瑕积分收敛的柯西准则

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推论3 设非负函数 f 定义于 (a, b] , a 为瑕点, 且在任
何 [u, b] (a , b] 上可积.若 lim ( x a ) p f ( x ) , 则
x a
(i) 当0 p 1,0 时， f ( x)dx 收敛;
a
b
a
b

b
证 设 F ( u) f ( x )dx , u (a , b), 则
u
u1
f ( x )dx f ( x )dx
b
u2
b

u2
u1
f ( x )dx .

b
a
f ( x )dx
收敛的充要条件是 lim F ( u) 存在. 由函数收敛的
柯西准则，此等价于 0, 0,
2
sin x x 3 1 ln x
1 3
dx 的收敛性.
解 瑕点为 x 1,
sin x
3
1 sin x . 1 3 2 1 3 x 3 1 ln x ( x 1) ( x x 1) ln(1 x 1)
sin x sin1 由于 3 0 ( x 1), 而 2 13 ( x x 1) 3 1 1 1 ~ , 13 13 43 ( x 1) ln(1 x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)
§3 瑕积分的性质与收敛判别
瑕积分的性质与收敛判别与无穷积分的
性质与收敛判别相类似,并有相应的柯西准 则与比较判别法等.
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定理11.7 （瑕积分收敛的柯西准则）
瑕积分 f ( x )dx (瑕点为a ) 收敛的充要条件是
任给 0, 存在 0,当 u1 , u2 (a, a ) 时，
I (a ) J (a ).
(i) 先讨论 I (a ). 当 a 1 0, 即 a 1 时它是定积分;
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当 a 1 时它是瑕积分,瑕点为 x 0. 由于
a 1 x 1a lim x 1, x 0 1 x
因此由定理11.9 的推论 3,当 0 p 1 a 1, 即
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复习思考题
1.试给出瑕积分的狄利克莱判别法和阿贝尔判别法.
2. 设 f ( x ) 为 [a, b) 上的连续函数,b 为瑕点.试问当

b
a
f ( x ) dx 收敛时, f 2 ( x )dx 是否收敛? 反之是
a
b
否成立 ?
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作业： P279：3(2，5，6，8)，4(2)，5
且 1 时, J (a ) 收敛;而当 p 2 a 1,即 a 1 且
1 时, J (a ) 发散.综上所述, 总结如下 :
a I (a) J (a) a0 发散 收敛 发散 0<a<1 收敛 收敛 收敛 a1 定积分 发散 发散
(a)
所以, (a ) 只有当 0 a 1 时才是收敛的.
a 0 时, 瑕积分 I (a ) 收敛;当 p 1 a 1, 即 a 0 时, I (a ) 发散.
(ii) 再讨论 J (a ), 它是无穷积分.由于
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a 1 x x 2 a lim x lim 1, x 1 x x 1 x 因此由定理 11.3 的推论 3,当 p 2 a 1, 即 a 1
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因此由

2
1
dx 发散知 43 ( x 1)
1

2 3
sin x x 1 ln x
3
1
dx 发散.
ln x 例2 判别瑕积分 dx 的收敛性. 0 x 解 x 0 是瑕点, ln x 0 ( x (0, 1]). 由于
lim x
3/4
ln x x
1
x 0
u1 , u2 (a , a )， F ( u1 ) F ( u2 ) ,
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u a
即

b
u1
f ( x )dx f ( x )dx
u2
b

b a
u2
u1
f ( x )dx .
性质1
设函数 f1 与 f 2 的瑕点同为 x a , k1 , k2
[u, b] ( u a ) 上可积, 则 f ( x )dx 收敛的充要条件
a
b
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是:存在 M，对任意 u (a , b],

b
u
f ( x )dx M .
定理11.9 (比较法则)
设定义在 (a, b] 上的两个非负函数 f 与 g, 瑕点同
为 x a , 在任何 [u, b] (a, b]上都可积,且满足
b a
为任意常数, 若 f1 ( x )dx 和 f 2 ( x )dx 都收敛, 则

b
a
( k1 f1 ( x ) k2 f 2 ( x ))dx 也收敛, 且

b
a
( k1 f1 ( x ) k2 f 2 ( x ))dx k1 f1 (x )dx k2 f 2 (x )dx .
f x 上可积 , 且 lim c ,则 x a g x
(i) 0 c 时， f ( x )dx 与 g( x )dx 收敛性相同;
a a b b
(ii) c 0时， g( x )dx 收敛可推得 f ( x )dx 收敛;
a a
b
b
(iii) c 时， f ( x )dx 发散可推得 g( x )dx 发散.
闭区间[u, b] ( u a ) 上可积, 则 f ( x ) dx 收敛时,
a
b

b
a
f ( x )dx 也收敛, 且

b
a
f ( x )dx f ( x ) dx .
a
b
定理11.8 (非负函数瑕积分的判别法)
若定义在 (a , b] 上的非负函数 f ( x ), 在任意闭区间
lim x ln x 0,
14 x 0
因此由推论3知
ln x x
0
dx 收敛,即
1
ln x x
0
dx 收敛.
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例3 讨论反常积分
(a )
的收敛性.

0
x a 1 dx 1 x
解 把反常积分 (a ) 写成
(a )
1
0
a 1 x x a 1 dx dx 1 1 x 1 x
f ( x ) g( x ), x (a , b].
则当 g( x )dx 收敛时, f ( x )dx 必定收敛;
a a
b
b

b
a
f ( x )dx 发散时, g( x )dx 必定发散.
aபைடு நூலகம்
b
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推论1 若非负函数 f 和 g 在任何 [u, b] (a u b)
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(ii) 当 p 1,0 时， f ( x)dx 发散.
a
b
利用 x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x
~ ln(1 x ) ~ e x 1 ( x 0),
可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性.
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例1 判别瑕积分
a a
b
b
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推论2 设非负函数 f 定义在 (a , b] 上, a 为瑕点, 且
在任何 [u, b] ( a , b] 上可积.则有
b 1 (i) 当 f ( x ) ,0 p 1 时, f ( x )dx 收敛; p a ( x a)
b 1 (ii) 当 f ( x ) , p 1 时, f ( x )dx 发散. p a ( x a)
a a b b
性质2 设函数 f 的瑕点 x a , 若 c (a , b), 则

b
a
f ( x )dx 与 f ( x )dx 同时收敛或同时发散, 且
a
c
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b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
a c
c
b
性质3 设函数 f 的瑕点为 x a , f 在 (a , b] 的任一