三种常见坐标系中梯度散度旋度的计算公式
(完整版)梯度、散度、旋度的关系
梯度散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S 所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。
div F =▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由 A (x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P 、Q 、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n 是 Σ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 ∫∫A ·n dS 叫做向量场 A 通过曲面 Σ 向着指定侧的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A ，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz 。
上述式子中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。
散度（divergence ）的运算法则：div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数)div (u A ) =u div A+ A grad u (u 为数性函数)旋度设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在坐标轴上的投影分别为δR/δy - δQ/δz ， δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy的向量叫做向量场A 的旋度，记作 rot A 或curl A ，即rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k式中的 δ 为偏微分（partial derivative ）符号。
圆柱坐标系的梯度散度旋度公式
圆柱坐标系的梯度散度旋度公式在数学和物理学中，圆柱坐标系是一种常用的坐标系，特别适用于具有圆柱对称性的问题。
在三维空间中，圆柱坐标系由径向、方位角和高度三个坐标轴组成。
在圆柱坐标系下，梯度、散度和旋度是描述矢量场性质的重要概念。
下面我们将探讨在圆柱坐标系下梯度、散度和旋度的计算公式。
圆柱坐标系下的梯度在圆柱坐标系下，一个标量函数$$ f(\\rho, \\phi, z) $$的梯度可以用下式表示：$$ \ abla f = \\frac{\\partial f}{\\partial \\rho} \\hat{\\rho} + \\frac{1}{\\rho} \\frac{\\partial f}{\\partial \\phi} \\hat{\\phi} + \\frac{\\partial f}{\\partial z}\\hat{z} $$其中$$ \\hat{\\rho} $$、$$ \\hat{\\phi} $$和$$ \\hat{z} $$分别是径向、方位角和高度方向的单位矢量。
圆柱坐标系下的散度对于一个矢量场$$ \\mathbf{F}(\\rho, \\phi, z) = F_\\rho \\hat{\\rho} + F_\\phi \\hat{\\phi} + F_z \\hat{z} $$，在圆柱坐标系下的散度计算公式为：$$ \ abla \\cdot \\mathbf{F} = \\frac{1}{\\rho} \\frac{\\partial}{\\partial\\rho}(\\rho F_\\rho) + \\frac{1}{\\rho} \\frac{\\partial F_\\phi}{\\partial \\phi} + \\frac{\\partial F_z}{\\partial z} $$圆柱坐标系下的旋度对于一个矢量场$$ \\mathbf{F}(\\rho, \\phi, z) $$，在圆柱坐标系下的旋度计算公式为：$$ \ abla \\times \\mathbf{F} = \\left( \\frac{1}{\\rho} \\frac{\\partialF_z}{\\partial \\phi} - \\frac{\\partial F_\\phi}{\\partial z} \\right) \\hat{\\rho} + \\left( \\frac{\\partial F_\\rho}{\\partial z} - \\frac{\\partial F_z}{\\partial \\rho} \\right) \\hat{\\phi} + \\frac{1}{\\rho} \\left( \\frac{\\partial}{\\partial\\rho}(\\rho F_\\phi) - \\frac{\\partial F_\\rho}{\\partial \\phi} \\right) \\hat{z} $$这三个公式是描述在圆柱坐标系下梯度、散度和旋度的基本公式，它们在解决圆柱对称性问题时具有重要的应用价值。
梯度散度和旋度——定义及公式
梯度散度和旋度——定义及公式梯度、散度和旋度是矢量场的重要属性，它们帮助我们理解和描述矢量场的变化特征。
梯度表示了矢量场的变化率和方向，散度表示了矢量场的流出或流入程度，旋度表示了矢量场的循环或旋转程度。
在物理学、工程学和应用数学等领域，梯度、散度和旋度被广泛应用于描述流体力学、电磁场和温度分布等问题。
首先，让我们来看看梯度的定义和公式。
梯度表示了矢量场在一个点上的最大变化率和该变化的方向。
对于一个标量场（只有大小没有方向的场），梯度是一个矢量场。
设f(x,y,z)是一个三维空间中的标量场，梯度∇f(x,y,z)可以表示为：∇f(x,y,z)=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)其中，∂f/∂x、∂f/∂y和∂f/∂z分别表示f对x、y和z的偏导数。
梯度的大小表示了函数在该点上变化最快的方向。
接下来，我们来看看散度的定义和公式。
散度表示了矢量场的流出或流入程度。
对于一个三维矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，它的散度∇·F可以表示为：∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z其中，∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z分别表示F的各个分量对x、y和z的偏导数。
散度的值正表示流出，负表示流入。
最后，我们来看看旋度的定义和公式。
旋度表示了矢量场的循环或旋转程度。
对于一个三维矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，它的旋度∇×F可以表示为：∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z,∂P/∂z-∂R/∂x,∂Q/∂x-∂P/∂y)其中，∂R/∂y-∂Q/∂z、∂P/∂z-∂R/∂x、∂Q/∂x-∂P/∂y分别表示F的各个分量对x、y和z的偏导数之差。
旋度的大小表示了场的循环或旋转的强度。
梯度、散度和旋度提供了一种描述矢量场的数学工具，帮助我们分析矢量场的性质和行为。
通过计算这些属性，我们可以得到关于矢量场的重要信息，如流体的速度分布、电磁场的演化和温度场的变化。
1-3梯度-散度-旋度
例题 例题
已知： V = V (r , θ ) = V0 ⋅ r ⋅ cosθ 令： 求：
答案 1 答案 1
r ^ cosθ − a ^ sinθ )V E = −∇V = − (a r θ 0
r E = −∇V r E=?
法一：直接法 — — 求坐标系梯度公式！
r E = −∇ V = ?
^r ∇=a
引申出去：
梯度是表示 是表示标量 标量最大空间增长率 最大空间增长率
的大小和方向的矢量 的大小和方向的 矢量。 。
∆l
等值面
r dU = (∇ U ) • dl
∇
Hamiltonian
^ ∇U = gradU = a n
dU dn
引入算符 — — 哈密顿算符：
Gradient— — grad
不同坐标系下的表示
v v ∫ A ⋅ dS
s
v r dS = a ndS
S
C
散度
定义：单位体积的 定义： 单位体积的净流散 净流散通量 通量
r divA = r r ∫ A • ds lim S ∆V → 0 ∆V
不同坐标系下的表示
笛卡儿坐标系中： ∇ • A =
r
∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂x ∂y ∂z
r ∂ r 1 ∂ r ∂ ∇ = ar + a y + az ∂r r ∂ϕ ∂z
r ^ ( r ⋅ dθ ) + a ^ dr + a ^ϕ ( r ⋅ sinθ ⋅ d ϕ ) dl = a r θ
r ∂ r 1 ∂ r 1 ∂ ∇ = ar + aθ + aϕ ∂r r ∂θ r ⋅ sin θ ∂ϕ
梯度、散度、旋度表达式推导
r r a • dr ∫
所以
lim
s →0
L
S
i r ∂ = ∇× a = ∂x ax
i r ∂ = ∇×a = ∂x ax
j ∂ ∂y ay
j ∂ ∂y ay
k ∂ ∂z az
k ∂ ∂z az
即
rotn a = lim
s →0
r r a • dr ∫
L
S
4. 曲线坐标系
a. 曲线坐标的引进，柱坐标系球坐标系 曲线坐标的引进， 空间中任一点 M 在直角坐标系中是由 （x, y, z） 三个数唯一决定的。此时矢经 r 的表达式是：
H 1 , H 2 , H 3 称为拉梅系数
4. 曲线坐标系
b .拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式 拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式
∂r 考虑到 ∂qi 的大小和方向后，可得下式：
r r r dr = H 1dq1e1 + H 2 dq2 e2 + H 3 dq3e3
这就是弧元素矢量在曲线坐标系中的表达式，它们 在坐标轴上的投影分别是：
L
S
i r ∂ = ∇×a = ∂x ax
j ∂ ∂y ay
k ∂ ∂z az
证明如下： 因为： L
r r ∫ a • dr =
∫ (a dx + a dy + a dz)
x y z L
3．旋度 ．
b. 旋度 2) 表示形式 再由线积分转化为面积分可得： 上式=
∫ [(
L
∂a y ∂ax ∂a ∂a ∂az ∂a y − ) nx + ( x − z ) n y + ( − )n y ]dS ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
大学物理：坐标散度旋度梯度
矢量方向和大小
A的单位矢量 Unit vector
Aˆ A xˆ Ax yˆ Ay zˆ Az AA AA
xˆ cosa yˆ cos zˆ cos
矢量的模 Magnitude of vector
A Ax2 Ay2 Az2
矢量加减
和或差: Vector addition or subtraction
u 0
❖任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。
❖任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度 ❖任何梯度场一定是无旋场。
A 0 A u
通量与散度, 散度定理
Flux, divergence of a vector field, divergence theorem
矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述
ˆ xˆ sin yˆ cos ˆ xˆ cos cos yˆ cos sin zˆ sin
xˆ rˆ sin cos yˆ rˆ sin sin zˆ rˆ cos
矢量表示及相关物理量的表示
矢量表示： 直角坐标系： 柱坐标系： 球坐标系：
A xˆAx yˆAy zˆAz
在直角坐标系中，通量可以写成
ψ AdS Axdydz Aydzdx Azdxdy
S
S
散度 Divergence of a vector field
1、定义：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该 点的散度，以 div A 表示，即
divA lim S AdS ΔV 0 ΔV
divA A
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 2) 矢量场的散度是一个标量； 3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
圆柱坐标系的梯度散度旋度公式
圆柱坐标系的梯度散度旋度公式引言在数学和物理学中，坐标系是十分重要的工具之一，它们用来描述和解决各种问题。
圆柱坐标系是一种常见的三维坐标系，它由径向、圆周角和高度三个坐标参数构成。
在圆柱坐标系中，不同于直角坐标系的梯度、散度和旋度公式，有其独特的表达方式和计算方法。
本文将介绍圆柱坐标系下的梯度、散度和旋度公式及其推导过程。
圆柱坐标系的基本概念和坐标变换在圆柱坐标系下，一个点可以由其径向距离r、圆周角 $\\phi$ 和高度z来描述。
与直角坐标系(x,y,z)的关系可以通过下面的公式得到：$$x = r\\cos(\\phi)$$$$y = r\\sin(\\phi)$$z=z圆柱坐标系中的单位基矢量可以用以下公式表示：$$\\mathbf{e}_r = \\cos(\\phi)\\mathbf{i} + \\sin(\\phi)\\mathbf{j}$$$$\\mathbf{e}_\\phi = -\\sin(\\phi)\\mathbf{i} + \\cos(\\phi)\\mathbf{j}$$ $$\\mathbf{e}_z = \\mathbf{k}$$其中，$\\mathbf{i}$、$\\mathbf{j}$ 和 $\\mathbf{k}$ 是直角坐标系中的单位基矢量。
圆柱坐标系下梯度的计算在圆柱坐标系下，标量函数 $f(r, \\phi, z)$ 的梯度可以由以下公式计算得到：$$\ abla f = \\frac{\\partial f}{\\partial r}\\mathbf{e}_r +\\frac{1}{r}\\frac{\\partial f}{\\partial \\phi}\\mathbf{e}_\\phi + \\frac{\\partial f}{\\partial z}\\mathbf{e}_z$$这里的ablaf是梯度算子。
圆柱坐标系下散度的计算在圆柱坐标系下，一个向量场 $\\mathbf{F}(r, \\phi, z)$ 的散度可以由以下公式计算得到：$$\ abla \\cdot \\mathbf{F} = \\frac{1}{r}\\frac{\\partial}{\\partial r}(rF_r) + \\frac{1}{r}\\frac{\\partial F_\\phi}{\\partial \\phi} + \\frac{\\partialF_z}{\\partial z}$$这里的 $\ abla \\cdot$ 是散度算子。
梯度旋度散度
梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X 度”。
I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。
实用文档之三种常见坐标系中梯度散度旋度的计算公式
实用文档之三种常见坐标系中梯度散度旋度的计算公式在物理、数学和工程学等领域，常常会遇到需要计算梯度、散度和旋度的问题。
梯度、散度和旋度是描述矢量变量随空间坐标变化的变化率的重要工具。
在实用文档中，对于三种常见的坐标系下的梯度、散度和旋度计算公式进行详细说明，使读者能够理解和应用这些公式。
一、笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是三维空间中经常使用的坐标系。
在笛卡尔坐标系下，梯度、散度和旋度的计算公式如下：1.梯度：梯度用于描述标量函数在空间各个方向上的变化率。
对于标量函数f(x,y,z)，其梯度可表示为：∇f=(∂f/∂x)i+(∂f/∂y)j+(∂f/∂z)k其中，∂f/∂x、∂f/∂y和∂f/∂z分别表示f对x、y和z的偏导数，i、j 和k分别是笛卡尔坐标系的基底单位矢量。
2.散度：散度描述矢量场在其中一点的流入或流出情况。
对于矢量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其散度可表示为：∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z其中，∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z分别表示F的每个分量对应坐标的偏导数。
3.旋度：旋度描述矢量场的旋转情况。
对于矢量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其旋度可表示为：∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z)i+(∂P/∂z-∂R/∂x)j+(∂Q/∂x-∂P/∂y)k其中，∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z分别表示F的每个分量对应坐标的偏导数。
二、柱坐标系柱坐标系适用于具有圆柱对称性的问题，在极坐标的基础上，引入了z轴方向的坐标。
在柱坐标系下，梯度、散度和旋度的计算公式如下：1.梯度：梯度的计算公式同样适用于柱坐标系，∇f的表达式保持不变。
2.散度：散度的计算公式在柱坐标系下为：∇·F=(1/ρ)∂(ρP)/∂ρ+(1/ρ)∂Q/∂φ+∂R/∂z其中，P、Q和R为矢量场F的每个分量。
梯度、散度和旋转速度——定义及公式
梯度、散度和旋转速度——定义及公式梯度、散度和旋转速度是在向量微积分中经常出现的概念。
它们在研究物理、计算机图形学以及其他领域中都有广泛的应用。
以下是对这些概念的定义和相应的公式。
梯度：梯度表示向量场在某一点上的变化率方向和大小。
对于二维向量场而言，梯度是一个二维向量，可以表示为∇f=(∂f/∂x, ∂f/∂y)，其中f为标量函数，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示f关于x和y的偏导数。
散度：散度表示向量场在某一点上的流入流出情况。
对于二维向量场而言，散度是一个标量，可以表示为div F=∇·F=∂F1/∂x + ∂F2/∂y，其中F=(F1, F2)为二维向量场，∂F1/∂x和∂F2/∂y分别表示F1和F2关于x和y的偏导数。
旋转速度：旋转速度表示向量场在某一点上的旋转情况。
对于二维向量场而言，旋转速度是一个标量，可以表示为curl F=∇×F=∂F2/∂x -∂F1/∂y，其中F=(F1, F2)为二维向量场，∂F1/∂x和∂F2/∂y分别表示F1和F2关于x和y的偏导数。
在三维空间中，梯度、散度和旋转速度的定义和公式与二维类似，只是涉及到更多的坐标和偏导数。
这些概念和公式对于研究向量场的性质和行为非常重要，能够帮助我们理解向量场的变化和流动规律。
在实际应用中，通过计算梯度、散度和旋转速度，我们可以获得有关向量场的关键信息，从而进行更深入的分析和建模。
总结：- 梯度表示向量场在某一点上的变化率方向和大小，公式为∇f=(∂f/∂x, ∂f/∂y)。
- 散度表示向量场在某一点上的流入流出情况，公式为divF=∇·F=∂F1/∂x + ∂F2/∂y。
- 旋转速度表示向量场在某一点上的旋转情况，公式为curlF=∇×F=∂F2/∂x - ∂F1/∂y。
希望这份文档能够帮助你更好地了解梯度、散度和旋转速度的定义及其公式。
如有任何疑问，请随时向我提问。
梯度、散度和旋转速度——定义及公式
梯度、散度和旋转速度——定义及公式梯度、散度和旋转速度是向量微积分中的重要概念，也是数学分析与物理学中经常使用的量。
梯度：表示函数在每个空间点处的变化率。
如果一个标量函数f(x,y,z)的梯度是 (Fx,Fy,Fz)，则函数在(x,y,z)处沿着最陡峭的方向增加。
它可以表示成以下形式：Grad(f)= (d/dx, d/dy, d/dz) f = F其中，“Grad”是梯度算子，代表对函数的梯度运算，F是函数在每个空间点(x,y,z)的梯度，d/dx，d/dy，d/dz是分别对 x,y,z求偏导运算符。
散度：表示矢量场的源密度，描述了矢量场如何从给定点扩散。
如果一个矢量场F(x,y,z)=(Fx,Fy,Fz)的散度是 div(F)，则在点(x,y,z)处聚集或消散的速率与点密度成比例。
div(F) = ∇·F = dFx/dx + dFy/dy + dFz/dz其中“∇”为 nabla 符号，代表矢量微分算子，而“·”为数量积运算符。
旋度：衡量了矢量场在某一点“旋转”的强弱。
如果一个矢量场F(x,y,z)=(Fx,Fy,Fz)的旋度是 rot(F)，则表示为：rot(F) = ∇ × F = (dFz/dy - dFy/dz, dFx/dz - dFz/dx, dFy/dx -dFx/dy)其中“×”为叉积运算符。
梯度、散度和旋度在物理学中有广泛的应用，如电场、磁场、流体力学等领域。
通过它们可以更好地理解电磁场和流场的规律。
同时，这三个概念也是微分方程中的重要工具，可以帮助求解某些偏微分方程的边值问题。
旋度和散度计算公式
旋度和散度计算公式一、旋度的计算公式旋度是描述向量场旋转性质的一种物理量，用于描述向量场在给定点附近的回旋情况。
旋度的计算公式如下：设向量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其中P、Q、R 是关于空间坐标变量的函数，i、j、k是三个单位向量。
则向量场F的旋度为：∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z)i+(∂P/∂z-∂R/∂x)j+(∂Q/∂x-∂P/∂y)k其中∂P/∂x、∂Q/∂y、∂R/∂z表示分别对x、y、z求偏导数。
旋度的含义如下：当旋度∇×F=0时，称向量场F为无旋场，表示向量场在任一闭合曲线上的环量为零。
反之，当旋度∇×F≠0时，称向量场F为有旋场。
旋度的计算公式可以通过矢量分析中的叉乘和偏导数的运算规则推导得到，其实现过程较为繁琐，这里不做详细阐述。
旋度在电磁学中有重要应用，可以描述磁场的旋转情况，通过计算旋度可以得到磁场的环量。
同时，在流体力学中，旋度可以用来描述流体的涡旋性质，通过计算旋度可以得到流体的涡度。
二、散度的计算公式散度是描述向量场收敛性质的一种物理量，用于描述向量场在给定点附近的扩散情况。
散度的计算公式如下：设向量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其中P、Q、R 是关于空间坐标变量的函数，i、j、k是三个单位向量。
则向量场F的散度为：∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z其中∂P/∂x、∂Q/∂y、∂R/∂z表示分别对x、y、z求偏导数。
散度的含义如下：当散度∇·F>0时，称向量场F为发散场，表示向量场从给定点向外扩散。
当散度∇·F<0时，称向量场F为收敛场，表示向量场向给定点收敛。
当散度∇·F=0时，称向量场F为无散场，表示向量场在任一闭合曲面上的通量为零。
散度的计算公式可以通过矢量分析中的点乘和偏导数的运算规则推导得到，其实现过程较为繁琐，这里不做详细阐述。
1.2 散度-旋度-梯度
u u( x, y, z) u(r ) C
如同温层，等位面，等高线
a
b
等值面
d c
2
方向导数
如何了解标量场 中某一点的标量 函数U沿某一方 向的变化情况？
b a
等值面
d c
方向导数：标量函数在给定点沿 某一方向对距离的变化率
U l
3
方向导数
z
ez
z
U l
M ( x 0 x , y0 y, z 0 z )
1 1 ( ) 的梯度 R R
z
r
Q ( x , y , z ) R
o
r
P ( x, y, z )
y
x
16
源点与场点
• 源点： • 场点：
( x, y, z) ( x, y, z )
源点 r'
R
场点
r
O
17
例题
1 1 距离矢量 R r r ，求标量场 R 的梯度 ( ) R z Q ( x , y , z )
数学描述：矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分
A dS A en dS A cos θdS
s s s
通量(Flux)
dS en dS
S
C
有向曲面：开表面， 右螺旋
闭合曲面，外法线
通量：穿过曲面s的矢量线的总数
22
通量的应用
• 判断闭合曲面内源的性质
ey ez 直角坐标系中： ex x y z 1 柱面坐标系中： e e ez z 1 1 球面坐标系中： eR e e R R R sin