柯西收敛准则的3种不同证法

柯西收敛准则的不同证法方法一:用定理2证明柯西收敛准则

证明：必要性:易知，当{ a

n }有极限时(设极限为a)，{ a

n

}一定是一个柯

西数列。因为对任意的ε>0，总存在N(N为正整数)。使得当n ，m>N时，有| a

n

-a|< ε， | a

m

-a|<ε

∴| a

n - a

m

|≤| a n -a|+| a m -a|<ε，即{ a n }是一个柯西数列。

充分性:先证明柯西数列{ a

n }是有界的。不妨取ε=1，因{ a

n

}是柯西数

列，所以存在某个正整数N

0，当n > N

时有| a

n

–a

No+1

|<1，亦即当n ，N> N

时| a

n

|≤| a No+1 |+1即{ a n }有界。不妨设{ a n }⊂[a ，b]，即a≤a n≤b，我们

可用如下方法取得{ a

n }的一个单调子列{ a

nk

}：

(1)取{ a

nk }⊂{ a

n

}使[a，a

nk

]或[a

nk

，b]中含有无穷多的{ a

n

}的项；

(2)在[a，a

nk ]或[a

nk

，b]中取得a

nk+1∈

{ a

n

}且满足条件(1)并使nk+1>nk；

(3)取项时方向一致，即要么由a→b要么由b→a。

由数列{ a

n }的性质可知以下三点可以做到，这样取出一个数列{ a

nk

}⊂{ a

n

}

且{ a

nk }是一个单调有界数列，必有极限设为a，下面我们证明{ a

n

}收敛于a。

因为lim

n→∞a

nk

=a,则对ε>0，正整数K，当k >K时| a

nk

-a|<

2

ε

。另一方面由于

{ a

nk }是柯西数列，所以存在正整数N，使得当n ，m>N时有| a

n

– a

m

|<

2

ε

，

取n

0=max(k+1，N+1)，有n

0≥n N+1>N以及 > k+1 >k。所以当n >N时| a n-a|≤| a n

– a

m |+| a

m

-a|<ε。

∴{ a

n

}收敛于a。

方法二:用定理3证明柯西收敛准证

证明：必要性显然。下证充分性。

设{x

n

}是柯西数列，即对任意的ε>0，存在N >0，使得当n ， m > N时，

有| x

n – x

m

| <ε (1)

令y

n =sup{ x

n+p

| p =1，2，…}

z n =inf { x

n+p

| p =1，2，…}

显然，y

n 是单调递减数列，z

n

是单调递增数列。取M =max{ x

1

，x

2

，…，

x N , x

N

+1}。由(1)，不难知x

n≤M， n =1，2，…。于是，y n和z n都是有界数列。

根据单调有界原理，y

n 和z

n

都是收敛数列。不妨设

y

n →a z

n

→b n→∞ (2)

由y

n 和z

n

的构造以及(1)，我们有

z

n≤x n≤y n n =1，2， (3)

y

n

-z

n

<εn > N (4)

于是由(4)，有a-b≤ε，而ε是任意正数，因此a = b (5) 最后，根据(2)，(3)和(5)，我们有x

n

→a (n→∞)。

这就完成了证明。

方法三:用定理4证明柯西收敛准则

证明：必要性是显然的。

下面只证充分性。根据条件，对ε=1，存在n

0，当n ，m> n

时，有| x

n

–

x m | <1。于是| x

n

|≤| x n– x n0+1 |+| x n0+1 |<1+| x n0+1|。令M=max{| x1|，x2,…，

| x

n0 |，1+| x

n0+1

|}，则| x

n

|≤M(n=1，2，…)，故{ x n }有界。因此存在收敛子

列{ x

nk }，设lim

n→∞

x

nk

=C，于是由下列不等式| x

n

-C|≤| x n - x nk |+| x nk -C|可

知lim

n→∞x

n

=C。

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