完整版直线与圆专题讲义教师版

知识梳理

1点到直线距离公式: 教学内容

点P （x o ，y o ）到直线1: ax by c 0的距离为：d ax o by o C

2.已知两条平行线直线l i 和12的一般式方程为 l i : Ax By C , 0 , l 2 : Ax By C 2

，

则l i 与丨2的距离为

d C l C

2 I 3•两条直线的位置关系: 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注 l i ：y i 2：y k 1x b, k 2x b 2 k1 k2,b1 b2 k

i k 2 1 丨1,丨2有

斜率

4. 5. 已知 圆的方程:

l i ：A i x+B

i y+C i =0, |2：A 2X +B 2y+C 2=0, l i 丄|2的充要条件是 A i A 2+B 1 B 2=O 。 ⑴标准方程：①（X a ）2 (y b)2 r 2 •，② ⑵一般方程：x 2 2

y Dx Ey 0 ( D 2

E 2 4

F 0)

注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0 6•圆的方程的求法： ⑴待定系数法； 7•点、直线与圆的位置关系： ⑴点与

圆的位置关系： ①d R 表示圆 A=CM0 且 B=0 且 D 2+E 2 — 4AF>0 ;

⑵几何法。 （主要掌握几何法）

（d 表示点到圆心的距离） 点在圆上；②d R 点在圆内；③d R

（d 表示圆心到直线的距离） ③d R 相离。 ⑵直线与圆的位置关系： ①d R 相切；②d R 相交; ⑶圆与圆的位置关系：（d 表示圆心距,

R, r 表示两圆半径，且 点在圆外。 ①d R r 相离；②d R r

④d R r 内切；⑤0 d R

外切；③R r d 内含。

R r 相交; 8、直线与圆相交所得弦长|AB| 2J r 2 d 2 9. 过圆x 2+y 2=r 2

上的点M （X o ,y o ）的切线方程为: 10. 以A （x i , y 2）、B （x 2,y 2）为直径的圆的方程

是

2

x o x+y o y=r 2

;

(x — x i )(x — X 2)+(y — y i )(y

— y 2)=0;

二、课堂训练

1.(最值问题)已知实数X 、y 满足方程X 2

y 2

4x 1 0,

(1) 求y 的最大值和最小值；

X

X y 的最大值和最小值;

:方程求最值首推几何法，几何法应用的前提是要熟练的掌握所求表达式的 几何含义。

2.(位置关系)设m,n R ，若直线(m 1)x (n 1)y 2 的取值范围是()

的距离。

. . 2 2

5. (定点问题) 圆 C: (X — 1) + (y — 2) = 25,直线 l : (2 耐 1)x + (耐 1)y = 7耐 4 ( mE R).

(1) 证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒相交于两点； (2) 求O C 与直线l 相交弦长的最小值.

［解析］(1)将方程(2 m^ 1)x + ( m^ 1)y = 7n u4,变形为(2x + y — 7) m^ (x + y — 4) = 0. 直线l 恒过两直线2x + y — 7 = 0和x + y — 4= 0的交点，

2x + y — 7= 0 由

得交点M 3,1).

又••• (3 — 1) + (1 — 2) = 5<25,.・.点 M 3,1)在圆C 内，.••直线I 与圆C 恒有两个交点. ⑵ 由圆的性质可知，当l 丄CM 时，弦长最短. 又 | CM (3 — 1)2

+ (1 — 2)2

= V 5,

•••弦长为 I = 2p r 2

- I CM 2

= 2寸25- 5 = 4^5.

(2)求 (3)求 X 2

y 2的最大值和最小值。

【小结】 2 2

0与圆(x 1) (y 1)

1相切，则m n

【小结】：直线与圆锥曲线相切条件一般情况下需要联立方程令

血=0,而对于圆可特殊的表示为点到直线

3.(对称冋题) 圆 C i ：(X 3)2 (y 1)2

4关于直线 0对称的圆C 2的方程为：()

A. (X

3)2

(y 1)2

B. (X 1)2

(y 3)2

C. (X 1)2

(y 3)2

D.

(X 3)2

(y 1)2

【思考】：

圆关于直线的对称问题实际上是求 圆心关于直线的对称点 ，那直线关于直线的对称问题?

4. (图像法)若曲线y 山 X 2

与直线y

X b 始终有两个交点，贝y b 的取值范围是

【小结】：求直线与圆锥曲线相交弦长一般情况下需要联立方程计算|Za — Xsl，而对于圆可特殊的利用

I = 2庐二乔进行计算。

6.已知过点M 3, 3的直线I与圆x2 y2 4y 21 0相交于A, B两

点,

(1)若弦AB的长为2J15，求直线I的方程;

(2)设弦AB的中点为P，求动点P的轨迹方程.

解：(1 )若直线I 的斜率不存在，则I 的方程为

2

x 3，此时有y 4y 12 0，弦

|AB| |y A y B l 2 8，所以不合题意.

故设直线I的方程为3，即kx y 3k 3

将圆的方程写成标准式得 2 225, 所以圆心0, 2，半径r 5 .

圆心0, 2到直线I的距离汨，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，所以

孕225,即k 3

k21 0,所以k 3.

所求直线I的方程为3x y 12

(2)设P x,y，圆心O1 0, 2 ，连接O i P , 则O i P AB .当x 0且x 3 时，©P k AB 1,

又k AB k MP

y ( 3)

x ( 3)，

Y—- 1，化简得

x 3

(1)

3时, P点的坐标为0

,

2 ,

0,

3

,

2 ,

3

,

3都是方程(1)的解，所以弦AB

中点P的轨迹方程为x

【切点弦方程：过圆C:(x a)2(y 2 2

b) r外一点P(X0, Y c)作圆C的两条切线方程，切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线方程为: (x。a)(x a) (y。b)(y b) r2】

7.过点C(6 , - 8)作圆X2+ y2= 25的切线于切点一

- - - 15

2 A B,那么C到两切点A、B连线的距离为( )

A. 15

B. 1

C.

D. 5

【切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项,