2013年安徽普高专升本统考《高等数学》试题答案解析
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(安徽卷,解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi g ，则z = （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -【答案】A 【解析】设2bi 2a 2)i b (a 2bi)i -a (bi)+a (22z bi.z -a =z .bi,+a =z 22+=++=+⋅⇒=+⋅z i 则i z b a a +=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22所以选A（2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）16 （B ）2524 （C ）34 （D ）1112【答案】D 【解析】.1211,1211122366141210=∴=++=+++=s s Θ,所以选D（3）在下列命题中，不是公理．．的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；C 选项可以推导证明，故是定理。
所以选A（4）"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的 （A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】 当a=0 时，，时，且上单调递增；当，在x ax x f x a x f y x x f )1()(00)0()(||)(+-=><∞+=⇒= .)0()(0所以a .)0()(上单调递增的充分条件，在是上单调递增，在∞+=≤∞+=x f y x f y 0a )0()(≤⇒∞+=上单调递增，在相反，当x f y ,.)0()(0a 上单调递增的必要条件，在是∞+=≤⇒x f y故前者是后者的充分必要条件。
2013年高考理科数学安徽卷word解析版
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线
4．(2013安徽，理4)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内
单调递增”的()．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(2013安徽，理5)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五
10．(2013安徽，理10)若函数f(x)＝x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))
3＋ax2＋bx＋c有极值点x
A．3B．4C．5D．6
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
8
a
4
的系数为7a__________.，则实数＝
6
2
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡
上的指定区域内．
2013安徽理科数学第2页
16．(2013安徽，理16)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cosωx·
期为π.
(1)求ω的值；
sin
π
x(ω＞0)的最小正周
4
(2)讨论f(x)在区间0,
2．(2013安徽，理2)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()．
125311
6B．24C．4D．12
A．
3．(2013安徽，理3)在下列命题中，不是．．公理的是()．
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此
2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(安徽卷带解析)试题
数学试题
1、【题文】设 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则 的值为 （ ）
A．-3
B．-1
C．1
D．3
2、【题文】已知 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
3、【题文】如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
4、【题文】“ ”是“ ”的（ ）
20、【题文】 设函数 ，其中 ，区间 .
（Ⅰ）求 的长度（注：区间 的长度定义为 ；
（Ⅱ）给定常数 ，当 时，求 长度的最小值.
21、【题文】已知椭圆 的焦距为4，且过点 .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设 为椭圆 上一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 。取点 ,连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 。点 是点 关于 轴的对称点，作直线 ，问这样作出的直线 是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.
（Ⅱ）不画图，说明函数 的图像可由 的图象经过怎样的变化得到.
17、【题文】为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：
（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
15、【题文】如图，正方体 的棱长为1， 为 的中点， 为线段 上的动点，过点 的平面截该正方体所得的截面记为 ，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）。
①当 时， 为四边形
②当 时， 为等腰梯形
③当 时， 与 的交点 满足
2013高考数学(文)真题专业解析(安徽卷)(精)
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）（安徽卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，若复数a －103i－（a ∈R ）是纯虚数，则a 的值为（ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案：D 思路分析：考点解剖：考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.解题思路：本题可以将复数按照商的运算法则展开运算，根据题目条件复数为纯虚数展开计算。
解答过程：解：利用复数运算规律可知，i a i a i a i i a i i i a i a --=+-=+-=-+-=+-+-=--)3()3(10)3(109)3(10)3)(3()3(103102， 所以a =3，故选择D规律总结：复数为纯虚数时，复数的实部为0，虚部不为零是解题的关键. （2）已知A =｛x |x +1>0｝，B =｛－2，－1，0，1｝，则（RA ）∩B =（ ）A ．｛－2，－1｝B ．｛－2｝C ．{－2，0，1}D．{0，1}答案：A思路分析：考点解剖：考查集合的交集和补集，属于简单题.解题思路：本题可以利用不等式来解答出对应A集合，再结合集合的运算来解答。
解答过程：解：由A：1->x，}1|{-≤=xxACR ，∵B=｛－2，－1，0，1｝∴}2,1{)(--=BACR，所以答案选A规律总结：集合的交集、并集和补集的运算可以结合数轴，利用数形结合来解答。
（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）A．34B．16C．1112D．2524答案：C 思路分析：考点解剖：本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题.解题思路：本题首先要分析所给的程序框图，结合程序框图中的限制条件n <8来解答. 解答过程： 解：21210,0,2=+===s s n ；434121,21,4=+===s s n ；12116143,43,6=+===s s n1211,8==s n ，输出所以答案选择C.规律总结：循环结构的程序框图，解答此类问题主要是分析题目中给的判断条件，何时应该跳出循环，以及循环变量的变化规律.（4）“(21)0x x -=”是“0x =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B 思路分析：考点解剖：考查充分条件和必要条件的判定，属于简单题.解题思路：对于充分必要条件的判定，需要分析所给的两条件之间的关系，判断两者之间的互推关系。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)-理科数学
安徽理科本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．,．在试题卷、草稿纸上答题无效4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.参考公式:如果事件A与B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013安徽,理1)设i是虚数单位,是复数z的共轭复数.若z·i+2=2z,则z=().A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案:A解析:设z=a+b i(a,b∈R),则由z·i+2=2z得(a+b i)(a-b i)i+2=2(a+b i),即(a2+b2)i+2=2a+2b i,所以2a=2,a2+b2=2b,所以a=1,b=1,即z=a+b i=1+i.2.(2013安徽,理2)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是().A. B. C. D.答案:D解析:开始2<8,s=0+,n=2+2=4;返回,4<8,s=,n=4+2=6;返回,6<8,s=,n=6+2=8;返回,8<8不成立,输出s=.3.(2013安徽,理3)在下列命题中,不是．．公理的是().A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案:A解析:由立体几何基本知识知,B选项为公理2,C选项为公理1,D选项为公理3,A选项不是公理.4.(2013安徽,理4)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:函数f(x)的图象有以下三种情形:a=0a>0a<0由图象可知f(x)在区间(0,+∞)内单调递增时,a≤0,故选C.5.(2013安徽,理5)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生.随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是().A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数答案:C解析:五名男生成绩的平均数为(86+94+88+92+90)=90,五名女生成绩的平均数为(88+93+93+88+93)=91,五名男生成绩的方差为==8,五名女生成绩的方差为=--=6,所以,故选C.6.(2013安徽,理6)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为-或,则f(10x)>0的解集为().A.{x|x<-1或x>-lg2}B.{x|-1<x<-lg2}C.{x|x>-lg2}D.{x|x<-lg2}答案:D解析:由题意知-1<10x<,所以x<lg=-lg2,故选D.7.(2013安徽,理7)在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为().A.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2B.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2C.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=1D.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1答案:B解析:由题意可知,圆ρ=2cosθ可化为普通方程为(x-1)2+y2=1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x=0和x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2,故选B.8.(2013安徽,理8)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,x n,使得=…=,则n的取值范围是().A.{3,4}B.{2,3,4}C.{3,4,5}D.{2,3}答案:B解析:=…=可化为----=…=--,故上式可理解为y=f(x)图象上一点与坐标原点连线的斜率相等,即n可看成过原点的直线与y=f(x)的交点个数.如图所示,由数形结合知识可得,①为n=2,②为n=3,③为n=4.9.(2013安徽,理9)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||==2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是().A.2B.2C.4D.4答案:D解析:以为邻边作一个平行四边形,将其放置在如图平面直角坐标系中,使A,B两点关于x轴对称,由已知||=||=·=2,可得出∠AOB=60°,点A(,1),点B(,-1),点D(2,0).现设P(x,y),则由=λ+μ得(x,y)=λ(,1)+μ(,-1),即-由于|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R,可得--画出动点P(x,y)满足的可行域为如图阴影部分,故所求区域的面积为2×2=4.10.(2013安徽,理10)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是().A.3B.4C.5D.6答案:A解析:由f'(x)=3x2+2ax+b=0得,x=x1或x=x2,即3(f(x))2+2af(x)+b=0的根为f(x)=x1或f(x)=x2的解.如图所示,x1<x2x2<x1由图象可知f(x)=x1有2个解,f(x)=x2有1个解,因此3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数为3.第Ⅱ卷(非选择题共100分)考生注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答,在试题卷上答题无效．．．．．．．．．.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(2013安徽,理11)若的展开式中x4的系数为7,则实数a=.答案:解析:∵的通项为x8-r a r(-)r=a r x8-r-a r--,∴8-r-=4,解得r=3.∴a3=7,得a=.12.(2013安徽,理12)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=.答案:π解析:∵3sin A=5sin B,∴3a=5b.①又∵b+c=2a,②∴由①②可得,a=b,c=b,∴cos C=--=-,∴C=π.13.(2013安徽,理13)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a 的取值范围为.答案:[1,+∞)解析:如图,设C(x0,)(≠a),A(-,a),B(,a),则=(--x0,a-),=(-x0,a-).∵CA⊥CB,∴·=0,即-(a-)+(a-)2=0,(a-)(-1+a-)=0,∴=a-1≥0,∴a≥1.14.(2013安徽,理14)如图,互不相同的点A1,A2,…,A n,…和B1,B2,…,B n,…分别在角O的两条边上,所有A n B n相互平行,且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n=a n.若a1=1,a2=2,则数列{a n}的通项公式是.答案:a n=-解析:设=S,∵a1=1,a2=2,OA n=a n,∴OA1=1,OA2=2.又易知△OA1B1∽△OA2B2,∴.∴梯形=3=3S.∵所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等,且△OA1B1∽△OA n B n,∴--.∴-,a n=-.15.(2013安徽,理15)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①当0<CQ<时,S为四边形②当CQ=时,S为等腰梯形③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=④当<CQ<1时,S为六边形⑤当CQ=1时,S的面积为答案:①②③⑤解析:当CQ=时,D1Q2=D1+C1Q2=,AP2=AB2+BP2=,所以D1Q=AP,又因为AD1∥2PQ,所以②正确;当0<CQ<时,截面为APQM,且为四边形,故①也正确,如图(1)所示;图(1)如图(2),当CQ=时,由△QCN∽△QC1R得,即,C1R=,故③正确;图(2)如图(3)所示,当<CQ<1时,截面为五边形APQMF,所以④错误;当CQ=1时,截面为APC1E,图(3),故⑤正确.可知AC1=,EP=,且四边形APC1E为菱形,四边形三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.(2013安徽,理16)(本小题满分12分)已知函数f(x)=4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解:(1)f(x)=4cosωx·sin=2sinωx·cosωx+2cos2ωx=(sin2ωx+cos2ωx)+=2sin.因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,从而有=π,故ω=1.(2)由(1)知,f(x)=2sin.若0≤x≤,则≤2x+.当≤2x+,即0≤x≤时,f(x)单调递增;当≤2x+,即≤x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.17.(2013安徽,理17)(本小题满分12分)设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,区间I={x|f(x)>0}.(1)求I的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α);(2)给定常数k∈(0,1),当1-k≤a≤1+k时,求I长度的最小值.解:(1)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根x1=0,x2=, 故f(x)>0的解集为{x|x1<x<x2}.因此区间I=,I的长度为.(2)设d(a)=,则d'(a)=-.令d'(a)=0,得a=1.由于0<k<1,故当1-k≤a<1时,d'(a)>0,d(a)单调递增;当1<a≤1+k时,d'(a)<0,d(a)单调递减.所以当1-k≤a≤1+k时,d(a)的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得.而------<1,故d(1-k)<d(1+k).因此当a=1-k时,d(a)在区间[1-k,1+k]上取得最小值--.18.(2013安徽,理18)(本小题满分12分)设椭圆E:-=1的焦点在x轴上.(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;(2)设F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.解:(1)因为焦距为1,所以2a2-1=,解得a2=.故椭圆E的方程为=1.(2)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=-.由题设知x0≠c,则直线F1P的斜率,直线F2P的斜率-,故直线F2P的方程为y=-(x-c).当x=0时,y=-,即点Q坐标为-.因此,直线F1Q的斜率为-.由于F1P⊥F1Q,所以··-=-1.化简得-(2a2-1).①将①代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.19.(2013安徽,理19)(本小题满分13分)如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°,AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°.(1)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面;(2)求cos∠COD.(1)证明:设面PAB与面PCD的交线为l.因为AB∥CD,AB不在面PCD内,所以AB∥面PCD.又因为AB⊂面PAB,面PAB与面PCD的交线为l,所以AB∥l.由直线AB在底面上而l在底面外可知,l与底面平行.(2)解:设CD的中点为F.连接OF,PF.由圆的性质,∠COD=2∠COF,OF⊥CD.因为OP⊥底面,CD⊂底面,所以OP⊥CD.又OP∩OF=O,故CD⊥面OPF.又CD⊂面PCD,因此面OPF⊥面PCD.从而直线OP在面PCD上的射影为直线PF,故∠OPF为OP与面PCD所成的角.由题设,∠OPF=60°.设OP=h,则OF=OP·tan∠OPF=h·tan60°=h.根据题设有∠OCP=22.5°,得OC=.由1=tan45°=-和tan22.5°>0,可解得tan22.5°=-1,因此OC=-=(+1)h.在Rt△OCF中,cos∠COF=,故cos∠COD=cos(2∠COF)=2cos2∠COF-1=2()2-1=17-12.20.(2013安徽,理20)(本小题满分13分)设函数f n(x)=-1+x++…+(x∈R,n∈N*).证明:(1)对每个n∈N*,存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0;(2)对任意p∈N*,由(1)中x n构成的数列{x n}满足0<x n-x n+p<.证明:(1)对每个n∈N*,当x>0时,f'n(x)=1++…+->0,故f n(x)在(0,+∞)内单调递增.由于f1(1)=0,当n≥2时,f n(1)=+…+>0,故f n(1)≥0.又f n=-1+≤-=-·---=-·-<0,所以存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0.(2)当x>0时,f n+1(x)=f n(x)+>f n(x),故f n+1(x n)>f n(x n)=f n+1(x n+1)=0.由f n+1(x)在(0,+∞)内单调递增知,x n+1<x n,故{x n}为单调递减数列,从而对任意n,p∈N*,x n+p<x n.对任意p∈N*,由于f n(x n)=-1+x n++…+=0,①f n+p(x n+p)=-1+x n+p++…++…+=0.②①式减去②式并移项,利用0<x n+p<x n≤1,得x n-x n+p=-≤-.因此,对任意p∈N*,都有0<x n-x n+p<.21.(2013安徽,理21)(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责.已知该系共有n位学生,每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;(2)求使P (X=m )取得最大值的整数m.解:(1)因为事件A :“学生甲收到李老师所发信息”与事件B :“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件,所以 与 相互独立.由于P (A )=P (B )=- -,故P ( )=P ( )=1-,因此学生甲收到活动通知信息的概率P=1---.(2)当k=n 时,m 只能取n ,有P (X=m )=P (X=n )=1.当k<n 时,整数m 满足k ≤m ≤t ,其中t 是2k 和n 中的较小者.由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为( )2.当X=m 时,同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k-m.仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m-k.由乘法计数原理知:事件{X=m }所含基本事件数为- --- - -.此时P (X=m )=- - -- --. 当k ≤m<t 时,P (X=m )≤P (X=m+1)⇔ - --- - -⇔(m-k+1)2≤(n-m )(2k-m )⇔m ≤2k-. 假如k ≤2k-<t 成立,则当(k+1)2能被n+2整除时, k ≤2k- <2k+1-≤t.故P (X=m )在m=2k- 和m=2k+1-处达最大值;当(k+1)2不能被n+2整除时, P (X=m )在m=2k-处达最大值.(注:[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k ≤2k-<t. 因为1≤k<n ,所以2k- -k= - -- --≥0. 而2k- -n=- -<0,故2k-<n. 显然2k-<2k. 因此k ≤2k-<t.。
2013年高考文科数学安徽卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校招生(zhāo shēng)全国统一考试（安徽卷）数学(shùxué)（文科(wénkē)）本试卷(shìjuàn)分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分(mǎn fēn)150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013安徽，文1)设i是虚数单位，若复数(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )．A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】D【考点】本题主要考查复数的基本运算以及基本概念，意在考查考生的运算能力。
【解析】由已知，得＝a－3－i，∵复数103ia--为纯虚数，∴a－3＝0，即a＝3.2．(2013安徽，文2)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1，0,1}，则(R A)∩B＝( )．A．{－2，－1} B．{－2} C．{－1,0,1} D．{0,1}【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生的基本运算能力和基本概念的理解能力。
【解析】∵A＝{x|x＞－1}，∴R A＝{x|x≤－1}，∴(R A)∩B＝{－2，－1}．3．(2013安徽，文3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为( )．A．34B．16C．1112D．2524【答案】C【考点】本题主要考查程序框图的循环结构，计算输出结果，意在考查考生对循环结构的理解和计算累加的和。
【解析】开始，2＜8，s＝0＋，n＝2＋2＝4；返回，4＜8，，n＝4＋2＝6；返回，6＜8，，n＝6＋2＝8；返回，8＜8不成立，输出.4．(2013安徽，文4)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )．A ．充分(chōngfèn)不必要条件B ．必要(bìyào)不充分条件C ．充分(chōngfèn)必要条件D ．既不充分(chōngfèn)也不必要条件 【答案(d á àn)】B【考点】本题主要考查充分必要条件的基本知识和基本概念，意在考查考生对方程的求解以及概念的识别。
2013年高考文科数学安徽卷-答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】21010(3i)10(3i)10(3i)(3i)(3)i 3i (3i)(3i)9i 10a a a a a a +++-=-=-=-=-+=----+-，所以3a =，故选D ． 【提示】先利用复数的运算法则将复数化为i(,)x y x y +∈R 的形式，再由纯虚数的定义求a 【考点】复数的基本概念． 2.【答案】A【解析】1x >-，{|1}A x x =≤-R ð，(){1,2}A B =--R I ð，故选A ． 【提示】解不等式求出集合A ，进而得A R ð，再由集合交集的定义求解． 【考点】集合的交集和补集运算． 3.【答案】C【解析】1120022n s s ===+=，，；111342244n s s ===+=，，；33111644612n s s ===+=，，； 11812n s ==，，输出，故选C ． 【提示】利用框图的条件结构和循环结构求解． 【考点】条件语句、循环语句的程序框图. 4.【答案】B【解析】1(21)002x x x -==，或，故选B ．【提示】先解一元二次方程(21)0x x -=，再利用充分条件、必要条件的定义判断． 【考点】充分条件和必要条件． 5.【答案】D【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率333110p ++==，故选D ． 【提示】把所求事件转化为求其对立事件，然后求出概率.【考点】随机事件与概率． 6.【答案】C【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =，半径r =，所以弦长为4，故选C ．【提示】把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后利用勾股定理求弦长． 【考点】直线与圆的相交方程，点到直线距离公式．【考点】等差数列的基本性质． 8.【答案】B【解析】1111()()00f x f x x x -=-表示11(,())x f x 到原点的斜率；1212()()()n nf x f x f x x x x ===L 表示 1122(,()),(,())(,())n n x f x x f x x f x L ，，与原点连线的斜率，而1122(,()),(,()),(,())n n x f x x f x x f x L ，在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B ． 【提示】利用()f x x的几何意义，将所求转化为直线与曲线的交点个数问题并列用数形结合求解． 【考点】斜线公式，直线与曲线相交． 9.【答案】B【解析】3sin 5sin A B =Q 由正弦定理，所以5353a b a b ==即；因为2b c a +=，所以73c a =，2221cos 22a b c C ab +-==-，所以2π3C =，故选B ． 【提示】利用正弦定理、余弦定理和解三角形的基本知识，将三角形中正弦关系转化为边的关系，进而利用余弦定理求解角的大小．【考点】正弦定理和余弦定理的基本运算． 10.【答案】A【解析】2()32f x x ax b '=++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0f x af x b ++=，则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象：如图则有3个交点，故选A ．【提示】先求给定函数的导函数，由极值点的定义及题意，得出1()f x x =或2()f x x =，再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数． 【考点】函数的单调性、极值．第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】(0,1]【解析】2110011011x x x x x ⎧+>⇒><-⎪⎨⎪-≥⇒-≤≤⎩或，求交集之后得x 的取值范围(0,1]．【提示】列出函数有意义的限制条件，解不等式组． 【考点】复合函数的定义域. 12.【答案】4【解析】由题意约束条件的图像如下：当直线经过(4,0)时，404z x y =+=+=， 取得最大值．【提示】先画出可行线，再画目标函数线过原点时的直线，向上平移，寻找满足条件的最优解，代入即可得所求．【考点】二元线性规划求目标函数最值． 13.【答案】13-【解析】等式平方得：2222||9||||4||4a b a b a b ==++r r r r r r g 则222||||4||4||||cos a a b a b θ=++r r r r rg ，即 2204||43||cos b b θ=+r rg ，得1cos 3θ=-．【提示】根据两个向量的夹角公式，利用向量模的转化求出两向量夹角余弦值． 【考点】向量的线性运算，平面向量的数量积.【解析】当10x -≤≤，则011x ≤+≤，故(1)(1)(11)(1)f x x x x x +=+--=-+，又(1)2()f x f x +=， 所以(1)()2x x f x +=-． 【提示】根据题意把整体代入，再根据(1)2()f x f x +=求出()f x 【考点】函数解析式． 15.【答案】①②③⑤ 【解析】（1）12CQ =，S 等腰梯形，②正确，图（1）如下；图1（2）1CQ =，S 2）如下；图2（3）34CQ =，画图（3）如下：113C R =，③正确；图3（4）314CQ <<，如图（4）是五边形，④不正确；图4（5）102CQ <<，如下图（5），是四边形，故④正确．图5【提示】利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解. 【考点】空间立体图形截面的基本性质． 三、解答题16.【答案】（1）ππ13()sin sin coscos sin sin sin sin 3322f x x x x x x x x x =++=+=+ππ66x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当πsin 16x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min ()f x = 此时π3π2π62x k +=+，4π2π,()3x k k ∴=+∈Z ，所以，()f x 的最小值为x 的集合4π2π,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．（2）sin y x =横坐标不变，倍，得y x ；然后y x =向左平移π6个单位，得π()6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【提示】把目标函数通过恒等变换转换为三角函数标准式得到结果，结合三角函数解析式，考查三角函数图象的平移伸缩变换等基础知识和基本技能． 【考点】三角函数的图象及性质，三角恒等变换．17.【答案】解：（1）设甲校高三年级学生总人数为n ．由题意知，300.05n=，即600n =．样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5.据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为551306-=．（2）设甲、乙两校样本平均数分别为1x '，2x '．根据样本茎叶图可知，()121230()3030(75)(55814)241265(262479)(2220)92x x x x '-'='-'=-++-+--+--+-+249537729215=+--++=．因此120.5x x '-'=．故12x x -的估计值为0.5分．【提示】利用样本估计总体的思想，从茎叶图中得出数据进行平均数计算． 【考点】随机抽样,茎叶图.18.【答案】（1）连接AC ，交BD 于O 点，连接PO ．因为底面ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BO DO =．由PB PD =知，PO BD ⊥．再由PO AC O =I 知，BD ⊥面APC ，因此BD PC ⊥（2）因为E 是PA 的中点，所以1122P BCE C PEB C PAB B APC V V V V ----===．由2PB PD AB AD ==== 知，ABD PBD △≌△．因为60BAD ∠=︒，所以PO AO ==AC =1BO =．又PA =，222PO AO PA +=，即PO AC ⊥，故132APC S PO AC ==g △． 由（1）知，BO ⊥面APC ，因此11112232P BCE B APCAPC V V BO S --===g g g △． 【提示】根据线面垂直得到线线垂直；根据四棱锥体积求出体积. 【考点】点、直线、平面之间的位置关系，四棱锥体积公式.19.【答案】（1）由12a =，248a a +=，1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++-gg ， 1212sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=-+-⋅-⋅（），121π02n n n n f a a a a +++⎛⎫'=-+-= ⎪⎝⎭，所以122n n n a a a ++=+{}n a ∴是等差数列．而12a =，34a =，1d =，2111n a n n ∴=+-=+g （）．（2）11112212(1)222n n n a n n b a n n +⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()112221212(21)11=(3)1312122n n n n n n S n n n n ++=+++-=++---．【提示】根据()f x 的导函数证明n a 为等差数列，然后根据首项、公差得到通项公式；把{}n a 通项公式代入{}n b ，求出结果.【考点】等差数列,等比数列的基本性质. 20.【答案】（1）21aa + （2）2122kk k --+【解析】（1）因为方程22100()()ax a x a -+=>有两个实根10x =，221ax a=+，故()0f x >的解集为12{|}x x x x <<，因此区间20,1a a I ⎛⎫⎪+⎝⎭=，区间长度为21a a +． （2）设2()1ad a a=+，则222()11a a d a -(+')=，令()0d a '=，得1a =．由于01k <<，当11k a -≤<时，()0d a '>， ()d a 单调递增；当11a k <≤+时，()0d a '<，()d a 单调递减．因此当11k a k -≤≤+时，()d a 的最小值必定在1a k =-或1a k =+处取得．而22123112311112<112k k k k d k k k d k k k -+(-)++(+)(-)--==(+)-+，故()1)1(d k d k -<+． 因此当1a k =-时，()d a 在区间1,]1[k k -+上取得最小值2122kk k--+． 【提示】利用导数求函数单调区间、最值． 【考点】一元二次方程,导函数.21.【答案】（1）22184x y +=（2）见解析【解析】（1）因为焦距为4，所以224a b -=．又因为椭圆C过点P ，所以22231a b+=，故28a =，24b =，从而椭圆C 的方程为22184x y +=． （2）由题意，E 点坐标为0(),0x ．设0(),D D x，则0(,AE x =-u u u r，(,D AD x =-u u u r．再由AD AE ⊥知，0AE AD =u u u r u u u rg ，即080D x x +=．由于000x y ≠，故08D x x =-．因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点08,0G x ⎛⎫⎪⎝⎭．故直线QG 的斜率000028008G x Q k y x y x x =--=． 又因00()Q x y ，在C 上，所以220028x y +=④从而002QG x k y -=．故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭④将④代入C 方程，得22220000216640(1)6x y x x x y +-+-=．④再将④代入④，化简得220020x x x x -+=．解得0x x =，0y y =，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．【提示】根据焦距和点P 求出椭圆的标准方程；联立直线与椭圆方程求证公共点个数． 【考点】椭圆的标准方程及其几何性质,直线与椭圆的位置关系.。
2013年安徽省高考真题数学试卷及答案(理科)word版
（Ⅰ）求的长度（注：区间 ( , ) 的长度定义为
）；
（Ⅱ）给定常数 k (0,1) ，当时，求 l 长度的最小值。
18．（本小题满分
12 分）
设椭圆
x2 E : a2
y2 1 a2
1的焦点在 x 轴上
（Ⅰ）若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程；
（Ⅱ） 设 F1, F2 分别是椭圆的左、 右焦点， P 为椭 圆 E 上的第一象限内的点， 直线 F2P 交 y 轴与点 Q ，
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分） 一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中
目要求的。
_
1．设 i 是虚数单位， z 是复数 z 的共轭复数，若 I | x f (x)>0 zi+2=2z ，则 z =
①当 0 CQ
1 时， S 为四边形；②当 CQ
1 时， S 为等腰梯形；③当 CQ
3 时， S与 C1D1 的交
2
2
4
点 R 满足 C1 R1
1
3
；④当
CQ
1 时， S 为六边形；⑤当 CQ
1 时， S 的面积为
6。
3
4
2
三 . 解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上 的指定区域内。
（ B） x |-1<x<lg2
（ C） x |x>-lg2
（ D） x|x<-lg2
7．在极坐标系中，圆 p =2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为
（ A） =0( R)和 cos=2
2013年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷数学理
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1.(5分)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若(z·)i+2=2z，则z=( )A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i解析：设z=a+bi(a，b∈R)，则，由，得(a+bi)(a-bi)i=2(a+bi)，整理得2+(a2+b2)i=2a+2bi.则，解得.所以z=1+i.答案：A.2.(5分)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.B.C.D.解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值∵S=++=.答案：D.3.(5分)在下列命题中，不是公理的是( )A. 平行于同一个平面的两个平面平行B. 过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C. 如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理.答案：A.4.(5分)“a≤0”是”函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0，+∞)内单调递增”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：当“a≤0”时，x∈(0，+∞)，f(x)=|(ax-1)x|=-a(x-)x，结合二次函数图象可知函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0，+∞)内单调递增.若a＞0，如取a=1，则函数f(x)=|(ax-1)x|=|(x-1)x|，当x∈(0，+∞)时f(x)=，如图所示，它在区间(0，+∞)内有增有减，从而得到函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0，+∞)内单调递增得出a≤0.”a≤0”是”函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0，+∞)内单调递增”的充要条件.答案：C.5.(5分)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是( )A. 这种抽样方法是一种分层抽样B. 这种抽样方法是一种系统抽样C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D. 该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数解析：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样.五名男生这组数据的平均数=(86+94+88+92+90)÷5=90，方差=[(86-90)2+(94-90)2+(88-90)2+(92-90)2+(90-90)2]=8.五名女生这组数据的平均数=(88+93+93+88+93)÷5=91，方差=[(88-91)2+(93-91)2+(93-91)2+(88-91)2+(93-91)2]=6.故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差.答案：C.6.(5分)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜-1或x＞}，则f(10x)＞0的解集为( )A. {x|x＜-1或x＞-lg2}B. {x|＜-1＜x＜-lg2}C. {x|x＞-lg2}D. {x|x＜-lg2}解析：由题意可知f(x)＞0的解集为{x|-1＜x＜}，故可得f(10x)＞0等价于-1＜10x＜，由指数函数的值域为(0，+∞)一定有10x＞-1，而10x＜可化为10x＜，即10x＜10-lg2，由指数函数的单调性可知：x＜-lg2答案：D7.(5分)在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A. θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2B. θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2C. θ=(ρ∈R)和ρcosθ=1D. θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1解析：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以(1，0)为圆心，1为半径的圆.故圆的两条切线方程分别为(ρ∈R)，ρcosθ=2.答案：B.8.(5分)函数y=f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是( )A. {3，4}B. {2，3，4}C.{3，4，5}D. {2，3}解析：∵表示(x，f(x))点与原点连线的斜率，若=…=，则n可以是2，如图所示：n可以是3，如图所示：n可以是4，如图所示：但n不可能大于4答案：B9.(5分)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=·=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A.B.C.D.解析：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形.不妨设A()，B().再设P(x，y).由，得：.所以，解得①.由|λ|+|μ|≤1.所以①等价于或或或. 可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为.答案：D.10.(5分)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( )A. 3B. 4C. 5D. 6解析：f′(x)=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设x2＞x1，由3(f(x))2+2af(x)+b=0，则有两个f(x)使等式成立，x1=f(x1)，x2＞x1=f(x1)，如下示意图象：如图有三个交点，答案：A.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.(5分)若的展开式中x4的系数为7，则实数a= .解析：由通项公式T r+1==，∵的展开式中x4的系数为7，∴，解得.答案：.12.(5分)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C= .解析：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=，∵b+c=2a，∴c=，∴cosC==-，∵C∈(0，π)，∴C=.答案：13.(5分)已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，+∞) .解析：如图所示，可知A，B，设C(m，m2)，，.∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=.化为m2-a+(m2-a)2=0.∵m，∴m2=a-1≥0，解得a≥1.∴a 的取值范围为[1，+∞).答案：[1，+∞).14.(5分)如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是.解析：设，∵OA 1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S.故梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S.∵所有A n B n相互平行，∴所有△OA n B n(n∈N*)都相似，∴，，，…，∵，∴，，….∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+(n-1)×3=3n-2.∴.因此数列{a n}的通项公式是.答案：.15.(5分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为.解析：如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1·PF==，故正确.答案：①②③⑤三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16.(12分)已知函数f(x)=4cosωx·sin(ωx+)(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间[0，]上的单调性.解析：(1)先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；(2)由于x是[0，]范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f(x)在区间[0，]上的单调性.答案：(1)f(x)=4cosωxsin(ωx+)=2sinωx·cosωx+2cos2ωx=(sin2ωx+cos2ωx)+=2sin(2ωx+)+，所以 T==π，∴ω=1.(2)由(1)知，f(x)=2sin(2x+)+，因为0≤x≤，所以≤2x+≤，当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f(x)是增函数，当≤2x+≤时，即≤x≤时，f(x)是减函数，所以f(x)在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减.17.(12分)设函数f(x)=ax-(1+a2)x2，其中a＞0，区间I={x|f(x)＞0}(Ⅰ)求I的长度(注：区间(a，β)的长度定义为β-α)；(Ⅱ)给定常数k∈(0，1)，当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值.解析：(Ⅰ)解不等式f(x)＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；(Ⅱ)由(Ⅰ)构造函数d(a)=，利用导数可判断d(a)的单调性，由单调性可判断d(a)的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案.答案：(Ⅰ)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a＞0)有两个实根x1=0，＞0，故f(x)＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，因此区间I=(0，)，区间长度为；(Ⅱ)设d(a)=，则d′(a)=，令d′(a)=0，得a=1，由于0＜k＜1，故当1-k≤a＜1时，d′(a)＞0，d(a)单调递增；当1＜a≤1+k时，d′(a)＜0，d(a)单调递减，因此当1-k≤a≤1+k时，d(a)的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得，而=＜1，故d(1-k)＜d(1+k)，因此当a=1-k时，d(a)在区间[1-k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值为.18.(12分)设椭圆E：的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上.解析：(1)利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；(2)设P(x0，y0)，F1(-c，0)，F2(c，0)，其中.利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P的斜率=，直线F2P的方程为.即可得出Q.得到直线F1Q的斜率=.利用F1Q⊥F1P，可得= .化为.与椭圆的方程联立即可解出点P的坐标.答案：(1)∵椭圆E的焦距为1，∴，解得.故椭圆E的方程为.(2)设P(x0，y0)，F1(-c，0)，F2(c，0)，其中.由题设可知：x 0≠c.则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=.故直线F2P的方程为.令x=0，解得.即点Q.因此直线F1Q的斜率=.∵F1Q⊥F1P，∴=.化为.联立，及x0＞0，y0＞0，解得，.即点P在定直线x+y=1上.19.(13分)如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD 是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；(2)求cos∠COD.解析：(1)利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；(2)先作出OP与平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求得cos∠COD.答案：(1)设平面PAB与平面PCD的交线为l，∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD，∵AB⊂面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l，∵AB在底面上，l在底面外，∴l与底面平行；(2)设CD的中点为F，连接OF，PF，由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD，∵OP⊥底面，CD⊂底面，∴OP⊥CD，∵OP∩OF=O，∴CD⊥平面OPF，∵CD⊂平面PCD，∴平面OPF⊥平面PCD，∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF，∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角，由题设，∠OPF=60°，设OP=h，则OF=OPtan∠OPF=，∵∠OCP=22.5°，∴，∵tan45°==1，∴tan22.5°=，∴OC==，在Rt△OCF中，cos∠COF===，∴cos∠COD=cos(2∠COF)=2cos2∠COF-1=17-12.20.(13分)设函数f n(x)=-1+x+++…+(x∈R，n∈N+)，证明：(1)对每个n∈N+，存在唯一的x∈[，1]，满足f n(x n)=0；(2)对于任意p∈N+，由(1)中x n构成数列{x n}满足0＜x n-x n+p＜.解析：(1)由题意可得f′(x)＞0，函数f(x)在(0，+∞)上是增函数.求得f n(1)＞0，f n()＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立.(2)由题意可得f n+1(x n)＞f n(x n)=f n+1(x n+1)=0，由 f n+1(x) 在(0，+∞)上单调递增，可得 x n+1＜x n，故x n-x n+p＞0.用 f n(x)的解析式减去f n+p (x n+p)的解析式，变形可得x n-x n+p=+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于，综上可得要证的结论成立.答案：(1)对每个n∈N+，当x＞0时，由函数f n(x)=-1+x+)，可得f′(x)=1+++…＞0，故函数f(x)在(0，+∞)上是增函数.由于f1(x1)=0，当n≥2时，f n(1)=++…+＞0，即f n(1)＞0.又f n()=-1++[+++…+]≤-+·=-+×=-·＜0，根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x n，满足f n(x n)=0.(2)对于任意p∈N+，由(1)中x n构成数列{x n}，当x＞0时，∵f n+1(x)=f n(x)+＞f n(x)，∴f n+1(x n)＞f n(x n)=f n+1(x n+1)=0.由 f n+1(x) 在(0，+∞)上单调递增，可得 x n+1＜x n，即 x n-x n+1＞0，故数列{x n}为减数列，即对任意的 n、p∈N+，x n-x n+p＞0.由于 f n(x n)=-1+x n+++…+=0 ①，f n+p (x n+p)=-1+x n+p+++…++[++…+]②，用①减去②并移项，利用 0＜x n+p≤1，可得x n-x n+p=+≤≤＜=＜.综上可得，对于任意p∈N+，由(1)中x n构成数列{x n}满足0＜x n-x n+p＜.21.(13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.(I)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(II)求使P(X=m)取得最大值的整数m.解析：(I)由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；(II)由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n进行研究，k=n时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P(X=m)，再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可.答案：(I)因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P(A)=P(B)==，故P()=P()=1-，因此学生甲收到活动信息的概率是1-(1-)2=(II)当k=n时，m只能取n，此时有P(X=m)=P(X=n)=1当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和m中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为()2，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k-m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m-k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为P(X=M)==当k≤m＜t时，P(X=M)＜P(X=M+1)⇔(m-k+1)2≤(n-m)(2k-m)⇔m≤2k-假如k≤2k-＜t成立，则当(k+1)2能被n+2整除时，k≤2k-＜2k+1-＜t，故P(X=M)在m=2k-和m=2k+1-处达到最大值；当(k+1)2不能被n+2整除时，P(X=M)在m=2k-[]处达到最大值(注：[x]表示不超过x的最大整数)，下面证明k≤2k-＜t因为1≤k＜n，所以2k--k=≥=≥0而2k--n=＜0，故2k-＜n，显然2k-＜2k因此k≤2k-＜t.。
2013安徽--高考数学理科试题及解析(精校版)
.
所以, .
（Ⅱ） .
.
。
法二：（Ⅰ）证明;设面 与面 的交线为 ，
因为 ， 不在面 内，所以 ,
又因为 ,面 与面 的交线为 ，所以 ，
由直线 在底面上，而 在地面外可知， 与底面平行。
（Ⅱ）解：设 的中点为 ，连接 ,
由圆的性质， ,
因为
又 ,因此 ,而直线 在面 上的射影为直线 ，故
5．C【解析】对A选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A选项错。
对B选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B选项错。
对C选项，男生方差为40，女生方差为30。所以C选项正确。
对D选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91。所以D选项错。
所以选C
6．D【解析】由题知，一元二次不等式 的解集是 ，即 .所以x<-ln2,所以选D。
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是
7．B【解析】在极坐标系中，圆心坐标
所以选B
8．B【解析】由题知，过原点的直线y = x与曲线 相交的个数即n的取值.用尺规作图，交点可取2,3,4.
所以选B
9．D【解析】考察三点共线向量知识:
.
在本题中， .
建立直角坐标系，设
A(2,0),
所以选D
10．A【解析】使用代值法。
设 .
.
所以选A
2013年高考文科数学安徽卷考试试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(安徽卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013安徽，文1)设i 是虚数单位，若复数103ia --(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．32．(2013安徽，文2)已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1，0,1}，则(R A )∩B ＝( )．A ．{－2，－1}B ．{－2}C ．{－1,0,1}D ．{0,1} 3．(2013安徽，文3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为( )．A ．34B ．16C ．1112D ．25244．(2013安徽，文4)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2013安徽，文5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )．A ．23B ．25C ．35 D ．9106．(2013安徽，文6)直线x ＋2y －50被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( )．A ．1B ．2C ．4 D．7．(2013安徽，文7)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )．A ．－6B ．－4C ．－2D ．28．(2013安徽，文8)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得11f x x ()＝22f x x ()＝…＝n n f x x ()，则n 的取值范围为( )．A ．{2,3}B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{3,4,5}9．(2013安徽，文9)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )．A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．5π610．(2013安徽，文10)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1＜x 2，则关于x的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(2013安徽，文11)函数1ln 1y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭__________．12．(2013安徽，文12)若非负变量x ，y 满足约束条件124,x y x y -≥-⎧⎨+≤⎩则x ＋y 的最大值为__________．13．(2013安徽，文13)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为__________． 14．(2013安徽，文14)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝__________.15．(2013安徽，文15)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ ＜12时，S 为四边形 ②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形 ③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13④当34＜CQ ＜1时，S 为六边形⑤当CQ ＝1时，S 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．(2013安徽，文16)(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin x ＋πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．17．(2013安徽，文17)(本小题满分12分)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1x ，2x ，估计12x x -值．18．(2013安徽，文18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA.(1)证明：PC⊥BD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．(1)证明：连接AC，交BD于O点，连接PO.因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.由PB＝PD知，PO⊥BD．再由PO∩AC＝O知，BD⊥面APC，因此BD⊥PC．19．(2013安徽，文19)(本小题满分13分)设数列{a n}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(a n－a n＋1＋a n＋2)x＋a n＋1cos x－a a＋2sin x满足π'02f⎛⎫=⎪⎝⎭.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝212nn aa⎛⎫+⎪⎝⎭，求数列{b n}的前n项和S n.20．(2013安徽，文20)(本小题满分13分)设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间I ＝{x |f (x )＞0}．(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．21．(2013安徽，文21)(本小题满分13分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的焦距为4，且过点P ，．(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点．过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A (0,，连接AE .过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG .问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(安徽卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：D解析：由已知，得1010(3i)10(3i)3i(3i)(3)10a a a++-=-=---+＝a－3－i，∵复数103ia--为纯虚数，∴a－3＝0，即a＝3.2．答案：A解析：∵A＝{x|x＞－1}，∴R A＝{x|x≤－1}，∴(R A)∩B＝{－2，－1}．3．答案：C解析：开始，2＜8，s＝0＋12，n＝2＋2＝4；返回，4＜8，113244s=+=，n＝4＋2＝6；返回，6＜8，31114612s=+=，n＝6＋2＝8；返回，8＜8不成立，输出1112s=.4．答案：B解析：由(2x－1)x＝0，得x＝12或x＝0.故(2x－1)x＝0是x＝0的必要不充分条件．5．答案：D解析：五人录用三人共有10种不同方式，分别为：{丙，丁，戊}，{乙，丁，戊}，{乙，丙，戊}，{乙，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，乙，戊}，{甲，乙，丁}，{甲，乙，丙}．其中含甲或乙的情况有9种，故选D．6．答案：C解析：由圆的一般方程可化为圆的标准方程：(x－1)2＋(y－2)2＝5，可知圆心坐标为(1,2)1=，2=.故弦长为4.7．答案：A解析：由S8＝4a3知：a1＋a8＝a3，a8＝a3－a1＝2d＝a7＋d，所以a7＝d＝－2.所以a9＝a7＋2d＝－2－4＝－6.8．答案：B 解析：11f x x ()＝22f x x ()＝…＝n n f x x ()可化为1100f x x ()--＝2200f x x ()--＝…＝00n n f x x ()--，所以可以理解为图象上一点与坐标原点确定的斜率相等．由数形结合可得：曲线①为n ＝2，曲线②为n ＝3，曲线③为n＝4.9． 答案：B解析：∵3sin A ＝5sin B ， ∴3a ＝5b . ① 又b ＋c ＝2a, ②∴由①②可得，a ＝53b ，c ＝73b ， ∴cos C ＝222222257335223b b b b ac ab b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=⨯＝12-.∴C ＝23π.10． 答案：A解析：由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0，得 x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解，由题可知f (x )的草图为：由数形结合及x 1＜x 2可知满足f (x )＝x 1的解有2个，满足f (x )＝x 2的解仅有1个，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实数根个数为3.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．答案：(0,1]解析：由2110,10x x ⎧+>⎪⎨⎪-≥⎩⇒10,11x x x <->⎧⎨-≤≤⎩或⇒0＜x ≤1. ∴该函数的定义域为(0,1]．12．答案：4 解析：约束条件表示的可行域如图阴影部分．由线性规划知识得最优解为(4,0)，令z ＝x ＋y ，则z max ＝4＋0＝4.13．答案：13-解析：∵|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，∴|a |2＝9|b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，∴a ·b ＝－|b |2，∴cos 〈a ，b 〉＝22||1||||3||3⋅-==-a b b a b b .14．答案：12-x (x ＋1)解析：∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1， ∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)] ＝12-x (x ＋1)． 15．答案：①②③⑤解析：当CQ ＝12时，D 1Q 2＝D 1C 12＋C 1Q 2，AP 2＝AB 2＋BP 2，所以D 1Q ＝AP .又因为AD 1∥PQ ，AD 1＝2PQ ，所以②正确；当0＜CQ ＜12时，截面为APQM ，所以为四边形，故①也正确，如图①所示．图①如图②，当CQ ＝34时，由△QCN ∽△QC 1R 得 11C Q C R CQ CN =，即114314C R=，C 1R ＝13，故③正确．图②如图③所示，当CQ ＝1时，截面为APC 1E . 可知AC 1，EP且APC 1E 为菱形，1APC E S 四边形＝2当34＜CQ ＜1时，截面为五边形APQMF . 所以④错误．图③三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． 16．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋12sin x＋2cos x＝32sin x＋2cos xπsin 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以当x ＋π6＝2k π－π2，即x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f (x )取最小值此时x 的取值集合为2π2π,3x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z.(2)先将y ＝sin x倍(横坐标不变)，得yx 的图象；再将ysin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位，得y ＝f (x )的图象． 17．解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n .由题意知，30n＝0.05，即n ＝600. 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为 5.据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为551306-=. (2)设甲、乙两校样本平均数分别为1x '，2x '.根据样本茎叶图可知，121230()3030x x x x '-'='-'＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92 ＝2＋49－53－77＋2＋92 ＝15.因此120.5x x '-'=.故12x x -的估计值为0.5分．18．(1)证明：连接AC ，交BD 于O 点，连接PO . 因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，BO ＝DO .由PB ＝PD 知，PO ⊥BD ．再由PO ∩AC ＝O 知，BD ⊥面APC ，因此BD ⊥PC ． (2)解：因为E 是PA 的中点，所以V P －BCE ＝V C －PEB ＝12V C －PAB ＝12V B －APC ． 由PB ＝PD ＝AB ＝AD ＝2知，△ABD ≌△PBD ． 因为∠BAD ＝60°，所以PO ＝AOAC＝BO ＝1. 又PA，PO 2＋AO 2＝PA 2，即PO ⊥AC ，故S △APC ＝12PO ·AC ＝3. 由(1)知，BO ⊥面APC ，因此V P －BCE ＝12V B －APC ＝12·13·BO ·S △APC ＝12.19．解：(1)由题设可得，f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x ．对任意n ∈N *，π'2f ⎛⎫⎪⎝⎭＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝212nn a a ⎛⎫+⎪⎝⎭＝21112n n +⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝2n ＋12n＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·12n n (+)＋11122112n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-＝n 2＋3n ＋1－12n .20．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，221ax a =+，故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}，因此区间I ＝20,1a a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，区间长度为21a a +.(2)设d (a )＝21aa +，则d ′(a )＝22211a a -(+)，令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故当1－k ≤a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增； 当1＜a ≤1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．因此当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而23223211211<111211kd k k k k k d k k kk -(-)--+(-)==+(+)-++(+)， 故d (1－k )＜d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值2122kk k --+.21．解：(1)因为焦距为4，所以a 2－b 2＝4.又因为椭圆C 过点P)，所以22231a b +=，故a 2＝8，b 2＝4，从而椭圆C 的方程为22184x y +=. (2)由题意，E 点坐标为(x 0,0)．设D (x D,0)，则AE ＝(x 0，-)，AD ＝(x D，-)． 再由AD ⊥AE 知，AE ·AD ＝0，即x D x 0＋8＝0. 由于x 0y 0≠0，故x D ＝08x -. 因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点G 08,0x ⎛⎫⎪⎝⎭. 故直线QG 的斜率k QG ＝000200088y x y x x x =--. 又因Q (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以 x 02＋2y 02＝8.① 从而k QG ＝02x y -. 故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.②将②代入椭圆C 方程，得(x 02＋2y 02)x 2－16x 0x ＋64－16y 02＝0.③ 再将①代入③，化简得 x 2－2x 0x ＋x 02＝0.解得x ＝x 0，y ＝y 0，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．。
2013年数学高考题安徽理解析精校版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(安徽卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．草稿纸上答题无效．．．．．．．．．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．参考公式：如果事件A与B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)如果事件A与B相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013安徽，理1)设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若·i+2=2z z z，则z＝()．A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i答案：A解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则由·i+2=2z z z得(a＋b i)(a－b i)i＋2＝2(a＋b i)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2b i，所以2a＝2，a2＋b2＝2b，所以a＝1，b＝1，即z＝a＋b i＝1＋i.2．(2013安徽，理2)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()．A．16B．2524C．34D．1112答案：D解析：开始2＜8，110+22s==，n＝2＋2＝4；返回，4＜8，113244s=+=，n＝4＋2＝6；返回，6＜8，31114612s=+=，n＝6＋2＝8；返回，8＜8不成立，输出1112 s=.3．(2013安徽，理3)在下列命题中，不是．．公理的是()．A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案：A解析：由立体几何基本知识知，B选项为公理2，C选项为公理1，D选项为公理3，A 选项不是公理．4．(2013安徽，理4)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：函数f(x)的图象有以下三种情形：a＝0 a＞0 a＜0 由图象可知f(x)在区间(0，＋∞)内单调递增时，a≤0，故选C.5．(2013安徽，理5)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是()．A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数答案：C解析：五名男生成绩的平均数为15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，五名女生成绩的平均数为15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，五名男生成绩的方差为21s ＝22222869094908890929090905(-)+(-)+(-)+(-)+(-)＝8，五名女生成绩的方差为22s＝22288913939165(-)+(-)=，所以2212s s >，故选C.6．(2013安徽，理6)已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则f (10x )＞0的解集为( )．A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2}B ．{x |－1＜x ＜－lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2} 答案：D解析：由题意知－1＜10x ＜12， 所以x ＜1lg2＝－lg 2，故选D. 7．(2013安徽，理7)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )．A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 答案：B解析：由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B. 8．(2013安徽，理8)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()，则n 的取值范围是( )．A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3} 答案：B解析：1212===n n f x f x f x x x x ()()() 可化为1212000===000n n f x f x f x x x x ()-()-()---- ，故上式可理解为y ＝f (x )图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与y＝f (x )的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为n ＝2，②为n ＝3，③为n ＝4.9．(2013安徽，理9)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =⋅= ，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R所表示的区域的面积是( )．A． B．C． D．答案：D解析：以OA ，OB为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于x 轴对称，由已知|OA |＝|OB |＝OA ·OB＝2，可得出∠AOB ＝60°，点A1)，点B1)，点D 0)．现设P (x ，y )，则由OP＝λOA ＋μOB得(x ，y )＝λ(，1)＋μ(，－1)，即,.x y λμλμ+)=-=⎪⎩ 由于|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R ，可得11,x y⎧≤⎪⎨-≤≤⎪⎩画出动点P (x ，y )满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为.10．(2013安徽，理10)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：A解析：由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．如图所示，x 1＜x 2 x 2＜x 1由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(2013安徽，理11)若8x ⎛+ ⎝的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝__________. 答案：12解析：∵8x ⎛+ ⎝的通项为1838C ()r r rr x a x --883388=C C r r r rr rr ra xxa x----=，∴8－r －3r＝4，解得r ＝3. ∴338C 7a =，得12a =.12．(2013安徽，理12)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝__________.答案：2π3解析：∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b .① 又∵b ＋c ＝2a ，②∴由①②可得，53a b =，73c b =， ∴22222257133cos 52223b b b b ac C ab b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C =.13．(2013安徽，理13)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为__________．答案：[1，＋∞)解析：如图，设C (x 0，20x )(20x ≠a )，A(a )，Ba )，则CA ＝(0x ，20a x -)，CB ＝0x ，20a x -)．∵CA ⊥CB ，∴CA ·CB＝0，即－(a －20x )＋(a －20x )2＝0，(a －20x )(－1＋a －20x )＝0，∴20x ＝a －1≥0，∴a ≥1. 14．(2013安徽，理14)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是__________．答案：n a = 解析：设11OA B S ∆＝S ， ∵a 1＝1，a 2＝2，OA n ＝a n ， ∴OA 1＝1，OA 2＝2.又易知△OA 1B 1∽△OA 2B 2， ∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭. ∴1122A B B A S 梯形＝311OA B S ∆＝3S .∵所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，且△OA 1B 1∽△OA n B n ，∴1n OA OA ===∴1n a a =n a =.15．(2013安徽，理15)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q 为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ＜12时，S为四边形②当CQ＝12时，S为等腰梯形③当CQ＝34时，S与C1D1的交点R满足C1R＝13④当34＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ＝1时，S答案：①②③⑤解析：当CQ＝12时，D1Q2＝211D C＋C1Q2＝54，AP2＝AB2＋BP2＝54，所以D1Q＝AP，又因为AD1∥2PQ，所以②正确；当0＜CQ＜12时，截面为APQM，且为四边形，故①也正确，如图(1)所示；图(1)如图(2)，当CQ＝34时，由△QCN∽△QC1R得11C Q C RCQ CN=，即114314C R=，C1R＝13，故③正确；图(2)如图(3)所示，当34＜CQ ＜1时，截面为五边形APQMF ，所以④错误； 当CQ ＝1时，截面为APC 1E ，图(3)可知AC 1EP APC 1E 为菱形，S 四边形APC 1E ＝2，故⑤正确．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．(2013安徽，理16)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·πsin 4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝ωx ·cos ωx ＋2ωx(sin 2ωx ＋cos 2ωx )π2sin 24x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π=π2ω，故ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝π2sin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.若0≤x ≤π2，则ππ5π2444x ≤+≤.当πππ2442x ≤+≤，即π08x ≤≤时，f (x )单调递增； 当ππ5π2244x ≤+≤，即ππ82x ≤≤时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．17．(2013安徽，理17)(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间I ＝{x |f (x )＞0}．(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，221ax a=+， 故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}．因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +. (2)设d (a )＝21aa+，则d ′(a )＝22211a a -(+). 令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故当1－k ≤a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增； 当1＜a ≤1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而23223211211111211kd k k k k k d k k kk -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)， 故d (1－k )＜d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值2122kk k --+. 18．(2013安徽，理18)(本小题满分12分)设椭圆E ：2222=11x y a a +-的焦点在x 轴上． (1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14， 解得a 2＝58. 故椭圆E 的方程为2288=153x y +.(2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c =由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率1F P k ＝00y x c +， 直线F 2P 的斜率2F P k ＝00y x c -，故直线F 2P 的方程为y ＝00()y x c x c --．当x ＝0时，y ＝0cy c x -，即点Q 坐标为0(0,)cy c x -.因此，直线F 1Q 的斜率为1F Q k ＝0y c x -.由于F 1P ⊥F 1Q ， 所以11F P F Q k k ⋅＝0000y yx c c x ⋅+-＝－1. 化简得22200(21)y x a =--．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．19．(2013安徽，理19)(本小题满分13分)如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.(1)证明：平面P AB 与平面PCD 的交线平行于底面；(2)求cos ∠COD .(1)证明：设面P AB 与面PCD 的交线为l . 因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内， 所以AB ∥面PCD .又因为AB ⊂面P AB ，面P AB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l . 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．(2)解：设CD 的中点为F .连接OF ，PF . 由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD . 因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP ⊥CD .又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD .从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ， 故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角． 由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ， 则OF ＝OP ·tan ∠OPF ＝h ·tan 60°. 根据题设有∠OCP ＝22.5°，得tan tan 22.5OP hOC OCP ==∠︒. 由1＝tan 45°＝22tan 22.51tan 22.5︒-︒和tan 22.5°＞0，可解得tan 22.5°＝2－1， 因此1)OC h ==. 在Rt △OCF中，cos ∠COF＝OF OC == 故cos ∠COD ＝cos(2∠COF )＝2cos2∠COF －1＝21=17--.20．(2013安徽，理20)(本小题满分13分)设函数f n (x )＝23222123nx x x x n-+++++ (x ∈R ，n ∈N *)．证明：(1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0； (2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0＜x n －x n ＋p ＜1n.证明：(1)对每个n ∈N *，当x ＞0时，f ′n (x )＝11+2n x x n-++ ＞0，故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增．由于f 1(1)＝0，当n ≥2时，f n (1)＝22211123n+++ ＞0，故f n (1)≥0. 又2222221121131 ()3334334kk n n n k k f k ==⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=-++≤-+=-+ ⎪⎝⎭∑∑· 2112213312023313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⋅< ⎪⎝⎭-，所以存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0.(2)当x ＞0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋121n x n +(+)＞f n (x )，故f n ＋1(x n )＞f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0. 由f n ＋1(x )在(0，＋∞)内单调递增知，x n ＋1＜x n ，故{x n }为单调递减数列， 从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p ＜x n . 对任意p ∈N *，由于f n (x n )＝222102nn n n x x x n -++++= ，①f n ＋p (x n ＋p )＝2122221+021n n n pn p n p n p n p n p x x x x x n n n p ++++++-++++++=(+)(+)＋.② ①式减去②式并移项，利用0＜x n ＋p ＜x n ≤1，得x n －x n ＋p ＝222211k kkkn pn pnn p n n p n p k k n k n x x x x k k k +++++==+=+-+≤∑∑∑ 21111(1)n p n pk n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+.因此，对任意p ∈N *，都有0＜x n －x n ＋p ＜1n.21．(2013安徽，理21)(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .解：(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝11C C k n k n k n--=，故P (A )＝P (B )＝1k n -，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn k P n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. (2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k ＜n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n .当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m .仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －k .由乘法计数原理知：事件{X ＝m }所含基本事件数为2C C C C C C kk mm k k m k m k n kn k n kn k ------=. 此时P (X ＝m )＝22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n k n k kn k k kn n------=. 当k ≤m ＜t 时，P (X ＝m )≤P (X ＝m ＋1)⇔C C m km k kn k ---≤11C C m k m kkn k +-+-- ⇔(m －k ＋1)2≤(n －m )(2k －m )⇔m ≤2(1)22k k n +-+. 假如k ≤2(1)22k k n +-+＜t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时，k ≤2(1)22k k n +-+2(1)212k k n +<+-+≤t .故P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n +-+和m ＝2(1)212k k n ++-+处达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦处达最大值．(注：[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k ≤2(1)22k k n +-+＜t .因为1≤k ＜n ，所以2(1)22k k n +-+－k ＝2211110222kn k k k k k n n n --(+)---≥=≥+++.而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++，故2k －(k ＋1)2n ＋2＜n .显然2(1)22k k n +-+＜2k .因此k ≤2(1)22k k n +-+＜t .。
2013年安徽普高专升本统考《高等数学》试题答案解析
安徽省2012年普通高等学校专升本招生考试高等数学注意事项：1．试卷共8页，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的位置。
2．答题前将密封线内的项目填写完整。
一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。
共10小题，每小题3分，共30分）1.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0,sin 0,3)(x a xx x e x f x 在0=x 在处连续，则=a （ C ）A. 0B. 1C. 2D. 3解：由)0()00()00(f f f =-=+得231=⇒=+a a ,故选C.2.当0→x 时，与函数2)(x x f =是等价无穷小的是（ A ） A. )1ln(2x + B. x sin C.x tan D. x cos 1-解：由11ln(lim 1ln()(lim )220)20=+=+→→x x x x f x x ,故选A.3.设)(x f y =可导，则'-)]([x e f =（ D ）A. )(xef -' B. )(x e f -'- C. )(x x e f e --' D. )(x x e f e --'-解：)()()()]([x x x x x e f e e e f e f -----'-='⋅'=',故选D.4.设x 1是)(x f的一个原函数，则⎰=dx x f x )(3（ B ） A.C x +221 B. C x +-221 C. C x +331 D. C x x +ln 414解：因x 1是)(x f的一个原函数,所以211)(x x x f -='⎪⎭⎫⎝⎛=,所以C x xdx dx x f x +-=-=⎰⎰2321)(故选B. 5.下列级数中收敛的是（ C ）A. ∑∞=-1374n nn n B. ∑∞=-1231n n C.∑∞=132n n n D. ∑∞=121sinn n解：因121)1(lim 2122)1(lim 33313<=+=+∞→+∞→n n n n n n n n ,所以∑∞=132n n n 收敛,故选C.6.交换⎰⎰⎰⎰+=102121121),(),(y yydx y x f dy dx y x f dy I 的积分次序，则下列各项正确的是（ B ） A. ⎰⎰122),(xx dy y x f dx B.⎰⎰1022),(x x dy y x f dy C.⎰⎰2122),(x x dy y x f dx D.⎰⎰2122),(x x dy y x f dx解：由题意画出积分区域如图:故选B.7.设向量21,αα是非齐次线性方程组AX =b 的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是（ D ） A.21αα+ B. 21αα- C. 212αα+ D. 212αα-解：因,2)(2121b b b A A A =+=+=+αααα同理得,0)(21=-ααA ,3)2(21b A =+αα,)2(21b A =-αα故选D.8.已知向量)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321--==-=αααk 线性相关,则=k （ D ） A. -2 B. 2 C. -3 D. 3解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛03002240112125402240112125400021121321k k k k ααα 由于123,,ααα线性相关,所以123(,,)2r ααα≤,因此3=k9.设B A ,为事件，且,2.0)(,4.0)(,6.0)(===AB P B P A P 则=)(B A P （ A ） A.0.2 B. 0. 4 C. 0.6D. 0.8解:2.0)]()()([1)(1)()(=-+-=+-=+=AB P B P A P B A P B A P B A P 10.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是（ B ） A.163 B. 207 C. 41 D. 21解: 由全概率公式得20751415243=⨯+⨯=p二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学试题 (文科) word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）[详细解析]一．选择题选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为 （ ）（A ）-3（B ）-1（C ）1（D ）3【答案】D 【解析】i a i a i a i i a i i i a i a --=+-=+-=-+-=+-+-=--)3()3(10)3(109)3(10)3)(3()3(103102，所以a =3，故选择D【考点定位】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.（2）已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B ⋂=（ ）（A ）{}2,1-- （B ）{}2- （C ）{}1,0,1- （D ）{}0,1【答案】A【解析】A ：1->x ，}1|{-≤=x x A C R ，}2,1{)(--=B A C R I ，所以答案选A 【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题.（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（A ）34（B ）16 （C ）1112 （D ）2524【答案】C【解析】21210,0,2=+===s s n ； 434121,21,4=+===s s n ；12116143,43,6=+===s s n1211,8==s n ，输出所以答案选择C【考点定位】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题.（4）“(21)0x x -=”是“0x =”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】210,0)12(或==-x x x ，所以答案选择B 【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.（5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 （A ）23 (B) 25 (C) 35 （D ）910【答案】D【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率333110p ++== 【考点定位】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题.（6）直线2550x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）46 【答案】C【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离1+4-5+5=15d =，半径5r =，所以最后弦长为222(5)14-=.【考点定位】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题.（7）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a = （A ）6- （B ）4- （C ）2- （D ）2 【答案】A 【解析】188333636978()4420226a a S a a a a a a d a a d +=⇒=⇒+=∴==-=+=-【考点定位】考查等差数列通项公式和前n 项公式的应用，以及数列基本量的求解.(8) 函数()y f x =的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,,,n x x x L ，使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===L ，则n 的取值范围为 (A) {}2,3 (B) {}2,3,4 (C) {}3,4 (D) {}3,4,5【答案】B【解析】1111()()0f x f x x x -=-表示11(,())x f x 到原点的斜率；1212()()()n nf x f x f x x x x ===L 表示1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x L ，，，与原点连线的斜率，而1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x L ，，，在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B.【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.(9) 设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =(A)3π (B) 23π (C) 34π (D) 56π【答案】B【解析】B A sin 5sin 3=Θ由正弦定理，所以b a b a 35,53==即； 因为a c b 2=+，所以a c 37=， 212cos 222-=-+=ab c b a C ，所以32π=C ，答案选择B 【考点定位】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度.（10）已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为 （A ）3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【答案】A【解析】2'()32f x x ax b =++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0f x af x b ++=，则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象如下：如图则有3个交点，故选A.【考点定位】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解.二．填空题（11） 函数21ln(1)1y x x=+-的定义域为_____________. 【答案】(]0,1【解析】2110011011x x xx x ⎧+>⇒><-⎪⎨⎪-≥⇒-≤≤⎩或，求交集之后得x 的取值范围(]0,1 【考点定位】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于0，分母不为0，偶次根式底下大于等于0.（12）若非负数变量,x y 满足约束条件124x y x y -≥-⎧⎨+≤⎩，则x y +的最大值为__________.【答案】4【解析】由题意约束条件的图像如下：当直线经过(4,0)时，404z x y =+=+=，取得最大值.【考点定位】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时z 取最大.（13）若非零向量,a b r r满足32a b a b ==+r r r r ，则,a b r r夹角的余弦值为_______.【答案】3-【解析】等式平方得：2222944a b a b a b ==++⋅r r r r r r则22244||||cos a a b a b θ=++⋅r r r u r r，即220443||cos b b θ=+⋅r r 得1cos 3θ=-【考点定位】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简.（14）定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时。
2013年安徽高考理科数学试题与答案详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z = （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -【答案】A 【解析】设2bi 2a 2)i b (a 2bi)i -a bi)+a z i z bi.z -a =z bi,+a =z 22+=++=+•⇒2=2+•((.则i zb a a+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22所以选A（2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）16 （B ）2524 （C ）34 （D ）1112【答案】D【解析】.1211,1211122366141210=∴=++=+++=s s ,所以选D（3）在下列命题中，不是公理．．的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理。
所以选A（4）"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的 （A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】 当a =0 时，，时，且上单调递增；当，在x ax x f x a x f y x x f )1()(00)0()(||)(+-=><∞+=⇒= )(x f y =在)(∞+0，上单调递增.所以0≤a 是)(x f y =在)(∞+0，上单调递增的充分条件 0a )0()(≤⇒∞+=上单调递增，在相反，当x f y ,0≤a ⇒.)()(上单调递增的必要条件，在是∞+0=x f y故前者是后者的充分必要条件。
【纯Word版解析】2013年普通高等学校招生统一考试——理科数学(安徽卷)2
2013年高考真题精校精析安徽卷(理科数学)1． 设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i1．A [解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈)，则z ＝a －b i ，所以z ·z i ＋2＝2z ，即2＋(a 2＋b 2)i ＝2a ＋2b i ，根据复数相等的充要条件得2＝2a ，a 2＋b 2＝2b ，解得a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.2． 如图1－1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )图1－1A.16B.2524C.34D.11122．D [解析] 依次运算的结果是s ＝12，n ＝4；s ＝12＋14，n ＝6；s ＝12＋14＋16，n ＝8，此时输出s ，故输出结果是12＋14＋16＝1112.3． 在下列命题中，不是．．公理的是( ) A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．A [解析] 选项B 、C 、D 中的都是公理，都是平面的三个基本性质． 4．、 “a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．C [解析] f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |，若a ＝0，则f (x )＝|x |，此时f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；若a <0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a <0，且x ＝0时y ＝0，此时y ＝ax 2－x 在区间(0，＋∞)上单调递减且y <0恒成立，故f (x )＝|ax 2－x |在区间(0，＋∞)上单调递增，故a ≤0时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是充分的；反之若a >0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a >0，且在区间0，12a 上y <0，此时f (x )＝|ax 2－x |在区间0，12a 上单调递增，在区间12a ，1a 上单调递减，故函数f (x )不可能在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是必要的． 5．、 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数5．C [解析] 分层抽样是按照比例的抽样，由于男女生人数不同，抽取的人数相同；系统抽样是按照一定规则的分段抽样，故题中抽样方法即不是分层抽样也不是系统抽样．又五名男生的成绩的平均数为90，方差为8，五名女生成绩的平均数是91，方差为6，但该班所有男生成绩的平均数未必小于该班所有女生成绩的平均数．故选项C 中的结论正确，选项D 中的结论不正确．6．、、 已知一元二次不等式f (x )<0的解集为，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}6．D [解析] 根据已知可得不等式f (x )>0的解是－1<x <12，故－1<10x <12，解得x <－lg 2.7． 在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈)和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈)和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈)和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈)和ρcos θ＝17．B [解析] 圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，故垂直于极轴的两条切线的直角坐标方程为x ＝0，x ＝2，其极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈)和ρcos θ＝2.8． 函数y ＝f (x )的图像如图1－2所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n，则n 的取值范围是( )图1－2A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3}8．B [解析] 问题等价于直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )图像的交点个数，从图中可以看出交点个数可以为2，3，4，故n 的取值范围是{2，3，4}．9．、 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈}所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 39．D [解析] 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，可得点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上且∠AOB ＝60°，在平面直角坐标系中，设A (2，0)，B (1，3)，设P (x ，y )，则(x ，y )＝λ(2，0)＋μ(1，3)，由此得x＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得μ＝y 3，λ＝12x －12 3y ，由于|λ|＋|μ|≤1，所以12x －12 3y ＋13y ≤1，即|3x －y |＋|2y |≤2 3.①⎩⎨⎧3x －y ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤2 3或②⎩⎨⎧3x －y ≥0，y <0，3x －3y ≤2 3或 ③⎩⎨⎧3x －y <0，y ≥0，－3x ＋3y ≤23或④⎩⎨⎧3x －y <0，y <0，－3x －y ≤2 3.上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影部分所示，所以所求区域的面积是4 3.10．， 若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．610．A [解析] 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0且3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根分别为x 1，x 2，所以f (x )＝x 1或f (x )＝x 2，当x 1是极大值点时，f (x 1)＝x 1，x 2为极小值点，且x 2>x 1，如图(1)所示，可知方程f (x )＝x 1有两个实根，f (x )＝x 2有一个实根，故方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根；当x 1是极小值点时，f (x 1)＝x 1，x 2为极大值点，且x 2<x 1，如图(2)所示，可知方程f (x )＝x 1有两个实根，f (x )＝x 2有一个实根，故方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根；综合以上可知，方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根．11． 若x ＋a 3x8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________.11.12 [解析] 二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8a rx 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r ＝3，故C 38a 3＝7，解得a ＝12.12． 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.12.2π3[解析] 由3sin A ＝5sin B 可得3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，所以可令a ＝5t ，b ＝3t ，c ＝7t (t >0)，可得cos C ＝（5t ）2＋（3t ）2－（7t ）22×5t ×3t＝－12，故C ＝2π3.13． 已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．13．[1，＋∞) [解析] 方法一：设直线y ＝a 与y 轴交于M 点，若抛物线y ＝x 2上存在C 点使得∠ACB ＝90°，只要以|AB |为直径的圆与抛物线y ＝x 2有除A 、B 外的交点即可，即使|AM |≤|MO |，所以a ≤a ，所以a ≥1或a ≤0，因为由题意知a >0，所以a ≥1.方法二：设C (m ，m 2)，由已知可令A (a ，a )，B (－a ，a )，则AC →＝(m －a ，m 2－a )，BC →＝(m ＋a ，m 2－a )，因为AC →⊥BC →，所以m 2－a ＋m 4－2am 2＋a 2＝0，可得(m 2－a )(m 2＋1－a )＝0，解得m 2＝a >0且m 2＝a －1≥0，故a ∈[1，＋∞)．图1－314． 如图1－3所示，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．14．a n ＝3n －2 [解析] 令S △OA 1B 1＝m (m >0)，因为所有A n B n 相互平行且a 1＝1，a 2＝2，所以S 梯形A 1B 1B 2A 2＝3m ，当n ≥2时，a n a n －1＝OA nOA n －1＝m ＋（n －1）×3mm ＋（n －2）×3m ＝3n －23n －5， 故a 2n＝3n －23n －5a 2n －1， a 2n －1＝3n －53n －8a 2n －2， a 2n －2＝3n －83n －11a 2n －3， …… a 22＝41a 21以上各式累乘可得a 2n ＝(3n －2)a 21，因为a 1＝1，所以a n ＝3n －2.15． 如图1－4所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．图1－4①当0<CQ <12时，S 为四边形；②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形；③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13；④当34<CQ <1时，S 为六边形；⑤当CQ ＝1时，S 的面积为62. 15．①②③⑤ [解析] 对于①②，如图(1)所示，因为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，的棱长为1，当CQ ＝12时，PQ ＝22，这时过A ，P ，Q 三点的截面与正方体表面交于D 1，AP ＝D 1Q ＝52，且PQ ∥AD 1，截面S 为等腰梯形， 当CQ <12时，过A ，P ，Q 三点的截面与正方体表面的交点在棱DD 1上，截面S 为四边形，故①②正确．对于③④⑤，如图(2)所示，联结QR 并延长交DD 1的延长线于N 点，联结AN 交A 1D 1于M ，取AD 中点G ，作GH ∥PQ 交DD 1于H 点，可得GH ∥AN ，且GH ＝12AN ，设CQ ＝t ()0≤t ≤1，则DN ＝2t ，ND 1＝2t －1，ND 1C 1Q ＝D 1R RC 1＝2t －11－t， 当t ＝34时，D 1R C 1R ＝21，可得C 1R ＝13，故③正确，当34<t <1时，S 为五边形，故④错误， 当t ＝1时，Q 与C 重合，M 为A 1D 1的中点， S 为菱形PC 1MA ，AM ＝AP ＝PC 1＝C 1M ＝52，MP ＝2，AC 1＝3，S 的面积等于12×2×3＝62，故⑤正确．16． 已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ωx ＋4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间0，π2上的单调性．16．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ωx ＋π4＝2 2sin ωx ·cos ωx ＋2 2cos 2 ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin2ωx ＋π4＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin2x ＋π4＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间0，π8上单调递增，在区间π8，π2上单调递减．17． 设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a >0，区间I ＝{x |f (x )>0}．(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0，1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值． 17．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a1＋a 2，故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}， 因此区间I ＝0，a 1＋a 2，I 的长度为a1＋a 2. (2)设d (a )＝a 1＋a 2，则d ′(a )＝1－a 2（1＋a 2）2.令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0<k <1，故当1－k ≤a <1时，d ′(a )>0，d (a )单调递增； 当1<a ≤1＋k 时，d ′(a )<0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得． 而d （1－k ）d （1＋k ）＝1－k1＋（1－k ）21＋k 1＋（1＋k ）2＝2－k 2－k 32－k 2＋k 3<1， 故d (1－k )<d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k ，1＋k ]上取得最小值1－k2－2k ＋k 2，则I 长度的最小值为1－k2－2k ＋k 2.18．、、 设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．18．解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c ，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c ，故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c (x －c )．x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 的坐标为0，cy 0c －x 0.因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．19．、 如图1－5，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.(1)证明：平面P AB 与平面PCD 的交线平行于底面； (2)求cos ∠COD .图1－519．解：(1)证明：设面P AB 与面PCD 的交线为l ， 因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内，所以AB ∥面PCD . 又因为AB ⊂面P AB ，面P AB 与PCD 的交线为l ， 所以AB ∥l ，由直线AB 在底面上而l 在底面外可知， l 与底面平行．(2)设CD 的中点为F ，连接OF ，PF .由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD . 因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP ⊥CD ， 又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD .因此面OPF ⊥面PCD .从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP ·tan ∠OPF ＝h ·tan 60°＝3h .根据题设有∠OCP ＝22.5°，得OC ＝OP tan ∠OCP ＝htan 22.5°.由1＝tan45°＝2tan 22.5°1－tan 2 22.5°和tan 22.5°>0，可解得tan 22.5°＝2－1，因此OC ＝h2－1＝(2＋1)h . 在Rt △OCF 中，cos ∠COF ＝OF OC ＝3h（2＋1）h＝6－3，故cos ∠COD ＝cos(2∠COF )＝2cos 2∠COF －1＝2(6－3)2－1＝17－12 2. 20．、 设函数f n (x )＝－1＋x ＋x 222＋x 332＋…＋x nn 2(x ∈，n ∈*)．证明：(1)对每个n ∈*，存在唯一的x n ∈23，1，满足f n (x n )＝0；(2)对任意p ∈*，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0<x n －x n ＋p <1n .20．证明：(1)对每个n ∈*，当x >0时，f ′n (x )＝1＋x2＋…＋x n －1n>0，故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增．由于f 1(1)＝0，当n ≥2时，f n (1)＝122＋132＋…＋1n 2>0.故f n (1)≥0.又f n 23＝－1＋23＋∑k ＝2n 23kk 2≤－13＋14∑k ＝2n23k＝－13＋14·⎝⎛⎭⎫2321－23n －11－23＝－13·23n －1<0.所以存在唯一的x n ∈23，1，满足f n (x n )＝0.(2)当x >0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋x n ＋1（n ＋1）2≥f n(x )，故f n ＋1(x n )>f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x )在(0，＋∞)内单调递增，x n ＋1<x n ，故{x n }为单调递减数列． 从而对任意n ，p ∈*，x n ＋p <x n .对任意p ∈*，由于f n (x n )＝－1＋x n ＋x 2n 22＋…＋x n nn2＝0，①f n ＋p (x n ＋p )＝－1＋x n ＋p ＋x 2n ＋p 22＋…＋x n n ＋p n 2＋x n ＋1n ＋p （n ＋1）2＋…＋x n ＋pn ＋p（n ＋p ）2＝0，②①式减去②式并移项，利用0<x n ＋p <x n ≤1，得x n －x n ＋p ＝∑k ＝2nx k n ＋p －x k n k 2＋∑k ＝n ＋1n ＋p x k n ＋p k 2≤∑k ＝n ＋1n ＋p x k n ＋pk2 ≤∑k ＝n ＋1n ＋p1k 2<∑k ＝n ＋1n ＋p 1k （k －1）＝1n－1n ＋p <1n .因此，对任意p ∈*，都有0<x n －x n ＋p <1n.21．、 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .21．解：(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝C k －1n －1C k n ＝k n ，故P (A )＝P (B )＝1－k n，因此学生甲收到活动通知信息的概率P ＝1－1－k n 2＝2kn －k2n 2.(2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k <n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者，由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为(C k n )2，当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m ，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －k ，由乘法计数原理知事件{X ＝m }所含基本事件数为C k n C 2k －m k C m －k n －k ＝C k n C m －k kC m －k n －k ， 此时P (X ＝m )＝C k n C 2k －m k C m －k k （C k n ）2＝C m －k k C m －k n －k C k n . 当k ≤m <t 时，P (X ＝m )≤P (X ＝m ＋1)⇔C m －k k C m －k n －k ≤C m ＋1－k k C m ＋1－k n －k ⇔(m －k ＋1)2≤(n －m )(2k －m )⇔m ≤2k －（k ＋1）2n ＋2.假如k ≤2k －（k ＋1）2n ＋2<t 成立．则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时， k ≤2k －（k ＋1）2n ＋2<2k ＋1－（k ＋1）2n ＋2≤t ，故P (X ＝m )在m ＝2k －（k ＋1）2n ＋2和m ＝2k ＋1－（k ＋1）2n ＋2处达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时， P (X ＝m )在m ＝2k －（k ＋1）2n ＋2处达最大值．(注：[x ]表示不超过x 的最大整数) 下面证明k ≤2k －（k ＋1）2n ＋2<t . 因为1≤k <n ，所以2k －（k ＋1）2n ＋2－k ＝kn －k 2－1n ＋2≥k （k ＋1）－k 2－1n ＋2＝k －1n ＋2≥0. 而2k －（k ＋1）2n ＋2－n ＝－（n －k ＋1）2n ＋2<0，故2k －（k ＋1）2n ＋2<n ，显然2k －（k ＋1）2n ＋2<2k . 因此k ≤2k －（k ＋1）2n ＋2<t。
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安徽省2012年普通高等学校专升本招生考试高等数学注意事项：1．试卷共8页，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的位置。
2．答题前将密封线内的项目填写完整。
一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。
共10小题，每小题3分，共30分）1.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0,sin 0,3)(x a xx x e x f x 在0=x 在处连续，则=a （ C ）A. 0B. 1C. 2D. 3解：由)0()00()00(f f f =-=+得231=⇒=+a a ,故选C.2.当0→x 时，与函数2)(x x f =是等价无穷小的是（ A ） A. )1ln(2x + B. x sin C.x tan D. x cos 1-解：由11ln(lim 1ln()(lim )220)20=+=+→→x x x x f x x ,故选A.3.设)(x f y =可导，则'-)]([x e f =（ D ）A. )(xef -' B. )(x e f -'- C. )(x x e f e --' D. )(x x e f e --'-解：)()()()]([x x x x x e f e e e f e f -----'-='⋅'=',故选D.4.设x 1是)(x f的一个原函数，则⎰=dx x f x )(3（ B ） A.C x +221 B. C x +-221 C. C x +331 D. C x x +ln 414解：因x 1是)(x f的一个原函数,所以211)(x x x f -='⎪⎭⎫⎝⎛=,所以C x xdx dx x f x +-=-=⎰⎰2321)(故选B. 5.下列级数中收敛的是（ C ）A. ∑∞=-1374n nn n B. ∑∞=-1231n n C.∑∞=132n n n D. ∑∞=121sinn n解：因121)1(lim 2122)1(lim 33313<=+=+∞→+∞→n n n n n n n n ,所以∑∞=132n n n 收敛,故选C.6.交换⎰⎰⎰⎰+=102121121),(),(y yydx y x f dy dx y x f dy I 的积分次序，则下列各项正确的是（ B ） A. ⎰⎰122),(xx dy y x f dx B.⎰⎰1022),(x x dy y x f dy C.⎰⎰2122),(x x dy y x f dx D.⎰⎰2122),(x x dy y x f dx解：由题意画出积分区域如图:故选B.7.设向量21,αα是非齐次线性方程组AX =b 的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是（ D ） A.21αα+ B. 21αα- C. 212αα+ D. 212αα-解：因,2)(2121b b b A A A =+=+=+αααα同理得,0)(21=-ααA ,3)2(21b A =+αα,)2(21b A =-αα故选D.8.已知向量)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321--==-=αααk 线性相关,则=k （ D ） A. -2 B. 2 C. -3 D. 3解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛03002240112125402240112125400021121321k k k k ααα 由于123,,ααα线性相关,所以123(,,)2r ααα≤,因此3=k9.设B A ,为事件，且,2.0)(,4.0)(,6.0)(===AB P B P A P 则=)(B A P （ A ） A.0.2 B. 0. 4 C. 0.6D. 0.8解:2.0)]()()([1)(1)()(=-+-=+-=+=AB P B P A P B A P B A P B A P 10.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是（ B ） A.163 B. 207 C. 41 D. 21解: 由全概率公式得20751415243=⨯+⨯=p二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。
)11．设函数216131arcsinxx y ---=，则函数的定义域为)4,2[-. 解：424442016,13112<≤-⇒⎩⎨⎧<<-≤≤-⇒>-≤-≤-x x x x x .12．设曲线22-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3,则点M 的坐标是)0,1(. 解：12+='x y ，由1312=⇒=+='x x y ，从而0=y ，故填)0,1(.13．设函数x x y arctan =，则=''y 22)1(2x +. 解：21arctan x x x y ++=',2222222)1(2)1(2111x x x x x y +=+-+++=''. 14．=+⎰dx xx 2012)1(ln C x ++2013)1(ln 2013.解：C x x d x dx x x ++=++=+⎰⎰2013)1(ln )1(ln )1(ln )1(ln 201320122012.15．=⎰∞++-dx xe x 01= e . 解：e dx xe e dx xe x x ==⎰⎰+∞-∞++-01.16．幂级数∑∞=-15)2(n n nn x 的收敛域为)7,3[-.解：由152215lim 5)2(15)2(lim )()(lim 111<-=-+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n nx n x x u x u n n n n n n nn n .得73<<-x 级数收敛,当3-=x 时,级数为∑∞=-1)1(n n n 收敛; 当7=x 时,级数为∑∞=11n n 发散;故收敛域为)7,3[-.17．设A 是n 阶矩阵，E 是n 阶单位矩阵，且，032=--E A A 则=--1)2(EA E A +.解：)()2())(2(0312E A E A E E A E A E A A +=-⇒=+-⇒=---18．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100101110A ，记1-A 表示A 的逆矩阵, *A 表示A 的伴随矩阵,则 =-*1)(A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----100101110.19．设型随机变量),8,1(~N X 且),()(c X P c X P ≥=<则c =1.解：由正态分布的对称性得1==μc .20．设型随机变量X 在区间]4,2[上服从均匀分布,则方差=)(X D 31.解：直接由均匀分布得3112)24()(2=-=X D .三、计算题：本大题共8小题，其中第21-27题每题7分，第28题11分，共60分。
21．计算极限x xx x 20tan sin lim-→.解：原式= 20sin lim x xx x -→=xx x 2cos 1lim 0-→ =2sin lim 0x x →=0.22．求由方程xy y x =确定的隐函数的导数dxdy. 解：两边取对数得y x y x ln ln ln +=, 两边求导得y yx y y x y '+='+11ln , 从而)1()ln 1(--=x x y x y dx dy . 23．计算定积分⎰-222211dx x x解：令t x sec =,则,tan sec tdt t dx =当2=x 时, 4π=t ;当2=x 时, 3π=t .所以原式= ⎰342tan sec tan sec ππdt t t tt = ⎰34cos ππtdt = =|34sin ππt =)23(21-.24．求微分方程02=--'x e y y 的通解.解：原方程可整理为xe y y =-'2这是一阶线性微分方程,其中xe x Q x P =-=)(,2)(. 所以原方程的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()( )(22C dx e e e dxx dx+⎰⎰=⎰-.)(2C dx e e x x +=⎰-)(2C e e x x +-=-x x Ce e 2+-=25．计算二重积分⎰⎰Dyd xσ2,其中D 是由直线222===xy x y x 和、所围成的区域.解：区域D 如图阴影部分所示.故⎰⎰Dyd x σ2⎰⎰=xxy y x x 22221d d⎰=212222d 21|y y x xx⎰-=214)d 44(21x x |215)252(x x -=5210=.26．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=320031101A ，,231⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 且满足X B A B AX +=+2,求矩阵X .解：由X B A B AX +=+2可得B E A E A B E A X E A ))(()()(2+-=-=-因0242041100||≠-=---=-E A ,所以E A -可逆,因此B E A X )(+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=231220021102⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=25027．设行列式1321312132113211)(++++=x x x x x D ,求)(x D 在0=x 处的导数.解：13273127321732171321312132113211)(+++++++=++++=x x x x x x x x x x x x D211101110010001)7(1321312132113211)7(--+=++++=x x x x x x x x)23)(7()2)(1)(7(22+-+=--+=x x x x x x x x .故)32)(7()23)(72()(22-+++-+='x x x x x x x D . 从而14)0(='D.28．已知离散型随机变量X 的密度函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.2,1,21,21,10,,0,0)(xx x a x x F 且数学期望34)(=X E . 求: (1) a 的值; (2) X 的分布列；(3)方差D (X )．解：(1) 由分布函数的性质知,随机变量X 的可能取值为0、1、2，且21)2(,21)1(,)0(==-====X P a X P a X P 因3423212)21(10)(=-=⨯+-⨯+⨯=a a a X E所以61=a .(2) 由（1）即得(3) 3223160)(2222=⨯+⨯+⨯=X E ,四、证明题与应用题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。