材力 第四章 弯曲内力
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材料力学课件04弯曲内力
影响线的绘制方法
静力法
通过平衡条件，将单位集中荷载作用 于简支梁上，绘制弯矩图或剪力图。
机动法
利用梁的微段运动特性，通过几何关 系绘制影响线。
影响线的应用实例
确定最不利荷载位置
通过比较不同位置的荷载值，确定最不利荷载位置，以便进行结 构设计。
校核承载能力
根据影响线确定最不利荷载位置的弯矩值，校核梁的承载能力是否 满足设计要求。
02
在桥梁、建筑、机械等领域中，需要根据剪力和弯矩的分布规律进行结构设计， 确保结构的承载能力和稳定性。同时，在设计过程中还需要考虑材料的力学性能 、施工方法等因素，以满足工程实际需求。
剪力和弯矩的分布规律实验验证
为了验证剪力和弯矩的分布规律，需 要进行相关的实验验证。通过实验可 以测量梁在不同弯曲程度下的剪力和 弯矩值，并与理论分析结果进行比较 。
集中载荷下的简化和计算
总结词
集中载荷作用下，弯曲内力可以直接通过载 荷和支撑反力计算。
详细描述
在集中载荷作用下，梁的弯曲内力可以通过 将载荷与支撑反力相乘得到。这种方法适用 于载荷作用点明确的情况，计算过程简单明 了。
特殊情况下的简化和计算
要点一
总结词
某些特殊情况下，可以利用梁的对称性和载荷特性简化弯 曲内力的计算。
03
弯曲内力的大小与梁的截面尺寸、形状、材料属性 以及外力矩的大小和方向有关。
弯曲内力的类型
正应力
垂直于截面的应力，主要引起梁的弯曲变形 。
剪应力
与截面相切的应力过程中，梁截面上同时存在正应力和 剪应力，其中对梁的强度和稳定性影响最大 的应力。
弯曲内力分析的重要性
弯矩
由于弯曲变形产生的内力矩，其分布规律与梁的截面形状和弯曲方式有关。在梁的中部，弯矩通常为 负值，表示梁的上侧受压、下侧受拉；在梁的支座处，弯矩通常为正值，表示梁的上侧受拉、下侧受 压。
材料力学第四章 弯曲内力
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 二、内力图特征
外力 情况
FQ
q(x)=0
q(x)=C＜0 C
FQ FQ
②
F
m C
FQ图
特征
① ②
x
①
③
x
F
③
⑤ ④ ① ② ③
FQ
x x x x x
C ①
③
②
x
水平直线
③1 ③3 ③2
向下斜直线
C 处有突变 与F 方向一致
①
C 处无变化
② ③ ①
M图
特征
M
x
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m
x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l
工程力学(材料力学部分第四章)
特点：2
qa 1 qa2 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
1 qa2 2
M
53
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
Q2
X 0 Y 0
M1
N1 Q1
M2 N2
Q2 N1 0
Q1 N2
M 0
M1 54M 2
§4. 6 平面曲杆的弯曲内力
平面曲杆 轴线为平面曲线的杆或梁。
M = 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和
12
RAx
x
RA
RC
若从D处截开，取右段。 横截面上的内力如图。
RAx
QD
RA
QD
x
N
MD
MD
RC
计算可得QD, MD的数值与取左段所得结果相同。
但从图上看，它们的方向相反。
剪力和弯矩的正负号规则如何？
13
剪力和弯矩的正负号规定
剪力
使其作用的一 段梁产生顺时 针转动的剪力 为正。
(0.6 x 1.2 m)
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB 19 10x (1.2 x 2.247 m)
x
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB19 10x (1.2 x 2.4 m)
M (x)
RA (2.4
x)
1 2
RA
1 2
ql
Pb l
RB
1 2
ql
Pa l
RA1
若梁分别受到这两种载
荷的作用：
RA2
RB RB1 R42B2
约束反力
qa 1 qa2 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
1 qa2 2
M
53
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
Q2
X 0 Y 0
M1
N1 Q1
M2 N2
Q2 N1 0
Q1 N2
M 0
M1 54M 2
§4. 6 平面曲杆的弯曲内力
平面曲杆 轴线为平面曲线的杆或梁。
M = 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和
12
RAx
x
RA
RC
若从D处截开，取右段。 横截面上的内力如图。
RAx
QD
RA
QD
x
N
MD
MD
RC
计算可得QD, MD的数值与取左段所得结果相同。
但从图上看，它们的方向相反。
剪力和弯矩的正负号规则如何？
13
剪力和弯矩的正负号规定
剪力
使其作用的一 段梁产生顺时 针转动的剪力 为正。
(0.6 x 1.2 m)
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB 19 10x (1.2 x 2.247 m)
x
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB19 10x (1.2 x 2.4 m)
M (x)
RA (2.4
x)
1 2
RA
1 2
ql
Pb l
RB
1 2
ql
Pa l
RA1
若梁分别受到这两种载
荷的作用：
RA2
RB RB1 R42B2
约束反力
第四章 弯曲内力
（3）画剪力图和弯矩图
(a x l )
Pb l
M max Pab l
x
FS max
例5
画出图示梁的FS图和M图。
y
A
RA
（1）先求出约束反力： 解：
a
x
C x
M
b
（2）剪力方程和弯矩方程：
M RA l
M RB l
B
x
l
RB
M l Ma l
AC段： FS M FS1 ( x) RA (0 x a ) l Mx M 1 ( x) R A x (0 x a ) l CB段： M (a x l ) M FS 2 ( x) RA l M M 2 ( x) R A x M xM l (a x l )
0 x3
x
M ( x) P(4 x) 3(4 x) 3 x 4
（3）作剪力和弯矩图；
x
3kN m
dM ( x) 2 2x 0 dx
当 x 1m 时
M | x1m 1kN m
—— 极值点
§4. 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
图示简支梁，建立如图坐标系。 约定： 分布力q向上为正，向下为负。
M | x 0 0
—— 斜直线 1 2 M | x l ql 2 —— 二次抛物线
x
ql 2 2
FS
max
ql
M
max
ql 2 2
例4
画出图示梁的FS图和M图。
y
（1）先求出约束反力： 解：
a
A
P
C x l
Pb l Pa l
Pab l
材料力学弯曲内力
Fs (x) q(l x) 截面剪力是截面坐标的函数，称 为剪力方程。
mx
0;
M (x) q (l x)2 2
0
M (x) q (l x)2 2
截面弯矩也是截面坐标的函数，称为弯矩方程。
q
Fs ql
剪力图
x l
⊕
M 弯矩图
○ －
-ql2/2
剪力方程 Fs (x) q(l x)的函 数图象称为剪力图。正的剪力画在 基线上侧，负的画在下侧。
3
A
3 M3
FA
Fs3
2－2截面
Fy 0; FA Fs2 0
Fs2 5kN
m2 0; M 2 FA 2 0
M 2 10kN.m 3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
m3 0; M 3 FA 2 0
⑵ 自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0 。
例2 求图示梁1、2、3 截面的内力。
m1=2kN.m m2=14kN.m
1 A1
23 23
B
2m C 2m
FA
FB
m1 A 1
1
M1
FA Fs1
解：取整体，m 0;
FA 4 m1 m2 0 FA FB 3kN
弯矩为正，反之为负。
Fs ⊕ Fs Fs ○ － Fs M
⊕ M M ○－
M
剪力正负的规定
弯矩正负的规定
内力通过平衡方程计算。
x A
FAy
Ⅰ
ⅠFs M
Fy 0; FAy Fs 0,
Fs FAy
m1 0; M FAy x 0,
材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
材料力学第四章弯曲内力优秀课件
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论
剪力方程与弯矩方程
•剪力、弯矩方程：剪力、弯矩沿梁轴（x轴）变化的解析表达式。
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立Oxy坐标系，其
中O为坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁
M C F A a a 2 q l0 a a 3 q 6 0 la q 6 0 a l3
思考：是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的合 力代替来求截面C的内力？
例题
建立剪力弯矩方程，并画 剪力弯矩图
q
qa2
A
B
C
a
a
x
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
工程中的弯曲构件
•常见静定梁
简支梁：一端固定铰支、另 一端可动铰支的梁
悬臂梁：一端固定、另一 端自由的梁
F F
外伸梁：具有一个或两个
外伸部分的简支梁
F
F
•静不定梁
约束反力数超过有效平衡方程数的梁（ Ch12 研究）
常用梁截面
纵向对称面
P1
P2 纵向对称面 P1
P2 变形前
平面弯曲概念
变形后
例题
图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为q0， 试求截面C上的内力。
y
q0l/2
q0
A
B
a
C
x
解：先求支反力 FA
l
FB
MA0 FBlq20l23l 0 MB0 FAlq20l3l 0
剪力方程与弯矩方程
•剪力、弯矩方程：剪力、弯矩沿梁轴（x轴）变化的解析表达式。
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立Oxy坐标系，其
中O为坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取在梁
M C F A a a 2 q l0 a a 3 q 6 0 la q 6 0 a l3
思考：是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的合 力代替来求截面C的内力？
例题
建立剪力弯矩方程，并画 剪力弯矩图
q
qa2
A
B
C
a
a
x
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
工程中的弯曲构件
•常见静定梁
简支梁：一端固定铰支、另 一端可动铰支的梁
悬臂梁：一端固定、另一 端自由的梁
F F
外伸梁：具有一个或两个
外伸部分的简支梁
F
F
•静不定梁
约束反力数超过有效平衡方程数的梁（ Ch12 研究）
常用梁截面
纵向对称面
P1
P2 纵向对称面 P1
P2 变形前
平面弯曲概念
变形后
例题
图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为q0， 试求截面C上的内力。
y
q0l/2
q0
A
B
a
C
x
解：先求支反力 FA
l
FB
MA0 FBlq20l23l 0 MB0 FAlq20l3l 0
材料力学 第四章弯曲内力
M=±∑M(Fi)左或右 ±
例1: 已知 q=2 kN / m,求 1-1,2-2,3-3 : , , , 截面上的内力. 截面上的内力.
y
1
q
2 2m 2 3 1m 31m
MA FA
1
x
1-1 截面:FS = 2×2 = 4 kN,M = -2 ×2 ×3 = - 12 kN.m 截面: × , 2-2 截面:FS = 2×2 = 4 kN, M = -2 ×2 ×1 = - 4 kN.m 截面: × , 3-3 截面:FS = 2×1 = 2 kN, M = -2 ×1 ×0.5 = - 1 kN.m 截面: × ,
FS
ql / 2
M
ql 2 / 8
q
A FA FS
x l
B FB
ql / 2
ql / 2
M
ql 2 / 8
可见: 发生在梁两端截面上. 可见 剪力图为斜直线 , FS max = q l / 2 , 发生在梁两端截面上. 弯矩图为二次抛物线, 的截面上. 弯矩图为二次抛物线,M max = ql 2 / 8,发生在 S =0的截面上. ,发生在F 的截面上
a A
x
F1
m m
F2
b B
FS = FA- F1
= ∑Fi左 左
FA y A FA
FB F1
m
C
M = FA x - F1 (x-a) )
M
x
m FS x
= ∑M(Fi)左 (
FS=-FB+F2 =∑Fi右 - 右
B
M
m
C
F2 FB
FS m
M=FB(l-x)-F2(l-x-b) - =∑M(Fi)右
材料力学课件ppt-4弯曲内力
2．确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
材料力学课件之弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 弯曲的概念与实例 4.2 剪力和弯矩 4.3 剪力图和弯矩图 4.4 剪力、弯矩和分布载荷集度的关系
1
第4章 弯曲内力 工程实际中的弯曲问题
P
P
x
x
P
P
P
P
M=Px
2
第4章 弯曲内力 4.1 平面弯曲的概念与实例
弯曲的概念
弯曲是最常见的一 种基本变形，以弯曲为 主要变形的构件称为梁。
静定梁——仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。
P
P外
伸
梁
P
P
9
4.1 平面弯曲的概念与实例
梁的简化以及静定梁的分类
第4章 弯曲内力 简 支 梁
10
4.1 平面弯曲的概念与实例
梁的简化以及静定梁的பைடு நூலகம்类
车床上的刀架和车刀
B
第4章 弯曲内力
P
悬
臂
A
梁
P B
A
11
第4章 弯曲内力
§4.2 剪力和弯矩
外力计算
c
4.2 剪力和弯矩 第4章 弯曲内力
FRA
A
FSE ME
E
c
取右段为研究对象
FSE
F1
ME
EC
F2
FRB
D
B
a-c b-c l-c
解得 18
总结:剪力等于截面左侧(或右侧)所有外力的投影代数和, 截面左侧向上(右侧向下)的外力前面取正号;
弯矩等于截面左侧(或右侧)所有外力矩的代数和, 截面左侧顺时针(右侧逆时针)的外力矩前面取正号;
B x 轴线
R1
受力特点： 外力（包括力偶）位于纵向对称面内。
4.1 弯曲的概念与实例 4.2 剪力和弯矩 4.3 剪力图和弯矩图 4.4 剪力、弯矩和分布载荷集度的关系
1
第4章 弯曲内力 工程实际中的弯曲问题
P
P
x
x
P
P
P
P
M=Px
2
第4章 弯曲内力 4.1 平面弯曲的概念与实例
弯曲的概念
弯曲是最常见的一 种基本变形，以弯曲为 主要变形的构件称为梁。
静定梁——仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。
P
P外
伸
梁
P
P
9
4.1 平面弯曲的概念与实例
梁的简化以及静定梁的分类
第4章 弯曲内力 简 支 梁
10
4.1 平面弯曲的概念与实例
梁的简化以及静定梁的பைடு நூலகம்类
车床上的刀架和车刀
B
第4章 弯曲内力
P
悬
臂
A
梁
P B
A
11
第4章 弯曲内力
§4.2 剪力和弯矩
外力计算
c
4.2 剪力和弯矩 第4章 弯曲内力
FRA
A
FSE ME
E
c
取右段为研究对象
FSE
F1
ME
EC
F2
FRB
D
B
a-c b-c l-c
解得 18
总结:剪力等于截面左侧(或右侧)所有外力的投影代数和, 截面左侧向上(右侧向下)的外力前面取正号;
弯矩等于截面左侧(或右侧)所有外力矩的代数和, 截面左侧顺时针(右侧逆时针)的外力矩前面取正号;
B x 轴线
R1
受力特点： 外力（包括力偶）位于纵向对称面内。
材料力学——4梁的弯曲内力
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
3.对称弯曲：作用于杆件上的所有外力都在纵向对称面内时， 弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一 条曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线（挠曲线）
纵向对称面
工程中常见的梁，其横截面均有对称轴，例如：
应点处的载荷集度q。
F=qa
q
C
A
B
a
2a
dFS (x) q(x) dx
3
FS
qa
2
(+)
(-)
-qa
M
FS 图
(-)
由此式知：剪力图曲
x 线上一点处的斜率等于
E
1 qa2
(-)
1 qa 2
梁上相应点处的载荷集
8
度q。
(+)
x
qa2
M (x)
FS (x) dFS
FS (x)
M (x) dM
7KN
1m
P=2KN
F D
1m
B左 截面：
FSB左 Fy (左侧) FAy q 3 3KN
MB左
MB (左侧)
FAy
4
M0
q3
3 2
5KN.m
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
E
C
F
B
D
1m 1m
3KN FAy
B右截面：
2m
FBy
7KN
1m
1m
与 B左截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FBy，故有：
2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
3.对称弯曲：作用于杆件上的所有外力都在纵向对称面内时， 弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一 条曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线（挠曲线）
纵向对称面
工程中常见的梁，其横截面均有对称轴，例如：
应点处的载荷集度q。
F=qa
q
C
A
B
a
2a
dFS (x) q(x) dx
3
FS
qa
2
(+)
(-)
-qa
M
FS 图
(-)
由此式知：剪力图曲
x 线上一点处的斜率等于
E
1 qa2
(-)
1 qa 2
梁上相应点处的载荷集
8
度q。
(+)
x
qa2
M (x)
FS (x) dFS
FS (x)
M (x) dM
7KN
1m
P=2KN
F D
1m
B左 截面：
FSB左 Fy (左侧) FAy q 3 3KN
MB左
MB (左侧)
FAy
4
M0
q3
3 2
5KN.m
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
E
C
F
B
D
1m 1m
3KN FAy
B右截面：
2m
FBy
7KN
1m
1m
与 B左截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FBy，故有：
第四章弯曲内力
§4.3 剪力和弯矩
材料力学
一.弯曲内力的含义
设有一简支梁AB，受集中力F作用。现 分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。
a mF b
A
B
xm L
材料力学
a mF b
A
F Ay
A F Ay
xm L
m
oM
x
Fs
m
材料力学
1.根据平衡条件求支座反力
Fb
Fa
B
FAy L
FBy L
FBy 2.求m-m截面上的内力
材料力学
M 2Pa - Px (a x 2a)
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
2.作梁的剪力图和弯矩图
AB段：
FS ( x) 0 M Pa
m=Pa
P
A
(0 x a)
(0 x a)
B
C
a
a
BC段：
FS ( x) P M 2Pa - Px
(a x 2a)
剪力图： Fs
x
弯矩图： M
x
材料力学
绘制剪力图和弯矩图的注意事项：
1.横坐标要与杆件长度相对应； 2.纵坐标要标明数值大小及正负; 3.纵坐标大小要成比例； 4.是一条连续的图线，不能间断； 5.在图上要画出阴影线.
材料力学
练习一：悬臂梁受力如图所示，列出梁的剪力 方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图， 并求出梁的FSmax和Mmax 及其所在截面位置。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
如以右侧梁作为研究对象，则：
Fy 0
q
M
Fs q 2a FBy 0
C
Fs
材料力学
一.弯曲内力的含义
设有一简支梁AB，受集中力F作用。现 分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。
a mF b
A
B
xm L
材料力学
a mF b
A
F Ay
A F Ay
xm L
m
oM
x
Fs
m
材料力学
1.根据平衡条件求支座反力
Fb
Fa
B
FAy L
FBy L
FBy 2.求m-m截面上的内力
材料力学
M 2Pa - Px (a x 2a)
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
2.作梁的剪力图和弯矩图
AB段：
FS ( x) 0 M Pa
m=Pa
P
A
(0 x a)
(0 x a)
B
C
a
a
BC段：
FS ( x) P M 2Pa - Px
(a x 2a)
剪力图： Fs
x
弯矩图： M
x
材料力学
绘制剪力图和弯矩图的注意事项：
1.横坐标要与杆件长度相对应； 2.纵坐标要标明数值大小及正负; 3.纵坐标大小要成比例； 4.是一条连续的图线，不能间断； 5.在图上要画出阴影线.
材料力学
练习一：悬臂梁受力如图所示，列出梁的剪力 方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图， 并求出梁的FSmax和Mmax 及其所在截面位置。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
如以右侧梁作为研究对象，则：
Fy 0
q
M
Fs q 2a FBy 0
C
Fs
材料力学 第四章 弯曲内力
M 2 10kN.m
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
第4章 材料力学—弯曲内力
第四章 弯曲内力§4.1 弯曲的概念和实例 §4.2 受弯杆件的简化 §4.3 剪力和弯矩§4.4 剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图 §4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4.6 静定刚度及平面曲杆的弯曲内力§4.1 弯曲的概念和实例1．实例()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧轧板机的轧辊镗刀刀杆火车轮轴桥式起重机大梁4321 2．弯曲变形作用于杆件上的垂直于杆件的轴线，使原为直线的轴线变形后成为曲线，这种变形称为弯曲变形。
3．梁——凡以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁 4．对称弯曲：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧曲线向对称面内的一条平面弯曲变形后轴线成为纵对称面内所有外力都作用于纵向称轴的纵向对称面整个杆件有一个包含对横截面有一根对称轴4321§4.2 受弯杆件的简化根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。
计算简图以梁的轴线和支承来表示梁。
()()()⎪⎩⎪⎨⎧悬臂梁外伸梁简支梁梁的基本形式321:l 称为梁的跨度§4.3 剪力和弯矩（1）求反力：BA AB F F 00=∑M =∑M（2）求内力（截面法）一般来说截面上有剪力F S 和弯矩M （为平衡）001=--=∑s A y F F F F1F F F A S -=（a ）()0010=⋅--+=∑x F a x F M M A()a x F x F M--=（b ）（3）讨论一般说，在梁的截面上都有剪力F S 和弯矩M ，从式（a ）式（b ）可以看出，在数值上，剪力F S 等于截面以左所有外力在梁轴线的垂线（y 轴）上投影的代数和；弯矩M 等于截面以左所有外力对截面形心取力矩的代数和，即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==左左ni i ni iS M M F F 11 同理，取截面右侧部分为研究对象：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==右右ni i ni iS M M F F 11 （4）剪力F S 和弯矩M 符号规定无论取左侧，或者取右侧，所得同一截面上的剪力F S 和弯矩M ，不但数值相同，而且符号也一致，符号规定如左图示。
《材料力学》第四章 弯曲内力.ppt
列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。 解：（1）求支反力。
FRA 14.5kN, FRB 3.5kN,
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 分CA，AD，DB三段。
CA段
FS x qx 3x 0 x 2m
M x 1 qx2 3 x2 0 x 2m
§4.1 弯曲的概念和实例
杆的轴线将由原来的直线弯成 曲线，这种变形称为弯曲。受 力后以弯曲变形为主的杆件通 常称为梁。
受力特点：外力作用线垂直于杆 的轴线，或在通过杆轴的平面内 受到外力偶作用。 变形特点：直杆的横截面绕横向 轴转动，轴线将由原来的直线弯 成曲线。
全梁有对称面，并且 所有外力都作用在对称面 内的情形。在这种情形下 梁的轴线弯成位于对称平 面内的一条平面曲线，这 种弯曲属于平面弯曲。
FS
n n1 dx
FS+dFS
上述微分关系在绘制FS、M图中的应用结论。
1.梁上某段无载荷时，则该段FS图为水平线， M图为斜直线。
2.某段为均布载荷时，则FS图为斜直线，M图为抛物线。
dFS
剪力图
dx
d 2M dx2
弯矩图
分布载荷q<0时 0 递减(＼) 0 上凸 (╭╮)
分布载荷q>0时 0 递增(／)
0 下凸 (╰╯)
3.在集中力P作用处，剪力图为突变(突变值等于集中力P)， 弯矩图为折角。
4.在集中力偶m作用处，弯矩图有突变(突变值等于力偶矩m)， 剪力图没影响。
5.某截面FS=0，则在该截面弯矩图取极值。
二、用载荷集度、剪力和弯矩间的关系画剪力图与弯矩图
例4.6 外伸梁及其所受载荷如图a示，作梁的剪力图和弯矩图。
FRA 14.5kN, FRB 3.5kN,
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 分CA，AD，DB三段。
CA段
FS x qx 3x 0 x 2m
M x 1 qx2 3 x2 0 x 2m
§4.1 弯曲的概念和实例
杆的轴线将由原来的直线弯成 曲线，这种变形称为弯曲。受 力后以弯曲变形为主的杆件通 常称为梁。
受力特点：外力作用线垂直于杆 的轴线，或在通过杆轴的平面内 受到外力偶作用。 变形特点：直杆的横截面绕横向 轴转动，轴线将由原来的直线弯 成曲线。
全梁有对称面，并且 所有外力都作用在对称面 内的情形。在这种情形下 梁的轴线弯成位于对称平 面内的一条平面曲线，这 种弯曲属于平面弯曲。
FS
n n1 dx
FS+dFS
上述微分关系在绘制FS、M图中的应用结论。
1.梁上某段无载荷时，则该段FS图为水平线， M图为斜直线。
2.某段为均布载荷时，则FS图为斜直线，M图为抛物线。
dFS
剪力图
dx
d 2M dx2
弯矩图
分布载荷q<0时 0 递减(＼) 0 上凸 (╭╮)
分布载荷q>0时 0 递增(／)
0 下凸 (╰╯)
3.在集中力P作用处，剪力图为突变(突变值等于集中力P)， 弯矩图为折角。
4.在集中力偶m作用处，弯矩图有突变(突变值等于力偶矩m)， 剪力图没影响。
5.某截面FS=0，则在该截面弯矩图取极值。
二、用载荷集度、剪力和弯矩间的关系画剪力图与弯矩图
例4.6 外伸梁及其所受载荷如图a示，作梁的剪力图和弯矩图。
材料力学图文 (4)
a FS2 FBy l F
0x2 b
(c)
M
2
FBy
x2
bF l
x2
0x2 a
(d)
第4章 弯曲内力
（3）画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图（见图
4－11(d)）；根据式(b)、(d)画弯矩图（见图4－11
(e)）。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为
M
m
a
x
ab l
F
如果a>b，则CB段的剪力绝对值最大，其值为
3 4
qa,
FB
5 4
qa
第4章 弯曲内力
（2） 计算各指定截面的内力。 对于截面5－5，取该截
面右侧部分为研究对象， 其余各截面均取相应截面左侧部
分为研究对象。 根据静平衡方程可求得:
1－1截面：
FS1
FA
3 4
qa;
M1 FA0
（因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。）
2－2截面：
4
如图 4-13c 所示。
第4章 弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 引言 4.2 梁的计算简图 4.3 弯曲内力及内力图 4.4 剪力、 弯矩与载荷集度间的微分关系 4.5 平面刚架与曲杆的内力
第4章 弯曲内力
4.1 引 言
图 4－1
第4章 弯曲内力
图 4－2
第4章 弯曲内力
图 4－3
第4章 弯曲内力
一般来说， 当杆件承受垂直于轴线的外力， 或在其轴 线平面内作用有外力偶时， 杆的轴线将由直线变为曲线。 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 以弯曲为主 要变形的杆件称为梁。
中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
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FS
Q1 C
无变化
FS
x
FS<0
x
x 曲线
x
FS>0
增函数 降函数
Q2 Q1–Q2=P
x
C
x
M 图 x 与 M1 x x x x x m 特 M2 征M 反 M M M M M 增函数 降函数 凹形 凸形 折向与P反向 M1 M2 m
斜直线
自左向右折角 自左向右突变
根据M、Fs与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下：
M左 M右
2、 集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，左右截面 剪力之差等于集中力（集中力以向下为正）。
Fs左 Fs右 P
4－4 截面
F=12kN
Fy 0; M
4
Fs 4 0
M4 0
4 C 4
1
q=2kN/m
B
0;
A
2 3 1 2D 3 2m 2m
4 C 4 2m
－二次抛物线
土建等类技术部门画法
例 3 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
FAy bF l FBy aF l
解：1. 支反力计算 2. 建立剪力与弯矩方程
AC 段 bF FS1 FAy , (0 x1 a ) l bF M 1 FAy x1 x1 , (0 x1 a ) l CB 段 aF FS2 FBy , (0 x2 b ) l aF M 2 FBy x2 x2 , (0 x2 b ) l
3. 画剪力图
4. 画弯矩图
M 图－斜直线
M A M e M B 0
FS 图－水平直线
FSA Me l
例 1 画剪力与弯矩图
解：1. 形状判断 斜线 2. FS 与 M 计算 ql/8 ql/8 -3ql/8 0 ql2/16ql2/16 0
3. 画FS与M图
xD l xD 2 3 1
FS FS ( x ) －剪力方程
M M ( x ) －弯矩方程
表示 FS 与 M 沿杆轴（x轴）变化情况的 图线，分别称为剪力图与弯矩图 画剪力图
ql qx －直线 2 ql ql FS (0) , FS ( l ) 2 2 FS
画弯矩图
M ql q x x2 2 2
故 FS FAy F1 故 M FAybF1 ( ba )
n i 1
M C 0,
M F1 ( b a ) FAyb 0
FS ( Fi )一侧
i 1
n
M ( mCi )一侧
在保留梁段上，方向与切开截面正 FS 相反 的外力为正，与正 M 相反的外力偶矩为正
Fs 2 3kN
M 2 8kN.m
m1=2kN.m A
m2=14kN.m 1 1 2m 2 2 C 3 3
B 2m
2 M2 2 Fs2
m2 0; M 2 m1 RA 2 0
3－3截面
m1 A FA M3 3 Fs3
F
y
0; Fs 3 FB 0
Fs 3 3kN
q=2kN/m
B
FA 4 F 2 2q 1 0 FA 5kN
1－1截面
4 C 4
FB 2m 1 1F s1
F M
A
y 1
0; FA Fs1 0 0; M 1 0
Fs1 5kN
M1
FA
由1 －1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，紧 挨杆端截面的弯矩M=0。
qa 2 M 2 qax2 2
(0 x2 a )
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
弯矩图：
FS2 qa
qx12 M1 2
FS max qa
qa 2 M 2 qax2 2 qa 2 2
剪力弯矩最大值:
M max
4. 讨论
在 Me 作用处，左右横截面上 的剪力相同，弯矩值突变
M4
Fs4
由4－4 截面的内力计算可得如下结论： 1、自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：F=0 ；
2、自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0 。
例2 求图示梁1、2、3 截面的内力。 解：取整体， M 0;
FA 4 m1 m2 0 FA FB 3kN
F=3kN q=1kN/m m=6kN.m 4 5 3 6 2 A A 1 1 2 3 4 5 6D C 4m B 2m 3m FA FA FC M F 4 4 q 2 m 0 M 0 ; 3 A 3 q Fs3 3 M3 3 m
M 3 4kN.m
7 A FA 7
例 4 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算 2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
qa 2 FCy qa , M C 2
BC 段
FS1 qx1
(0 x1 a )
FS2 qa (0 x2 a )
qx12 M1 2
(0 x1 a )
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力 M－弯矩Fra bibliotek剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
正负符号规定
使微段沿顺时针方向 转动的剪力为正
使微段弯曲呈凹形 的弯矩为正
使横截面顶部受压 的弯矩为正
剪力与弯矩计算
FS－剪力 M－弯矩
Fy 0 , FAy F1 FS 0
M 2 2kN.m
Fs图
2.5 (kN) 3.125
M图
3
M7 Fs7
3.5 2
4
M
7
0;
M 7 FA 2.5 2.5q 1.25 0 (kN.m) M 7 3.125kN.m
9
4-5（g）（j）
线所构成
均布载荷作用梁段，剪力图为斜线，弯矩图为二 次抛物线，其凹凸性由载荷集度的正负而定
例 画图示梁的内力图。 解：取整体，
M
F
A
0;
FC 6 m F 9 6q 3 0
FC 6.5kN
y
F=3kN q=1kN/m m=6kN.m 4 5 3 6 2 A 1 1 2 3 4 5 6D C 4m B 2m 3m FA FC 2.5 3
§4-3 剪力图和弯矩图
FS FAy qx
ql FAy FBy 2 FS x M FAy x qx 2
ql (0 x l ) qx 2 ql q 2 M x x (0 x l ) 2 2
FS , M 沿杆轴（x轴）变化的解析表达式
1、取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；
2、将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布荷载 两端，支座处都应取作分段点； 3、用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩，由FS= 0 确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的 弯矩值； 4、用直线，均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力、 弯矩连起来，并在图上标出正负号，各控制截面的剪力值 和弯矩值，以及弯矩抛物线顶点所对应的截面位置。
3. 画剪力与弯矩图 剪力图:
FS1 bF l FS2 aF l
弯矩图:
M1
bF x1 l
M2
aF x2 l M max Fab l
最大值:
FS, max
bF （b a 时） l
4. 讨论
在 F 作用处, 左右横截面上 的弯矩相同, 剪力值突变
FS 右 FS 左 F
xD
3l 8
2
9ql2/128
3ql 3l q 3l MD 8 8 2 8
9ql 2 MD 128
微分关系法要点
利用微分关系，确定各梁段剪力、弯矩图的形状 计算各梁段起点、终点与极值点等截面的剪力 与弯矩
将上述二者结合，绘制梁的剪力与弯矩图
在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由直
0;
Fs图
FA FC F 6q 0
FA 2.5kN
Fs1 2.5kN,
Fs 2 Fs3 1.5kN, Fs 4 3.5kN, Fs5 Fs 6 3kN,
(kN)
3.5
M图
(kN.m)
M1 M 6 0, M 4 M 5 9kN.m,
第四章 弯曲内力
§4-1 工程实际中的弯曲问题
一、弯曲实例
二、弯曲及其特征
外力特征： 外力或外力偶的矢量垂直于杆轴
变形特征：杆轴由直线变为曲线 弯曲与梁： 以轴线变弯为主要特征的变形形式－弯曲 以弯曲为主要变形的杆件－梁 计算简图：画计算简图时，通常以轴线代表梁
载荷简化： 集中力、集中力偶和分布载荷。 支座简化： 固定铰支座、可动铰支座、固定端。
M 右 M左 Me
4-1（c）（f） 4-2（f）（j）
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
Fy 0 , FS qdx ( FS dFS ) 0
(a)
dx MC 0 , M dM qdx FSdx M 0 2 dFS dM d2 M q FS q 2 dx dx dx
应用
利用微分关系画梁的剪力与弯矩图
1. 问题分析
q=0，FS 图－水平直线，M 图－直线 求 FSA+ 画 FS 图 求 MA+ 与 MB- 画 M 图
2. 计算支反力、剪力与弯矩
Q1 C
无变化
FS
x
FS<0
x
x 曲线
x
FS>0
增函数 降函数
Q2 Q1–Q2=P
x
C
x
M 图 x 与 M1 x x x x x m 特 M2 征M 反 M M M M M 增函数 降函数 凹形 凸形 折向与P反向 M1 M2 m
斜直线
自左向右折角 自左向右突变
根据M、Fs与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下：
M左 M右
2、 集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，左右截面 剪力之差等于集中力（集中力以向下为正）。
Fs左 Fs右 P
4－4 截面
F=12kN
Fy 0; M
4
Fs 4 0
M4 0
4 C 4
1
q=2kN/m
B
0;
A
2 3 1 2D 3 2m 2m
4 C 4 2m
－二次抛物线
土建等类技术部门画法
例 3 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
FAy bF l FBy aF l
解：1. 支反力计算 2. 建立剪力与弯矩方程
AC 段 bF FS1 FAy , (0 x1 a ) l bF M 1 FAy x1 x1 , (0 x1 a ) l CB 段 aF FS2 FBy , (0 x2 b ) l aF M 2 FBy x2 x2 , (0 x2 b ) l
3. 画剪力图
4. 画弯矩图
M 图－斜直线
M A M e M B 0
FS 图－水平直线
FSA Me l
例 1 画剪力与弯矩图
解：1. 形状判断 斜线 2. FS 与 M 计算 ql/8 ql/8 -3ql/8 0 ql2/16ql2/16 0
3. 画FS与M图
xD l xD 2 3 1
FS FS ( x ) －剪力方程
M M ( x ) －弯矩方程
表示 FS 与 M 沿杆轴（x轴）变化情况的 图线，分别称为剪力图与弯矩图 画剪力图
ql qx －直线 2 ql ql FS (0) , FS ( l ) 2 2 FS
画弯矩图
M ql q x x2 2 2
故 FS FAy F1 故 M FAybF1 ( ba )
n i 1
M C 0,
M F1 ( b a ) FAyb 0
FS ( Fi )一侧
i 1
n
M ( mCi )一侧
在保留梁段上，方向与切开截面正 FS 相反 的外力为正，与正 M 相反的外力偶矩为正
Fs 2 3kN
M 2 8kN.m
m1=2kN.m A
m2=14kN.m 1 1 2m 2 2 C 3 3
B 2m
2 M2 2 Fs2
m2 0; M 2 m1 RA 2 0
3－3截面
m1 A FA M3 3 Fs3
F
y
0; Fs 3 FB 0
Fs 3 3kN
q=2kN/m
B
FA 4 F 2 2q 1 0 FA 5kN
1－1截面
4 C 4
FB 2m 1 1F s1
F M
A
y 1
0; FA Fs1 0 0; M 1 0
Fs1 5kN
M1
FA
由1 －1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，紧 挨杆端截面的弯矩M=0。
qa 2 M 2 qax2 2
(0 x2 a )
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
弯矩图：
FS2 qa
qx12 M1 2
FS max qa
qa 2 M 2 qax2 2 qa 2 2
剪力弯矩最大值:
M max
4. 讨论
在 Me 作用处，左右横截面上 的剪力相同，弯矩值突变
M4
Fs4
由4－4 截面的内力计算可得如下结论： 1、自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：F=0 ；
2、自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0 。
例2 求图示梁1、2、3 截面的内力。 解：取整体， M 0;
FA 4 m1 m2 0 FA FB 3kN
F=3kN q=1kN/m m=6kN.m 4 5 3 6 2 A A 1 1 2 3 4 5 6D C 4m B 2m 3m FA FA FC M F 4 4 q 2 m 0 M 0 ; 3 A 3 q Fs3 3 M3 3 m
M 3 4kN.m
7 A FA 7
例 4 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算 2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
qa 2 FCy qa , M C 2
BC 段
FS1 qx1
(0 x1 a )
FS2 qa (0 x2 a )
qx12 M1 2
(0 x1 a )
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力 M－弯矩Fra bibliotek剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
正负符号规定
使微段沿顺时针方向 转动的剪力为正
使微段弯曲呈凹形 的弯矩为正
使横截面顶部受压 的弯矩为正
剪力与弯矩计算
FS－剪力 M－弯矩
Fy 0 , FAy F1 FS 0
M 2 2kN.m
Fs图
2.5 (kN) 3.125
M图
3
M7 Fs7
3.5 2
4
M
7
0;
M 7 FA 2.5 2.5q 1.25 0 (kN.m) M 7 3.125kN.m
9
4-5（g）（j）
线所构成
均布载荷作用梁段，剪力图为斜线，弯矩图为二 次抛物线，其凹凸性由载荷集度的正负而定
例 画图示梁的内力图。 解：取整体，
M
F
A
0;
FC 6 m F 9 6q 3 0
FC 6.5kN
y
F=3kN q=1kN/m m=6kN.m 4 5 3 6 2 A 1 1 2 3 4 5 6D C 4m B 2m 3m FA FC 2.5 3
§4-3 剪力图和弯矩图
FS FAy qx
ql FAy FBy 2 FS x M FAy x qx 2
ql (0 x l ) qx 2 ql q 2 M x x (0 x l ) 2 2
FS , M 沿杆轴（x轴）变化的解析表达式
1、取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；
2、将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布荷载 两端，支座处都应取作分段点； 3、用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩，由FS= 0 确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的 弯矩值； 4、用直线，均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力、 弯矩连起来，并在图上标出正负号，各控制截面的剪力值 和弯矩值，以及弯矩抛物线顶点所对应的截面位置。
3. 画剪力与弯矩图 剪力图:
FS1 bF l FS2 aF l
弯矩图:
M1
bF x1 l
M2
aF x2 l M max Fab l
最大值:
FS, max
bF （b a 时） l
4. 讨论
在 F 作用处, 左右横截面上 的弯矩相同, 剪力值突变
FS 右 FS 左 F
xD
3l 8
2
9ql2/128
3ql 3l q 3l MD 8 8 2 8
9ql 2 MD 128
微分关系法要点
利用微分关系，确定各梁段剪力、弯矩图的形状 计算各梁段起点、终点与极值点等截面的剪力 与弯矩
将上述二者结合，绘制梁的剪力与弯矩图
在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由直
0;
Fs图
FA FC F 6q 0
FA 2.5kN
Fs1 2.5kN,
Fs 2 Fs3 1.5kN, Fs 4 3.5kN, Fs5 Fs 6 3kN,
(kN)
3.5
M图
(kN.m)
M1 M 6 0, M 4 M 5 9kN.m,
第四章 弯曲内力
§4-1 工程实际中的弯曲问题
一、弯曲实例
二、弯曲及其特征
外力特征： 外力或外力偶的矢量垂直于杆轴
变形特征：杆轴由直线变为曲线 弯曲与梁： 以轴线变弯为主要特征的变形形式－弯曲 以弯曲为主要变形的杆件－梁 计算简图：画计算简图时，通常以轴线代表梁
载荷简化： 集中力、集中力偶和分布载荷。 支座简化： 固定铰支座、可动铰支座、固定端。
M 右 M左 Me
4-1（c）（f） 4-2（f）（j）
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
Fy 0 , FS qdx ( FS dFS ) 0
(a)
dx MC 0 , M dM qdx FSdx M 0 2 dFS dM d2 M q FS q 2 dx dx dx
应用
利用微分关系画梁的剪力与弯矩图
1. 问题分析
q=0，FS 图－水平直线，M 图－直线 求 FSA+ 画 FS 图 求 MA+ 与 MB- 画 M 图
2. 计算支反力、剪力与弯矩