
中心射影 透视变换 射影变换
有限次中心射影的结果 射影几何 射影不变性
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2) 理解约定
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行. 2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线： 平 行 无穷远点 两直线 不平行 交于惟一 有穷远点 平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(3) 理解约定
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上. 2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点. 3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线. 4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面： 平 行 两平面 交于惟一 不平行 无穷远直线 有穷远直线
(iii) 欧氏平面上过原点的直 线的集合(线束模型 线束模型) 线的集合 线束模型 (iv) 欧氏平面去掉原点后， 欧氏平面去掉原点后， 过原点每一直线的所有点作 为拓广平面的一个点
§ 1.1 拓广平面
教学大纲_高等代数与几何I
《高等代数与几何I》教学大纲课程编号：121204A课程类型：□√通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□专业选修课□学科基础课总学时：64 讲课学时：48 实验（上机）学时：16学分：4适用对象：金融数学，统计学先修课程：无毕业要求:1.扎实的数学基础和完整的统计知识体系2.掌握数学、统计及计算机的基本理论和方法3.建立数学、统计等模型解决金融实际问题4.具备国际视野，能够与同行及社会公众进行有效沟通和交流一、课程的教学目标《高等代数与几何I》是数学专业两门最重要的专业基础课之一，其主要内容有多项式理论与线性代数两部分。
本课程主要是在学习方法和数学思想上初步完成从中学数学走向大学数学的适应与过渡，逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题和解决问题的能力，使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、近世代数、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。
二、教学基本要求本课程在教学中要求学生正确理解《高等代数与空间解析几何》中的基本概念，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。
突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。
在讲解内容的同时，重点传授代数学的基本思想。
所选教材以线性空间为纲的做法，即把高等代数的主要内容放在线性空间的框架下展开，同时将必要的代数方法做尽可能详细的介绍。
讲课的难点在于把握几何直观和代数方法的对应关系和互动关系，使学生既能从几何的观点更好地理解内容，又可把握简洁和直接的代数方法。
通过活泼互动的课堂教学，刺激学生的学习兴趣；通过探索讨论课，调动学生的学习主动性；教学中逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题和解决问题的能力。
每一章的重点内容要突出，在讲清概念的基础上，通过适当的练习（课堂讨论、作业、习题课、自学课外资料、问题探讨等）以达到掌握高等代数中常用的计算方法、基本运算中的技能和技巧以及提高综合计算和解决问题的能力的目的。
高等几何教学大纲
高等几何教学大纲高等几何教学大纲高等几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的形状、大小和相对位置等几何概念。
在现代教育体系中，高等几何作为一门必修课程，对学生的思维能力和逻辑推理能力的培养具有重要意义。
因此，制定一份科学合理的高等几何教学大纲是非常必要的。
首先，高等几何教学大纲应该明确教学目标。
高等几何是一门理论性较强的学科，学生需要通过学习掌握基本的几何概念、定理和证明方法。
因此，教学大纲应该明确学生需要达到的知识水平和能力要求，使学生能够理解和应用几何知识，解决实际问题。
其次，高等几何教学大纲应该合理安排教学内容。
高等几何的内容繁多，涉及到平面几何、立体几何、向量几何等多个方面。
教学大纲应该根据学生的学习能力和兴趣爱好，合理选择和安排教学内容，使学生能够逐步深入理解和掌握几何知识。
同时，教学大纲还应该注重培养学生的几何思维和几何推理能力，通过一些综合性的问题和应用题，激发学生的学习兴趣和创新能力。
第三，高等几何教学大纲应该注重实践教学。
几何学科具有较强的实践性，学生通过实际操作和观察，能够更好地理解和应用几何知识。
因此，教学大纲应该合理安排实践教学环节，如几何图形的绘制、几何体的拼装等，使学生能够亲身参与其中，提高他们的实践能力和动手能力。
第四，高等几何教学大纲应该注重培养学生的团队合作能力。
几何学科在解决问题的过程中，往往需要学生之间的合作和协作。
因此，教学大纲应该合理安排团队合作的教学活动，如小组讨论、合作解题等，培养学生的团队意识和合作精神。
第五，高等几何教学大纲应该注重评价和反馈。
在教学过程中，及时评价和反馈对于学生的学习和进步至关重要。
因此，教学大纲应该明确评价标准和反馈机制，通过定期的测验、作业和小组讨论等方式，对学生的学习情况进行评价和反馈，及时发现问题并加以解决。
综上所述，制定一份科学合理的高等几何教学大纲对于提高教学质量和学生的学习效果具有重要意义。
教学大纲应该明确教学目标、合理安排教学内容、注重实践教学、培养学生的团队合作能力，并注重评价和反馈。
高等几何教案教学目标
高等几何教案教学目标教案标题：高等几何教案教学目标教学目标：1. 知识与理解：学生能够理解高等几何的基本概念和术语，包括平行线、垂直线、角度、三角形、四边形等，并能正确运用这些概念进行问题解决。
2. 技能与能力：学生能够运用几何知识解决实际问题，包括测量和计算线段长度、角度大小，判断线段和角度的关系，推导和证明几何定理等。
3. 态度与价值观：培养学生对几何学科的兴趣和好奇心，鼓励他们积极参与几何学习活动，发展逻辑思维和分析问题的能力。
4. 学科与跨学科融合：将几何知识与其他学科进行融合，如数学、物理等，培养学生综合运用知识解决跨学科问题的能力。
教学内容：1. 复习与导入：通过复习前一节课的知识和概念，引导学生回顾几何学的基本概念和术语，如平行线、垂直线、角度等。
2. 知识讲解与示范：以示例和图形为基础，讲解高等几何的基本概念和定理，包括平行线的判定、角度的计算、三角形的性质等，并通过实例演示如何应用这些概念解决问题。
3. 练习与巩固：提供一系列练习题目，让学生运用所学的几何知识解决问题，包括计算线段长度、角度大小，判断图形的性质等，逐步巩固所学的知识和技能。
4. 拓展与应用：引导学生运用几何知识解决实际问题，如建筑设计、地图测量等，培养他们将几何知识应用于实际生活和其他学科的能力。
5. 归纳与总结：引导学生总结本节课所学的几何知识和技能，梳理重点概念和定理，提醒学生注意常见错误和易混淆的概念，巩固学习成果。
教学方法：1. 讲授法：通过讲解和示范，向学生传授几何知识和技能，引导他们理解和掌握相关概念和定理。
2. 演示法：通过图形演示和实例演示，让学生直观感受几何概念和定理的应用，帮助他们理解和记忆相关知识。
3. 练习法：通过练习题目，让学生运用所学的知识解决问题，巩固学习成果，培养他们的解决问题的能力。
4. 合作学习：组织学生进行小组合作学习，让他们互相讨论和解答问题，共同探讨几何知识，培养他们的合作和交流能力。
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南京师范大学《高等几何》课程教学大纲课程名称：高等几何（Higher Geometry）课程编号：06100020学分：3学时：90先修课程：解析几何, 高等代数(I), 数学分析(I)替代课程：无一、课程教学目的本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。
本课程在学生具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使学生能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。
通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。
概括来说，学习本课程后，要使得学生有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。
即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让学生了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。
如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。
（7）学会构造射影图形。
因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，学生要深刻领会这些技巧。
二、教学任务通过课堂教学、课外辅导等多个教学环节，教师主要完成下列教学任务：1、完成上述教学目的。
2、培养学生树立科学世界观、人生观和价值观，具有良好的思想道德素养和团结协作的精神，具有一定的社会责任感、宽广的胸怀和创新意识。
3、使学生了解近代几何学的发展概貌及其在社会发展中的作用，了解数学科学的若干最新发展状况。
4、培养学生的各种数学能力，不仅要教会学生用研究的眼光（即经常想一想当初数学家是如何提出和解决相关问题的）去学习，更要加强学生创新能力的培养。
三、课程教学主要内容结构以平面射影几何为主体，涵盖射影几何，变换群理论，仿射几何等内容，主要包括5个部分：1、射影平面。
包括引论，拓广平面，齐次点坐标，线坐标，射影平面，对偶原则，复元素，Desargues定理等。
2、射影变换。
包括交比与调和比，完全四点形与完全四线形的调和性，一维基本形的射影对应，一维射影变换，一维基本形的对合，二维射影变换等。
3、变换群与几何学。
包括二维射影变换的特例，平面上的几个变换群，变换群与几何学等。
4、二次曲线理论。
包括二次曲线的射影定义，Pascal定理和Brianchon定理，极点与极线，配极变换，二次曲线的射影分类，二次曲线的仿射理论，二次曲线的仿射分类等。
5、几何学寻踪。
包括Euclid几何学，从Pappus到射影几何学，Descartes与解析几何学，第五公设之争与非欧几何学，Gauss，Riemann与微分几何学，从Cantor和Poincaré到拓扑学，Hilbert 与几何基础等，作为学生课外读物。
四、单元教学目标与任务1、第一章射影平面通过这一章的教学，要使得学生明了和掌握：（1）射影平面的公理化定义以及其几何模型（拓广平面）和算术模型（RP2）。
空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。
即让学生在空间观念上有一个提升；（2）齐次点坐标和线坐标，进一步让学生了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解Desargues定理的美妙并学会用Desargues定理去作图或证明某些共线点和共点线问题。
具体的主要教学目标与任务如下：第一节引论本节首先介绍集合的变换的概念，然后介绍了平面的正交变换、相似变换、仿射变换的概念及其性质。
第二节拓广平面本节从几何直观的角度把欧氏直线及平面拓广到了射影直线及射影平面的一个几何模型，我们称其为拓广直线及拓广平面，然后讨论了它们的性质并给出了它们的一些拓扑模型。
第三节拓广平面上的齐次坐标本节给出了拓广平面上点的齐次点坐标和直线的齐次线坐标概念，从而实现了几何代数化，为用解析法研究平面射影几何做好了准备；给出了直线的齐次点坐标方程和点的齐次线坐标方程；关于齐次坐标的一些基本结论；拓广平面上的齐次笛氏坐标系。
第四节射影平面给出了实射影平面及直线的公理化定义，并指出拓广平面和RP2 都是射影平面的模型空间；介绍了射影坐标变换并指出点列和线束是射影基本图形第五节平面对偶原则本节介绍了平面射影几何的重要定理平面对偶原则。
首先给出对偶元素、对偶运算、对偶变换、射影图形及对偶图形、射影命题及对偶命题等概念，然后给出平面对偶原则及某些代数对偶。
第六节Desargues透视定理本节介绍了一个古老而著名的定理Desargues透视定理及其在作图和证明共线点和共点线问题方面的应用。
2、第二章射影变换平面射影几何是研究平面射影图形在射影变换下的不变性质和不变量的一门科学。
所以，本章首先研究了最基本的射影不变量交比的性质和计算，然后研究了图中具有非常多调和点列和调和线束的射影图形完全四点形和完全四线形的调和性，最后主要研究了一维射影（对应）变换和二维射影（对应）变换的性质。
具体的主要教学目标与任务如下：第一节交比交比是最基本的射影不变量，其他一切射影不变量都可由它表示。
本节主要研究了共线四点的交比和共点四线的交比的性质和计算。
第二节完全四点形与完全四线形的调和性本节主要研究了这两类图形中的调和点列和调和线束以及它们的应用。
第三节一维基本形的射影对应本节分别从几何和代数角度给出了一维基本形的射影对应的三个等价定义以及确定射影对应的代数条件，Pappus定理和Steiner构图法亦被介绍。
第四节一维射影变换一维射影变换是从一个一维基本形到其自身的射影对应。
本节主要讨论了一维射影变换的不变元素、不变元素性质以及一维射影变换的分类。
第五节一维基本形的对合对合是一个特殊的射影变换，它有其特殊的几何意义。
本节主要研究了一个一维射影变换是对合的代数条件和几何条件，对合的不变元素、不变元素性质以及对合的分类，Desargues对合定理及其应用。
第六节二维射影变换本节分别从几何和代数角度给出了二维基本形的射影对应的三个等价定义以及确定射影对应的代数条件，二维射影变换的不变元素亦被研究。
3、第三章变换群与几何学1872年德国数学家克莱因(F.Klein,1849～1925)在就任埃尔朗根(Erlangen)大学教授时提出了著名的埃尔朗根纲领，这个纲领用变换群的观点把当时已经知道的几种几何学统一起来。
根据这个纲领，研究某空间中图形的在某变换群的变换下不变的性质和数量的科学称为一门几何学，其中运动变换下的几何就是欧氏几何。
埃尔朗根纲领对后世几何的发展具有重要的指导意义。
本章主要让学生了解克莱因的变换群观点。
具体的主要教学目标与任务如下：第一节射影仿射平面本节主要介绍了射影仿射平面的射影仿射变换、射影相似变换、射影正交变换及通常平面的仿射变换、相似变换、正交变换。
第二节平面上的几个变换群本节主要介绍了射影变换群、射影仿射变换群、射影相似变换群、射影正交变换群及仿射变换群、相似变换群、正交变换群。
第三节变换群与几何学本节主要介绍了克莱因的变换群观点，并讨论了射影几何、射影仿射几何、射影相似几何、射影欧氏几何、仿射几何、相似几何、欧氏几何的关系。
4、第四章二次曲线理论二次曲线是重要的射影不变图形、仿射不变图形，所以它们是射影几何和仿射几何的重要研究对象。
本章主要研究二次曲线的射影理论和仿射理论。
具体的主要教学目标与任务如下：第一节二次曲线的射影定义本节给出了二阶曲线及二级曲线的代数定义和射影定义及确定非退化二阶曲线及二级曲线的条件、讨论了非退化二阶曲线的切线及非退化二级曲线的切点、二阶曲线与二级曲线的统一（即任一条非退化二阶（级）曲线的全体切线（点）构成一条非退化二级（阶）曲线，而且从几何上看，这两条线是重合的）、最后介绍了二阶曲线束及用四点形束求无三点共线的五点确定的二阶曲线的方法。
第二节Pascal定理和Brianchon定理这是两个古老而著名的定理，它们是一对对偶命题。
本节介绍了这两个定理及其逆定理、它们的几种极限形式和应用。
第三节配极变换给点射影平面上的一条非退化二阶曲线，关于它的极点和极线之间的对应是同底点场到线场的一个保交比的双射，我们称其为同底点场到线场关于这条非退化二阶曲线的配极变换。
本节介绍了配极变换、配极原则、自极三点形以及它们的应用。
第四节二次点列上的射影变换本节研究了二次点列上的射影对应、射影变换、对合的性质及其应用。
第五节二次曲线的射影分类射影平面上的两条二阶曲线等价的充要条件是存在一个射影变换把其中一条二阶曲线映为另一条。
本节给出了射影平面上的所有二阶曲线的等价类，即对所有二阶曲线进行了分类；对偶地，我们可以得到所有二级曲线的等价类。
第六节二次曲线的仿射理论二次曲线亦是重要的仿射不变图形。
本节讨论了射影仿射平面上的二次曲线的仿射性质。
主要讨论了二阶曲线的中心、直径与共轭直径、有心二阶曲线的渐近线等性质。
第七节二次曲线的仿射分类射影仿射平面上的两条二阶曲线等价的充要条件是存在一个射影仿射变换把其中一条二阶曲线映为另一条。
本节给出了射影仿射平面上的所有二阶曲线的射影仿射等价类，即对所有二阶曲线进行了分类；对偶地，我们可以得到所有二级曲线的等价类。
五、教学方法本科程采用以课堂讲授为主和习题课、讨论为辅的教学方法。
六、教材和主要参考书教材：周兴和，高等几何，科学出版社，2007年（第二版）。
教参：1. Frank Ayres, Jr., Theory and Problems of Projective Geometry, McGraw-Hill Book Company, 1968。
2. H.S.M. Coxeter, The Real Projective Plane, McGraw-Hill Book Company, INC. , 19493. 方德植，陈奕培，射影几何，北京：高等教育出版社，1983年版。
4. M. Kline，古今数学思想，北京大学数学系数学史翻译组译，上海：上海科学技术出版社，1979年版。
5. 李文林，数学珍宝——历史文献精选，北京：科学出版社，1998年版。