新苏科版七年级数学下册《9章 整式乘法与因式分解 数学活动 拼图·公式》公开课教案_14
2024七年级数学下册第9章整式乘法与因式分解9.5多项式的因式分解课件新版苏科版
感悟新知
知4－讲
二定：确定公式中的a 和b，除a 和b 是单独一个 数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须 用括号括起来，表示一个整体.
三套：套用平方差公式进行分解. 四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最 简的.
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知4－讲
特别解读
1. 因式分解中的平方差公式法是乘法公式中的平
方差公式逆用的形式.
D 选项中，括号内最后一项漏掉了，应该是a2b＋
5ab－b=b(a2＋5a－1)，故错误.
答案：B
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知识点 4 运用平方差公式分解因式
知4－讲
1. 平方差公式法 用字母表示：a2－b2=(a＋b)(a－b). 文字描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两 个数的差的积.
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知4－讲
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(3) 116a2－ 12ab＋b2 ；
知5－练
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”“b”，再运用
完全平方公式分解因式.
解：原式=( 14a)2－2×14a·b＋b2 = (14a－b)2.
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知5－练
(4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”“b”，再运用
公因式中的字母，各字母的指数取其中次数最低的．
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3. 注意
知2－讲
若多项式各部分中含有相同的多项式因式，则应将其看
成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式.
如3x(x－y)＋x2(x－y)的公因式是x(x－y).
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知2－讲
特别解读 1. 公因式可以是数，也可以是单项式或多项式. 2. 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可
新苏科版七年级数学下册《9章 整式乘法与因式分解 数学活动 拼图·公式》公开课教案_1
数学活动—拼图·公式教学目标：（1）通过拼图与公式的联系加强学生学习数学的兴趣，进一步熟悉整式乘法和因式分解；（2）获得一些研究问题的方法和经验，加深对知识的理解，体会数形结合思想．教学重点：通过拼图活动巩固整式乘法和因式分解的有关知识．教学难点：从具体问题到建立数学模型，通过拼图活动探究一些二次三项式的因式分解．教学过程：情境引入：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”——华罗庚情境（一）：王大爷准备把长为a米，宽为b米的这块地向外扩建，使得长再增加c米，则扩建后地的面积为：发现等式：。
情境（二）：王大爷在刚才扩建的基础上再向外扩建，使得宽再增加d米，则扩建后地的面积为：发现等式：。
变形1：如果王大爷这块地是边长为x米的正方形向外扩建时，使长增加a米,宽增加b米，则扩建后的面积为：发现等式：。
口算: (x+5)(x+2) =(x-3)(x+1) =变形2: 如果王大爷将这块边长为a米的正方形地向外扩建后时,长和宽都增加b米,则扩建后的面积为：发现等式：。
思考：1.以上图形的面积主要有几种算法?2.以上图形的面积验证了哪些公式？3.你还有其它的见解吗？新知探究：用这些材料拼出一个长方形，并通过不同的方法计算其面积，探求相应的等式。
活动1：选取适当数量的A 型、B 型、C 型三种纸片，拼出下列长方形并思考：① 积为 的矩形.②你拼的矩形长和宽分别是多少？③你有其它表示这个矩形的面积的方法吗？④你能得到什么等式？活动2：选取适当数量的A 型、B 型、C 型三种纸片，拼出任意长方形并思考：（请在右边画出来！）拼出的长方形面积是 .用了A 型纸片 张，B 型纸片 张，C 型纸片 张，等式是 .思考：1、关于a 、b 的二次多项式是否都能表示一个长方形的面积？2、你认为具备什么条件的二次多项式可以表示一个长方形的面积？挑战自我：请同学们拿出手中的4个长为a ，宽为b 的小长方形,拼成一个边长为（a+b ）的正方形.（1）大正方形面积是( )（2）4个小长方形面积是（ ）（3) 图中阴影部分的面积是（ ）等式为： 。
新苏科版七年级数学下册《9章 整式乘法与因式分解 数学活动 拼图·公式》公开课教案_12
数学活动拼图·公式实验目标1．通过拼图活动，探索拼图与整式乘法、因式分解之间的内在联系展几何直观3．经历从具体问题抽象出数学问题——建立模型——综合运用已有知识解决问题的过程，获得一些研究问题与合作交流方法与经验4.通过丰富有趣拼的图活动增强对数学学习的兴趣。
实验重点实验难点发展几何直观；等积法的应用实验准备A型卡片（边长为a的正方形）、B型卡片（边长为b的正方形）、C型卡片（长为a、宽为b的长方形）实验过程一、问题情境：1.欣赏美丽的风景2.欣赏世界名建筑3.时装表演4.七巧板5.整式乘法法则发现：拼图----公式的核心是。
数学思想是。
二．实验内容与步骤:活动一1.根据下图的面积你能得到哪些等式?2.(1)选取A 卡片4张，B 卡片1张，C 卡片4张，把它拼接成一个长方形或正方形，并解释这个长方形或正方形的面积的代数意义和获得的等式。
(2)分别选取A 卡、B 卡、C 卡若干张，拼成一个边长分别为a +3b 、2a +b 的长方形，并写出等式.3.按照下面给出的整式选取卡片，拼接成一个长方形或正方形，根据它们的面积说明相应的整式变形 并画出相应的图形。
① (a +b )(2a +b ) ② a 2+4ab +3b 2活动二1.你能拼成一个面积为a 2+4ab +b 2的长方形吗？如果不能，是否可以添加（或减少）卡片数量，使之拼成一个长方形.2.任意写一个关于 a 、b 的二次多项式.能否用若干块准备好的硬纸片拼成一个长方形,使这个长方形的面积可以用这个式子表示?如果不能,你认为具备什么形式的二次多项式可以表示一个长方形的面积?拓展延伸如图是2002年国际数学家大会会标，其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a 较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ．（1） 求证：a2+b2=c2（2）利用（1）的结论解决问题，直角三角形的两条直角边分别为3和4，ab b ab求斜边长、斜边上的高.三、实验结论这节课，我收获了----四、自我检测先阅读材料，再解答下列问题：我们已经知道，多项式与多项式相乘的法则可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．例如：(a+2b)( 2a+b)= 2a2+5ab+2b2可以用图形①的面积来表示(1)请写出图②所表示的代数恒等式；(2)画出一个几何图形，使它的面积能表示(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+ 2ac+2bc；(3)请仿照上述方法写出另一个含a、b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．。
新苏科版七年级数学下册《9章 整式乘法与因式分解 数学活动 拼图·公式》公开课教案_13
拼图公式【教材简介】1、本节课是苏科版七年级下册第九章《从面积到乘法公式》的数学实验课，从教材的编排可以看出，本节课的主要内容是动手操作。
第九章的内容我们由简单直观的面积计算入手，理解数形结合的数学思想，让学生直观的感受到代数式的乘法可以用图形来理解，本节课是第九章《从面积到乘法公式》的精髓。
2、本节课先由单项式、多项式的乘法入手研究公式与面积的内在联系，进一步拓展到利用面积（图形法）计算多项式乘多项式，最后逆用利用面积分解二次三项式，达到分解因式的目的。
3、本节课内容比较简单，主要是动手操作，但作用重大，对以后的解题思路，一题多解意义重大。
【教学目标】1、通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、拼图、推理交流等过程。
2、经历从数学建立模型的思想，获得一些研究问题与合作交流方法与经验。
3、通过丰富有趣拼图活动增强对数学学习的兴趣。
4、体验运用已学的统计知识解决问题的乐趣，建立学习数学的信心。
【重点、难点】从具体问题到建立数学模型。
运用已学知识解决问题。
【设计理念】1、本节课的设计分为：问题引入－――情景再现―――数学活动―――当堂检测―――能力提升―――课堂小结。
2、通过问题引入让学生感受拼图的意义，激发学生学习数学的兴趣和情感。
3、重视学生合作能力的培养。
课堂教学中主要以小组为单位进行合作实验，通过合作交流、动手操作的形式，培养学生团队合作的能力。
4、本节课主要体现以学生为主体的新课程理念，让学生发现问题、思考问题，解决问题，教师主要引导学生动手操作！【教学过程】课 题拼图与公式教 具 多媒体 硬纸环节 教师活动 学生 活动设计 意图一、问题引入你能把下面的式子分解因式吗?复习因式分解的方法。
提出问题有目标。
二、 情景再现1、用不同的方法表示下列图形的面积,你能得到什么等式?面积=a(b+c+d) 面积=ab+ac+ad 我们可以发现:a(b+c+d)=ab+ac+ad 单项式乘多项式的法则:我们可以发现:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 单项式乘多项式的法则:我们可以发现:2222)(bab a b a ++=+回忆刚刚学过的单项式乘多项式方法多项式乘多项式方法乘法公式复习单项式与多项式、多项式与多项式的乘法原理。
苏科版数学七年级下册 第九章 整式的乘法与因式分解 数学活动 拼图 公式 教案设计
拼图与因式分解一、教材分析本实验是苏科版《义务教育教科书数学》七年级下册“9.5 多项式的因式分解”而设计的，利用三种不同的纸片拼图，让学生经历操作、探究、解决问题的过程，探索拼图与整式乘法、因式分解之间的内在联系，先由形得到一些关于“数”的结论，然后借助图形反映出部分“数”的几何意义，学生在动手做中知识得到延伸，积累有效的数学活动经验。
二、教学目标知识与技能：能够根据要求由“形”得到有价值的“数”的结论，并且能够借助图形反映出部分“数”的几何意义，初步运用拼图法将部分二次三项式因式分解。
过程与方法：经历从具体问题中抽象出数学问题--建立数学模型--综合运用已有知识解决问题的过程，获得数学活动的经验，感受“观察、实验、猜想、验证、归纳”的学习方法，在具体问题中把握数学实质，培养学生数学素养。
情感态度：引发学习兴趣和培养思考习惯。
三、教学重、难点重点：能够根据要求由“形”得到有价值的“数”的结论，并能借助图形反映出部分“数”的几何意义。
难点：理解拼图与因式分解的联系。
四、教学方法实验——探究——交流——合作——交流．五、教具准备A型卡片（边长为a的正方形）、B型卡片（边长为b的正方形）各4张，C 型卡片（长为a，宽为b的长方形）8张．六、教学过程今天我们来做一个数学活动，现在每个人手里都有A型卡片、B型卡片、C 型卡片若干张.活动一：请你从中选取A型卡片1张、B型卡片1张、C型卡片2张拼成一个正方形.思考：由此，你有什么发现？为什么？请将你的发现写下来.师生活动：学生动手拼图，独立思考，然后学生互动交流，由拼图发现2222)(b ab a b a ++=+，教师引导学生发现这个式子从左到右是整式乘法，从右到左是多项式的因式分解，看来拼图不仅可以帮助我们进行整式的乘法运算，还可以帮助我们进行多项式的因式分解，点出课题拼图与因式分解。
设计意图：从学生最简单最熟悉的拼图活动开始，让学生在观察、操作、思考的过程中，了解和的完全平方公式的来龙去脉，感受拼图与因式分解的关系。
新苏科版七年级数学下册《9章 整式乘法与因式分解 数学活动 拼图·公式》公开课教案_21
用“数形结合思想”再认识整式乘法与因式分解 教学设计与课后作业【教学目标】1. 理解用不同方法求同一个图形的面积可以得到或验证某些等式；2. 掌握画图与拼图的方法，通过画图与拼图活动理解图形面积与整式乘法、因式分解之间的内在联系，感受数与形的对应关系，会借助图形面积完成整式乘法或因式分解；3. 在知识的探索中，体验从特殊到一般的认识事物的方法，培养观察、归纳、概括的能力；4. 在知识的探索、运用和解决问题的过程中，体会数形结合的思想方法，发展几何直观；5. 感受数学文化美，学会和他人合作和交流，体会成功的快乐，提升学习数学的兴趣。
教学重点：准确并熟练地借助画图与拼图解决整式乘法与因式分解 教学难点：数形结合思想的渗透 教学准备：A 型纸片（边长为a 的正方形）、B 型纸片（边长为b 的正方形）、C 型纸片（长为a 、宽为b 的长方形）各若干张.教学过程：板块一、回顾从图形面积到整式乘法 【问题1】 （独立思考）设计意图：该问题选自学生练习中的常见错误，从易错点引入本课教学，激发学生对直观方式的渴求。
【问题2】如图，从整体上，正方形的面积可表示为 ，从部分上，它的面积可以表示为 ，于是可以得到整式乘法公式 。
（独立思考后同伴说说）设计意图：回顾新课中用不同方法表示同一个图形的面积，可以得到（或验证）一些有用的等式、法则、公式，为后续探究做好准备。
【问题3】我们知道，代数式(a+b)2的代数意义是a 与b 和的平方，那么它的几何意义是什么？（独立思考后同伴说说）设计意图：明确代数式的几何意义是画图解决问题的前提，引导学生该代数式认识表示边长为a+b 的正方形的面积，从而促进借助画图法求解计算结果的水到渠成。
其中，教师可在此时板演画图方法：根据图形边长先画出外部整体轮廓，再勾勒纵横线条形成组成部分，最后根据各部分面积写出整式乘法结果。
【问题4】你能说出代数式(a+b+c)2的几何意义吗? 再通过画图直接写出它的结果。
苏科版七年级下册数学课件第9章整式乘法与因式分解数学活动拼图公式课件
著名数学家华罗庚说过： 数缺形时少直观，形少数时难入微 数形结合百般好，隔离分家万事休
长为（a+b）宽为（2a+b）
活动材料 若干块如图所示的长方形和 正方形硬纸片
活动要求 如果让我们拼一个面积为 a2 3ab 2b2 长方形，如何 拼呢？
a2 3ab 2b2
a2 3ab 2b2
(a+b) （a+2b）
活动材料 若干块如图所示的长方形和 正方形硬纸片
活动要求 任意选取卡片，拼成一个长方形，使它的面积 是 a2 4ab 3b2，并写出相应的等式。你是如何选择卡 片的？
在一个边长为a的大正方形纸片上，剪去一个边长 为b的小正方形，你能通过计算剩余部分的面积得 到 a ba b a2 b2 公式 吗？
a
a b
b
通过这节课学习你有哪些收获？
小结： 刚才，我们通过对整式乘法公式的验证，学会了运用数形
结合法解决问题。 数形结合是中学数学重要的思想方法，用处很大。希望大
一、用不同的方法表示下列图形的面积,你能得到什么 等式?
二、用不同的方法表示下列图形的面积,你能得到什么 等式?
b
c
d
a
三、用不同的方法表示下列图形的面积,你又能得到什 么等式?
c
d
a
b
四、用不同的方法表示下列图形的面积,你还能得到什
么等式?
a
b
a
b
活动材料 若干块如图所示的长方形和 正方形硬纸片
(1)利用拼图的方法分解因式： 2a2+5ab+2b2
（2）你能用卡片拼成一个面积为 a2+3ab+b2的长方形吗？
b
苏科版七年级下册数学第九章整式乘法与因式分解数学活动拼图公式教案设计
苏科版七年级下册数学第九章整式乘法与因式分解数学活动拼图公式教案设计数学活动《拼图公式》一、教材分析在已经学习乘法公式的基础上，感受拼图方法的重要性。
从而利用拼图的方法进行二次三项式的因式分解，将准备好的三种类型的卡片若干张，拼成正方形或长方形，就能利用面积的关系建立等式，从而将二次三项式进行因式分解。
让生感受通过拼图操作、交流合作能进行有效学习，进一步体悟从具体问题到建立数学模型的数学思想。
二、教学目标1．通过拼图，探索拼图与整式的因式分解之间的内在关系，体会数形结合的思想方法，发展几何直观和推理能力。
2．经历从具体问题抽象出数学问题——建立模型——综合运用已有知识解决问题的过程，获得一些研究问题与合作交流方法与经验。
3．通过丰富有趣拼图活动增强对数学学习的兴趣。
4．通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。
三、教学重点、难点重点：1.通过丰富有趣的拼图活动,能理解用三种类型的卡片拼成正方形或长方形，就能将二次三项式进行因式分解。
2.增强对数学知识的应用及理解。
难点：从具体问题到建立数学模型，体会数形结合的数学思想方法。
四、教学方法及思路利用动手操作活动,让学生亲身参与，由此来引导学生对问题的思考，并逐步掌握解决问题的方法，从而学会用拼图法进行二次三项式的因式分解。
五、教学准备各种正方形和长方形卡片，多媒体或投影六、教学过程（一）问题情境观察图形，回顾在学习乘法公式时是怎样确定图形的面积，怎样推导计算的呢？从整体看，将图形看成是一个大的正方形，则面积是()2ba+；从局部看，将图形中各个部分加在一起，则面积是2 22baba++；从而得到:2222)(bababa++=+（二）操作思考，合作交流【师】请你选取适当数量的3种硬纸片，拼成一个正方形。
从整体和局部两方面列出表示面积的式子。
（1）用1张A型卡片，1张B型卡片，C型卡片2张,此时正方形的边长是_______,面积是_______。
新苏科版七年级数学下册《9章 整式乘法与因式分解 数学活动 拼图·公式》公开课教案_5
数学活动——拼图·公式 教学目标： 1．通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理、交流等过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力．2．经历从具体问题抽象出数学问题——建立模型——综合运用已有知识解决问题的过程，获得一些研究问题与合作交流方法与经验。
3．通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心． 教学重点：通过拼图，得到公式或等式，利用拼图分解因式．教学难点：经历从具体问题抽象出数学问题——建立模型——综合运用已有知识解决问题的过程，获得一些研究问题与合作交流方法与经验．教具准备：多媒体课件．学生课前准备各种正方形和长方形纸片． 教学过程：一、情境创设：观察以下图形，试确定它们的面积，你发现了什么？（揭示并板书课题．）二、合作探究：活动材料：若干块如图所示的长方形和正方形硬纸片．活动一：指定图形，尝试拼图，探求等式．a ab abaa b b1．请你选取适当数量的3种硬纸片，拼成一个长为(a ＋2b )、宽为(a ＋b )的长方形． （学生小组交流，上台展示结果．）2．你发现图中所隐藏的等式了吗？请将它写下来．a 2＋3ab ＋2b 2＝(a ＋2b )(a ＋b )；(a ＋2b )(a ＋b )＝a 2＋3ab ＋2b 2．3．请你结合图形解释你所得到的等式．活动二：独立拼图，探求等式．随意选取若干块长方形、正方形硬纸片，尝试拼成一个长方形，计算它的面积，并写出相应的等式．（学生小组合作，上台展示成果．）活动三：借助拼图，探求多项式的因式分解．1．试借助拼图的方法，把二次三项式a 2＋4ab ＋3b 2分解因式．2．任意写出一个关于a 、b 的二次多项式，探讨是否用若干块硬纸片拼成一个长方形，使这个长方形的面积可以用这个式子表示？（学生小组探究，全班交流．）三、拓展提高：把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．美国第二十任总统伽菲尔德用两个边长分别为a 、b 、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个新的图形（如图所示），证明了一个重要的结论．你能从这个图形发现什么？四、课堂小结：1．通过这一系列的操作活动，谈谈你对拼图和公式之间的认识．c a b a c b。
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“拼接梯形中的发现”活动设计
活动目标：
1.通过拼接梯形并分析探索其中数量关系的活动来引导学生来发现隐含
在拼图中的数量关系，逐步培养提出问题的意识、探索的能力，
2.初步感受数形结合的思想。
活动材料：每人准备8个边长为1cm的等边三角形硬纸片
活动时间：约45分钟
活动方式：自主探索与小组合作相结合
活动过程：
一：预备性活动
1.完成下题（独立完成）
将准备好的8张全等的等边三角形纸片（设边长为1），用其中的若干张拼成等腰梯形并填写下表：
纸片数两底
长
腰长示意图
3 1，2 1
5 2，3 1
7 3，4 1
8 1，3 2
2.展示完成情况。
（注：上表中红色字体部分以及后面3个图形）二：探索与发现
引导分析1：观察所拼成的图形，其中有3个，等边三角形拼成一层，所需三角形个数是3，5，7.
问题1：你能够按照此方式继续拼接下去吗？
问题2：观察你所拼接的等腰梯形，你有何发现？你能够告诉同桌或者其他同学吗？
参考图形：
参考结论：（注：本活动中涉及到的等边三角形其边长都是1cm，不再特别指出。
）
【结论1】用等边三角形拼成层数为1的等腰梯形，所需的等边三角形个数为奇数个。
【结论2】奇数个等边三角形必定能够拼成层数为1的等腰梯形。
【结论3】（2n+1）个等边三角形能够拼成层数为1的梯形，该等腰梯形的腰长为1，上底长为n，下底长为（n+1），或者说：上、下底的差为1. 【结论4】等边三角形的个数为偶数时不可以拼接成层数为1的等腰梯形。
三：类比与迁移1
引导分析2：三角形个数为8时，能够拼接成层数为2的等腰梯形。
问题3：你能够按照此方式继续拼接下去吗？可以和同学合作，4人为一小组（注：需要的三角形个数比较多，因此需要小组合作，以下同。
）
参考图形:
对照问题2以及问题2中发现的结论，你能够写出类似的结论吗？
参考结论：
【结论5】拼成层数为2的等腰梯形，所需等边三角形个数为4（n+1）(n≥1，n为整数)个。
【结论6】4（n+1）(n≥1，n为整数)个等边三角形必定能够拼成层数为2的等腰梯形。
【结论7】4（n+1）(n≥1，n为整数)个等边三角形必定能够拼成层数为2的等腰梯形，该等腰梯形的腰长为2，上底长为n，下底长为（n+2），或者说：上下底的差为2.
四：类比与迁移2
问题4：你是否能够拼出其它层数的等腰梯形？
对照上面的问题，你能够提出类似的问题吗？
问题5：对于你的问题，你能够通过小组合作的方式来解决吗?你的结论是什么？
(3层时，15，15+6，… 3×5，3×7，3×9，…一般形式：3×（2n+3），n为正整数
4层时，24，24+8，…4×6，4×8，4×10，…一般形式：4×（2n+4），n为正整数）
相应结论略。
问题6：对于上面所得到的几个式子，你能够用一种形式来统一起来吗？（注：对于每种情形，应提醒学生分析该种情形中最少的个数是几，从而便于揭示规律。
另外，对于问题4，如果学生自行提出m层的情形，那么问题6不必再提出。
）
1×（2n+1）,2×(2n+2),3×(2n+3),4×(2n+4),
统一的形式：m(2n+m)，其中n,m都是正整数。
m为层数或者腰长，n为上底长，(m+n)为下底长。
五：拓展与延伸
引导分析3：数字15既出现在第一种情形中，又出现在第三种情形中。
问题7：是否还有其它数字同时出现在两种情形中？你能否利用问题6的结论来解释。
（其它还有24等。
15=1×（2×7+1）=3×（2×1+3）,24=2×(2×5+2)=4×（2×1+4））
问题8：不进行拼接试验，告诉你等边三角形的个数，你能够直接判断是否能拼接成为等腰梯形吗？比如48个，30个？
(注：48可以由3种分解的办法：48=2×（2×11+2）=4×(2×4+4)=6×(2×1+6)）（即：48个等边三角形可拼成2层，4层，6层的等腰梯形）
30不行，因为不可以分解成为上面的形式。
六：交流活动感受（略）。