最新大学物理-电介质习题思考题及答案

大学物理-电介质习题思考题及答案
习题
13-1. 如图为半径为R 的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和.已知极化强度为P (沿x 轴). （1）0P P =；（2）R
x P P 0
=. 解：（1）⎰⎰='='ds P ds q θσcos 由于0P P =介质被均匀极化，所以 0='q （2）在球面上任取一个球带
2
cos 22sin x
q ds P ds P R Rd R
π
σθπθθ''==
=⋅⋅⎰⎰⎰ )(cos cos 20
1
20θθd R P ⎰-=
2
043
P R π=
13-2. 平行板电容器，板面积为2cm 100，带电量C 109.87-⨯±，在两板间充满电介质后，其场强为V/m 104.16⨯，试求 ：（1）介质的相对介电常数r ε (2)介质表面上的极化电荷密度.
解：（1）S
Q
E r εε0=
18.710100104.11085.8109.846127
0=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---ES Q r εε
（2）5201
(1)7.6610r
Q P D E C m S σεε-'==-=
-=⨯ 13-3. 面积为S 的平行板电容器，两板间距为d ，求：（1）插入厚度为
3
d
，相对介电常数为r ε的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为3
d
的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？
解：（1）d
S
C 00ε=
S Q E 01ε=
S
Q E r εε02= 3
3200d
S Q d S Q U r ⋅+⋅=
εεε 0021323C d d S U Q C r
r r r εεεεε+=+==
（2）插入厚度为3
d
的导电板，可看成是两个电容的串联 d
S
C C 0213ε=
= 0021212
3
23C d S C C C C C ==+=
ε
13-4. 在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为0σ与σ'(绝对值)，试求：（1）电介质内的场强E ；（2）相对介电常数r ε.
解：（1）00
()S
d σσε'-•=⎰E S
'00
()
E σσε-=
（2） 0
0r
E σεε=
0000
0000r E σσεσεεεσσσσ=
=⋅=''
-- 13-5. 电学理论证明：一球形均匀电介质放在均匀外电场中会发生均匀极化.若已知此极化介质球的半径为R ，极化强度为P .求极化电荷在球心处产生的场强E '.
解：球面上极化电荷的面密度 θP σcos ='
球面上极化电荷元在球心处产生的场强 2
04R
πεq d E d '
=
' 由对称性可知只有场强的z 分量对球心处的电场有贡献
θE d E d Z
cos '-=' 把球面分割成许多球带，它在球心处产生的场强
θR πεθ
Rd θR πσθE d E d Z
cos 4)sin 2(cos 2
0'-='-='
⎰-='-='20
02
03cos 4)sin 2(2π
Z
εP
θR πεθRd θR πσE 13-6. 一圆柱形电容器，外柱的直径为cm 4，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度大小为
kV /cm 2000=E ．试求该电容器可能承受的最高电压．
解：r πελ
E 2= 02rE πελ= r R
rE dr r πελd U R r R r ln 20==•=⎰⎰r E
0=dr dU 0ln 00=-E r R E e R r =0 KV e
RE r R E r U 147ln
000max === 13-7. 一平行板电容器，中间有两层厚度分别为1d 和2d 的电介质，它们的相对介电常数为1r ε.和2r ε，极板面积为S ，求电容量.
解：S
Q
D D ===σ21 S
Q
E r 1
01εε=
S
Q
E r 2
02εε=
S
Qd S Qd d E d E U r r 2102
012211εεεε+
=
+=
2
1
210r
r
d d S U
Q
C εεε+
=
=
13-8. 计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为R , 带电量为Q . 解：3
014R Qr
E πε=
R r 2
024r Q E πε=
R r
dr r r
Q dr r R Qr dV E W R
R
2
22
002
20
3
00
20
4)4(
24)4(
2
2
ππεεππεεε⎰
⎰
⎰⎰⎰
∞
+
=
=
R
Q 02
203πε=
13-9. 半径为cm 0.2的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为cm 0.4和cm 0.5.当内球带电量为C 100.38-⨯时，求：（1）系统储存了多少电能?（2）用导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？
解：（1）01=E 2
024r
Q E πε=
),(12R r R R r
球与球壳之间的电能
)1
1(84)4(2
2
1022
2
2
00
2
11
R R Q dr r r Q
dV E W R R
-==
=⎰
⎰⎰⎰
πεππεεε
球壳外部空间的电能 202
2
2200
2
284)4(222R Q dr r r
Q
dV E W R πεππεεε===⎰⎰⎰⎰
∞
系统储存的电能 51218.210W W W J -=+=⨯ （2）球与球壳内表面所带电荷为0 01=W 外表面所带电荷不变 J W W 52101.8-⨯==
13-10. 球形电容器内外半径分别为1R 和2R ，充有电量Q .（1）求电容器内
电场的总能量；（2）证明此结果与按C
Q W 2
e 21=算得的电容器所储电能值相
等。

解：（1） 2
04r Q E πε=
21R r R
21012212022
2
2
00
2
8)()1
1(84)4(2
2
2
1
R R R R Q R R Q dr r r Q
dV E W R R πεπεππεεε-=
-==
=⎰
⎰⎰⎰
（2）球形电容器的电容 1
2210
4R R R R C -=πε
2
101222e 8)
(21R R R R Q C Q W πε-=
= 结果一样 13-11. 一平行板电容器的板面积为S ，两板间距离为d ，板间充满相对介电常数为r ε的均匀介质.分别求出下述两种情况下外力所做的功：（1）维持两板上面电荷密度0σ不变而把介质取出；（2）维持两板上电压U 不变而把介质取出.
解：（1）板间充满均匀介质时 r r Sd Sd E W εεσεε02
02
012121==
取出介质后 0
202
022121εσεSd Sd E W ==
外力所做的功等于静电场能量的增加 )1
1(2102
012r
Sd W W W εεσ-=-=∆
（2）板间充满均匀介质时 2
0212121U d
S CU W r εε==
取出介质后 2
0222121U d
S CU W ε==
02
211(1)2r S W W W U d
εε∆=-=
- 思考题
13-1. 介质的极化强度与介质表面的极化面电荷是什么关系？ 答：θP σcos ='
13-2. 不同介质交界面处的极化电荷分布如何？
答：1n 1e P •='1σ 2n 2e P •='2σ
n 21e P P •-=)(P σ 即在两种介质的交界面上，极化电荷的面密度等于两种介质的极化强度的法向分量之差。

13-3. 介质边界两侧的静电场中D 及E 的关系如何？
答：在两种介质的交界面上，若无自由电荷电位移矢量在垂直界面的分量是连续的，平行于界面的分量发生突变。

电场强度在垂直界面的分量是不连续的，有突变。

13-4. 真空中两点电荷A q 、B q 在空间产生的合场强为B A E E E +=.系统的电场能为τετεd 21
d 21020
e 00E E ⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
V V E W ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅++=0
00d d 21d 21B A 02
B 02A 0V V V E E τετετεE E .
（1）说明等式后面三项能量的意义；
（2）B A 、两电荷之间的相互作用能是指哪些项？
（3）将B A 、两电荷从给定位置移至无穷远，电场力做功又是哪些项？ 答：第一项表示点电荷A 所形成的电场的能量，第二项是点电荷B 所形成的电
场的能量，第三项是两个点电荷的相互作用能。