天津市2018年中考数学题型专项训练二次函数与线段问题含答案

二次函数与线段问题

1.已知抛物线经过点A (－1,0)、B (3,0)、C (0,－3).

(Ⅰ)求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标;

(Ⅱ)直线CD 交x 轴于点E ,过抛物线上在对称轴右边的点P ,作y 轴的

平行线交x 轴于点F ,交直线CD 于点M ,使PM =25

EF ,请求出点P 的坐标;

(Ⅲ)将抛物线沿对称轴平移,要使抛物线与(Ⅱ)中的线段EM 总有交点,那么抛物线向上最多平移多少个单位长度?向下最多平移多少个单位长度?

解:(Ⅰ)设抛物线解析式为y =a (x ＋1)(x －3),

把点C (0,－3)代入得:a ×1×(－3)=－3,

解得a =1,

∴抛物线解析式为y =(x ＋1)(x －3),

即y =x 2－2x －3,

∵y =x 2－2x －3=(x －1)2－4,

∴顶点D 的坐标为(1,－4);

(Ⅱ)如解图,设直线CD 的解析式为y =kx ＋b ,

把点C (0,－3),D (1,－4)代入得

34b k b =-⎧⎨+=-⎩,解得13

k b =⎧⎨=⎩－－, ∴直线CD 的解析式为y =－x －3,

当y=0时,－x－3=0,

解得x=－3,

则E(－3,0),

设P(t,t2－2t－3)(t＞1),

则M(t,－t－3),F(t,0),

∴EF=t＋3,PM=t2－2t－3－(－t－3)=t2－t, 而PM=2

5

EF,

∴t2－t=2

5

(t＋3),

整理得5t2－7t－6=0,

解得t1=－3

5

(舍去),t2=2,

当t=2时,t2－2t－3=22－2×2－3=－3,

∴点P坐标为(2,－3);

第1题解图

(Ⅲ)当t=2时,点M的坐标为(2,－5),

设平移后的抛物线解析式为y=x2－2x－3＋m,

当抛物线y=x2－2x－3＋m与直线y=－x－3有唯一公共点时,

令方程x2－2x－3＋m=－x－3,即x2－x＋m=0有两个相等的实数解, 则b2－4ac=1－4m=0,

解得m=1

4

;

若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点M(2,－5),

则4－4－3＋m=－5,解得m=－2;

若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点E(－3,0),

则9－2×(－3)－3＋m=0,

解得m=－12,

∴抛物线向上最多平移1

4

个单位长度,向下最多平移12个单位长度.

2. 已知抛物线y=1

2

(x－3)2－1与x轴交于A、B两点(点A在点B的

左侧),与y轴交于点C,顶点为D.

(Ⅰ)试求点A,B,D的坐标;

(Ⅱ)连接CD,过原点O作OE⊥CD与抛物线的对称轴交于点E,求OE 的长;

(Ⅲ)以(Ⅱ)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标.

解:(Ⅰ)由y=0得1

2

(x－3)2－1=0,解得x1=3x2=3

又∵点A在点B的左侧,

∴A点坐标为(3B点坐标为(3

由抛物线解析式y=1

2

(x－3)2－1可得顶点D的坐标为(3,－1); (Ⅱ)如解图①,过点D作DG⊥y轴于点G,设CD与x轴交于点F,ED 交x轴于点M,

由题意可得,∠DCG＋∠COF=90°,∠EOM＋∠COF=90°,

∴∠DCG=∠EOM,

又∵∠CGD=∠OME=90°,

∴△CDG∽△OEM,

∴CG

OM

=

DG

EM

,即

3

2

=

3

EM

,

∴EM=2,

∴E点坐标为(3,2),

∴OE

(Ⅲ)如解图②,由⊙E的半径为1,由勾股定理得PQ2=EP2－1,要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小,

设P点坐标为(x,y),则PQ=x－3,EQ=2－y,

∴由勾股定理得EP2=(x－3)2＋(2－y)2,

∵y=1

2

(x－3)2－1,

∴(x－3)2=2y＋2,

∴EP2=2y＋2＋y2－4y＋4=(y－1)2＋5, 当y=1时,EP2为最小值,

将y=1代入y=1

2

(x－3)2－1,得x1=5,x2=1,

∴P点坐标为(1,1)或(5,1).

∵点P在对称轴右侧的抛物线上, ∴x2=1舍去,

∴P(5,1).

图①图②

第2题解图

3.已知抛物线y=－1

4

x2－

1

2

x＋

3

4

与x轴交于A,C两点(点A在点C的

左边),直线y=kx＋b(k≠0)分别交x轴,y轴于A,B两点,且除了点A之外,该直线与抛物线没有其他任何交点.

(Ⅰ)求A,C两点的坐标;

(Ⅱ)求k,b的值;

(Ⅲ)设点P是抛物线上的动点,过点P作直线y=kx＋b(k≠0)的垂线,垂足为H,交抛物线的对称轴于点D,求PH＋DH的最小值,并求出此时点P的坐标.

解:(Ⅰ)令y=0,即－1

4

x2－

1

2

x＋

3

4

=0,

解得x1=－3,x2=1,

∵点A在点C的左边,∴A(－3,0),C(1,0); (Ⅱ)把A(－3,0)代入y=kx＋b,得－3k＋b=0,