3.2导数的应用

§3.2 导数的应用

(时间：45分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题7分，共35分)

1．函数f (x )＝x 33

＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643

2．函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( )

A ．(0,3)

B.⎝⎛⎭⎫0，32 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，3)

3．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72

x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1)

B ．f (－a 2)

C ．f (－a 2)≥f (－1)

D ．f (－a 2)与f (－1)的大小关系不确定

4．已知函数f (x ) (x ∈R)的图象上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)·

(x －x 0)，那么函数f (x )的单调减区间是( )

A ．[－1，＋∞)

B ．(－∞，2]

C ．(－∞，－1)和(1,2)

D ．[2，＋∞)

5．已知函数f (x )＝12

x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥32

B ．m >32

C ．m ≤32

D ．m <32

二、填空题(每小题6分，共24分)

6．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最

小值为________．

7．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1

在x ＝1处取极值，则a ＝________. 8．已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－

∞，＋∞)内单调递减，则实数m ＝________.

9．已知某质点的运动方程为s (t )＝t 3＋bt 2＋ct ＋d ，如图所示是

其运动轨迹的一部分，若t ∈⎣⎡⎦⎤12，4时，s (t )<3d 2成立，则d

的取值范围为__________．

三、解答题(共41分)

10．(13分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值．

(1)讨论f (1)和f (－1)是函数f (x )的极大值还是极小值；

(2)过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求此切线方程．

11．(14分)若函数f (x )＝13x 3－12

ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．

12．(14分)已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0.

(1)求f (x )的单调区间；

(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．

答案 1.A 2.B 3.A 4.C 5.A

6. －37

7. 3

8. －2

9. d >43

或d <－1 10．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意，

f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

3a ＋2b －3＝03a －2b －3＝0， 解得a ＝1，b ＝0.

所以f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．

令f ′(x )＝0，得x ＝－1，x ＝1.

若x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f ′(x )>0，

故f (x )在(－∞，－1)上是增函数，

f (x )在(1，＋∞)上是增函数．

若x ∈(－1,1)，则f ′(x )<0，

故f (x )在(－1,1)上是减函数．

所以f (－1)＝2是极大值，f (1)＝－2是极小值．

(2)曲线方程为y ＝x 3－3x ，点A (0,16)不在曲线上．

设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0.

因f ′(x 0)＝3(x 20－1)，

故切线方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)，

注意到点A (0,16)在切线上，

有16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)，

化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2.

所以，切点为M (－2，－2)，切线方程为9x －y ＋16＝0.

11. 解 函数f (x )的导数f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1.

令f ′(x )＝0，解得x ＝1，或x ＝a －1.

当a －1≤1即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不合题意；

当a －1>1即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)上为减函数， 在(a －1，＋∞)上为增函数．

依题意应有当x ∈(1,4)时，f ′(x )<0；

当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )>0.

所以4≤a －1≤6，解得5≤a ≤7.

所以a 的取值范围为[5,7]．

12. 解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )．

当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，