天津市2018年中考数学题型专项训练二次函数与线段问题含答案
2018年天津市中考数学题型专项复习训练含答案：二次函数与线段问题(2)
旋转问题1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,2),△ABO为等边三角形,P是x轴上的一个动点(不与O点重合),将线段AP绕A点按逆时针方向旋转60°,P点的对应点为点Q.(Ⅰ)求点B的坐标;(Ⅱ)当点P在x轴负半轴运动时,求证:∠ABQ=90°; (Ⅲ)连接OQ,在点P运动的过程中,当OQ平行AB时,求点P的坐标.第1题图解:(Ⅰ)如解图①,过点B作BC⊥x轴于点C,∵△AOB为等边三角形,且OA=2,∴∠AOB=60°,OB=OA=2,∴∠BOC=30°,而∠OCB=90°,∴BC=12OB=1,OC=3,∴点B的坐标为B(3,1);(Ⅱ)∵△APQ、△AOB均为等边三角形,∴AP=AQ,AO=AB,∠P AQ=∠OAB,∴∠PAO=∠QAB,在△APO与△AQB中,A P A QP A O Q A B A O A B＝＝＝,∴△APO≌△AQB,∴∠ABQ=∠AOP=90°;(Ⅲ)当点P在x轴正半轴上时,∵∠OAB=60°,∴将AP绕点A逆时针旋转60°时,点Q在点B上方,∴OQ和AB必相交,当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,∵AB∥OQ,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°.在Rt△BOQ中,OB=2,∠OBQ=90°－∠BOQ=30°,∴BQ=3,由(Ⅱ)可知,△APO≌△AQB,∴OP=BQ=3,∴此时点P的坐标为(－3,0).图①图②第1题解图2.在直角坐标系中,OA=CD,OB=OD,CD⊥x轴于D,E、F 分别是OB、OD中点,连接EF交AC于点G.(Ⅰ)如图①,若点A的坐标为(－2,0),S△OC D=5,求点B的坐标;(Ⅱ)如图②,当OB=2OA时,求证:点G为AC的中点; (Ⅲ)如图③,当OB＞2OA,△ABO绕原点O顺时针旋转α(0°＜α＜45°),(Ⅱ)中的结论是否还成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.第2题图解:(Ⅰ)∵A(－2,0),∴OA=2,∵CD⊥OD,CD=O A=2,又∵S△OC D=5,∴1×OD×2=5,2∴OD=5,∴OB=OD=5,∴B(0,5);(Ⅱ)如解图①,连接EC、AE、CF.∵OB=2OA,CD=OA,OD=OB,∴CD=1OB,2∵EB=EO,OF=DF,∴OE∥CD,OE=CD,∴四边形OECD是平行四边形,∴EC=OD,∵AF=OD=EC,∴EC=AF,EC∥AF,∴四边形AECF是平行四边形,∴AG=CG,即点G为AC的中点;(Ⅲ)成立.理由:如解图②,连接AE、CF,在FE上取一点H,使得CH=CF.∵OB=OD,OE=EB,OF=DF,∴OE=DF,∵∠AOE=∠FD C,OA=CD,∴△AOE≌△CDF,∴AE=CF=CH,∠AEO=∠CFD,∵OE=OF,∴∠OEF=∠OFE,∵∠AEG=∠AEO＋∠OEF,∠CHG=180°－∠CHF=180°－∠CFH=180°－(180°－∠OFE－∠CFD)=∠OFE＋∠CFD,∴∠AEG=∠CHG,∵∠AGE=∠CGH,∴△AEG≌△CHG,∴AG=CG,即点G为AC的中点.图①图②第2题解图3.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(－8,0),直线BC经过点B(－8,6),C(0,6),将四边形OAB C绕点O按顺时针方向旋转角度α得到四边形OA′B′C′,此时边OA′与边BC交于点P,边B′C′与BC的延长线交于点Q,连接AP.(Ⅰ)求证:四边形OABC是矩形;(Ⅱ)在旋转过程中,当∠PAO=∠POA,求P点坐标.(Ⅲ)在旋转过程中,当P为线段BQ中点时,连接OQ,求△OPQ的面积.第3题图(Ⅰ)证明:∵点A的坐标为(－8,0),点B(－8,6),C(0,6),∴∠COA=∠OAB=∠B=90°,∴四边形OABC是矩形.(Ⅱ)解:如解图①,过点P作PE⊥AO于点E,∵∠PAO=∠POA,∴P A=PO,∵PE⊥AO,∴AE=EO=4,∴P(－4,6);(Ⅲ)解:如解图②,在Rt △OCQ 和Rt △OC'Q 中,C O C OO Q O Q ＝＝,∴Rt △OCQ ≌Rt △OC'Q,∴∠OQC=∠OQC',又∵OP ∥C'Q,∵∠POQ=∠OQC',∴∠POQ=∠PQO,∴PO=PQ,∵BP=QP,∴BP=OP=x,在Rt △OPC 中,x 2=(8－x)2＋62,解得:x=254. 故S △O PQ =12×CO ×PQ=12×6×254=754.图①图②第3题解图。
二次函数综合题--二次函数与线段有关的问题(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
二次函数综合题-中考数学重难点题型二次函数与线段有关的问题（专题训练）1.小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．2.如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED 和矩形ABCD 构成，矩形的一边BC 为12米，另一边AB 为2米．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，规定一个单位长度代表1米．E （0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点1P ，4P 在x 轴上，MN 与矩形1234PP P P 的一边平行且相等．栅栏总长l 为图中粗线段12PP ，23P P ，34P P ，MN 长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点2P ，3P 在抛物线AED 上．设点1P的横坐标为()06m m <≤，求栅栏总长l 与m 之间的函数表达式和l 的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形1234P P P P 面积的最大值，及取最大值时点1P 的横坐标的取值范围（1P 在4P 右侧）．3.在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A （－1，0）和点B （0，3），顶点为C ，点D 在其对称轴上，且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，在y 轴上是否存在点M ，使得MP ＋ME 的值最小，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．5.如图，已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B -．（1）求,b c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．①求点M 的坐标；②将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L ．过点M 作//MN y 轴，交抛物线1L 于点N ．P 是抛物线1L 上一点，横坐标为1-，过点P 作//PE x 轴，交抛物线L 于点E ，点E 在抛物线L 对称轴的右侧．若10PE MN +=，求m 的值．6.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值：x…1-0123…y …03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）PQ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P 在点Q 上方），求AQ QP PC ++的最小值；（3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，ABD △的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．8.已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点(,0)N n 是x 轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n <，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ，交直线BC 于点G ．过点P 作PD BC ⊥于点D ，当n 为何值时，PDG BNG ≌；（3）如图2，将直线BC 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段OC 的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB ．①1tan BOB ∠=______；②当点N 关于直线1OB 的对称点1N 落在抛物线上时，求点N 的坐标．9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：∠ACB=90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ．①求DE+BF 的最大值；②点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与 AOG 相似，求点D 的坐标．10.如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA ∠的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC 的外心，且BCD △与ACO △4，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA ∠=∠若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，二次函数y ＝ax 2+bx+x 的图象过O （0，0）、A （1，0）、B （32，（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．12.如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13.在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．14，若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC 恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．①当m=12时，求点P的坐标；②求m的最大值．15.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y 轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E 作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．16.已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．17.已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD=43，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；②连结PB，求35PC+PB的最小值．。
中考数学复习《与二次函数图象相关的交点问题》专项检测卷(附带答案)
中考数学复习《与二次函数图象相关的交点问题》专项检测卷(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图1，已知二次函数图象与y 轴交点为(0,3)C ，其顶点为(1,2)D ．(1)求二次函数的表达式；(2)直线CD 与x 轴交于M ，现将线段CM 上下移动，若线段CM 与二次函数的图象有交点，求CM 向上和向下平移的最大距离；(3)若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕O 点顺时针旋转90︒，得到抛物线G ，如图2所示，直线2y x =-+与G 交于A ，B 两点，P 为G 上位于直线AB 左侧一点，求ABP ∆面积最大值，及此时点P 的坐标．2．综合与探究如图，某一次函数与二次函数2y x mx n =++的图象交点为()1,0A -和()4,5B ．(1)求抛物线的解析式；(2)点C 为抛物线对称轴上一动点，当AC 与BC 的和最小时，点C 的坐标为 ；(3)点D 为二次函数位于线段AB 下方图象上一动点，过点D 作DE x ⊥轴，交线段AB 于点E ，求ABD 面积的最大值；(4)在（2）的条件下 点M 为y 轴上一点 点F 为直线AB 上一点 点N 为平面直角坐标系内一点 若以点C M F N 为顶点的四边形是正方形 请直接写出点N 的坐标．3．综合与探究如图 某一次函数与二次函数2y x mx n =++的图象交点为A （-1 0） B （4 5）．(1)求抛物线的解析式；(2)点C为抛物线对称轴上一动点当AC与BC的和最小时点C的坐标为；(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点过点D作DE⊥x轴交线段AB于点E求线段DE 长度的最大值；(4)在（2）条件下点M为y轴上一点点F为直线AB上一点点N为平面直角坐标系内一点若以点C M F N为顶点的四边形是正方形请直接写出点N的坐标．4．如图在直角坐标系中点A（3 a）和M是一次函数y＝x－2和反比例函数y＝mx图象的交点点B是一次函数y＝x－2与y轴的交点．(1)求反比例函数与一次函数的另一个交点M 的坐标．(2)C 为线段AB 上一点 作CD ⊥y 轴与反比例函数y ＝m x交于点D 求△BCD 的面积得最大值．5．如图 在平面直角坐标系中 已知二次函数图像222(1)2y x a x a a =-+++的顶点为P 点B 39(2,)16- 是一次函数5119216y x =+上一点．(1)当a ＝0时 求顶点P 坐标；(2)若a ＞0 且一次函数2y x b =-+的图象与此抛物线没有交点 请你写出一个符合条件的一次函数关系式（只需写一个 不必写出过程）；(3)作直线OC：12y x=与一次函数5119216y x=+交于点C．连结OB当抛物线与⊥OBC的边有两个交点时求a的取值范围．6．如图抛物线2=++y x bx c-的对称轴为x=1 与x轴的一个交点为A(-1,0) 另一交点为B与y轴交点为C．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点N为抛物线上一点且BC⊥NC求点N的坐标；(3)点P是抛物线上一点点Q是一次函数3322y x=+的图像上一点是否存在四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出点Q的坐标；若不存在说明理由．7．综合与实践如图1 某兴趣小组计划开垦一个面积为28m 的矩形地块ABCD 种植农作物 地块一边靠墙 另外三边用木栏围住 木栏总长为m a【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若10a = 能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB 为x m BC 为y m ．由矩形地块面积为28m 得到8xy = 满足条件的(,)x y 可看成是反比例函数8y x=的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m 得到210x y += 满足条件的(,)x y 可看成一次函数210y x =-+的图象在第一象限内点的坐标 同时满足这两个条件的(,)x y 就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2 反比例函数()80y x x=>的图象与直线1:210=-+l y x 的交点坐标为(1,8)和______ 因此 木栏总长为10m 时 能围出矩形地块 分别为：1m =AB 8m BC =；或AB =______m BC =______m ．（1）根据小颖的分析思路 完成上面的填空．【类比探究】（2）若10a = 能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法 在图2中画出一次函数图象并说明理由．【问题延伸】（3）当木栏总长为a m 时 小颖建立了一次函数2y x a =-+．发现直线2y x a =-+可以看成是直线2y x =-通过平移得到的 在平移过程中 当直线2y x a =-+与反比例函数()80y x x=>的图象有唯一交点时 求出a 的值 并求出这个交点的坐标．8．如图 在平面直角坐标系中 点A B ，是一次函数y x =图象上两点 它们的横坐标分别为,3,a a +其中0a > 过点,?A B 分别作y 轴的平行线 交抛物线248y x x =-+于点C D （1）若,AD BC =求a 的值；（2）点E 是抛物线上的一点 求ABE 面积的最小值．9．如图 一次函数y =kx+b 的图象与x 轴交于点B （6,0） 与y 轴交于点A 与二次函数y=ax 2的图象在第一象限内交于点C （3,3）．(1)求此一次函数与二次函数的表达式；(2)若点D 在线段AC 上 与y 轴平行的直线DE 与二次函数图象相交于点E ⊥ADO =⊥OED 求点D 坐标．10．如图 二次函数2y x ax c =++的图象与x 轴相交于A ()10B ,两点 与y 轴交于点()0,3C -.（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数图象向右平移2个单位长度 再向上平移3个单位长度得到新二次函数图象 当06x ≤≤时 求新二次函数的最小值.11．如图 已知二次函数G 1：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象过点（﹣1 0）和（0 3） 对称轴为直线x ＝1．（1）求二次函数G 1的解析式；（2）当﹣1＜x ＜2时 求函数G 1中y 的取值范围；（3）将G 1先向右平移3个单位 再向下平移2个单位 得到新二次函数G 2 则函数G 2的解析式是 ． （4）当直线y ＝n 与G 1 G 2的图象共有4个公共点时 直接写出n 的取值范围．12．如图 抛物线2y ax bx =+x 轴交于点A 和点()1,0B 与y 轴交于点C 连接AC 经过点A的一次函数()0y kx c k =+≠图象与抛物线的另一个交点为点D ⎛ ⎝⎭点P 是抛物线上的一动点 连接AP CP ．(1)求抛物线2y ax bx =+ 并直接写出点A 的坐标；(2)点P 在点A 和点C 之间运动 当APC △的面积最大时 求点P 的横坐标；(3)若点P 位于y 轴左侧 过点P 作PE y ∥轴 交直线AD 于点E 当2PE OC =时 求点P 的坐标．13．如图1 在平面直角坐标系xOy 中 二次函数24y x x c =-+的图象与y 轴的交点坐标为()0,5 图象的顶点为M ．矩形ABCD 的顶点D 与原点O 重合 顶点A C ，分别在x 轴 y 轴上 顶点B 的坐标为()1,5．(1)求c 的值及顶点M 的坐标．(2)如图2 将矩形ABCD 沿x 轴正方向平移2个单位得到对应的矩形A B C D ''''．已知边C D A B ''''，分别与函数24y x x c =-+的图象交于点P Q ， 连结PQ 过点P 作PG A B ''⊥于点G ．求PQ 的长．14．如图 二次函数的图象与x 轴交于()10A -， ()50B ，两点 与y 轴交于点()05C -，．(1)求二次函数的表达式；(2)当14x -≤≤时 求函数最大值与最小值的差；(3)点P 的坐标为(),5n - 点Q 的坐标为()2,5n +- 若线段PQ 与二次函数图象恰有一个交点 请直接写出n 的取值范围．15．如图1 平面之间坐标系中 等腰直角三角形的直角边BC 在x 轴正半轴上滑动 点C 的坐标为（t 0） 直角边AC=4 经过O C 两点作抛物线y 1=ax （x -t ）（a 为常数 a ＞0） 该抛物线与斜边AB 交于点E 直线OA ：y 2=kx （k 为常数 k ＞0）（1）填空：用含t 的代数式表示点A 的坐标及k 的值A k= ；（2）随着三角板的滑动 当a=14时： ⊥请你验证：抛物线y 1=ax （x -t ）的顶点在函数y=-14x 2的图象上； ⊥当三角板滑至点E 为AB 的中点时 求t 的值；（3）直线OA 与抛物线的另一个交点为点D 当t≤x≤t+4 |y 2﹣y 1|的值随x 的增大而减小 当x≥t+4时 |y 2﹣y 1|的值随x 的增大而增大 求a 与t 的关系式及t 的取值范围．参考答案：1．(1)223y x x =-+(2)CM 向下平移的最大距离为14向上平移的最大距离为6． (3)11,42P ⎛⎫- ⎪⎝⎭2．(1)2=23y x x --(2)()1,2 (3)758 (4)123415(1,1),(1,2),(1,4),,22N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭3．(1)2=23y x x --(2)（1 2） (3)254 (4)123415(1,1),(1,2),(1,4),,22N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭4．(1)M （-1 -3）(2)25．(1)（1 -1）(2)21y x =--(答案不唯一) (3)2855a -<<-或20a -<<6．(1)223y x x =-++(2)（1 4）(3)Q 的坐标是（1 3)或315,24⎛⎫⎪⎝⎭．7．（1）(4,2)；4；2；（2）不能围出（3）a 的值为8 此时交点坐标为()24，． 8．（1）1a =；（2）ABE S 的最小值为2189．（1）一次函数的表达式为6y x =-+ 二次函数的表达式为213y x =；（2）点D 的坐标为39(,)22D ． 10．（1）223y x x =+-；（2）最小值为1-11．（1）二次函数G 1的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）0＜y ≤4；（3）y ＝﹣（x ﹣4）2+2；（4）n 的取值范围为2336＜n ＜2或n ＜2336．12．(1)抛物线解析式为2y =点A 的坐标为()3,0- (2)点P 的横坐标为32-(3)点P 的坐标为1,⎛- ⎝⎭或⎛- ⎝⎭13．(1)5c = ()2,1M14．(1)二次函数的解析式为245y x x =--；(2)函数最大值与最小值的差为9；(3)n 的取值范围为20n -≤≤或24n ≤≤．15．（1）A 的坐标是（t 4） k=4t （k ＞0）；（2）⊥见解析；⊥t=2．；（3）a=1t（t ＞0）．。
天津市中考数学能力提升分类专题训练试卷(带答案带解析)分类之二次函数--专题3(共5专题)
天津市中考数学能力提升分类专题训练试卷（带答案带解析）分类之二次函数--专题3（共5专题）源自天津历年真题整理21．如图中实线所示，函数y=|a（x﹣1）2﹣1|的图象经过原点，小明同学研究得出下面结论：①a=1；②若函数y随x的增大而减小，则x的取值范围一定是x＜0；③若方程|a（x﹣1）2﹣1|=k有两个实数解，则k的取值范围是k＞1；④若M（m1，n），N（m2，n），P（m3，n），Q（m4，n）（n＞0）是上述函数图象的四个不同点，且m1＜m2＜m3＜m4，则有m2+m3﹣m1=m4．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【分析】①根据函数图像经过原点|a(x﹣1)2﹣1|=0，可得a=1；②由函数的图像可知：顶点坐标（1，1），与x轴的交点坐标（0，0），（2，0），当x<0或1<x<2时，函数y随x的增大而减小；③若方程|a(x﹣1)2﹣1|=k有两个实数解，k>1或k=0；④由函数的图像可知，直线y=n(0<n<1)与函数y=|a(x﹣1)2﹣1|的图像有四个交点，由m1＜m2＜m3＜m4可知m1+m4=m2+m3，移项可得m4=m2+m3−m1.【详解】解：（1）∵函数y=|a(x﹣1)2﹣1|图像经过原点，∴|a(0﹣1)2﹣1|=0，解得：a=1，故①正确；（2）由函数图像可知顶点坐标（1，1），与x轴的交点坐标（0，0），（2，0），∵函数y随x的增大而减小，∴x<0或1<x<2，故②错误；（3）∵方程|a(x﹣1)2﹣1|=k有两个实数解，∴k>1或k=0，故③错误；（4）∵M（m1，n），N（m2，n），P（m3，n），Q（m4，n）（n＞0）是上述函数图象的四个不同点，∴直线y=n自变量取值范围为(0<n<1)∴m1与m4，m2与m3关于x=1对称，∴m1+m4=m2+m3，即m4=m2+m3−m1，故④正确;故答案为C.【点睛】本题考查函数图像与性质.关键利用数形结合的思想，将函数解析式与图像结合分析，利用一次函数与二次函数的相关知识解题.二、解答题22．已知抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)和点B，与直线y=−x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式及点M的坐标．(2)点P为直线BC上方抛物线上一点，设d为点P到直线CB的距离，当d有最大值时，求点P的坐标．(3)若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′C,A′F，当△FA′C是直角三角形时，直接写出点F的坐标．23．已知抛物线y=ax2+bx+5（a，b为常数，a≠0）与x轴交于点A(−5,0)，B(−1,0)顶点为D，且过点C(−4,m)．(1)求抛物线解析式和点C，D的坐标；(2)点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②连接BD ，当∠PCB =∠CBD 时，求点P 的坐标． 【答案】(1)y =x 2+6x +5，D (−3,−4)，C (−4,−3)(2)①278，②点P 的坐标为P (−32,−74)或(0,5)．【分析】（1）把点A (−5,0)，点B (−1,0)代入y =ax 2+bx +5，求出抛物线解析式，进一步可求出D (−3,−4)，C (−4,−3)；（2）①由题意可知点P 坐标为(t,t 2+6t +5)，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交直线BC 于点E ，求出直线BC 的解析式为y =x +1．利用点P 的坐标可知−4<t <−1，故点E 的坐标为(t,t +1)．进一步可求出S △PBC =−32(t +52)2+278，所以当t =−52时，△PBC 的面积的最大值为278；②分情况讨论：当点P 在直线BC 的上方，求出直线BD 的解析式为y =2x +2，和直线PC 的解析式为y =2x +5．即可求出点P 的坐标为(0,5)；当点P 在直线BC 的下方时，设直线PC 与BD 交于点M ，设M (m,2m +2)，求出m =−2．求出直线CM 的解析式为y =12x −1，进一步可求出P (−32,−74)．【详解】（1）解：把点A (−5,0)，点B (−1,0)代入y =ax 2+bx +5，可得：{a −b +5=025a −5b +5=0，解得{a =1b =6 ∴抛物线解析式为y =x 2+6x +5，y =x 2+6x +5=(x +3)2−4，∴顶点D (−3,−4)．把C (−4,m )代入在y =x 2+6x +5，得m =−3，∴点C (−4,−3)．（2）解：由题意可知点P 坐标为(t,t 2+6t +5)，①如图，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交直线BC 于点E ，设直线DB 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0)，将B (−1,0)，点D (−3,−4)代入，得{−k 1+b 1=0−3k 1+b 1=−4 ，解得{k 1=2b 1=2． ∴直线BD 的解析式为y =2x +2．∵PC ∥BD ，∴设直线PC 的解析式为y =2x +n ．∵C (−4,−3)，∴−3=−8+n ．∴n =5．∴直线PC 的解析式为y =2x +5．∴x 2+6x +5=2x +5．解得x 1=0，x 2=−4（舍）．当x =0时，y =2x +5=5．∴点P 的坐标为(0,5)．如图②，当点P 在直线BC 的下方时，设直线PC 与BD 交于点M ，∵∠PCB=∠CBD，∴MB=MC．设M(m,2m+2)，∵MC=√(m+4)2+(2m+2+3)2，MB=√(m+1)2+(2m+2−0)2，∴(m+4)2+(2m+5)2=(m+1)2+(2m+2)2解得m=−2．∴点M的坐标为(−2,−2)．由点C(−4,−3)和点M(−2,−2)可得直线CM的解析式为y=12x−1，由x2+6x+5=12x−1，解得x1=−32，x2=−4（舍）．所以点P(−32,−74)．综上，点P的坐标为P(−32,−74)或(0,5)．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，会求两直线的交点坐标，掌握二次函数的图象及性质．24．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1，0)，B(−3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值．若没有，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为：y =−x 2−2x +3(2)存在，点Q 的坐标为(−1，2)(3)存在，S △PBC 最大值为278【分析】（1）根据题意可知，将点A 、B 的坐标代入函数解析式，列出方程组即可求得b 、c 的值，求得函数解析式；（2）根据题意可知，边AC 的长是定值，要想△QAC 的周长最小，即是AQ +CQ 最小，所以此题的关键是确定点Q 的位置，找到点A 的对称点B ，求得直线BC 的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；（3）设P(x ，−x 2−2x +3)(−3<x <0)，过点P 作PE ⊥x 轴交于点E ，连接BP 、CP 、BC ，根据S △PBC =S 四边形BPCO −S △BOC =S 四边形BPCO −12×3×3=S 四边形BPCO −92，将S △PBC 表示成二次函数，再根据二次函数的性质，即可求得S △PBC 的最大值．（1）解：将A(1，0)，B(−3，0)代入y =−x 2+bx +c 中，可得：{−1+b +c =0−9−3b +c =0， 解得：{b =−2c =3，∴抛物线的解析式为：y =−x 2−2x +3；（2）解：存在，理由如下：如图，∵A 、B 两点关于抛物线的对称轴x =−1对称，∴直线BC 与x =−1的交点即为Q 点，此时△AQC 周长最小，连接AC 、AQ ， ∵点C 是抛物线与y 轴的交点，∴C 的坐标为(0，3)，又∵B(−3，0)，∴直线BC 解析式为：y =x +3，∴Q 点坐标即为{x =−1y =x +3， 解得：{x =−1y =2， ∴Q(−1，2)；（3）解：存在，理由如下：如图，设P(x ，−x 2−2x +3)(−3<x <0)，过点P 作PE ⊥x 轴交于点E ，连接BP 、CP 、BC ， ∵S △PBC =S 四边形BPCO −S △BOC =S 四边形BPCO −12×3×3=S 四边形BPCO −92， 若S 四边形BPCO 有最大值，则S △PBC 就最大，∴S 四边形BPCO =S △BPE +S 直角梯形PEOC ，∵S △BPE =12BE ⋅PE =12(x +3)(−x 2−2x +3)，两点，与y轴交于点N，其顶点为D(2)若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；(3)点H(n,t)为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为H1，当点H1落在第二象限内，且H1A2取得最小值时，求n的值【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；D（1，4）(2)S △APC 最大=278；P （12，154） (3)2+√142【分析】（1）将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式可求得b ，c 的值，从而得到抛物线的解析式， 在配成顶点式即可；（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx+b ．将点A 和点C 的坐标代入可求得k 、b 的值，从而得到直线AC 的解析式；设点P 的坐标，进而表示出PQ ，进而得出S △APC =-32(m -12)2+278，即可得出结论；（3）用n 表示出H 1的坐标，从而表示出H 1A 2，利用二次函数的性质可求得其最大值时n 的值．【详解】（1）∵将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式得：{−1−b+c=0−4+2b+c=3，解得：b ＝2，c ＝3．∴抛物线的解析式为y ＝-x 2+2x+3 ． ∴y ＝-x 2+2x+3=-(x -1)2+4 ∴抛物线的顶点坐标为，（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx+b ．∵将点A 和点C 的坐标代入得{−k+b=02k+b=3，解得k ＝1，b ＝1．∴直线AC 的解析式为y ＝x+1．如图，设点P （m ，-m 2+2m+3） ， ∴Q （m ，m+1），∴PQ＝（-m2+2m+3）-（m+1）＝-m2+m+2＝-(m-12)2+94，∴S△APC=12PQ×|x C-x A|S△APC=12[-（m-12)2+94]×3=-32(m-12)2+278，∴当m=12时，S△APC最大=278，y＝-m2+2m+3=154，∴P（12，154）；（3）∵H1落在第二象限内，H关于y轴的对称点为H1∴点H(n,t)在第一象限，即n＞0，t＞0．y＝-x2+2x+3=-(x-1)2+4∵抛物线的顶点坐标为（1，4），∴0＜t≤4，∵H(n,t)在抛物线上，∴t＝-n2+2n+3，∴n2-2n＝3-t，∵A（-1，0），H1(-n,t)，∴H1A2＝（-n+1）2+（t）2＝n2-2n+1+t2＝t2-t+4＝(t-12)2+154；∴当t=12时，H1A2有最小值，即H1A2有最小值，∴12=-n2+2n+3，解得n=2-√142或n=2+√142，∵n＞0，∴n=2-√142不合题意，舍去，∴n的值为2+√142．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查的了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、轴对称路径最短、关于原点对称的点的坐标，难度较大，综合性较强．26．如图，已知抛物线y=a(x-3)(x+6)过点A(-1,5)和点B(-5,m)，与x轴的正半轴交于点C．(1)求a，m的值和点C的坐标；(2)若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当P A=PB时，求点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．27．已知抛物线y=ax2+bx+4(a,b为常数，a≠0)经过点A(−4,0)，B(1,0)，与y轴交于点C．点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP，与y轴相交于点D．(1)求该抛物线的解析式；(2)连接BC，当∠ODB=2∠BCO时，求直线PB的解析式；(3)连接AC，与PB相交于点Q，当PQQB取得最大值时，求点P的坐标．【答案】(1)y=−x2−3x+4(2)y=−158x+158(3)点P的坐标为 (−2,6) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案；（2）由∠ODB =2∠BCO 以及三角形外角的性质可得∠CBD =∠BCO ，则BD =CD ，设OD =a ，则CD =4−a ，BD =4−a ，运用勾股定理可求得a =158，得出D(0,158)，再利用待定系数法即可求出答案；（3）过点P 作PE ⊥x 轴于E ，与AC 交于点N ，过点B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ，利用待定系数法求出直线AC 表达式，再利用BM//PN ，可得ΔPNQ ∽ΔBMQ ，进而得出PQQB =PNBM =PN 5，设P(t ，−t 2−3t +4)(−4<t <0)，则N(t,t +4)，从而得到PQQB=−t 2−3t+4−(t+4)5=−(t+2)2+45，利用二次函数的性质即可求得答案．(1)根据题意，{a ⋅（−4）2+b ⋅（−4）+4=0，a +b +4=0， 解得{a =−1，b =−3． ∴ 抛物线的解析式为y =−x 2−3x +4． (2)如图．当x =0时，y =4，得C （0，4 ），有OC =4．∵∠ODB =2∠BCO ，∠ODB =∠BCO +∠DBC ， ∴ ∠BCD =∠CBD ． ∴ DC =DB ．设OD =m ，则CD =4−m ， ∴ BD =4−m ．在Rt △OBD 中，由勾股定理得BD 2=OD 2+OB 2， ∴ （4−m ）2=m 2+12． 解得m =158． ∴ D （0，158 ）．设直线PB 的解析式为y =kx +e （k ≠0）． ∴ {e =158，k +e =0， 解得{k =−158，e =158． ∴ 直线PB 的解析式为y =−158x +158．(3)如图，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，与AC 交于点N ，过点B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ，设直线AC 表达式为y =mx +n ， ∵A(−4,0)，C(0,4)， ∴{−4m +n =0n =4，解得：{m =1n =4，∴直线AC 表达式为y =x +4， ∴M 点的坐标为(1,5)， ∴BM =5， ∵BM//PN ， ∴ΔPNQ ∽ΔBMQ ，28．已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a>0）的顶点为P，与x轴相交于点A(−1,0)和点B．(1)若b=−2,c=−3，①求点P的坐标；②直线x=m（m是常数，1<m<3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；(2)若3b=2c，直线x=2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．【答案】(1)①(1,−4)；②点M的坐标为(2,−3)，点G的坐标为(2,−2)；(2)点E(57,0)和点F(0,−2021)；【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为(m,m2−2m−3)，则点G的坐标为(m,2m−6)，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；（2）根据3b=2c，解析式经过A点，可得到解析式：y=ax2−2ax−3a，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点P′，作点N关于x轴的对称点N′，再把P′和N′的坐标表示出来，由题意可知，当PF+FE+EN取得最小值，此时PF+FE+EN=P′N′= 5，将字母代入可得：P′N′2=P′H2+HN′2=9+49a2=25，求出a的值，即可得到E、F 的坐标；（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(−1,0)，∴a−b+c=0．又b=−2,c=−3，得a=1．∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3．∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴点P的坐标为(1,−4)．②当y=0时，由x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3．∴点B的坐标为(3，0)．设经过B，P两点的直线的解析式为y=kx+n，有{3k+n=0,k+n=−4.解得{k=2,n=−6.∴直线BP的解析式为y=2x−6．∵直线x=m（m是常数，1<m<3）与抛物线y=x2−2x−3相交于点M，与BP相交于点G，如图所示：∴点M的坐标为(m,m2−2m−3)，点G的坐标为(m,2m−6)．∴MG=(2m−6)−(m2−2m−3)=−m2+4m−3=−(m−2)2+1．∴当m=2时，MG有最大值1．此时，点M的坐标为(2,−3)，点G的坐标为(2,−2)．（2）由（1）知a−b+c=0，又3b=2c，∴b=−2a,c=−3a．(a>0)∴抛物线的解析式为y=ax2−2ax−3a．∵y=ax2−2ax−3a=a(x−1)2−4a，∴顶点P的坐标为(1,−4a)．∵直线x=2与抛物线y=ax2−2ax−3a相交于点N，∴点N的坐标为(2,−3a)．作点P关于y轴的对称点P′，作点N关于x轴的对称点N′，如图所示：得点P′的坐标为(−1,−4a)，点N′的坐标为(2,3a)．当满足条件的点E，F落在直线P′N′上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN=P′N′=5．延长P′P与直线x=2相交于点H，则P′H⊥N′H．在Rt△P′HN′中，P′H=3,HN′=3a−(−4a)=7a．∴P′N′2=P′H2+HN′2=9+49a2=25．解得a1=47,a2=−47（舍）．∴点P′的坐标为(−1,−167)，点N′的坐标为(2,127)．则直线P′N′的解析式为y=43x−2021．∴点E(57,0)和点F(0,−2021)．【点睛】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键．29．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y 轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x=1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD=m,△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最大值时，求点P的坐标．(3)在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．30．将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(2,0)，点B在第一象限，∠OAB=90°，∠B=30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．(1)如图①，当OP=1时，求点P的坐标；(2)如图②，折叠该纸片，使折痕PH所在的直线经过点P，并与x轴垂直，点O的对应点为O′，设OH=t．△PHO′与△OAB重叠部分的面积为S．①若折叠后△PHO′与△OAB重叠部分的面积为四边形时，PO′与AB相交于点C，试用含有t 的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当23≤t≤53时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．。
2018年中考数学真题汇编二次函数(含答案)
中考数学真题汇编:二次函数一、选择题1.给出以下函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y 随自变量x增大而增大“的是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B3.关于二次函数，以下说法正确的选项是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右边C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3【答案】D4.二次函数的图像如下图，以下结论正确是( )A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C5.假设抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，取得的抛物线过点( )A. B. C. D.【答案】B6.假设抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。
已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，取得的抛物线过点（）A. （-3，-6）B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）【答案】B7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时刻t（s）知足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．那么以下说法中正确的选项是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m【答案】D8.如图，假设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），那么①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部份，与轴的交点在点和之间，对称轴是.关于以下说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的选项是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且通过第三象限的点P．假设点P的横坐标为-1，那么一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同窗在研究函数（b，c是常数）时，甲发觉当时，函数有最小值；乙发觉是方程的一个根；丙发觉函数的最小值为3；丁发觉当时，．已知这四位同窗中只有一名发觉的结论是错误的，那么该同窗是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如下图,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）A. （B.C. D. （【答案】B二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）【答案】增大14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。
天津市河西区 第四中学 2018年九年级数学 中考复习 二次函数 解答题 强化练习(含答案)
2018年九年级数学中考复习二次函数解答题强化练习1.已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．2.如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）3.科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？4.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每件文具的利润不低于为25元且不高于29元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．5.已知双曲线与抛物线y=ax2+bx+c交于A(2,3)、B(m,2)、C(-3,n)三点.(1)求双曲线与抛物线的解析式;(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出△ABC的面积,6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0）和B（2,3）．过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C，且tan∠ACO=3．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB、BC，求∠ABC的正切值；（3）若点D在x轴下方的对称轴上，当S△ABC=S△ADC时，求点D的坐标．7.如图，在一面靠墙的空地商用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）已知墙的最大可用长度为8米；①求所围成花圃的最大面积；②若所围花圃的面积不小于20平方米，请直接写出x的取值范围．8.抛物线y=﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于(0,3)点(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线与x轴的交点坐标,与y轴交点坐标；(3)画出这条抛物线；(4)根据图象回答：①当x取什么值时,y＞0,y＜0？②当x取什么值时,y的值随x的增大而减小？9.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x 为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？10.如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式可以用y=﹣x2+bx+c表示，且抛物线经过点B（0.5，2.5），C（2，1.75）．请根据以上信息，解答下列问题；（1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？11.某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？12.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；方案二：售价不变，但发资料做广告。
2018年天津市中考数学试题含答案解析(Word版)
2018年天津市初中毕业生学业考试试卷数学一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 计算的结果等于（）A. 5B.C. 9D.【答案】C【解析】分析：根据有理数的乘方运算进行计算．详解：（-3）2=9，故选C．点睛：本题考查了有理数的乘方，比较简单，注意负号．2. 的值等于（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】分析：根据特殊角的三角函数值直接求解即可．详解：cos30°=．故选：B．点睛：本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．3. 今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学计数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：将77800用科学记数法表示为：．故选B．点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．详解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：A．点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．5. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．详解：这个几何体的主视图为：故选：A．点睛：本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．6. 估计的值在（）A. 5和6之间B. 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间【答案】D【解析】分析：利用“夹逼法”表示出的大致范围，然后确定答案．详解：∵64＜＜81，∴8＜＜9，故选：D．点睛：本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题7. 计算的结果为（）A. 1B. 3C.D.【答案】C【解析】分析：根据同分母的分式的运算法则进行计算即可求出答案．详解：原式=.故选：C．点睛：本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．8. 方程组的解是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据加减消元法，可得方程组的解．详解：，①-②得x=6，把x=6代入①，得y=4，原方程组的解为．故选A.点睛：本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法是解题关键．9. 若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据A、B、C三点横坐标的特点判断出三点所在的象限，由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答．详解：∵反比例函数y＝中，k=12>0，∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，∵y1＜y2＜0＜y3，∴．故选：B．点睛：本题比较简单，考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性．10. 如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由折叠的性质知，BC=BE．易得.详解：由折叠的性质知，BC=BE．∴.．故选：D．点睛：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11. 如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：点E关于BD的对称点E′在线段CD上，得E′为CD中点，连接AE′，它与BD的交点即为点P，PA+PE的最小值就是线段AE′的长度；通过证明直角三角形ADE′≌直角三角形ABF即可得解．详解：过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．∴PA+PE的最小值AE′；∵E为AD的中点，∴E′为CD的中点，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°,∴DE′=BF，∴ΔABF≌ΔAD E′，∴AE′=AF.故选D.点睛：本题考查了轴对称--最短路线问题、正方形的性质．此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边”．因此只要作出点A（或点E）关于直线BD的对称点A′（或E′），再连接EA′（或AE′）即可．12. 已知抛物线（，，为常数，）经过点，，其对称轴在轴右侧，有下列结论：①抛物线经过点；②方程有两个不相等的实数根；③.其中，正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分析：根据抛物线的对称性可以判断①错误，根据条件得抛物线开口向下，可判断②正确；根据抛物线与x轴的交点及对称轴的位置，可判断③正确，故可得解.详解：抛物线（，，为常数，）经过点，其对称轴在轴右侧，故抛物线不能经过点，因此①错误；抛物线（，，为常数，）经过点，，其对称轴在轴右侧，可知抛物线开口向下，与直线y=2有两个交点，因此方程有两个不相等的实数根，故②正确；∵对称轴在轴右侧，∴>0∵a<0∴b>0∵经过点，∴a-b+c=0∵经过点，∴c=3∴a-b=-3∴b=a+3，a=b-3∴-3<a<0，0<b<3∴-3<a+b<3.故③正确.故选C.点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，不等式的性质等知识，难度适中．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 计算的结果等于__________．【答案】【解析】分析：依据单项式乘单项式的运算法则进行计算即可．详解：原式=2x4+3=2x7．故答案为：2x7．点睛：本题主要考查的是单项式乘单项式，掌握相关运算法则是解题的关键．14. 计算的结果等于__________．【答案】3【解析】分析：先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．详解：原式=（）2-（）2=6-3=3，故答案为：3．点睛：本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．15. 不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是__________．【答案】【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．详解：∵袋子中共有11个小球，其中红球有6个，∴摸出一个球是红球的概率是，故答案为：．点睛：此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．16. 将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为__________．【答案】【解析】分析：直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．详解：将直线y=x先向上平移2个单位，所得直线的解析式为y=x+2．故答案为y=x+2．点睛：本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．17. 如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．【答案】【解析】分析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长.详解：连接DE，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，DE=AC∵ΔABC是等边三角形，且BC=4∴∠DEB=60°,DE=2∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2∴∠FEC=30°，EF=∴∠DEG=180°-60°-30°=90°∵G是EF的中点，∴EG=.在RtΔDEG中，DG=故答案为：.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上.（1）的大小为__________（度）；（2）在如图所示的网格中，是边上任意一点.为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度．．．的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________．【答案】(1). ；(2). 见解析【解析】分析：（1）利用勾股定理即可解决问题；（2）如图，取格点，，连接交于点；取格点，，连接交延长线于点；取格点，连接交延长线于点，则点即为所求.详解：（1）∵每个小正方形的边长为1，∴AC=，BC=，AB=,∵∴∴ΔABC是直角三角形，且∠C=90°故答案为90；（2）如图，即为所求.点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题.三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.）19. 解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答.（Ⅰ）解不等式（1），得．（Ⅱ）解不等式（2），得．（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．【答案】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（Ⅳ）. 【解析】分析：分别求出每一个不等式的解集，根据不等式在数轴上的表示，由公共部分即可确定不等式组的解集．详解：（Ⅰ）解不等式（1），得x≥-2；（Ⅱ）解不等式（2），得x≤1；（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为：-2≤x≤1.点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．20. 某养鸡场有2500只鸡准备对外出售.从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：），绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图①中的值为；（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为的约有多少只？【答案】（Ⅰ）28. （Ⅱ）平均数是1.52. 众数为1.8. 中位数为1.5. （Ⅲ）280只.【解析】分析：（Ⅰ）用整体1减去所有已知的百分比即可求出m的值；（Ⅱ）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；（Ⅲ）用总数乘以样本中2.0kg的鸡所占的比例即可得解.解：（Ⅰ）m%=1-22%-10%-8%-32%=28%.故m=28；（Ⅱ）观察条形统计图，∵，∴这组数据的平均数是1.52.∵在这组数据中，1.8出现了16次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为1.8.∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.5，有，∴这组数据的中位数为1.5.（Ⅲ）∵在所抽取的样本中，质量为的数量占.∴由样本数据，估计这2500只鸡中，质量为的数量约占.有.∴这2500只鸡中，质量为的约有200只。
天津2018-2019中考数学试题分类解析专项6：函数的图像与性质
天津2018-2019中考数学试题分类解析专项6：函数的图像与性质专题6：函数的图象与性质 选择题1.〔天津市2002年3分〕a b c ，，均为正数，且===a b c k b c c a a b+++，那么以下4个点中，在反比例函数=ky x图象上的点的坐标是【】 〔A 〕11 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，〔B 〕()1 2，〔C 〕11 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，〔D 〕()1 1-，2.〔天津市2003年3分〕，如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，那么一次函数y ax bc=+的图象不经过【】〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限〔C 〕第三象限〔D 〕第四象限 【答案】B 。
【考点】一次函数图象与系数的关系，二次函数图象与系数的关系。
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与x 轴交点横坐标的符号判断出a b c ，，的正负情况，再由一次函数的性质解答： 由二次函数图象开口向上可知a ＞0；对称轴02b<a-，得b ＞0； 与x 轴交点横坐标的符号为一正一负，即0c<a，得0c <。
∴一次函数y ax bc =+的a ＞0，0bc <。
∴一次函数y ax bc =+的图象经过第【一】【三】四象限，不经过第二象限。
应选B 。
3.〔天津市2004年3分〕二次函数2=y ax bx c ++，且a ＜0，a b c -+＞0，那么一定有【】〔A 〕24b ac -＞0(B)24b ac -=0(C)24b ac -＜0(D)24b ac -c ≤0 【答案】A 。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】∵a ＜0，∴抛物线的开口向下、。
∵a b c -+＞0，∴当x =－1时，y =a b c -+＞0，画草图得：抛物线与x 轴有两个交点，∴24b ac -＞0。
应选A 。
4.〔天津市2007年3分〕二次函数2y ax bx c(a 0)=++≠的图象如下图，有以下5个结论：①abc 0>；②b a c <+；③4a 2b c 0++>；④2c 3b <；⑤a b m(am b)+>+，〔m 1≠的实数〕其中正确的结论有【】A.2个B.3个C.4个D.5个 【答案】C 。
天津市中考数学专题练习二次函数50题
二次函数50题、选择题：一221.若二次函数y=(m＋1)x-mx＋m-2m-3的图象经过原点，则m的值必为( ) A.-1或3 B.-1 C.3 D.-3或1为二次函数的图象上的三点，若则2.的大小关系是（）A. B. C. D.交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y3.如图，抛物线y=﹣x轴于点C，抛物线的顶2+2x+m+1点为D，下列三个判断中，①当x＞0时，y＞0；②若a=﹣1，则b=4；③抛物线上有两点P（x，y）和Q（x，y），2211若x＜1＜x，且x+x＞2，则y＞y；正确的是（）222111A．① B．② C．③ D．①②③都不对4.已知一条抛物线经过E（0,10）,F（2,2）,G（4,2）,H（3,1）四点,选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A.E，FB.E，GC.E，HD.F，G已知二次函数y=ax-1的图象开口向下，则直线y=ax-1经过的象限是( )25.A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限6.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获2得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )A.5月B.6月C.7月D.8月，它与x7.已知抛物线轴的两个交点间的距离为（y=x﹣x4 ．．2 DBA．0 ．1 C2））在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ +bx+c（a≠0≠8.一次函数y=ax+b（a0）与二次2）函数y=ax． D． CA． B．的函数值是8，那么对应的x的值是9.二次函数y=x( )2+2x-7A.5B.3C.3或-5D.-3或53个单位,再向左平移2y=3x抛物线个单位,得到的抛物线解析式为（） 10.2222﹣2向下平移D.y=3(x-2) C.y=3(x+2) A.y=3(x+2)+3 B.y=3(x-2)+3 ﹣3 3m+4m﹣4取m时,对应的函数值小于0,设自变量分别取11.已知二次函数y=x+2x﹣3,2时对应的，当自变量x ），y，则下列判断正确的是（函数值为y210 y＞＞0，0，y＜0 D.y0，y＜0 B.y＜0，y＞0 C.y＞ A.y＜222211112( )所得到抛物线是1个单位,y=(x+1)向下平移2个单位,再向右平移12.把抛物线2222-2 D.y=x-2 C.y=x+2 A.y=(x+2)+2 B.y=(x+2)现有一生产季节性产品的企业，其一年中获.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产13.2）24，则该企业一年中应停产的月份是（﹣n +14n﹣得的利润y和月份n之间函数关系式为y= 月3月、43月 B.2月、 A.1月、2月、月月、12月D.1月、11 C.1月、2月、122的大yy与x<x<1,则):若点A(x,y),B(x,y在此函数图象上,且14.二次函数y=-x+bx+c的图象如图所示21211122( )小关系是A.y≤yB.y<yC.y≥yD.y>y 22212 111二次函数y=x﹣4x+5的最小值是( )215.A.﹣1B.1C.3D.5﹣3的图象如图所示,点A（x，y），B16.在平面直角坐标系中,二次函数y=x（x，y）是该二2+2x次函数2112图象上的两点,其中﹣3≤x＜x≤0,则下列结论正确的是（）21A.y＜yB.y＞yC.y的最小值是﹣3D.y的最小值是﹣42 2 11二次函数y=ax＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表：217.x －1 0 1 3331y5ac＜0；②当时的值的增大而减小；是方ax＋(b-1)x+c=0的一个根；④2＋(b-1)x2下列结论：①＋c＞0.x＜3时，ax其中正确的个数为( ) 当-1＜A．4个 B．3个 C．2个 D．1个18.如图,直线y=0.5x+2与y轴交于点A,与直线y=﹣0.5x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与2原点O重合，抛物线y=(x﹣h)+k的顶点在直线y=-0.5x上移动.若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点,则h的取值范围是（）≤h≤1﹣1.5 D.≤h≤1﹣1 C.≤h≤2﹣ B.0.5 ≤h≤2﹣ A.0.5( )下列函数是二次函数的是19.2D.y=0.5x-2 C.y=x +2 A.y=2x+1 B.y=-2x+1,个单位再向下平移2个单位,20.抛物线y=3x向右平移12222+2 ﹣2 2）所得到抛物线是（C.y=3(x+1)1)A.y=3(x﹣1)+2 ﹣2 B.y=3(x+1)D.y=3(x﹣二、填空题：则这条抛物线的对称轴是上的两点, 已知点(2,5),(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c21.y的图像与x轴的交点坐标是 ,22.二次函数y=x-3x+22轴的交点坐标与为，有下列说法：对于二次函数23. 1；随的增大而减小，则m①如果当x≤1≥时，则x轴的两交点的距离是4；②如果它的图象与 1；-4，则m=－③如果将它的图象向左平移3个单位后的函数的最小值是 3．时的函数值相等，则当x=2014时的函数值为－④如果当x=1时的函数值与x=2013 ．其中正确的说法是点交于C两点,与y轴+4x-k的图形与x轴交于A、By=-x平24.如图,坐标面上,二次函数？2,积比为1:4,则k值为何△其顶点为D,且k>0.若ABC与△ABD的面AABACABCC= = 4中，∠，则=90°，cos= 5，Rt25.如图，在△．B AC的顶点在象限．）抛物线y=2（x﹣326.2+327.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为元．4x对称轴上的一点,连接OA,以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO点28.如图,A是抛2﹣物线y=x′,当O′恰好落在抛物线上时,点A的坐标为．29.如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°，按以下步骤作图：；N、M于点BC、AB的长为半径画弧，分别交AB为圆心，小于B①以点．②分别以点M、N为圆心，大于0.5MN的长为半径画弧，两弧相交于点G；③连结BG交AC边于点E，交⊙O于点D，连接CD.则△ABE与△CDE的面积之比为．30.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面2． cm 积之和的最小值是如图，二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)与一次函数y＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，231.B(8，212)，则使y＞y成立的x的取值范围是__ _．21﹣6与x轴交于点A,B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作32.如图,抛物线y=﹣2xC，将C 2+8x向右平移11得C，C与x轴交于点B，D，若直线y=x+m与C，C共有3个不同的交点，则m的取值范围是．2212（a≠0）相交于A（0.5，2.5）和B如图，直线33.y=x+2与抛物线y=ax（4，m），点P是2+bx+6线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．当△PAC为直角三角形时, 点P的坐标是____________________．（a＞0，b＞0）的图象交于点P,已知函数34.如图,y=axy=与点P的纵坐标为1.则关于x的2+bx方程2+bx+=0的解为．ax4的最小值为）﹣（二次函数35.y=2x3 ．2﹣如图，二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点236.C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；≠0的方程ax）有一个根为+bx+c=0（a④关于x其中正确的结论个数有2-1. -a（填序号）已知二次函数y=﹣x+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x+2x+m=0的解2237.为．38.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.=k（k≠0,1）,则称y，yx39.若抛物线y=a=a+bx+c与yx互为“相关抛物线”+bx+c.给2221211211 22满足出如下结论：①y与y的开口方向，开口大小不一定相同；21②y与y的对称轴相同；212③若y 的最值为m，则y的最值为km；12④若y与x轴的两交点间距离为d，则y与x轴的两交点间距离也为d．12其中正确的结论的序号是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．如图，是二次函数y=ax+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A 240.（3，0），则2由图象可知，不等式ax+bx+c＜0的解集是．、解答题：三2+bx+c的图象经过点（0，2）和（1，﹣已知二次函数41.y=x1），求图象的顶点坐标和对称轴．一元二次方程x+2x-3=0的二根x,x(x< x)是抛物线y=ax+bx+c与x轴的两个交点B,C的横2242.坐标，且2211此抛物线过点A(3,6)．（1）求此二次函数的解析式．（2）用配方法求此抛物线的顶点为P对称轴（3）当x取什么值时，y随x增大而减小？43.某水渠的横截面呈抛物线形,水面的宽为AB（单位：米）,现以AB所在直线为x轴,以抛物线的对称轴为2-4. y=ax,设抛物线解析式为设坐标原点为O.已知AB=8米,y轴建立如图所示的平面直角坐标系（1）求a的值；（2）点C（-1，m）是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD,BC,BD，求△BCD 的面积.44.某公司销售A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：信息1：销售A种产品所获利润y：（万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示：信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x．2根据以上信息，解答下列问题；（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，求销售A、B两种产品获得的利润之和最大是多少万元．2x+1． 45.已知抛物线y=x（1）求它的对称轴和顶点坐标；2﹣（2）根据图象，确定当x＞2时，y的取值范围．46. 某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x 为整数），每个月的销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?图象（抛物线）与x轴交于A（1,0）,且当x=0和x47.如图，二次函数y=﹣x=﹣2时所对2+bx+c应函数值相等．（1）求此二次函数的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一交点为点B，与y轴交于点C，在这条抛物线的对称轴上是否存在点D，使得△DAC的周长最小？如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由．的面积．MBC的坐标及△M的面积最大，求此时点MBC在第二象限，且在抛物线上，如果△M）设点3（．48.如图,已知二次函数的图象经过点A（6,0）、B（﹣2,0）和点C（0,﹣8）．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为；（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC 按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；③设S是②中函数S的最大值，直接写出S的值．00如图，直线y=0.5x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax+bx﹣2经过A，B，C，249.点B坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC上一个动点，DE⊥AC，交直线AC下方的抛物线于点E，EG⊥x轴于点G，交AC于点F，请求出DF长的最大值；（3）设抛物线对称轴与x轴相交于点H，点P是射线CH上的一个动点，当△ABP是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．50.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为（m，m）,点B的坐标为（n，-n）,抛物线经过A、O、B三点,连2结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x-2x-3=0的两根.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连结OD、BD.①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标.参考答案．1.C2.D3.C4.C5.D6.C7.C8.C9.C10.C11.D12.D13.C14.B15.B16.D17.B18.A19.C20.A21.答案为：(0,6) ； (2,0),(3,0)22.答案为：（1,0），（2,0）、（0,2），23.答案为：①②④．24.答案为：0.8．25.答案为：0.826.答案为：第一．27.答案为：2528.答案为：（2，﹣1）或（2，2）．29.答案为0.5．30.答案为:12.5;31.答案为：x＜－2或x＞8解：令y=﹣2x+8x﹣6=0，即x﹣4x+3=0，解得x=1或3，2232.则点A（1，0），B（3，0），（3≤x≤x﹣4）5）， 2由于将C向右平移2个长度单位得C，则C解析式为y=﹣（21222当y=x+m 2+2与C相切时，令y=x+m=y=﹣2（x﹣4）+2，即2x﹣15x+30+m=0，1211﹣，当y=x+m过点B时，即0=3+m，m=﹣=﹣8m15=0，解得m=﹣3，△22121＜﹣m3当﹣3＜m＜＜﹣C共有3个不同的交点，故答案是：﹣．时直线y=x+m与C、2133.答案为：（3，5）或（3.5，5.5）33.答案为：x=﹣3．34.答案为：﹣4．35.答案为：①③④；36.答案为：x=4，x=﹣2 2137.答案为:0.538.答案为：①②④．39.答案为：-1＜x＜3．y=x得+bx+c，所以所求二140.解：把点（0，2）和（，﹣1）代入2﹣4x+2；2，解这个方程组得次函数的解析式是y=x2，所以顶点坐标是（2，﹣2），对称轴是直线）y=x因为（﹣4x+2=x﹣2x=2．22﹣∴它的顶点坐标为（-1，-2y=0.5(x+1)）对称轴为直线x=-1.2 -2当y=0时，即0.5(x+3)(x-1)=0解得x=-3，x=1.21．∴x＜-3时…当x取什么值时， y随x增大而减小.41.解：（1）∵ ,由抛物线的对称性可知,∴（4,0）.∴ 0＝16a-4.∴ a.（2）如图所示，过点C作于点E，过点D作于点F.∵ a=,∴ -4.当-1时，m=×-4=-,∴ C（-1,-）.∵点C关于原点O的对称点为点D，∴ D（1,）.∴ .∴△BCD的面积为15平方米.解：（1）根据题意，设销售A种产品所获利润y与销售产品x之间的函数关系式为y=ax+bx，242.将（1，1.4）、（3，3.6）代入解析式，得：a+b=1.4,9a+3b=3.6，解得：a=-0.1,b=1.5，；之间的函数关系式为y=﹣0.1x∴销售A种产品所获利润y与销售产品x（2）设购进A 2+1.5x产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，则W=﹣（10﹣m）=﹣0.1m+1.2m+3=﹣0.1（m﹣6）+6.6，2220.1m+1.5m+0.3∵﹣0.1＜0，∴当m=6时，W取得最大值，最大值为6.6万元，答：购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．x=1，顶点坐标为（1，1）0）；44.【解答】解：（1）y=x ﹣2x+1=（x﹣（2）22，对称轴为直线抛物线图象如下图所示：由图象可知当x＞2时，y的取值范围是y＞1．（0≤x≤5，且x180－10x）=－10x为整数）； 3045.解答：解：（1）y=（－20+x）2+80x+1800（x=时，y=1960）当元；∴每件商品的售价为34元．（2最大答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；3））1920=－10x+80x+1800 ， x－8x+12=0，即（x－2）（x－6）=0，22（解得x=2或x=6，∵0≤x≤5，∴x=2，∴售价为32元时，利润为1920元．46.【解答】解：（1）∵当x=0和x=﹣2时所对应的函数值相等，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），y=﹣（x+3）（x﹣1），即y=﹣x﹣2x+3；2∴抛物线解析式为（2存在．连结BC交直线x=﹣1于点D，则DB=DA，∴DC+DA=DC+DB=BC，2x+3=3，则C（0，3）最小，△ADC的周长最小，当x=0时，y=﹣x， DA+DC∴此时2﹣，解得，，3 ）代入得，（﹣3，0）C（0y=kx+m设直线BC的解析式为，把B∴直线BC的解析式为y=x+3，当x=﹣1时，y=x+3=2，∴D点坐标为（﹣1，2）；3）作MN∥y轴交BC于N，如图，设M（t，﹣t﹣2t+3）（﹣3＜x＜0），则N（t，t+3），2（）t﹣ t=﹣，﹣（t+）﹣﹣t??=+S=S3SMN=（﹣﹣2t+3t3=NMCMNBBCM△△△．），点坐标为222+（﹣M，此时的面积的最大值为MBC时，△﹣t=∴当．a= 8）∴6）∵图象过点（0，﹣47.解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+2）（x﹣2﹣x﹣y=x8；∴二次函数的解析式为﹣2）﹣∴点M的坐标为（y=x﹣x﹣﹣8=（x4x+4﹣4）﹣28=（x（2）∵∵点C的坐标222，﹣）为（0，﹣8），∴点C关于x轴对称的点C′的坐标为（0，8）的坐标为（，0K）；得﹣x+8=0解得： x=的解析式为：∴直线C′My=∴点﹣x+8令y=0（3）①不存在PQ∥OC，若PQ∥OC，则点P，Q分别在线段OA，CA上，此时，1＜t＜2，∴ 3tAQ=18﹣8t∴∵AP=6﹣OC∵PQ∥，∴△APQ∽△AOC t=＞2不满足1＜t＜∴2t=∵；∴不存在PQ∥OC；；OQ=×3t：0≤t≤×1S=OP?②分情况讨论如下，情况1﹣28t=12t=EQ=×3t+×QE：1＜t≤2作⊥OA，垂足为E，OPS=?2情况×?QP(24-11t)=-OF=+；垂足为＜情况3：2t作＜OF⊥AC,F,则OF= ×S=2，函数的最大值是12；时，S=12t ③当0≤t≤1，函数的最大值是；时，S= ﹣+t当1＜≤2，函数的最大值为?，＜当2t＜+的值为；∴S．S=QPOF=﹣049.，.150.解（）解方程，得∴A（-1，-1），B（3，∵-3，∴），..∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为∴抛物线的解析式为，解得..∴的解析式为）①设直线AB.（2的解析式为AB.，∴ . 解得∴直线，0∴C点坐标为（）.的解析式为. ），∴直线OBB），（3，-3OB∵直线过点O（0，0，，或OP=PCOC=PC. 设∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或,）（，（舍去）. ∴时（i）当OC=OP P,.解得.的中垂线上，∴时，点.,OP=PCP在线段OC）当（ii (，解得时，由OC=PC）当iii（.( P∴. （舍去），(P(∴ P点坐标为P1.（,,）或或②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H.，D(（).，），设Q ===，.，（D，此时取得最大值为S时，，∴当3＜＜0∵．。
天津市中考数学能力提升分类练习试卷(带答案带解析)之二次函数--2
天津市中考数学能力提升分类练习试卷（带答案带解析）之二次函数--261．已知：抛物线l1：y=−x2+2x+3交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E(6,0)，交y轴于点D(0,−3)．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线l1的对称轴上一动点，连接P A，PC，当∠APC=90°时，求点P的坐标；（3）如图2，M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M 自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．所以点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值为21．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式，会求抛物线与坐标轴的交点坐标；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式和勾股定理．62．如图1，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣8与x 轴交于A （2，0），B （4，0），D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，若H 为射线DA 与y 轴的交点，N 为射线AB 上一点，设N 点的横坐标为t ，△DHN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，若N 与B 重合，G 为线段DH 上一点，过G 作y 轴的平行线交抛物线于F ，连接AF ，若NG =NQ ，NG ⊥NQ ，且∠AGN ＝∠F AG ，求F 点的坐标． 【答案】（1）y ＝−x 2＋6x −8；（2）S ＝32x −3；（3）F （1，-3）【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）如图1中，连接OD ，根据S ＝S △OND ＋S △ONH −S △OHD 计算即可．（3）如图2中，延长FG 交OB 于M ，只要证明△MAF ≌△MGB ，得FM ＝BM ．设M （m ，0），列出方程即可解决问题．【详解】解：（1）抛物线y ＝ax 2+bx ﹣8与x 轴交于A （2，0），B （4，0）， 代入得{4a +2b −8=016a +4b −8=0 ，解得{a =−1b =6，∴抛物线解析式为y ＝−x 2＋6x −8； （2）如图1中，连接OD ． ∵y ＝−x 2＋6x −8=−（x -3）2＋1∴顶点D 坐标（3，1）， ∵A （2，0）设直线AD 的解析式为y =kx +b （k ≠0） 把A （2，0），（3，1）代入得{0=2k +b 1=3k +b解得{k =1b =−2∴直线AD 的解析式为y =x -2， 令x =0，解得y =-2 ∴H （0，−2）．∵设N 点的横坐标为t ，∴△DHN 的面积S ＝S △OND ＋S △ONH −S △OHD ＝12×t ×1＋12×t ×2−12×2×3＝32t −3．∴S ＝32x −3；（3）如图2中，延长FG 交OB 于M ．∵H （0，−2），A （2，0） ∴OH ＝OA =2，∴∠OAH ＝∠OHA ＝45°， ∵FM //OH ，∴∠MGA ＝∠OHA ＝∠MAG ＝45°， ∴MG ＝MA ， ∵∠F AG ＝∠NGA ， ∴∠MAF ＝∠MGN ， 在△MAF 和△MGN 中， ∵{∠AMF =∠GMB AM =MG ∠MAF =∠MGB ， ∴△MAF ≌△MGB ， ∴FM ＝BM ．设M （m ，0）， ∴−（−m 2＋6m −8）＝4−m ， 解得m ＝1或4（舍弃）， ∴M （1，0） ∴BM =4-1=3 ∴FM ＝3， ∴F （1，-3）．【点睛】本题考查二次函数综合题、全等三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积．学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．63．如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的图像经过点A(−1,0)，B(0,−3)，其对称轴为直线x =1（1）求这个抛物线的解析式（2）抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D 判断△CBD 的形状并说明理由 （3）直线BN//x 轴，交抛物线于另一点N ，点P 是直线BN 下方的抛物线上的一个动点（点P 不与点B 和点N 重合），点P 做x 轴的垂线，交直线BC 于点Q ，当四边形BPNQ 的面积最大时，求出点P 的坐标【答案】（1）y =x 2−2x −3；（2）△CBD 是直角三角形，见解析；（3）P (32,−154) 【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出点C 、D 的坐标，利用勾股定理求出BC 、BD 、CD 的长即可判断； （3）先求出直线BC 的解析式，N 的坐标，得到四边形BPNQ 的面积=12BN ⋅PQ ，故当PQ最大时，四边形BPNQ 的面积最大，设P （x ，0），则P （x,x 2−2x −3），Q （x,x −3），得到四边形BPNQ 的面积的函数解析式，利用函数性质解答． 【详解】解：（1）由题意得{a −b +c =0c =−3−b2a=1， 解得{a =1b =−2c =−3，∴这个抛物线的解析式为y =x 2−2x −3；（2）令y =x 2−2x −3中y =0，得x 2−2x −3=0， 解得x =-1或x =3， ∴C （3,0），∵y =x 2−2x −3=(x −1)2−4 ∴顶点D 的坐标为（1，-4），∵CB 2=32+32=18,BD 2=12+12=2,CD 2=22+42=20, ∴CB 2+BD 2=CD 2, ∴△CBD 是直角三角形；（3）∵B (0,-3)，C (3,0)， ∴直线BC 的解析式为y =x −3，∵直线BN//x 轴，交抛物线于另一点N ，B （0,3），对称轴为直线x =1， ∴N （2,-3）， ∵PQ ⊥x 轴，64．已知抛物线y=ax2+bx+6（a为常数，a≠0）交x轴于点A(6,0)，点B(−1,0)，交y轴于点C．（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；（2）P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P作y轴平行线，交直线AC于点D，当PD取得最大值时，求点P的坐标；（3）M是抛物线的对称轴l上一点，N为抛物线上一点；当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．∴{a −b +6=036a +6b +6=0 ， ∴{a =−1b =5，∴抛物线的解析式为y ＝−x 2＋5x ＋6， 当x ＝0时，y ＝6， ∴点C （0，6）； （2）如图（1），∵A （6，0），C （0，6）， ∴直线AC 的解析式为y ＝−x ＋6，设D （t ，−t ＋6）（0＜t ＜6），则P （t ，−t 2＋5t ＋6）， ∴PD ＝−t 2＋5t ＋6−（−t ＋6）＝−t 2＋6t ＝−（t −3）2＋9， 当t ＝3时，PD 最大，此时，−t 2＋5t ＋6＝12， ∴P （3，12）；（3）如图（2），设直线AC 与抛物线的对称轴l 的交点为F ，连接NF ，PD ＝PE ，（3）中NF ∥x 轴是解本题的关键．65．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =−x 2+bx +c 的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为(3,0)，B 点坐标为(−1,0)，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 上以每秒√2个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使△MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）b =2，c =3；（2）t =2，最小值为4；（3）（3+√174，23+√178）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，利用S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ 表示出四边形BCPQ 的面积，求出t 的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；（3）画出图形，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F ，证明△PFM ≌△QEP ，得到MF =PE =t ，PF =QE =4-2t ，得到点M 的坐标，再代入二次函数表达式，求出t 值，即可算出M 的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A （3，0），B （-1，0）， 则{0=−9+3b +c 0=−1−b +c ，解得：{b =2c =3；（2）由（1）得：抛物线表达式为y =-x 2+2x +3，C （0，3），A （3，0）， ∴△OAC 是等腰直角三角形，由点P 的运动可知： AP =√2t ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，∴AE =PE =√2t √2=t ，即E （3-t ，0），又Q （-1+t ，0），∴S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ=12×4×3−12×[3−(−1+t )]t =12t 2−2t +6∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC =√32+32=3√2，AB =4，∴0≤t ≤3，∴当t =−−22×12=2时，四边形BCPQ 的面积最小，即为12×22−2×2+6=4；（3）∵点M 是线段AC 上方的抛物线上的点，如图，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F ，∵△PMQ 是等腰直角三角形，PM =PQ ，∠MPQ =90°，∴∠MPF +∠QPE =90°，又∠MPF +∠PMF =90°，∴∠PMF =∠QPE ，在△PFM 和△QEP 中，{∠F =∠QEP∠PMF =∠QPE PM =PQ，∴△PFM ≌△QEP （AAS ），∴MF =PE =t ，PF =QE =4-2t ，∴EF =4-2t +t =4-t ，又OE =3-t ，∴点M 的坐标为（3-2t ，4-t ），∵点M 在抛物线y =-x 2+2x +3上，66．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，B(4,0)，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接P A，PD，求△PAD面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)沿射线AD平移4√2个单位，得到新的抛物线y 1，点E 为点P 的对应点，点F 为y 1的对称轴上任意一点，在y 1上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 【答案】（1）y =x 2-3x -4；（2）8；（3）G(52,−54)或G(152,−254)或G(72,−254)，过程见解析【分析】（1）将A (−1,0)，B (4,0)的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；（2）先得出抛物线的对称轴，作PE ∥y 轴交直线AD 于E ，设P （m ，m 2-3m -4），用m 表示出△APD 的面积即可求出最大面积；（3）通过平移距离为4√2，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E 的坐标，分DE 为对角线、EG 为对角线、EF 为对角线三种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）将A （-1，0），B （4，0）代入y =ax 2+bx -4得{a −b −4=016a +4b −4=0，解得：{a =1b =−3 ， ∴该抛物线的解析式为y =x 2-3x -4，（2）把x =0代入y =x 2-3x -4中得：y =-4，∴C （0，-4），抛物线y =x 2-3x -4的对称轴l 为x=32∵点D 与点C 关于直线l 对称，∴D （3，-4），∵A （-1，0），设直线AD 的解析式为y =kx +b ；∴{3k+b =-4-k +b =0 ，解得：{k =−1b =−1， ∴直线AD 的函数关系式为：y =-x -1，设P （m ，m 2-3m -4），作PE ∥y 轴交直线AD 于E ，∴E （m ，-m -1），∴PE =-m -1-（m 2-3m -4）=-m 2+2m +3，∴S ΔAPD =12×PE ×|x D −x A |=2(−m 2+2m +3)=−2m 2+4m +6，∴S ΔAPD =−2m 2+4m +6=−2(m −1)2+8，∴当m =1时，△PAD 的面积最大，最大值为：8（3）∵直线AD 的函数关系式为：y =-x -1，∴直线AD 与x 轴正方向夹角为45°，∴抛物线沿射线AD 方向平移平移4√2个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，∵A (−1,0)，B (4,0)，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），设平移后的抛物线的解析式为y 1=x 2+dx+e则{9+3d+e =-464+8d+e =-4 ，解得：{d =−11e =20， ∴平移后y 1=x 2-11x +20，∴抛物线y 1的对称轴为：x =112，∵P （1，-6），∴E （5，-10），∵以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：设G （n ，n 2-11n +20），F （112，y ）， ①当DE 为对角线时，平行四边形的对角线互相平分∴3+52=n+1122，∴n=52 ∴G(52,−54)②当EF 为对角线时，平行四边形的对角线互相平分67．如图，已知二次函数y=−x2+bx+c(c>0)的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．（1）求该二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为点Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点P，使△PMC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．68．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A,B,C三点，顶点为D，已知点B的坐标是(1,0),OA=OC=3OB．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若E是线段AD上的一个动点（E与A,D不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F，求线段EF长度的最大值；（3）将（1）中的函数图象平移后，表达式变为y=ax2+2mx+1，若这个函数在−2≤x≤1时的最大值为3，求m的值．【答案】（1）y=−x2−2x+3；（2）EF最大值为1；（3）m=1.5或−√2【分析】（1）先表示出C(0,c)，再利用OA=OC=3OB可得A(c,0),B(−13c,0)，于是可利用交点式表示解析式，得到y=−(x+13c)(x−c)=−x2+23c+13c2，所以13c2=c，解得c=3，所以抛物线解析式为y=−x2+2x+3；（2）把二次函数写成顶点式，得到D点坐标，设出直线AD的解析式，将A、D两点坐标代入，可得直线解析式，分别利用各自的解析式写出交点E的坐标表达式，利用两点间公式可得到二次函数，求出最值即可；（3）分三种情况求出m的值．【详解】（1）当x=0时，y=−x2+bx+c=c，则C(0,c)，∵OA=OC=3OB，∴A(c,0),B (−13c,0)，∴y =−(x +13c)(x −c)=−x 2+23c +13c 2，∴13c 2=c ，解得c =0（舍去）或c =3，∴代入二次函数y =ax 2+bx +c 解析式中，y =−x 2−2x +3；（2）∵抛物线y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴顶点D 的坐标为(−1,4)．设直线AD 的解析式为y =kx +b ，∵A(−3,0),D(−1,4)，∴{−3k +b =0−k +b =4， 解得：{k =2b =0， ∴直线AD 的解析式为y =2x +6．设点E 的横坐标为m ，∴E(m,2m +6),F (m,−m 2−2m +3)，∴EF =−m 2−2m +3−(2m +6)=−m 2−4m −3=−(m +2)2+1，∴当m =−2时，EF 最大值为1．（3）∵y =ax 2+2mx +1的图象由y =−x 2−2x +3平移得到，∴表达式可设为y =−x 2+2mx +1，对称轴是直线x =m ；①若m <−2，则x =−2时函数值最大，把x =−2，y =3代入y =−x 2+2mx +1， 解得m =−1.5，不合题意，舍去；②若−2≤m ≤1，则x =m 时函数值最大，把x =−m,y =3代入y =−x 2+2mx +1，解得m =±√2，∴m=−√2；③若m>1，则x=−1时函数值最大，把x=−1,y=3代入y=−x2+2mx+1，解得m=1.5综上所述，m=1.5或−√2．【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质（对称性、增减性）等知识点，较难的是题（3），利用二次函数的性质正确分三种情况讨论是解题关键．x2+bx+c过点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为点D．69．抛物线y=−12（Ⅰ）求点C,D的坐标；（Ⅱ）点E是线段OB上一动点，过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M，连接BM并延长交y 轴于点N，连接AM,OM．若△AEM的面积是△MON面积的2倍，求点E的坐标；（Ⅲ）抛物线上一点T，点T的横坐标是−3，连接BT，与y轴交于点P，点Q是线段AT上一动点（不与点A，点T重合）将△BPQ沿PQ所在直线翻折，得到△FPQ，当△FPQ与△TPQ重叠部分的面积是△TBQ面积的1时，求线段TQ的长度．4∴y=−12×(−3)2−3+32=−6．∴点T的坐标为(−3,−6)．设直线BT的解析式为y=k2x+b2，有{3k2+b2=0−3k2+b2=−6，解得{k2=1b2=−3∴直线BT的解析式为y=x−3．∵当x=0时，y=−3．∴点P的坐标为(0,−3)．过点T作TG⊥y轴于点G，则TG=3,PG=3，∴TP=√TG2+PG2=√32+32=3√2．又BP=√OB2+OP2=√32+32=3√2，∴BP=TP，∴点P是线段BT的中点．∴S△BPQ=S△TPQ．由折叠知，△BPQ≌△FPQ，则S△BPQ=S△FPQ．∴S△FPQ=S△TPQ．①如图，当点F在直线BT下方时，设线段FQ与线段PT交于点M，△FPQ与△TPQ重叠部分是△MPQ，连接FT．∵S△MPQ=14S△BTQ，∴S△MPQ=12S△TPQ=12S△FPQ．∴MP=MT,MQ=MF．∴四边形FPQT是平行四边形．∴TQ=PF．∵PF=BP,BP=3√2，∴TQ=3√2．②如图，当点F 在直线BT 上方时，设线段FP 与线段QT 交于点N,△FPQ 与△TPQ 重叠部分是△NPQ ，连接FT ．同理可得，四边形FTPQ 是平行四边形． ∴QF =TP =BP ． ∵QF =BQ ， ∴BQ =BP =3√2．设直线AT 的解析式为y =k 3x +b 3， 有{−k 3+b 3=0−3k 3+b 3=−6 ，解得{k 3=3b 3=3 ∴直线AT 的解析式为y =3x +3． 设点Q 的坐标为(t,3t +3)(−3<t <−1)， 过点Q 作QE ⊥x 轴于点E ，BQ =√EB 2+EQ 2=√(t −3)2+(3t +3)2=3√2，解得t 1=0,t 2=−65． ∵−3<t <−1,∴t =−65，∴点Q 的坐标为(−65,−35)．70．如图所示，在抛物线上选定两点，我们把过这两点的线段和这条抛物线所围成的图形称作抛物线弓形．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =ax 2(a >0)与直线y =x 相交于点O 和点A ，OA 截得的抛物线弓形的曲线上有一点P ．（Ⅰ）当a=1时，解答下列问题：①求A点的坐标；②连接OP，AP，求△OPA面积的最大值；③当△OPA的面积最大时，直线OP也截得一个更小的抛物线弓形，同理在这个更小的抛物线弓形曲线上也有一点P′，连接OP′，P′P，当△OP′P的面积最大时，求这个△OP′P的最大面积与②中△OPA的最大面积的比值；（Ⅱ）将（Ⅰ）中a=1的条件去掉后，其它条件不变，则△OP′P的最大面积与△OPA的最大面积的比值是否变化？请说明理由．。
天津市中考数学能力提升分类专题训练试卷(带答案带解析)分类之二次函数--专题5(共5专题)
天津市中考数学能力提升分类专题训练试卷（带答案带解析）分类之二次函数--专题5（共5专题）源自天津历年真题整理40．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a>0）经过A(-1，0)和B(3，0)两点，点C(0，-3)，连接BC，点Q为线段BC上的动点．(1)若抛物线经过点C；①求抛物线的解析式和顶点坐标；②连接AC，过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接P A，PB，AQ，△P AQ 与△PBQ面积记为S1，S2，若S=S1+S2，当S最大时，求点P坐标；(2)若抛物线与y轴交点为点H，线段AB上有一个动点G，AG=BQ，连接HG，AQ，当AQ+HG 最小值为3√2时，求抛物线解析式．解得a =1∴抛物线解析式为y =x 2−2x −3 ∵y =x 2−2x −3=(x −1)2−4 ∴顶点坐标为（1，﹣4）②如图①，连接CP ，过点P 作PD ⊥x 轴于E ，交BC 于点D ，过点C 作CF ⊥PD ∵PQ //AC ∴S △P AQ =S △PCQ ∴S =S 1+S 2=S △P AQ +S △PBQ∴S =S △PCQ +S △PBQ =S △CPB =S △CPD +S △BPD · 设直线BC 的解析式为y =kx +b{3k +b =0b =−3解得{k =1b =−3．∴直线BC 的解析式为y=x ﹣3.设P (m ，m 2−2m −3)，则D (m ，m −3)，(0<m <3) ∴PD =m −3−(m 2−2m −3)=−m 2+3mS =S △CPD +S △BPD =12PD ⋅DF +12PD ⋅BE =12PD ⋅(CF +BE)=12PD ⋅3=−32(m 2−3m)∴S =−32(m −32)2+278∵−32<0，0<m <3 ∴m =32时，S 最大 ∴P (32，−154)(2)如图②，把线段AB绕点A逆时针旋转45°，得到线段AE，连接EH交x轴于点G，∴AE=AB=4，∠EAB=45°.∵y＝ax2+bx+c经过A(-1，0)，B(3，0)·∴y=a (x+1) (x﹣3)∴y＝ax2﹣2ax﹣3a令x=0，可得y=﹣3a∴H (0，﹣3a) .∵∠BOC=90°，OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°∴∠EAB= ∠OBC=45°.又∵AG=BQ∴ΔAEG≌ΔBAQ.∴EG=AQ∴AQ+HG=EG+HG≥HE.当点E，G，H共线时，AQ+HG值最小即HE=3√2过点E作EN⊥y轴，ET⊥x轴，在RtΔATE中，∠EAT=45°41．将一个直角三角形纸片ABC 放置在平面直角坐标系中，∠ACB =90°，点A (4， 0)，点C (0， 2)，点O (0，0)，点B 在x 轴负半轴，点E 在线段AO 上以每秒2个单位长度的速度从A 向点O 运动，过点E 作直线EF ⊥x 轴，交线段AC 于点F ，设运动时间为t 秒．将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在x 轴上点D 处，得到△DEF ．(1)如图①，连接DC，当∠CDF=90°时，求点D的坐标．(2)①如图②，若折叠后△DEF与△ABC重叠部分为四边形，DF与边BC相交于点M，求点M的坐标（用含t的代数式表示），并直接写出t的取值范围；≤t≤2时，求S的取值范围（直接写当出结果②△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，当12即可）．∵∠AOC=90°，∴tan∠CAO=OCOA =12，∵△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处，∴△DEF≌△AEF，∴∠FDE=∠F AE，∵∠CDF=90°，∴∠FDE+∠CDO=90°，∵∠COD=90°，∴∠OCD+∠CDO=90°，∴∠FDE=∠OCD，∴∠FDE=∠OCD=∠F AE，∴tan∠OCD=tan∠F AE=12，在Rt△OCD中，tan∠OCD=ODOC =12，∴OD=12OC=1，∴D(1，0)．（2）①过点M作MN⊥x轴，如图所示：∵∠MNB=90°，∴∠MBN+∠BMN=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∴∠BMN=∠CAB，在RtΔBMN中，tan∠BMN=tan∠CAB=MNDN =12，∴MN =2BN ，在Rt ΔDMN 中，tan ∠MDN =tan ∠CAB =MN DN=12，∴DN =2MN =4BN ， ∴BD =DN ﹣BN =3BN ， ∵∠ACB =∠AOC =90°，∴∠BCO +∠ACO =∠ACO +∠CAB =90°， ∴∠BCO =∠CAB ， 在Rt ΔBOC 中，tan ∠BCO =OB OC=12，∴OB =12OC =1，∴AB =5，∴△DEF ≌ΔAEF ， ∴AE =DE =2t ， ∴BD =AD ﹣AB =4t ﹣5， ∴4t ﹣5=3BN ， ∴BN =4t−53，MN =2BN =8t−103，∴M (4t−83，8t−103)，要使重叠部分为四边形，则2AE ＞AB ， 即4t ＞5， 解得t ＞54，∵点E 在线段AO 上， ∴AE ≤AO ， 即2t ≤4， 解得：t ≤2，∴t 的取值范围是54＜t ≤2；②当12≤t ≤54时，重叠部分为三角形，此时重叠部分的面积为：S =S ΔAEF =12AE ×EF =12×2t ×t =t 2，42．已知抛物线L:y=ax2−4x+c(a≠0)经过点A(0,−5)，B(5,0)．(1)求抛物线L的解析式；(2)连接AB，交抛物线L的对称轴于点M．①求点M的坐标；②将抛物线L向左平移m(m>0)个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．且点N在点M的下方，点P是抛物线L1上一点，横坐标为−1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN=10，求m的值．【答案】(1)y=x2−4x−5(2)①点M的坐标是(2,−3)；②1.【分析】（1）由A、B坐标待定系数法求函数解析式即可；（2）求得点A、B所在直线的解析式，由对称轴横坐标代入直线解析式求得纵坐标即可；（3）根据坐标平移规律设抛物线L1的表达式是y=(x−2+m)2−9，PE交抛物线L1于另一点Q，由坐标特征求得点N、P的坐标表达式，由二次函数的对称性求得Q点坐标表达式，再由平移性质求得E点坐标表达式；根据PE+MN=10列方程求得m的值即可；(1)解：把点A(0,−5)，B(5,0)的坐标分别代入y=ax2−4x+c，得{c=−525a−20+c=0，解得{a=1c=−5，∴抛物线解析式为y=x2−4x−5；(2)解：①设AB所在直线的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，把A(0,−5)，B(5,0)的坐标分别代入表达式得：{b=−55k+b=0，解得{k=1b=−5，∴AB所在直线的函数表达式为y=x−5；由（1）得，抛物线L：y=x2−4x−5=(x−2)2−9的对称轴是直线x=2，当x=2时，y=x−5=−3，∴点M的坐标是(2,−3)．②设抛物线L1的表达式是y=(x−2+m)2−9，如图1，虚线表示L，实线表示L1，∵MN∥y轴，∴点N的坐标是(2,m2−9)，∵点P的横坐标为−1，∴点P的坐标是(−1,m2−6m)，设PE交抛物线L1于另一点Q，∵抛物线L1的对称轴是直线x=2−m，PE∥x轴，∴根据抛物线的轴对称性，点Q的坐标是(5−2m,m2−6m)，当抛物线L1过点M（2，-3）时，m=±√6，∵m＞0，∴m=√6，∴当点N在点M下方时，平移距离m<√6，PQ=5−2m−(−1)=6−2m，MN=−3−(m2−9)=6−m2，由平移性质得QE=m，∴PE=6−2m+m=6−m，∵PE+MN=10，∴6−m+6−m2=10，解得m1=−2（舍去），m2=1，∴m的值是1．【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的对称轴，二次函数的平移，二次函数的图像特征等知识；根据题意作出二次函数的图像及平移后的图像是解题关键．x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于A（－2，0），B（4，0）两点，43．已知抛物线y=12与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为m，过点P作P M⊥x轴，垂足为M，PM与直线BC交于点D．若点P，D，M三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外）时，请找出符合条件的m值；(3)若抛物线对称轴与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，点Q是对称轴上一个动点，当以E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P，Q的坐标（直接写出结果即可）．当点P 的坐标为(52,−278)时，Q 点的坐标是(1,−158)或者(1,158)【分析】（1）结合A (−2,0)，B (4,0)利用待定系数法即可求解；（2）利用B 、C 两点的坐标先求出直线BC 的解析式，再用m 表示出点P 坐标，根据PM ⊥x 轴，PM 与直线BC 交于点D ，得到点M 的坐标为(m,0)和点D 的坐标为(m,m −4)再分D 为PM 的中点、当P 为DM 的中点和M 为PD 的中点三种情况讨论，利用中点坐标公式即可列出关于m 的方程，求解出m 的值，问题得解；（3）求出抛物线的对称轴，即可得到E 点坐标和Q 的横坐标，过F 点作FG ⊥AB 于G 点，在结合EF ⊥BC ，OC =OB=4，OE =1，利用等腰直角三角形的性质即可求出F 点坐标，根据条件设P 点坐标为(x P ,12x P 2−x P −4)，Q 点坐标为(1,a)，根据构成的四边形是平行四边形，利用两条对角线的交点也是各自的中点的性质，再结合中点坐标公式即可列出方程组求出P 、Q 的坐标，不过此处需要分EQ 为对角线、EP 为对角线和EF 为对角线三种情况讨论．(1)∵抛物线y =12x 2+bx +c （b ，c 为常数）经过A (−2,0)，B (4,0)， ∴{2−2b +c =0，8+4b +c =0.解得{b =−1，c =−4.∴抛物线的解析式为y =12x 2−x −4； (2)∵抛物线y =12x 2−x −4与y 轴交于C (0,−4)，∴设直线BC 的解析式为y =kx −4，∵直线BC 经过点B (4,0)，∴4k −4=0解得k =1，∴直线BC 的解析式为y =x −4，∵点P 是抛物线上的一个动点，且点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为(m,12m 2−m −4)，∵PM ⊥x 轴，垂足为M ，PM 与直线BC 交于点D ，∴点M 的坐标为(m,0)，点D 的坐标为(m,m −4)，①当D为PM的中点时，2（m−4）=12m2−m−4+0，∴m=2或m=4（舍）②当P为DM的中点时，2(12m2−m−4)=m−4+0，∴m=−1或m=4（舍）③当M为PD的中点时，12m2−m−4+m−4=0，∴m=−4或m=4（舍）即满足条件的m的值为2，－1，－4.(3)过F点作FG⊥AB于G点，如图，将抛物线的解析式配成顶点式，得：y=12(x−1)2−92，则抛物线的对称轴为x=1，∴E点的坐标为(1,0)，即有OE=1，根据（2）中求得的C点坐标，可知OC=4，又∵OB=4=OC，∴在Rt△OBC中，∠OBC=∠OCB=45°，又∵EF⊥BC，GF⊥OB，∴利用等腰直角三角形的性质可得EG=GF=GB，∵BE=OB-OE=4-1=3，∴EG=GF=GB=32，∴可得F点的坐标为(52,−32)，∵P点在抛物线上，Q点在抛物线对称轴x=1，∴设P点坐标为(x P,12x P2−x P−4)，Q点坐标为(1,a)，44．已知函数y={−12x2+12x+m(x<m)x2−mx+n(x≥m)，记该函数图象为G．(1)当m=2时，已知M(4,n)在该函数图象上，求n的值；(2)当0≤x≤2时，求函数G的最大值．(3)当m>0时，作直线x=12m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ=45°时，求m的值．【答案】(1)10(2)21845．已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)交x轴交于A(−1,0)和点B(3,0)，交y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D是直线BC上一点，过点D作DE∥y轴，交抛物线于点E（点E在点D的上方），再过点E作EF∥x轴，交直线BC于点F．当△DEF的面积取最大值时，求点E的坐标；(3)如图2，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线BC垂直平分MN时，求出点N的坐标．【答案】(1)y=−x2+2x+3(2)8132(3)(1−√2,2)或(1+√2,2)【分析】（1）利用交点式设二次函数式，再代入抛物线与y轴的交点坐标，即可解答；（2）利用待定系数法求直线BC的解析式，设D(m,-m+3)，再表示出DE的长，根据题意求出△DEF 为等腰直角三角形，然后把△DEF 的面积用含m 的代数式表示出来，最后利用二次函数性质求其最大值即可；（3）连接ND ，根据对称的性质和△AOB 为等腰直角三角形推出△MDN 是等腰直角三角形，得出ND =MD ，设M (1,p )，然后分当M 在D 点上方时，当M 在D 点下方时两种情况分别表示出N 点坐标，将其代入抛物线解析式建立方程求解，即可解决问题．（1）解：∵抛物线y =ax 2+bx +3(a ≠0)交x 轴交于A(−1,0)和点B(3,0)，设y =a (x +1)(x −3)(a ≠0)，∵当x =0时，y =3，∴3=a (0+1)(0−3)，解得a =-1，∴y =−(x +1)(x −3)，即y =−x 2+2x +3．（2）解：设直线BC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0)，∵B (3,0)，C (0,3)，则{0=3k +b 3=b， 解得{k =−1b =3， ∴y =-x +3，设D (m ,-m +3)，∴E (m ,-m 2+2m +3)，∵DE = yE -yD =-m 2+2m +3-(-m +3)=-m 2+3m ，由（1）得，OB =OC =3，∴△BOC 为等腰直角三角形，∵DE ∥OC ，EF ∥OB ，∴△DEF 为等腰直角三角形，∴S △DEF =12DE·EF =12DE 2=12(−m 2+3m )2 ，∵点E 在点D 的上方，∴0<m <3，∵DE =−m 2+3m =−(m −32)2+94 ，∴当m =32 时，DE 的最大值为94 ， ∴S △DEF 的最大值为12×(94)2=8132 ；（3）解：如图，l 与直线BC 相交与D ,连接ND ，∵BC 是MN 的对称轴，∴ND =MD ，由（2）知△BOC 是等腰直角三角形，∴∠BDH =∠CBO =45°，∴∠CDM =∠BDH =45°，∴△MDN 是等腰直角三角形，∴抛物线的对称轴为x =3−12=1 ，设M (1,p )，D (1,-1+3)，即(1,2)，∵ND =MD =p -2，当M 点在D 点上方时，∴xN =1-(p -2)=-p +3，∴N (-p +3, 2)∵N 点在抛物线上，∴ 2=−(−p +3)2+2(−p +3)+3，解得p =2+√2或2−√2（舍去），∴N 点坐标(1−√2,2) ；当M 点在D 点下方时，同理得出△M′DN′为等腰直角三角形，∴M′D=N′D，设M′的坐标为(1,q)，∴M′D=2−q，∴xN’=(2-q)+1=3-q，∴N’(3-q, 2)，∵N’点在抛物线上，∴2=−(3−q)2+2(3−q)+3，解得q=2+√2（舍去）或2−√2，∴N′(1+√2,2)，综上，N点坐标为(1−√2,2)或(1+√2,2)．【点睛】本题考查了二次函数图象和几何知识的综合，待定系数法求函数解析式，求最大值，轴对称图形等，解决问题的关键是能综合运用所学的数学知识和利用几何知识解决函数问题．46．如图，二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）的图象经过点C(0,3)，与x轴分别交于点A，点B(3,0)．(1)求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；(2)点P是直线BC上方的抛物线上任意一点，点P关于y轴的对称点记作点P′，当四边形POP′C为菱形时，求点P的坐标；(3)点P是抛物线上任意一点，过点P做PD⊥BC，垂足为点D．过点P作PQ∥x轴，与抛物线交于点Q．若PQ=√2PD，求点P的坐标．（2）先画出图形，再利用菱形的性质可得y P =y P ′=32,再列方程求解即可； （3）如图，过P 作PM∥y 轴交BC 于M,证明PM =PQ,设P(x,−x 2+2x +3),再分别表示PM,PQ, 最后建立方程求解即可．（1）解：∵ 二次函数y =ax 2+2x +c （a ≠0）的图象经过点C(0,3)，与x 轴点B(3,0)．∴{c =39a +6+c =0 ，解得：{a =−1c =3所以抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3.（2）解：如图，四边形POP ′C 为菱形，∴CO ⊥PP ′,CK =OK,PK =P ′K,∵C(0,3),∴OK =CK =32,∴y P =y P ′=32, ∴−x 2+2x +3=32, 解得：x =2±√102, ∵ 点P 是直线BC 上方的抛物线上任意一点，∴x ＞0, 即x =2+√102,∴P(2+√102,32). （3）解：如图，过P 作PM∥y 轴交BC 于M, 则∠PMC =∠OCB,∵B(3,0),C(0,3),∴BC 的解析式为y =−x +3,∠OCB =45°,47．已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于A（3，0），C两点，与y轴相交于点B，点M为线段AB上一点．(1)当b=−2时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若点N（－b－2，y N）是抛物线在第三象限内的点，有一点P（－5，0），当AP=AN时，求b的值；(3)在（1）的条件下，AM=2√2，点E是y轴上一点，在抛物线上是否存在点F，使得以A，M，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)（1，-4）(2)4√2−5(3)（2，-3）或（-2，5）或（4，5）【分析】（1）根据点A（3，0），可得9+3b+c=0，再由b=−2，即可求解；（2）过点N作NQ⊥x轴于点Q，先求出点N（－b－2，-b-5），可得AQ=b+5，NQ=b+5，再由AP=AN，结合勾股定理，即可求解；（3）过点M作MD∥x轴于点D，可得到点M（1，-2），然后分三种情况讨论：若以AM为边，点E在点D上方时，得到平行四边形AMFE；若以AM为边，点E在点D下方时，得到平行四边形AMEF；若以AM为对角线时，AM的中点与EF的中点重合，即可求解．(1)解∶∵抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于A（3，0），∴9+3b+c=0，∵b=−2，∴c=-3，∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴顶点坐标为（1，-4）；(2)解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，∵抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于A（3，0），∴9+3b+c=0，∴c=-3b-9，∴抛物线解析式为y=x2+bx−3b−9，∵点N（－b－2，y N）是抛物线在第三象限内的点，∴y N=(−b−2)2+b(−b−2)−3b−9=−b−5，∴点N（－b－2，-b-5），∴AQ=b+5，NQ=b+5，∵点P（－5，0），AP=AN，∴AN=8，∴√(b+5)2+(b+5)2=8，解得：b=4√2−5或b=−4√2−5，∵点N（－b－2，y N）在第三象限，∴−b−2<0，即b>−2，∴b=4√2−5；(3)解：如图，过点M作MD∥x轴于点D，由（1）得抛物线的解析式为y=x2−2x−3，当x=0时，y=0，∴点B（0，3），∴OB=3，∵A（3，0），∴OA=3，∴AB=3√2，∵AM=2√2，∴BM=√2，∵MD∥x轴，∴△BDM∽△BOA，∴BDOB =DMOA=BMAB=√23√2，∴BD=1，DM=1，∴OD=2，∴点M（1，-2），设点E（0，m），若以AM为边，点E在点D上方时，得到平行四边形AMFE，则EF∥AM，∴点F（-2，-2+m），∴−2+m=4+4−3，解得：m=7，∴此时点F的坐标为（-2，5）；若以AM为边，点E在点D下方时，得到平行四边形AMEF，则EF∥AM，∵点A（3，0），点E（0，m），点M（1，-2），∴点F（2，-2-m），∴−2−m=4−4−3，解得：m=1，∴此时点F的坐标为（2，-3）；若以AM为对角线时，AM的中点与EF的中点重合，设点P(x,y)，∴{3+12=x2−2 2=m+y2，解得：{x=4y=−m−2，∴−m−2=16−8−3，解得：m=-7，∴此时点P的坐标为（4，5），综上所述，点P的坐标为（2，-3）或（-2，5）或（4，5）．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．48．已知抛物线y=ax2-2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，-1），顶点为D．(1)当a=1时，求该抛物线的顶点坐标；(2)当a>0时，点E（0，a），若DE=2DC，求a的值；(3)当a<-1时，点F（0，1-a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，-1）是直线l上的动点，且取MN的中点记为P．当a为何值时，FP+DP的最小值为√17，并求此时点M ，N 的坐标． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为（1，-2）(2)a =12(3)当a =−32，FP +DP 的最小值为√17，此时点M 的坐标为(−34,0)，点N 的坐标为(94,−1)【分析】（1）把a =1代入抛物线的解析式为y =x 2-2x +c ．根据抛物线经过点C （0，-1），求出c =-1，然后将抛物线解析式配方y =x 2-2x -1=(x -1)2-2即可；（2）根据题意，得抛物线的解析式为y =ax 2−2ax −1；根据抛物线对称轴的性质，计算得点D 的坐标为(1，−a −1)；过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，根据勾股定理和拓展一元一次方程的性质，得a =12，从而得到答案；（3）当a <-1时，根据点P 为 AN 的中点，可求P (m +32,−12)，作点D （1，-a -1）关于直线y =−12的对称点D ′(1,a)．当满足条件的点P 落在线段FD '上时，FP +DP 最小，根据FD ′2=17，即(1−2a )2+1=17．解方程求出点F 的坐标为(0,52)，点D′的坐标为(1,−32)．利用待定系数法求出直线FD′的解析式为y =−4x +52即可． （1）解：当a =1时，抛物线的解析式为y =x 2-2x +c ．∵抛物线经过点C （0，-1），∴c =-1．∴抛物线的解析式为y =x 2-2x -1．∵y =x 2-2x -1=(x -1)2-2，∴抛物线的顶点坐标为（1，-2）．（2）解：当a >0时，由抛物线y =ax 2-2ax +c 经过点C （0，-1），∴c =-1．∴抛物线的解析式为y =ax 2-2ax -1．可得抛物线的对称轴为x =1．当x =1时，y =-a -1．∴抛物线的顶点D的坐标为（1，-a-1）．过点D作DG⊥y轴于点G．在Rt△DEG中，DG=1，EG=a−(−a−1)=2a+1，∴ED2=DG2+EG2=(2a+1)2+1．在Rt△DCG中，DG=OG-OC=1，CG=−1−(−a−1)=a，∴DC2=DG2+CG2=1+a2．∵DE=2DC，即DE2=4DC2，∴(2a+1)2+1=4(1+a2)．解得a=12．（3）当a<-1时，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，-1）是直线l上的动点，∵点P为M、N的中点，∴点P(m+32,−12)，作点D（1，-a-1）关于直线y=−12的对称点D′(1,a)．当满足条件的点P落在线段FD'上时，FP+DP=FP+PD′最小，此时，FP+DP=FD′=√17．过点D′作D′H⊥y轴于点H．在Rt△FD′H中，D′H=1，FH=−a+1−a=1−2a，∴FD2=FH2+D′H2=(1−2a)2+1．又FD′2=17，即(1−2a)2+1=17．49．已知抛物线y =x 2+bx +c （b ，c 为常数，b <0）与x 轴交于点A (1,0)，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴交于点C ．(1)当b =−2时，求抛物线的顶点坐标；(2)点P 是射线OC 上的一个动点①点D (−b,y 0)是抛物线上的点，当OP =3，AD =AP 时，求b 的值：②若点P在线段OC上，当b的值为−4时，求CP+2AP的最小值．【答案】(1)(1,0)(2)①−√5−1；②3+√3【分析】（1）把点A坐标代入解析式可求出c的值，然后把抛物线的解析化为顶点式即可求出顶点坐标．（2）①根据勾股定理求出AP2，根据点A在抛物线上求出b和c的关系式，然后用b来表示c，根据点D坐标和勾股定理求出AD2，然后根据AP=AD列出方程求解即可求出b的值．②在x轴负半轴上找一点M，使得∠OCM=30°，连接CM，过点P作PN⊥CM于N．根据垂线段最短可确定，当AN⊥CM时，CP+2AP取得最小值，根据抛物线解析式求出点C坐标，进而求出OC的长度，根据直角三角形的边角关系求出OM和CM的长度，最后根据三角形面积公式即可求解．(1)解：当b=-2时，抛物线的解析式为y=x2−2x+c．把A(1,0)代入抛物线解析式得0=12−2×1+c．解得c=1．所以抛物线的解析式为y=x2−2x+1=(x−1)2．所以抛物线的顶点为(1,0)．(2)解：①如下图所示．∵A(1,0)，∴OA=1．∵OP=3，∴AP2=OA2+OP2=10．把A(1,0)代入抛物线解析式得0=12+b×1+c．整理得c=−b−1．∴抛物线解析式为y=x2+bx−b−1．∵点D(−b,y0)是抛物线上的点，∴y0=(−b)2+b×(−b)−b−1=−b−1．∴D(−b,−b−1)．∴AD2=(−b−1)2+(−b−1)2=2(b+1)2．∵AD=AP，∴AD2=AP2．∴10=2(b+1)2．解得b1=√5−1（舍），b2=−√5−1．∴b的值为−√5−1．②如下图所示，在x轴负半轴上找一点M，使得∠OCM=30°，连接CM，过点P作PN⊥CM 于N．∵∠OCM=30°，PN⊥CM，CP．∴NP=12(CP+2AP)．∴NP+AP=12∴当NP+AP取得最小值时，CP+2AP取得最小值．∴当AP与NP共线时，即AN⊥CM时，NP+AP取得最小值为AN，即CP+2AP取得最小值．50．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0)，B(−1,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，点D是第一象限的抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点D作DE⊥AC于点E．①若DE=CE，求D点坐标；②过点D作DH⊥x轴于点H，交AC于点F，连接DC、DA，当△DEF的周长取得最大值时，抛物线上是否存在一点P，使S△PAC=S△ACD，如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．的关系推出CD ∥OA ，求出点C 和D 的纵坐标都等于3，把y ＝3代入抛物线解析式y =−x 2+2x +3即可求出；②DF ⊥x 轴，得出DH ⊥OA ，证明△DEF 为等腰直角三角形，因为△DEF 的周长等于DE +EF +DF =(√2+1)DF ．有A(3,0)，C(0,3)，求出直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，设点D 的坐标为(m,−m 2+2m +3)，F(m,−m +3)，则DF =−m 2+2m +3−(−m +3)，利用配方法研究最值．(1)解：把A(3,0)，B(−1,0)两点代入抛物线y =ax 2+bx +3则{9a +3b +3=0a −b +3=0， 解得{a =−1b =2． ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3；(2)解：①连接CD ，当x ＝0时，y ＝3，即OC ＝3，∵OC ＝OA ＝3，∠AOC ＝90°，∴△AOC 为等腰直角三角形，∠CAO ＝45°．∵DE ⊥AC ，DE ＝CE ，∴△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝45°，∴∠DCE ＝∠OAC ＝45°，即CD ∥OA ．∴点C 和D 的纵坐标都等于3．把y ＝3代入抛物线解析式y =−x 2+2x +3得，−x 2+2x +3=3，解得x 1=0（舍去），x 2=2，∴点D的坐标为（2，3）．②∵DF⊥x轴，∴DH⊥OA，∵∠CAO＝45°，∴∠AFH＝45°，∵DE⊥AC，∠DFE＝∠AFH＝45°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴DE=EF=√22DF则△DEF的周长等于DE+EF+DF=(√2+1)DF．∵A(3,0)，C(0,3)，∴直线AC的解析式为y＝－x＋3．设点D的坐标为(m,−m2+2m+3)，F(m,−m+3)，则DF=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m=−(m−32)2+94．∴当m=32时，DF取得最大值，此时△DEF的周长取得最大值．点D的坐标为(32,154)．∵S△PAC=S△ACD，∴点P和D到直线AC的距离相等．容易得知点P和D重合时符合题意，此时P的坐标为(32,154)．作直线l和k都和直线AC平行，且到直线AC的距离都相等，则直线l的解析式为。
2018年天津市西青区中考数学二模试卷
2018年天津市西青区中考数学二模试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（3.00分）计算（﹣3）﹣（﹣6）的结果等于（）A．3 B．﹣3 C．9 D．182．（3.00分）2cos30°的值等于（）A．1 B．C．D．23．（3.00分）下列图形中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3.00分）我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量．把130 000 000kg用科学记数法可表示为（）A．13×107kg B．0.13×108kg C．1.3×107kg D．1.3×108kg5．（3.00分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C． D．6．（3.00分）比较4，，的大小，正确的是（）A．4＜＜B．4＜＜C．＜4＜D．＜＜4 7．（3.00分）计算﹣的结果为（）A． B． C． D．8．（3.00分）二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．9．（3.00分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的是（）A．∠BCB′=∠ACA′B．∠ACB=2∠BC．∠B′CA=∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′10．（3.00分）a、b是实数，点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y=﹣的图象上，则（）A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．a＜0＜b D．b＜0＜a11．（3.00分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．712．（3.00分）已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（）A．（1，﹣5）B．（3，﹣13）C．（2，﹣8）D．（4，﹣20）二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3.00分）计算（a3）2÷（a2）3的结果等于．14．（3.00分）计算（2﹣）2的结果等于．15．（3.00分）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是．16．（3.00分）将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，点A（﹣1，2）关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为．17．（3.00分）如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．18．（3.00分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点O，A，B，M均在格点上，P为线段OM上的一个动点．（I）OM的长等于；（Ⅱ）当点P在线段OM上运动，且使PA2+PB2取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的．三、解答题：本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）19．（8.00分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．（8.00分）为了解中学生“平均每天体育锻炼时间”的情况，某地区教育部门随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（I）本次接受随机抽样调查的中学生人数为，图①中m的值是；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据统计数据，估计该地区250000名中学生中，每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数．21．（10.00分）已知OA，OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，垂足为O，P是射线OA上的一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交射线OA 于点E．（I）如图①，点P在线段OA上，若∠OBQ=15°，求∠AQE的大小；（Ⅱ）如图②，点P在OA的延长线上，若∠OBQ=65°，求∠AQE的大小．22．（10.00分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求AC和AB的长（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin34°≈0.56；cos34°≈0.83；tan34°≈0.67）23．（10.00分）A，B两地相距20km．甲、乙两人都由A地去B地，甲骑自行车，平均速度为10km/h；乙乘汽车，平均速度为40km/h，且比甲晚1.5h出发．设甲的骑行时间为x（h）（0≤x≤2）（Ⅰ）根据题意，填写下表：（Ⅱ）设甲，乙两人与A地的距离为y1（km）和y2（km），写出y1，y2关于x 的函数解析式；（Ⅲ）设甲，乙两人之间的距离为y，当y=12时，求x的值．24．（10.00分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．25．（10.00分）抛物线y=﹣x2+bx+c（b，c均是常数）经过点O（0，0），A（4，4），与x轴的另一交点为点B，且抛物线对称轴与线段OA交于点P．（I）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（Ⅱ）过点P作x轴的平行线l，若点Q是直线上的动点，连接QB．①若点O关于直线QB的对称点为点C，当点C恰好在直线l上时，求点Q的坐标；②若点O关于直线QB的对称点为点D，当线段AD的长最短时，求点Q的坐标（直接写出答案即可）．2018年天津市西青区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（3.00分）计算（﹣3）﹣（﹣6）的结果等于（）A．3 B．﹣3 C．9 D．18【分析】原式利用减法法则变形，计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣3+6=3，故选：A．【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．2．（3.00分）2cos30°的值等于（）A．1 B．C．D．2【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．【解答】解：2cos30°=2×=．故选：C．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容．3．（3.00分）下列图形中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误，故选：B．【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．4．（3.00分）我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量．把130 000 000kg用科学记数法可表示为（）A．13×107kg B．0.13×108kg C．1.3×107kg D．1.3×108kg【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：130 000 000kg=1.3×108kg．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3.00分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C． D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：由图可得，俯视图为：．故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．6．（3.00分）比较4，，的大小，正确的是（）A．4＜＜B．4＜＜C．＜4＜D．＜＜4【分析】直接分别将与和4比较大小，进而得出答案．【解答】解：∵=4，∴＜，∵＜，∴＞4，∴＜4＜．故选：C．【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确化简各数是解题关键．7．（3.00分）计算﹣的结果为（）A． B． C． D．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式====故选：A．【点评】本题考查分式的运算法则，解题的熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．8．（3.00分）二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】用加减消元法解方程组即可．【解答】解：①﹣②得到y=2，把y=2代入①得到x=4，∴，故选：B．【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法或代入消元法解方程组，属于中考常考题型．9．（3.00分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的是（）A．∠BCB′=∠ACA′B．∠ACB=2∠BC．∠B′CA=∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′【分析】根据旋转的性质得到∠BCB′=∠ACA′，故A正确，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BB'C，根据三角形的外角的性质得到∠A'CB'=2∠B，等量代换得到∠ACB=2∠B，故B正确；等量代换得到∠A′B′C=∠BB′C，于是得到B′C平分∠BB′A′，故D正确．【解答】解：根据旋转的性质得，∠BCB'和∠ACA'都是旋转角，则∠BCB′=∠ACA′，故A正确，∵CB=CB'，∴∠B=∠BB'C，又∵∠A'CB'=∠B+∠BB'C，∴∠A'CB'=2∠B，又∵∠ACB=∠A'CB'，∴∠ACB=2∠B，故B正确；∵∠A′B′C=∠B，∴∠A′B′C=∠BB′C，∴B′C平分∠BB′A′，故D正确；故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．10．（3.00分）a、b是实数，点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y=﹣的图象上，则（）A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．a＜0＜b D．b＜0＜a【分析】根据反比例函数的性质可以判断a、b的大小，从而可以解答本题．【解答】解：∵y=﹣，∴反比例函数y=﹣的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y=﹣的图象上，∴a＜b＜0，故选：A．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质．11．（3.00分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB 于P，连接CP，此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．由DC=1，BC=4，得到BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，于是得到∠CBC′=90°，然后根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵BD=3，DC=1∴BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC′===5．故选：B．【点评】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P何位置时，使PC+PD 的值最小是解题的关键．12．（3.00分）已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（）A．（1，﹣5）B．（3，﹣13）C．（2，﹣8）D．（4，﹣20）【分析】先利用配方法求得点M的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点M′的坐标，然后将点M′的坐标代入抛物线的解析式求解即可．【解答】解：y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4．∴点M（m，﹣m2﹣4）．∴点M′（﹣m，m2+4）．∴m2+2m2﹣4=m2+4．解得m=±2．∵m＞0，∴m=2．∴M（2，﹣8）．故选：C．【点评】本题主要考查的是二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标特点，求得点M′的坐标是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3.00分）计算（a3）2÷（a2）3的结果等于1．【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．【解答】解：原式=a6÷a6=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．14．（3.00分）计算（2﹣）222﹣4．【分析】利用完全平方公式计算．【解答】解：原式=20﹣4+2=22﹣4．故答案为22﹣4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15．（3.00分）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是．【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果数为9，所以“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率==．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．16．（3.00分）将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，点A（﹣1，2）关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为4．【分析】先根据一次函数平移规律得出直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度后的直线解析式，再把点A（﹣1，2）关于y轴的对称点（1，2）代入，即可求出b的值．【解答】解：将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，得直线y=x+b﹣3．∵点A（﹣1，2）关于y轴的对称点是（1，2），∴把点（1，2）代入y=x+b﹣3，得1+b﹣3=2，解得b=4．故答案为4．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，关于y轴对称的点坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练记忆函数平移规律是解题关键．17．（3.00分）如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．【分析】方法1、根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE==，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．方法2、先判断出BF=FG，进而得出△ABF≌△CDG，即可得出DG=BF=FG，最后得出CF=CD即可得出结论．【解答】解：方法1、∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，∴∠BAE=∠ADB，∴△ABE∽△ADB，∵E是BC的中点，∴AD=2BE，∴2BE2=AB2=2，∴BE=1，∴BC=2，∴AE==，BD==，∴BF==，过F作FG⊥BC于G，∴FG∥CD，∴△BFG∽△BDC，∴==，∴FG=，BG=，∴CG=，∴CF==．故答案为：．方法2、如图，过点C作CG⊥BD，∵AE⊥BD，∴∠AFE=∠CGD=90°，EF∥CG，∵点E是BC中点，∴BF=FG，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=，AB∥CD，∴∠ABF=∠CDG，∴△ABF≌△CDG，∴CF=CD=，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．18．（3.00分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点O，A，B，M均在格点上，P为线段OM上的一个动点．（I）OM的长等于4；（Ⅱ）当点P在线段OM上运动，且使PA2+PB2取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的．【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可得到结论；（Ⅱ）取格点F，E，连接EF，得到点N，取格点S，T，连接ST，得到点R，连接NR即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）OM==4；故答案为4．（Ⅱ）以点O为原点建立直角坐标系，则A（1，0），B（4，0），设P（a，a），（0≤a≤4），∵PA2=（a﹣1）2+a2，PB2=（a﹣4）2+a2，∴PA2+PB2=4（a﹣）2+，∵0≤a≤4，∴当a=时，PA2+PB2取得最小值，综上，需作出点P满足线段OP的长=；取格点F，E，连接EF，得到点N，取格点S，T，连接ST，得到点R，连接NR 交OM于P，则点P即为所求．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短距离问题，勾股定理等知识，正确的作出图形是解题的关键．三、解答题：本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）19．（8.00分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x＜3；（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x＜3．【分析】求出每个不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得：x＜3；（Ⅱ）解不等式②，得：x≥﹣2；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：（Ⅳ）原不等式组的解集为：﹣2≤x＜3，故答案为：x＜3、x≥﹣2、﹣2≤x＜3．【点评】本题考查了一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是求出不等式组的解集．20．（8.00分）为了解中学生“平均每天体育锻炼时间”的情况，某地区教育部门随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（I）本次接受随机抽样调查的中学生人数为250，图①中m的值是12；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据统计数据，估计该地区250000名中学生中，每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数．【分析】（I）由1h人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得m的值；（Ⅱ）根据平均数、众数、中位数的定义求解可得；（Ⅲ）总人数乘以样本中每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数所占比例可得．【解答】解：（I）本次接受随机抽样调查的中学生人数为60÷24%=250人，m=100﹣（24+48+8+8）=12，故答案为：250、12；（Ⅱ）平均数为=1.38（h），众数为1.5h，中位数为=1.5h；（Ⅲ）估计每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数约为250000×=160000人．【点评】本题考查中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．21．（10.00分）已知OA，OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，垂足为O，P是射线OA上的一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交射线OA 于点E．（I）如图①，点P在线段OA上，若∠OBQ=15°，求∠AQE的大小；（Ⅱ）如图②，点P在OA的延长线上，若∠OBQ=65°，求∠AQE的大小．【分析】（I）如图①，连接OQ．想办法求出∠OQB，∠AQB，∠OQE的大小即可解决问题；（Ⅱ）如图②中，连接OQ，想办法求出∠OQA即可解决问题；【解答】解：（I）如图①中，连接OQ．∵EQ是切线，∴OQ⊥EQ，∴∠OQE=90°，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠AQB=∠AOB=45°，∵OB=OQ，∴∠OBQ=∠OQB=15°，∴∠AQE=90°﹣15°﹣45°=30°．（Ⅱ）如图②中，连接OQ．∵OB=OQ，∴∠B=∠OQB=65°，∴∠BOQ=50°，∵∠AOB=90°，∴∠AOQ=40°，∵OQ=OA，∴∠OQA=∠OAQ=70°，∵EQ是切线，∴∠OQE=90°，∴∠AQE=90°﹣70°=20°．【点评】本题考查切线的性质．等腰三角形的性质．三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（10.00分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求AC和AB的长（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin34°≈0.56；cos34°≈0.83；tan34°≈0.67）【分析】在Rt△AOC中，求出AC、OA、OC，在Rt△BOC中求出OB，即可解决问题．【解答】解：由题意可得：∠AOC=90°，OC=5km．在Rt△AOC中，∵AC=，∴AC=≈6.0km，∵tan34°=，∴OA=OC•tan34°=5×0.67=3.35km，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，∴OB=OC=5km，∴AB=5﹣3.35=1.65≈1.7km．答：AC的长为6.0km，AB的长为1.7km．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．23．（10.00分）A ，B 两地相距20km ．甲、乙两人都由A 地去B 地，甲骑自行车，平均速度为10km/h ；乙乘汽车，平均速度为40km/h ，且比甲晚1.5h 出发．设甲的骑行时间为x （h ）（0≤x ≤2） （Ⅰ）根据题意，填写下表：（Ⅱ）设甲，乙两人与A地的距离为y 1（km ）和y 2（km ），写出y 1，y 2关于x 的函数解析式；（Ⅲ）设甲，乙两人之间的距离为y ，当y=12时，求x 的值． 【分析】（Ⅰ）根据“路程=速度×时间”可以得出表中数据；（Ⅱ）对于甲乙两者与A 地的距离的解析书把握住乙比甲晚1.5h 出发即可； （Ⅲ）甲，乙两人之间的距离为y 实际上是y 1，y 2的差的绝对值．【解答】解（Ⅰ）由题意知：甲、乙二人平均速度分别是平均速度为10km/h 和40km/h ，且比甲晚1.5h 出发．当时间x=1.8 时，甲离开A 的距离是10×1.8=18（km ） 当甲离开A 的距离20km 时，甲的行驶时间是20÷10=2（时） 此时乙行驶的时间是2﹣1.5=0.5（时）， 所以乙离开A 的距离是40×0.5=20（km ） 故填写下表：（Ⅱ）由题意知：y 1=10x （0≤x ≤1.5），（Ⅲ）根据题意，得当0≤x≤1.5时，由10x=12，得x=1.2当1.5＜x≤2时，由﹣30x+60=12，得x=1.6因此，当y=12时，x的值是1.2或1.6【点评】本题根据题意写函数解析式的题目，需要注意分段函数的表达和应用，需要注意的是必须结合实际情况来解答问题．考查了学生的建模能力和分类思想．24．（10.00分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；（Ⅲ）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A 的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m=，即可求得t的值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（，6）．（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，∵∠OP B′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°，∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ．又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ，∴，由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11﹣t，CQ=6﹣m．∴．∴m=（0＜t＜11）．（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90°，∴∠PC′E+∠EPC′=90°，∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴，∵PC′=PC=11﹣t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6﹣m，∴AC′==，∴，∴，∴3（6﹣m）2=（3﹣m）（11﹣t）2，∵m=，∴3（﹣t2+t）2=（3﹣t2+t﹣6）（11﹣t）2，∴t2（11﹣t）2=（﹣t2+t﹣3）（11﹣t）2，∴t2=﹣t2+t﹣3，∴3t2﹣22t+36=0，解得：t1=，t2=，点P的坐标为（，6）或（，6）．法二：∵∠BPO=∠OPC′=∠POC′，∴OC′=PC′=PC=11﹣t，过点P作PE⊥OA于点E，则PE=BO=6，OE=BP=t，∴EC′=11﹣2t，在Rt△PEC′中，PE2+EC′2=PC′2，即（11﹣t）2=62+（11﹣2t）2，解得：t1=，t2=．点P的坐标为（，6）或（，6）．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．25．（10.00分）抛物线y=﹣x2+bx+c（b，c均是常数）经过点O（0，0），A（4，4），与x轴的另一交点为点B，且抛物线对称轴与线段OA交于点P．（I）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（Ⅱ）过点P作x轴的平行线l，若点Q是直线上的动点，连接QB．①若点O关于直线QB的对称点为点C，当点C恰好在直线l上时，求点Q的坐标；②若点O关于直线QB的对称点为点D，当线段AD的长最短时，求点Q的坐标（直接写出答案即可）．【分析】（I）把O（0，0），A（4，4）的坐标代入y=﹣x2+bx+c，转化为解方程组即可．（Ⅱ）①先求出直线OA的解析式，点B坐标，抛物线的对称轴即可得出AB=7及直线OA解析式，继而得点P坐标，如图1中，点O关于直线BQ的对称点为点C，当点C恰好在直线l上时，首先证明四边形BOQC是菱形，设Q（m，），根据OQ=OB=5，可得方程m2+（）2=52，解方程即可解决问题．②如图2中，由题意点D在以B为圆心5为半径的⊙B上运动，当A、D、B共线时，线段AD最小，设OD与BQ交于点H．先求出D、H两点坐标，再求出直线BH的解析式即可解决问题．【解答】解：（I）把O（0，0），A（4，4）的坐标代入y=﹣x2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+．所以抛物线的顶点坐标为（，）；（Ⅱ）①由题意B（5，0），A（4，4），∴直线OA的解析式为y=x，AB==7，∵抛物线的对称轴x=，∴P（，）．如图1中，点O关于直线BQ的对称点为点C，当点C恰好在直线l上时，∵QC∥OB，∴∠CQB=∠QBO=∠QBC，∴CQ=BC=OB=5，∴四边形BOQC是平行四边形，∵BO=BC，∴四边形BOQC是菱形，设Q（m，），∴OQ=OB=5，∴m2+（）2=52，∴m=±，∴点Q坐标为（﹣，）或（，）；②如图2中，由题意点D在以B为圆心5为半径的⊙B上运动，当A、D、B共线时，线段AD最小，设OD与BQ交于点H．∵AB=7，BD=5，∴AD=2，D（，），∵OH=HD，∴H（，），∴直线BH的解析式为y=﹣x+，当y=时，x=0，∴Q（0，）．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理、圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用方程的思想思考问题，学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标，属于中考压轴题．。
2018年中考数学真题汇编 二次函数试题答案
2018中考数学真题汇编:二次函数试题1-8页+试题答案8-25页一、选择题1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y 随自变量x增大而增大“的是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B.C. D.3.关于二次函数，下列说法正确的是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-34.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )A. B.C. D. 有两个不相等的实数根5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A. B.C. D.6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。
已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A. （-3，-6）B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 49.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）A. B. C. D.11.四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）A. B.C. D.二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。
天津市中考数学能力提升分类专题训练试卷(带答案带解析)分类之二次函数--专题1(共5专题)
天津市中考数学能力提升分类专题训练试卷（带答案带解析）分类之二次函数--专题1（共5专题）源自天津历年真题整理1．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab<0；②2a+b=0；③3a+c>0；④a+b≥m(am+b)（m为实数）；⑤当−1<x<3时，y>0，其中正确的是（）A．①②④B．①②C．②③④D．③④【答案】A【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a＋b＝0；当x＝−1时，y＝a−b＋c；然后由图像确定当x取何值时，y＞0．【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确；＝1，②∵对称轴x＝−b2a∴2a＋b＝0；故正确；③∵2a＋b＝0，∴b＝−2a,∵当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，∴a−（−2a）＋c＝3a＋c＜0，故错误；④根据图示知，当x＝1时，有最大值；当m≠1时，有am2＋bm＋c＜a＋b＋c,所以a＋b≥m（am＋b）（m为实数）．故正确．⑤如图，当−1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误．故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．2．已知抛物线y=ax2−2x+1(a≠0)的顶点为P，有下列结论：①当a<0时，抛物线与直线y=2x+2没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若点P在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．其中，正确结论的个数是（）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】①构建方程组，转化为一元二次方程，利用判别式的值判断即可；②首先证明a＞1，再证明x=1时，y＜0，可得结论；③首先证明a＞0，然后根据抛物线对称轴在直线x=0和直线x=2之间，结合抛物线顶点在点（0，2）下方且在x轴上或在x轴上方求解即可．【详解】解：由{y=2x+2y=ax2−2x+1，消去y得到，ax2-4x-1=0，∵Δ=16+4a，a＜0，∴Δ的值可能大于0，∴抛物线与直线y=2x+2可能有交点，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ=4-4a＞0，∴a＜1，∵抛物线经过（0，1），且x =1时，y =a -1＜0，∴抛物线与x 轴一定有一个交点在（0，0）与（1，0）之间．故②正确；当a <0时，抛物线对称轴为直线x =−−22a =1a <0，∴此时抛物线顶点P 在y 轴左侧，不可能在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），∴a >0，∵抛物线解析式为y =ax 2−2x +1=a (x −1a )2+1−1a ，∴{0≤1−1a ≤21a ≤2 ， 解得，a ≥1，故③正确，综上，正确的有②③共2个．故选：C ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建不等式或不等式组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．3．如图，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点 A （3，0），与y 轴的交点B 在（0，3）与（0，4）之间（不包括这两点），对称轴为直线x =1．下列结论： ①abc <0；②43a +3b +c >0；③−43<a <−1；④若x 1，x 2（x 1<x 2）是方程ax 2+bx +c =m （m <0）的两个根，则有x 1<−1<3<x 2．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴的位置，判定abc 的符号，根据9a +3b +c =0，−b 2a =1，用含a 的代数式表示b ，c ，代入化简43a +3b +c 并判断正负性；根据a 、c 之间的关系和{c ＜4c ＞3 转化a 的不等式组，并解之；利用数形结合思想判断．【详解】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵−b2a =1＞0，∴b ＞0，∴ab ＜0，∵c ＞0，∴abc <0，故结论①正确；∵二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点 A （3，0），对称轴为直线x =1， ∴9a +3b +c =0，−b 2a =1，∴3a +c =0，43a −9a =−233a >0故结论②正确；∵3a +c =0，且{c ＜4c ＞3， ∴{−3a ＜4−3a ＞3， 解得−43<a <−1，故结论③正确；∵二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点 A .（3，0），对称轴为直线x =1， ∴3+x 02=1，解得x 0=−1，故抛物线与x 轴另一个交点为(-1，0)∴方程ax 2+bx +c =m （m <0）的两个根是抛物线y =ax 2+bx +c 与y =m 的交点的横坐标，画图如下，数形结合思想判断，得x 1<−1<3<x 2．故结论④正确．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线的性质，抛物线与各项系数的关系，不等式组的解集，抛物线与x 轴的交点，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．4．已知二次函数y ＝（m ﹣2）x 2+2mx +m ﹣3（m 是常数）的图象与x 轴有两个交点（x 1，0），（x 2，0），x 1≠x 2，则下列说法：①该二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣5）；②若该函数图象开口向下，则m 的取值范围为：65<m <2；③若m =3，当t ≤x ≤0时，y 的最大值为0，最小值为﹣9，则t 的取值范围为−6≤t ≤−3．其中，正确的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】D【分析】①y =（m -2）x 2+2mx +m -3=m （x +1）2-2x 2-3，当x =-1时，y =-5，可判断①， ②若该函数图象开口向下可得m -2＜0，根据Δ＞0，可得m ＞65，即可判断②； ③当m =3时，函数关系式为：y =x 2+6x =(x +3)2-9，可得函数顶点坐标为（-3，-9），对称轴为x =-3，且图像开口向上，再根据题意即可判断③；【详解】解：①y =（m -2）x 2+2mx +m -3=m （x +1）2-2x 2-3，当x =-1时，y =-5，故该函数图象一定过定点（-1，-5），故①正确；②若该函数图象开口向下，则m -2＜0，且Δ＞0，Δ=b 2-4ac =20m -24＞0，解得：m ＞65，且m ＜2，故m 的取值范围为：65＜m ＜2，故②正确； ③当m =3时，函数关系式为：y =x 2+6x =(x +3)2-9，可得函数顶点坐标为（-3，-9），对称轴为x =-3，且图像开口向上，根据题意，当t ≤x ≤0时，y 的最大值为0，最小值为﹣9，所以x 应当位于对称轴到抛物线与x 轴的左侧交点之间（包含端点），所以−6≤t ≤−3．故③正确；故选：D ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用根的判别式、掌握二次函数图象性质是解题的关键．5．已知二次函数y ＝a （x +1）（x ﹣m ）（a 为非零常数，1＜m ＜2），当x <-1时，y 随x 的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）①当x ＞2时，y 随x 的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a ＜0；③若（﹣2021，y 1），（2021，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④若图象上两点（14，y 1），（14+n ，y 2）对一切正数n ，总有y 1＞y 2，则1＜m ≤32．A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①③④ 【答案】D【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：①：∵二次函数y ＝a （x +1）（x ﹣m ）（a 为非零常数，1＜m ＜2）， ∴x 1＝﹣1，x 2＝m ，x 1＜x 2，又∵当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，∴a ＜0，开口向下，∴当x ＞2＞x 2时，y 随x 的增大而减小，故①正确；②：∵二次函数y ＝a （x +1）（x ﹣m ）（a 为非零常数，1＜m ＜2），当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，∴a ＜0，若图象经过点（0，1），则1＝a （0+1）（0﹣m ），得1＝﹣am ，∵a ＜0，1＜m ＜2，∴﹣1＜a ＜﹣12，故②错误；③：又∵对称轴为直线x ＝−1+m2，1＜m ＜2，∴0＜−1+m2＜12， ∴若（﹣2021，y 1），（2021，y 2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y 1＜y 2， 故③正确；④若图象上两点（14，y 1），（14+n ，y 2）对一切正数n ，总有y 1＞y 2，1＜m ＜2， ∴该函数与x 轴的两个交点为（﹣1，0），（m ，0），∴0＜−1+m2≤14， 解得1＜m ≤32，故④正确；∴①③④正确；②错误．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6．已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图像如图所示，有下列5个结论：①abc >0；②b <a +c ；③4a +2b +c >0；④2c >3b ；⑤a +b >m(am +b)(m ≠1)，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A【分析】先利用二次函数的开口方向，与y 轴交于正半轴，二次函数的对称轴为：x =−b 2a =1>0,判断a,b,c 的符号，可判断①，由图象可得：(−1,a −b +c)在第三象限，可判断②，由抛物线与x 轴的一个交点在(−1,0),(0,0)之间，则与x 轴的另一个交点在(2,0),(3,0)之间，可得点(2,4a +2b +c)在第一象限，可判断③，由(3,9a +3b +c)在第四象限，抛物线的对称轴为：x=−b2a =1,即a=−b2,可判断④，当x=1时，y最大值=a+b+c，当x=m(m≠1)，y=am2+bm+c,此时：am2+bm+c<a+b+c,可判断⑤，从而可得答案. 【详解】解：由二次函数的图象开口向下可得：a<0,二次函数的图象与y轴交于正半轴，可得c>0,二次函数的对称轴为：x=−b2a=1>0,可得b>0,所以：abc<0,故①不符合题意；由图象可得：(−1,a−b+c)在第三象限，∴a−b+c<0,∴b>a+c,故②不符合题意；由抛物线与x轴的一个交点在(−1,0),(0,0)之间，则与x轴的另一个交点在(2,0),(3,0)之间，∴点(2,4a+2b+c)在第一象限，∴4a+2b+c>0,故③符合题意；∵(3,9a+3b+c)在第四象限，∴9a+3b+c<0,∵抛物线的对称轴为：x=−b2a=1,∴a=−b 2 ,∴−9b2+3b+c<0,∴2c<3b,故④不符合题意；∵当x=1时，y最大值=a+b+c，当x=m(m≠1)，y=am2+bm+c,此时：am2+bm+c<a+b+c,∴m(am+b)<a+b,故⑤符合题意；综上：符合题意的有：③⑤．故选：A．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的应用二次函数的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键.7．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A(1,0)，B(m,0)（−2<m<−1），下列结论：①2b+c>0；②2a+c<0；③a(m+1)−b+c>0；④若方程a(x−m)(x−1)−1=0有两个不相等的实数根，则4ac−b2<4a．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据已知条件可判断c>0，a<b<0，据此逐项分析解题即可．【详解】解：∵抛物线开口向下∴a<0把A(1,0)，B(m,0)代入y=ax2+bx+c得{a+b+c=0am2+bm+c=0∴am2+bm=a+b∴am2+bm−a−b=0(m−1)(am+a+b)=0∵−2<m<−1∴am+a+b=0∴am=c,a(m+1)=−b∴c>0∴−1<m+1<0∵m+1<0∴−12<m+12<0∴−12<−b2a<0∴1>ba>0∴a<b<0①2b+c=2b−a−b=b−a>0，故①正确；②2a+c=2a−a−b=a−b<0，故②正确；③a(m+1)−b+c=−2b+c=−2b−a−b=−3b−a>0，故③正确；；④若方程a(x−m)(x−1)−1=0有两个不相等的实数根，即ax2−a(m+1)x+am−1=0Δ=a2(m+1)2−4a(am−1)=a2(m+1)2−4a2m+4a=b2−4a2⋅−a−ba+4a=b2+4a2+4ab+4a=b2+4a(a+b)+4a=b2−4ac+4a>0∴4ac−b2<4a，故④正确，即正确结论的个数是4，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a、b、c关系，涉及一元二次方程根的判别式，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．8．已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）经过点(−1,−1),(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1．有下列结论：①abc>0；②关于x的方程ax2+bx+c−3=0有两个不等的实数根；③a+b+c>7．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）经过点(−1,−1),(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1．∴c=1＞0，a-b+c= -1,4a-2b+c＞1，∴a-b= -2,2a-b＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，∵ax2+bx+c−3=0,∴△=b2−4a(c−3)=b2+8a＞0,∴ax2+bx+c−3=0有两个不等的实数根；∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故选D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．9．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，其中点B的坐标为(4,0)，抛物线与y轴负半轴交于点C，有下列结论：①abc>0；②4a+b<0；③若M(1,y1)与N(2,y2)是抛物线上两点，则y1>y2；④若AB≥3，则4b+3c>0其中，正确的结论是（）A．①②B．③④C．①④D．②③【答案】C【分析】从抛物线的开口方向、对称轴、顶点位置、与坐标轴的交点位置、函数的增减性等方面加以逐项计算或判断，即可得出相应的结论．【详解】解：（1）∵抛物线的开口向下，∴a<0．∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0．∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，>0．∴−b2a∴b＞0．∴abc>0．∴①正确；（2）∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴的正半轴，∴对称轴在直线x=2的右侧．∴−b2a>2．∴2+b2a <0，即4a+b2a<0．又∵a＜0，∴4a+b>0．∴②错误；（3）∵M(1，y1)和N(2，y2)是抛物线上的两点，且0<1<2，∴抛物线在0<x<−b2a 上，y随x的增大而增大，在x>−b2a上，y随x的增大而减小．∴y1>y2不一定成立．∴③错误；（4）∵AB≥3，B（4，0），∴点A的横坐标大于0且小于或等于1．∴当x=1时，有y=a+b+c≥0；当x=4时，有y=16a+4b+c=0．∴a=−4b+c16，代入a=−4b+c16，得，−4b+c16+b+c≥0．整理得，4b+5c≥0．∴4b+3c≥−2c．又∵c<0，∴-2c>0．∴4b+3c>0．∴④正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与不等式等知识点．熟知图象的位置与系数的关系是解题的基础．10．函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点(2,0)，顶点坐标为(−1,n)，其中n>0．有下列结论：①abc>0；②函数y=ax2+bx+c在x=1和x=−2处的函数值相等；③点M(x1,y1)，N(x2,y2)在函数y=ax2+bx+c的图象上，若−3<x1< 1<x2，则y1>y2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据待定系数法，抛物线的对称性、抛物线的增减性等知识即可作出判断．【详解】∵抛物线的顶点坐标为(−1,n)∴抛物线的对称轴为直线x=-1∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(2,0)设抛物线与x轴的另一个交点坐标为(x,0)，则-1-x=2+1∴x=-4即抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为(2,0)和(−4,0)故抛物线的解析式为y=a(x+4)(x−2)=ax2+2ax−8a∵n>0，即抛物线的顶点在x轴的上方，且抛物线与x轴有两个交点∴a<0∴b=2a<0，c=-8a>0∴abc>0故①正确当x=1时，y=-5a；当x=-2时，y=-8a∵a<0∴-5a<-8a故②错误当x=-3时，y=-5a；当x=1时，y=-5a∵当−3<x<−1时，函数值随自变量的增大而增大；当−1<x<1时，函数值随自变量的增大而减小∴当−3<x1<1时，−5a<y1<n∵当x2>1>−1时，函数值随自变量的增大而减小∴y2<−5a∴y2<y1故③正确从而正确的结论有两个．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数解析式及其性质，有一定的综合性，关键是用好抛物线的对称性质及增减性质．。
2018天津市中考数学17题、圆、二次函数专项训练
1、如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，BG⊥EF，点G为垂足，AB=5，AE=1，CF=2，则BG= ．3、如图2，如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为4，则阴影部分的面积为_________ ．4、如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB'C'，点C'恰好落在斜边AB上，连接BB'，则∠BB'C'＝_______．5、如图，正方形ABCD的面积为25，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．6、如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为________．8、如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为cm．10、如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是2和3，则EF的长为__________．11、如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=4 cm，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为：1、如图1，△ABC内接于⊙O，AC是直径，点D是AC延长线上一点，且∠DBC＝∠BAC，.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求的值；(3) 如图2，直径AC=5，，求△ABF面积2、已知抛物线y=(m－1)x2＋(m－2)x－1与x轴交于A、B两点.(Ⅰ)求m的取值范围;(Ⅱ)若m＜0,且点A在点B的左侧,OA:OB=3:1,试确定抛物线的解析式;4、如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,2),△ABO为等边三角形,P是x轴上的一个动点(不与O点重合),将线段AP绕A点按逆时针方向旋转60°,P点的对应点为点Q.(Ⅰ)求点B的坐标;(Ⅱ)当点P在x轴负半轴运动时,求证:∠ABQ=90°; (Ⅲ)连接OQ,在点P运动的过程中,当OQ平行AB时,求点P 的坐标.5、在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC 于点E.(Ⅰ)如图①,过点D作DF⊥AC,垂足为F,求证:直线DF与⊙O 相切;(Ⅱ)如图②,过点B作⊙O的切线,与AC的延长线交于点G,若∠BAC=35°,求∠CBG的大小.6、四边形ABCD 内接于⊙O ,AC 为其中一条对角线. (Ⅰ)如图①,若∠BAD =70°,BC =CD ,求∠BAC 的大小; (Ⅱ)如图②,若AD 经过圆心O ,连接OC ,AB =BC ,OC ∥AB ,求∠OCD 的大小.7、如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，弦CE 交AB 于点D ，连接OE ，AC ，且∠P ＝∠E ，∠POE ＝2∠CAB . (1)求证：CE ⊥AB ； (2)求证：PC 是⊙O 的切线；3．（丰台18期末26）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点（2，3），对称轴为直线x =1.（1）求抛物线的表达式； （2）如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），其中01<x ，02>x ，与y 轴交于点C ，求BC -AC 的值； （3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x 轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q ，如果OP =OQ ，直接写出点Q 的坐标.4．（昌平18期末26）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B 顶点为C 点．（1）求点A 和点B 的坐标； （2）若∠ACB =45°，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2），与直线AB 交于点N （x 3，y 3），若x 3<x 1<x 2，结合函数的图象，直接写出x 1+x 2+x 3的取值范围为 .5．（朝阳18期末27）已知抛物线l 1与l 2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l 1：2782--=ax ax y 交x 轴于A ，B两点（点A 在点B 的左侧），且AB ＝6；抛物线l 2与l 1交于点A 和点C （5，n ）.（1）求抛物线l 1，l 2的表达式；（2）当x 的取值范围是 时，抛物线l 1与l 2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大； （3）直线MN ∥y 轴，交x 轴，l 1，l 2分别相交于点P （m ，0），M ，N ，当1≤m ≤7时，求线段MN 的最大值. 16．（顺义18期末28）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线219y x bx =+经过点A （-3，4）． （1）求b 的值；（2）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，在直线AB 上任取一点P ，作点A 关于直线OP 的对称点C ；①当点C 恰巧落在x 轴时，求直线OP 的表达式； ②连结BC ，求BC 的最小值．x yAO。
专题3.3 二次函数(第01期)-2018年中考数学试题分项版解析汇编(解析版)
出关于 h 的一元二次方程,解之即可得出结论;当 2≤h≤5 时,由此时函数的最大值为 0 与题
意不符,可得出该情况不存在;当 h>5 时,根据二次函数的性质可得出关于 h 的一元二次方
程,解之即可得出结论.综上即可得出结论.
详解:如图,
当 h<2 时,有-(2-h)2=-1,
解得:h1=1,h2=3(舍去); 当 2≤h≤5 时,y=-(x-h)2 的最大值为 0,不符合题意;
当 h>5 时,有-(5-h)2=-1,
解得:h3=4(舍去),h4=6. 综上所述:h 的值为 1 或 6.
故选 B.
点睛:本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质,分 h<2､2≤h≤5 和 h>5 三种情况求
出 h 值是解题的关键.学科@网
5.已知抛物线
( , , 为常数, )经过点
, ,其对称轴在 轴右
x=3 时
可判断③;根据函数在 时取得最大值,可以判断④,由-1<x<3 时,函数图象位
于 x 轴上方可判断⑤.
【解答】∵抛物线的开口向下, ∴a<0,
抛物线的对称轴 可知: 故①正确;
∵抛物线的对称轴 ∴b=−2a,即 2a+b=0,故②正确;
由图象知当 x=3 时,
把 b=−2a 代入得:
故③错误;
所以方程 ax2=bx+c 的解是 x1=-2,x2=1
的解为
故答案为 x1=-2,x2=1. 点睛:本题考查抛物线与 x 轴交点､一次函数的应用､一元二次方程等知识,解题的关键是灵 活运用所学知识,学会利用图象法解决实际问题 13.已知抛物线 y=x2+2x﹣3 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),将这条抛物线向右 平移 m(m>0)个单位,平移后的抛物线于 x 轴交于 C,D 两点(点 C 在点 D 的左侧),若 B,C 是 线段 AD 的三等分点,则 m 的值为__________. 【来源】山东省淄博市 2018 年中考数学试题 【答案】2 【解析】分析:先根据三等分点的定义得:AC=BC=BD,由平移 m 个单位可知:AC=BD=m, 计算点 A 和 B 的坐标可得 AB 的长,从而得结论. 详解:如图,∵B,C 是线段 AD 的三等分点, ∴AC=BC=BD, 由题意得:AC=BD=m, 当 y=0 时,x2+2x﹣3=0, (x﹣1)(x+3)=0, x1=1,x2=﹣3, ∴A(﹣3,0),B(1,0), ∴AB=3+1=4, ∴AC=BC=2, ∴m=2, 故答案为:2.
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二次函数与线段问题1.已知抛物线经过点A (－1,0)、B (3,0)、C (0,－3).(Ⅰ)求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标;(Ⅱ)直线CD 交x 轴于点E ,过抛物线上在对称轴右边的点P ,作y 轴的平行线交x 轴于点F ,交直线CD 于点M ,使PM =25EF ,请求出点P 的坐标;(Ⅲ)将抛物线沿对称轴平移,要使抛物线与(Ⅱ)中的线段EM 总有交点,那么抛物线向上最多平移多少个单位长度?向下最多平移多少个单位长度?解:(Ⅰ)设抛物线解析式为y =a (x ＋1)(x －3),把点C (0,－3)代入得:a ×1×(－3)=－3,解得a =1,∴抛物线解析式为y =(x ＋1)(x －3),即y =x 2－2x －3,∵y =x 2－2x －3=(x －1)2－4,∴顶点D 的坐标为(1,－4);(Ⅱ)如解图,设直线CD 的解析式为y =kx ＋b ,把点C (0,－3),D (1,－4)代入得34b k b =-⎧⎨+=-⎩,解得13k b =⎧⎨=⎩－－, ∴直线CD 的解析式为y =－x －3,当y=0时,－x－3=0,解得x=－3,则E(－3,0),设P(t,t2－2t－3)(t＞1),则M(t,－t－3),F(t,0),∴EF=t＋3,PM=t2－2t－3－(－t－3)=t2－t, 而PM=25EF,∴t2－t=25(t＋3),整理得5t2－7t－6=0,解得t1=－35(舍去),t2=2,当t=2时,t2－2t－3=22－2×2－3=－3,∴点P坐标为(2,－3);第1题解图(Ⅲ)当t=2时,点M的坐标为(2,－5),设平移后的抛物线解析式为y=x2－2x－3＋m,当抛物线y=x2－2x－3＋m与直线y=－x－3有唯一公共点时,令方程x2－2x－3＋m=－x－3,即x2－x＋m=0有两个相等的实数解, 则b2－4ac=1－4m=0,解得m=14;若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点M(2,－5),则4－4－3＋m=－5,解得m=－2;若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点E(－3,0),则9－2×(－3)－3＋m=0,解得m=－12,∴抛物线向上最多平移14个单位长度,向下最多平移12个单位长度.2. 已知抛物线y=12(x－3)2－1与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(Ⅰ)试求点A,B,D的坐标;(Ⅱ)连接CD,过原点O作OE⊥CD与抛物线的对称轴交于点E,求OE 的长;(Ⅲ)以(Ⅱ)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标.解:(Ⅰ)由y=0得12(x－3)2－1=0,解得x1=3x2=3又∵点A在点B的左侧,∴A点坐标为(3B点坐标为(3由抛物线解析式y=12(x－3)2－1可得顶点D的坐标为(3,－1); (Ⅱ)如解图①,过点D作DG⊥y轴于点G,设CD与x轴交于点F,ED 交x轴于点M,由题意可得,∠DCG＋∠COF=90°,∠EOM＋∠COF=90°,∴∠DCG=∠EOM,又∵∠CGD=∠OME=90°,∴△CDG∽△OEM,∴CGOM=DGEM,即32=3EM,∴EM=2,∴E点坐标为(3,2),∴OE(Ⅲ)如解图②,由⊙E的半径为1,由勾股定理得PQ2=EP2－1,要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小,设P点坐标为(x,y),则PQ=x－3,EQ=2－y,∴由勾股定理得EP2=(x－3)2＋(2－y)2,∵y=12(x－3)2－1,∴(x－3)2=2y＋2,∴EP2=2y＋2＋y2－4y＋4=(y－1)2＋5, 当y=1时,EP2为最小值,将y=1代入y=12(x－3)2－1,得x1=5,x2=1,∴P点坐标为(1,1)或(5,1).∵点P在对称轴右侧的抛物线上, ∴x2=1舍去,∴P(5,1).图①图②第2题解图3.已知抛物线y=－14x2－12x＋34与x轴交于A,C两点(点A在点C的左边),直线y=kx＋b(k≠0)分别交x轴,y轴于A,B两点,且除了点A之外,该直线与抛物线没有其他任何交点.(Ⅰ)求A,C两点的坐标;(Ⅱ)求k,b的值;(Ⅲ)设点P是抛物线上的动点,过点P作直线y=kx＋b(k≠0)的垂线,垂足为H,交抛物线的对称轴于点D,求PH＋DH的最小值,并求出此时点P的坐标.解:(Ⅰ)令y=0,即－14x2－12x＋34=0,解得x1=－3,x2=1,∵点A在点C的左边,∴A(－3,0),C(1,0); (Ⅱ)把A(－3,0)代入y=kx＋b,得－3k＋b=0,解得b =3k , 联立2113424y x x y kx b⎧=--+⎪⎨⎪=+⎩,得－14x 2－12x ＋34=kx ＋b ,即x 2＋(2＋4k )x －3＋4b =0, ∵直线y =kx ＋b 与抛物线有唯一公共点,∴由根的判别式得(2＋4k )2－4(4b －3)=0,把b =3k 代入(2＋4k )2－4(4b －3)=0,得(2＋4k )2－4(12k －3)=0,解得k =1,∴b =3;(Ⅲ)如解图,过点H 作HG ⊥对称轴于点G ,过点P 作PF ⊥对称轴于点F ,设直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ,对称轴与x 轴交于点M , 由题意知,抛物线对称轴为x =－1,由(Ⅱ)知,直线AB 的解析式为y =x ＋3,由直线AB 知∠EAO =∠EHG =∠AEM =∠FPD =∠PDF =45°.当x =－1时,y =x ＋3=2,即E (－1,2).设P (x ,－14x 2－12x ＋34),则PF =FD =－1－x , ED =EM ＋MF ＋FD =2－(－14x 2－12x ＋34)＋(－1－x )=14x 2－12x ＋14, PD=－1－x ),∴DH =HE=2ED=2(14x 2－12x ＋14), ∴PH ＋DH =DH －PD ＋DH =2DH －PD14x 2－12x ＋14)－x－1)=24x 2＋22x ＋524, 当x =－2b a=－1时,PH ＋DH 取得最小值,最小值为244ac b a =2,此时点P 的坐标为(－1,1).第3题解图4.已知,一抛物线过原点和点A 3与x 轴交于点B ,△AOB 的面积3(Ⅰ)求过点A 、O 、B 的抛物线解析式;(Ⅱ)在抛物线的对称轴上找到一点M ,使得△AOM 的周长最小,求△AOM 周长的最小值; (Ⅲ)点F 为x 轴上一动点,过点F 作x 轴的垂线,交直线AB 于点E ,交抛物线于点P ,是否存在点F ,使线段PE =33？若存在,直接写出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)过点A 作AC ⊥x 轴于点C ,如解图①,∵A 3∴AC 3∵S △AOB =12BO ·AC =12BO ×33∴BO =2,∴B (－2,0).由题意可设抛物线解析式为y =ax 2＋bx ,把A 、B坐标代入可得420a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,解得33a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式为y=3x 2＋3x ; (Ⅱ)由(Ⅰ)可求得抛物线的对称轴为直线x =－1,设直线AB 交对称轴于点M ,如解图②,连接OM ,∵OA 长为定值,∴△AOM 周长的最小值即为OM ＋AM 的最小值,∵B 、O 两点关于对称轴对称,∴MO =MB .∴A ,M ,B 三点共线时,OM ＋AM 最小.设直线AB 的解析式为y =kx ＋b ,把A 、B两点的坐标代入可得20k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩,解得33k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴直线AB 的解析式为y =3x ＋3,当x =－1时,y =3,∴点M 的坐标为(－1,3由勾股定理可求得AB=AO 2=,∴△AOM 周长的最小值为AM ＋MO ＋AO =AB ＋AO 2;(Ⅲ)存在.点F 的坐标为(0,0)或(－1,0)或(12-+,0)或(12--,0). 【解法提示】假设存在满足条件的点F ,设其坐标为(x ,0),则E (x , 3x ＋3),P (x ,3x 2＋3x ),如解图③,①当－2≤x ≤0时,PE =PF ＋EF =－(3x 2＋3x )＋3x ＋3=3-x 2－3＋3,由PE =3得－32－3＋3=3,解得x 1=0,x 2=－1, 当x =0时,点P 与点F 重合,点F 的坐标为(0,0);当x =－1时,点F 的坐标为(－1,0);②当0＜x ≤1时,此时PE 恒小于3;③当x ＞1或x ＜－2时,PE =PF －EF =3x 2＋3x －(3x ＋3)=32＋3x －3,由PE =233得33x 2＋33x －233=233, 解得x 1=1172-+,x 2=1172--, ∴点F 的坐标为(1172-+,0)或(1172--,0). 综上所述:点F 的坐标为(0,0)或(－1,0)或(1172-+,0)或(1172--,0).图① 图② 图③第4题解图5.已知直线y =5x ＋5交x 轴于点A ,交y 轴于点C ,过A ,C 两点的二次函数y =ax 2＋4x ＋c 的图象交x 轴于另一点B .(Ⅰ)求二次函数的表达式;(Ⅱ)连接BC ,点N 是线段BC 上的动点,作ND ⊥x 轴交二次函数的图象于点D ,求线段ND 长度的最大值;(Ⅲ)若点H 为二次函数y =ax 2＋4x ＋c 图象的顶点,点M (4,m )是该二次函数图象上一点,在x 轴,y 轴上分别找点F ,E ,使四边形HEFM 的周长最小,求出点F 、E 的坐标.解:(Ⅰ)∵直线y =5x ＋5交x 轴于点A ,交y 轴于点C ,∴A (－1,0),C (0,5),∵二次函数y=ax2＋4x＋c的图象过A,C两点,∴405a cc-+=⎧⎨=⎩,解得15ac=-⎧⎨=⎩,∴二次函数的表达式为y=－x2＋4x＋5;(Ⅱ)如解图①,∵点B是二次函数的图象与x轴的交点,∴由二次函数的表达式为y=－x2＋4x＋5得点B的坐标为B(5,0), 设直线BC解析式为y=kx＋b,∵直线BC过点B(5,0),C(0,5),∴505k bb+=⎧⎨=⎩,解得15kb=-⎧⎨=⎩,∴直线BC解析式为y=－x＋5,设ND的长为d,N点的横坐标为n, 则N点的坐标为(n,－n＋5),D点的坐标为(n,－n2＋4n＋5),则d=|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|,由题意可知:－n2＋4n＋5＞－n＋5,∴d=－n2＋4n＋5－(－n＋5)=－n2＋5n=－(n－52)2＋254,∴当n=52时,线段ND长度的最大值是254;(Ⅲ)∵点M(4,m)在抛物线y=－x2＋4x＋5上,∴m=5,∴M(4,5). ∵抛物线y=－x2＋4x＋5=－(x－2)2＋9,∴顶点坐标为H(2,9),如解图②,作点H(2,9)关于y轴的对称点H1,则点H1的坐标为H1(－2,9);作点M(4,5)关于x轴的对称点M1,则点M1的坐标为M1(4,－5),连接H1M1分别交x轴于点F,y轴于点E,∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长,则点F,E即为所求的点.设直线H1M1的函数表达式为y=mx＋n,∵直线H1M1过点H1(－2,9),M1(4,－5),∴9254m nm n=-+⎧⎨-=+⎩,解得73133mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴y=－73x＋133,∴当x=0时,y=133,即点E坐标为(0,133),当y=0时,x=137,即点F坐标为(137,0),故所求点F,E的坐标分别为(137,0),(0,133).图①图②第5题解图6.已知抛物线y=－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1,0),B(－3,0)两点,与y轴交于点C.(Ⅰ)求抛物线的解析式;(Ⅱ)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标;(Ⅲ)点Q是直线BC上方抛物线上的动点,求点Q到直线BC的距离最大时点Q的坐标.解:(Ⅰ)∵抛物线y=－x2＋bx＋c经过A(－1,0),B(－3,0),∴01093b cb c=--+⎧⎨=--+⎩,解得43bc=-⎧⎨=-⎩,∴抛物线的解析式为y=－x2－4x－3;(Ⅱ)由y=－x2－4x－3可得D(－2,1),C(0,－3),∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2,可得△OBC是等腰直角三角形, ∴∠OBC=45°,CB如解图①,设抛物线的对称轴与x轴交于点F,∴AF=12AB=1,设直线BC与对称轴的交点为E,连接AE,AC,∵EF=1=AF,则有∠BAE=∠OBC=45°,∴∠AEB=90°,∴BE=AECE在△AEC与△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF, ∴△AEC∽△AFP,∴AE CEAF PF=,即1PF=,解得PF=2.∵点P在抛物线的对称轴上,∴点P 的坐标为(－2,2)或(－2,－2);(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y =kx ＋b (k ≠0),直线BC 经过B (－3,0),C (0,－3),∴033 k b b =-+⎧⎨-=⎩,解得13k b =-⎧⎨=-⎩, ∴直线BC 的解析式为y =－x －3.如解图②,设点Q (m ,n ),过点Q 作QH ⊥BC 于点H ,并过点Q 作QS ∥y 轴交直线BC 于点S ,则S 点坐标为(m ,－m －3),∴QS =n －(－m －3)=n ＋m ＋3.∵点Q (m ,n )在抛物线y =－x 2－4x －3上,∴n =－m 2－4m －3,∴QS =－m 2－4m －3＋m ＋3=－m 2－3m =－(m ＋32)2＋94, 当m =32-时,QS 有最大值94. ∵BO =OC ,∠BOC =90°,∴∠OCB =45°,∵QS ∥y 轴,∴∠QSH =∠OCB =45°,∴△QHS 是等腰直角三角形,∴当斜边QS 最大时,QH 最大.∵当m =－32时,QS 最大, 此时n =－m 2－4m －3=－94＋6－3=34,即Q (－32,34), ∴当点Q 的坐标为(－32,34)时,点Q 到直线BC 的距离最大.图①图②第6题解图7.已知,直线y=kx＋b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(－4,0)、B(0,3),抛物线y=－x2＋2x＋1与y轴交于点C.(Ⅰ)求直线y=kx＋b的函数解析式;(Ⅱ)若点P(m,t)是抛物线y=－x2＋2x＋1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时m的值; (Ⅲ)若点E在抛物线y=－x2＋2x＋1的对称轴上移动,点F在直线AB 上移动,求CE＋EF的最小值.解:(Ⅰ)∵直线y=kx＋b经过点A(－4,0),B(0,3),∴043k bb=+⎧⎨=⎩－,解得343kb⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴直线的解析式为y=34x＋3;(Ⅱ)如解图,过点P作PM⊥AB于点M,作PN∥y轴交直线AB于点N. ∵PN∥y轴,∴∠PNM=∠ABO,∵∠AOB=∠NMP=90°,∴△AOB∽△PMN,∴AOPM=ABPN,∵OA=4,OB=3,∴AB=22OA OB＋=5,∴PM=45 PN,∵点P是抛物线上的点,PN∥y轴,∴P(m,－m2＋2m＋1),N(m,34m＋3),∴PN=34m＋3－(－m2＋2m＋1)=m2－54m＋2=(m－58)2＋10364,∴PM=d=45(m－58)2＋10380,∴当m=58时,d取得最小值10380;(Ⅲ)∵抛物线y=－x2＋2x＋1与y轴交于点C,∴C(0,1),对称轴为x=－22(1)－=1,点C关于对称轴的对称点为K(2,1),∴点K到直线AB的距离即为CE＋EF的最小值,最小值为d=45×(2－5 8)2＋10380=145.第7题解图8.已知直线y=2x＋m与抛物线y=ax2＋ax＋b有一个公共点M(1,0),且a＜b.(Ⅰ)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示);(Ⅱ)说明直线与抛物线有两个交点;(Ⅲ)直线与抛物线的另一个交点记为N,若－1≤a≤－12,求线段MN长度的取值范围;解:(Ⅰ)∵抛物线过点M(1,0), ∴a＋a＋b=0,即b=－2a,∵y=ax2＋ax＋b=ax2＋ax－2a=a(x＋12)2－94a,∴抛物线顶点Q的坐标为(－12,－94a);(Ⅱ)∵直线y=2x＋m经过点M(1,0),∴0=2×1＋m,解得m=－2,把y=2x－2代入y=ax2＋ax－2a,得ax2＋(a－2)x－2a＋2=0①,∴Δ=(a－2)2－4a(－2a＋2)=9a2－12a＋4,又∵a＜b,b=－2a,∴a＜0,b＞0,∴Δ=9a2－12a＋4＞0,∴方程①有两个不相等的实数根,∴直线与抛物线有两个交点;（Ⅲ）把y=2x－2代入y=ax2＋ax－2a,得ax2＋(a－2)x－2a＋2=0,即x2＋(1－2a )x－2＋2a=0,∴[x＋(12－1a)]2=(1a－32)2,解得x1=1,x2=2a－2,将x=2a －2代入y=2x－2得y=4a－6,∴点N(2a－2,4a－6),根据两点间的距离公式得,MN 2=[(2a－2)－1]2＋(4a－6)2=220a－60a＋45=20(1a－32)2,∵－1≤a≤－12,则－2≤1a≤－1,∴1a－32＜0,∴MN 32－1a－a,又∵－1≤a≤－12,∴≤MN≤9.已知二次函数的解析式为y=－x2＋4x,该二次函数交x轴于O、B两点,A为抛物线上一点,且横纵坐标相等(原点除外),P为二次函数上一动点,过P作x轴垂线,垂足为D(a,0)(a>0),并与直线OA交于点C. (Ⅰ)求A、B两点的坐标;(Ⅱ)当点P在线段OA上方时,过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E,求△PCE周长的最大值及此时P点的坐标;(Ⅲ)当PC=CO时,求P点坐标.解:(Ⅰ)令y=0,则－x2＋4x=0,解得x1=0,x2=4,∴点B坐标为(4,0),设点A坐标为(x,x),把A(x,x)代入y=－x2＋4x得, x=－x2＋4x,解得x1=3,x2=0(舍去),∴点A的坐标为(3,3);(Ⅱ)如解图①,设点P的坐标为(x,－x2＋4x),∵点A坐标为(3,3);∴∠AOB=45°,∴OD=CD=x,∴PC=PD－CD=－x2＋4x－x=－x2＋3x,∵PE∥x轴,∴△PCE是等腰直角三角形,∴当PC取最大值时,△PCE周长最大.∵PE与线段OA相交,∴0≤x≤1,由PC=－x2＋3x=－(x－32)2＋94可知,抛物线的对称轴为直线x=32,且在对称轴左侧PC随x的增大而增大,∴当x=1时,PC最大,PC的最大值为－1＋3=2,∴PE=2,CE∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE=4＋∴△PCE周长的最大值为4＋22,把x=1代入y=－x2＋4x,得y=－1＋4=3,∴点P的坐标为(1,3);(Ⅲ)设点P坐标为(x,－x2＋4x),则点C坐标为(x,x),如解图②,①当点P在点C上方时,P1C1=－x2＋4x－x=－x2＋3x,OC1=2x, ∵P1C1=OC1,∴－x2＋3x=2x,解得x1=3－2,x2=0(舍去).把x=3－2代入y=－x2＋4x得,y=－(3－2)2＋4(3－2)=1＋22,∴P1(3－2,1＋22),②当点P在点C下方时,P2C2=x－(－x2＋4x)=x2－3x,OC2=2x,∵P2C2=OC2,∴x2－3x=2x,解得x1=3＋2,x2=0(舍去),把x=3＋2代入y=－x2＋4x,得y=－(3＋2)2＋4(3＋2)=1－22,∴P2(3＋2,1－22).综上所述,P点坐标为(3－2,1＋22)或(3＋2,1－22).图①图②第9题解图10.已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A(－3,0)、B(0,3)、C(1,0)三点. (Ⅰ)求抛物线的解析式和它的顶点坐标;(Ⅱ)若在该抛物线的对称轴l上存在一点M,使MB＋MC的值最小,求点M的坐标以及MB＋MC的最小值;(Ⅲ)若点P、Q分别是抛物线的对称轴l上两动点,且纵坐标分别为m,m ＋2,当四边形CBQP周长最小时,求出此时点P、Q的坐标以及四边形CBQP周长的最小值.解:(Ⅰ)将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式,得9303a b cca b c-+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩,解得123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,∴抛物线的解析式为y=－x2－2x＋3,配方,得y=－(x＋1)2＋4,即顶点坐标为(－1,4);(Ⅱ)如解图①,连接AB交对称轴于点M,连接MC,由A、C关于对称轴对称,得AM=MC,∴MB＋MC=AM＋MB=AB,此时,MB+MC的值最小,由勾股定理,得AB即MB＋MC设AB的解析式为y=kx＋b, 将A、B两点坐标代入,得303k b b -+=⎧⎨=⎩,解得13k b =⎧⎨=⎩, ∴直线AB 的解析式为y =x ＋3,当x =－1时,y =2,即M (－1,2),此时MB ＋MC 的最小值为(Ⅲ)如解图②,将B 点向下平移两个单位,得D 点,连接AD 交对称轴于点P ,作BQ ∥PD 交对称轴于点Q ,∵PQ ∥BD ,BQ ∥PD ,∴四边形BDPQ 是平行四边形,∴BQ =PD ,PQ =BD =2,∴BQ ＋PC =PD ＋AP =AD ,由勾股定理,得AD,BC,∴四边形CBQP 周长的最小值=BC ＋BQ ＋PQ ＋PC=BC ＋PQ ＋(BQ ＋PC )=BC ＋PQ ＋AD=＋2＋2,设AD 的解析式为y =kx ＋b ,将A 、D 点坐标代入得,301k b b -+=⎧⎨=⎩,解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩, ∴直线AD 的解析式为y =13x ＋1,当x=－1时,y=23,即P(－1,23),由|PQ|=2,且Q点纵坐标大于P点纵坐标得Q(－1,83),故当四边形CBQP周长最小时,点P的坐标为(－1,23),点Q的坐标为(－1,83),四边形CBQP周长的最小值是210＋2.图①图②第10题解图11.已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).(Ⅰ)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;(Ⅱ)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;(Ⅲ)在抛物线上是否存在异于B,D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为22,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)设二次函数的解析式为y=a(x－1)2＋4,∵点B(3,0)在该二次函数的图象上,∴0=a(3－1)2＋4,解得a=－1,∴二次函数的解析式为y=－x2＋2x＋3, ∵点D在y轴上,∴令x=0,解得y=3,∴点D的坐标为(0,3),设直线BD的解析式为y=kx＋3,把(3,0)代入得3k＋3=0,解得k=－1,∴直线BD的解析式为y=－x＋3; (Ⅱ)设P点的横坐标为m(0＜m＜3), 则P(m,－m＋3),M(m,－m2＋2m＋3),∴PM=－m2＋2m＋3－(－m＋3)=－m2＋3m=－(m－32)2＋94,∴当m=32时,PM取最大值,∴PM长度的最大值为9 4 ;(Ⅲ)存在.如解图,过点Q作QG∥y轴交BD于点G,作QH⊥BD交BD 于点H,设Q(x,－x2＋2x＋3),则G(x,－x＋3)∴QG=|－x2＋2x＋3－(－x＋3)|=|－x2＋3x|,∵△DOB是等腰三角形,∴∠3=45°,∴∠2=∠1=45°,∴sin∠1=QHQG=22,∴QG=4,得|－x2＋3x|=4,当－x2＋3x=4时,b2－4ac=9－16=－7＜0,方程无实数根,当－x2＋3x=－4时,解得x1=－1,x2=4,∴Q1(－1,0),Q2(4,－5),综上所述,存在满足条件的点Q,点Q的坐标为(－1,0)或(4,－5).第11题解图。