材力 第四章 弯曲内力

F=3kN q=1kN/m m=6kN.m 4 5 3 6 2 A A 1 1 2 3 4 5 6D C 4m B 2m 3m FA FA FC M F 4 4 q 2 m 0 M 0 ; 3 A 3 q Fs3 3 M3 3 m
M 3 4kN.m
7 A FA 7
第四章 弯曲内力
§4-1 工程实际中的弯曲问题
一、弯曲实例
二、弯曲及其特征
外力特征： 外力或外力偶的矢量垂直于杆轴
变形特征：杆轴由直线变为曲线 弯曲与梁： 以轴线变弯为主要特征的变形形式－弯曲 以弯曲为主要变形的杆件－梁 计算简图：画计算简图时，通常以轴线代表梁
载荷简化： 集中力、集中力偶和分布载荷。 支座简化： 固定铰支座、可动铰支座、固定端。
Fs3 7kN
M
P=12kN
A
3
0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
FA
3 M3 3 Fs3
F=12kN 1 A 2 3 1 2D 3 2m 2m
q=2kN/m
B
4 C 4 2m
由2、3 截面的内力计算可得如下结论： 1、集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；
m1=2kN.m A m2=14kN.m 1 1 2m FA m1 1 A 1F s1 FA M1
2 2
C
3 3
2m
B
1－1截面
FB
F
y
0; FA Fs1 0
Fs1 3kN
M
1
0; M1 m1 0
M1 2kN.m
2－2截面
F
y
0; FA Fs 2 0
－二次抛物线
土建等类技术部门画法
例 3 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
FAy bF l FBy aF l
解：1. 支反力计算 2. 建立剪力与弯矩方程
AC 段 bF FS1 FAy , (0 x1 a ) l bF M 1 FAy x1 x1 , (0 x1 a ) l CB 段 aF FS2 FBy , (0 x2 b ) l aF M 2 FBy x2 x2 , (0 x2 b ) l
M 2 2kN.m
Fs图
2.5 (kN) 3.125
M图
3
M7 Fs7
3.5 2
4
M
7
0;
M 7 FA 2.5 2.5q 1.25 0 (kN.m) M 7 3.125kN.m
9
4-5（g）（j）
0;
Fs图
FA FC F 6q 0
FA 2.5kN
Fs1 2.5kN,
Fs 2 Fs3 1.5kN, Fs 4 3.5kN, Fs5 Fs 6 3kN,
(kN)
3.5
M图
(kN.m)
M1 M 6 0, M 4 M 5 9kN.m,
m
3
0; M 3 FB 2 0
M 3 6kN.m
3
FB
由2、3 截面的内力计算可得如下结论： 1、 集中力偶两侧截面的的剪力相等； Fs左 Fs右 2、 集中力偶两侧截面的的弯矩不等，左右截面弯矩之 差等于集中力偶矩（集中力偶矩以逆时针转为正）。
M左 M右 m
内力的大小规律 1、横截面上的剪力在数值上等于此截面左侧（或右侧） 梁上外力的代数和； 2、横截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧（或右侧） 梁上外力对该截面形心力矩的代数和；
例 4 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算 2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
qa 2 FCy qa , M C 2
BC 段
FS1 qx1
(0 x1 a )
FS2 qa (0 x2 a )
qx12 M1 2
(0 x1 a )
§4-3 剪力图和弯矩图

FS FAy qx
ql FAy FBy 2 FS x M FAy x qx 2
ql (0 x l ) qx 2 ql q 2 M x x (0 x l ) 2 2

FS , M 沿杆轴（x轴）变化的解析表达式
故 FS FAy F1 故 M FAybF1 ( ba )
n i 1
M C 0,
M F1 ( b a ) FAyb 0
FS ( Fi )一侧
i 1
n
M ( mCi )一侧
在保留梁段上，方向与切开截面正 FS 相反 的外力为正，与正 M 相反的外力偶矩为正
M 右 M左 Me
4-1（c）（f） 4-2（f）（j）
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
Fy 0 , FS qdx ( FS dFS ) 0
(a)
dx MC 0 , M dM qdx FSdx M 0 2 dFS dM d2 M q FS q 2 dx dx dx
计算方法与步骤 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象
画所选梁段的受力图，FS 与 M 宜均设为正 由 SFy =0 计算 FS
由 SMC =0 计算 M，C 为截面形心。
例1 求图示梁1、2、3、4截面的内力。 解：取整体，
M
B
0;
A FA
F=12kN 1 2 3 1 2D 3 2m 2m
3. 画剪力与弯矩图 剪力图:
FS1 bF l FS2 aF l
弯矩图:
M1
bF x1 l
M2
aF x2 l M max Fab l
最大值:
FS, max
bF （b a 时） l
4. 讨论
在 F 作用处, 左右横截面上 的弯矩相同, 剪力值突变
FS 右 FS 左 F
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
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外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力 M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
正负符号规定
使微段沿顺时针方向 转动的剪力为正
使微段弯曲呈凹形 的弯矩为正
使横截面顶部受压 的弯矩为正
剪力与弯矩计算
FS－剪力 M－弯矩
Fy 0 , FAy F1 FS 0
xD
3l 8
2
9ql2/128
3ql 3l q 3l MD 8 8 2 8
9ql 2 MD 128
微分关系法要点
利用微分关系，确定各梁段剪力、弯矩图的形状 计算各梁段起点、终点与极值点等截面的剪力 与弯矩
将上述二者结合，绘制梁的剪力与弯矩图
在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由直
M左 M右
2、 集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，左右截面 剪力之差等于集中力（集中力以向下为正）。
Fs左 Fs右 P
4－4 截面
F=12kN
Fy 0; M
4
Fs 4 0
M4 0
4 C 4
1
q=2kN/m
B
0;
A
2 3 1 2D 3 2m 2m
4 C 4 2m
FS FS ( x ) －剪力方程
M M ( x ) －弯矩方程
表示 FS 与 M 沿杆轴（x轴）变化情况的 图线，分别称为剪力图与弯矩图 画剪力图
ql qx －直线 2 ql ql FS (0) , FS ( l ) 2 2 FS
画弯矩图
M ql q x x2 2 2
qa 2 M 2 qax2 2
(0 x2 a )
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
弯矩图：
FS2 qa
qx12 M1 2
FS max qa
qa 2 M 2 qax2 2 qa 2 2
剪力弯矩最大值:
M max
4. 讨论
在 Me 作用处，左右横截面上 的剪力相同，弯矩值突变
q=2kN/m
B
FA 4 F 2 2q 1 0 FA 5kN
1－1截面
4 C 4
FB 2m 1 1F s1
F M
A
y 1
0; FA Fs1 0 0; M 1 0
Fs1 5kN
M1
FA
由1 －1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，紧 挨杆端截面的弯矩M=0。
1、取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；
2、将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布荷载 两端，支座处都应取作分段点； 3、用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩，由FS= 0 确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的 弯矩值； 4、用直线，均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力、 弯矩连起来，并在图上标出正负号，各控制截面的剪力值 和弯矩值，以及弯矩抛物线顶点所对应的截面位置。
Fs 2 3kN
M 2 8kN.m
m1=2kN.m A
m2=14kN.m 1 1 2m 2 2 C 3 3
B 2m
2 M2 2 Fs2
m2 0; M 2 m1 RA 2 0
3－3截面
m1 A FA M3 3 Fs3
F
y
0; Fs 3 FB 0
Fs 3 3kN
2－2截面
F
y
0; FA Fs 2 0
A
F=12kN
1 2 3 1 2D 3 2m 2m A FA 2 2F
s2
q=2kN/m
B
Fs 2 5kN M2 0; M 2 FA 2 0
M 2 10kN.m
4 C 4 2m
3－3截面
M2
F
y
0; FA Fs 3 P 0
应用
利用微分关系画梁的剪力与弯矩图
1. 问题分析
q=0，FS 图－水平直线，M 图－直线 求 FSA+ 画 FS 图 求 MA+ 与 MB- 画 M 图
2. 计算支反力、剪力与弯矩
Me FSA FAy l
FAy FBy
M A M e
Me l
M B 0
3. 画剪力图
4. 画弯矩图
M 图－斜直线
M A M e M B 0
FS 图－水平直线
FSA Me l
例 1 画剪力与弯矩图
解：1. 形状判断 斜线 2. FS 与 M 计算 ql/8 ql/8 -3ql/8 0 ql2/16ql2/16 0
3. 画FS与M图
xD l xD 2 3 1
FS
Q1 C
无变化
FS
x
FS<0
x
x 曲线
x
FS>0
增函数 降函数
Q2 Q1–Q2=P
x
C
x
M 图 x 与 M1 x x x x x m 特 M2 征M 反 M M M M M 增函数 降函数 凹形 凸形 折向与P反向 M1 M2 m
斜直线
自左向右折角 自左向右突变
根据M、Fs与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下：
(b)
梁微段平衡方程 注意： q 向上为正
x 向右为正
均布载荷下 FS 与 M 图特点
dFS q dx
dM FS dx
dM q 2 dx
2
2次凸曲线
直线
2次凹曲线
外 无外力段 力
q=0 FS FS 图 特 征 水平直线
FS
均布载荷段
q>0 q<0
集中力
P
C
集中力偶
m C
斜直线
FS FS
自左向右突变
线所构成
均布载荷作用梁段，剪力图为斜线，弯矩图为二 次抛物线，其凹凸性由载荷集度的正负而定
例 画图示梁的内力图。 解：取整体，
M
F
A
0;
FC 6 m F 9 6q 3 0
FC 6.5kN
y
F=3kN q=1kN/m m=6kN.m 4 5 3 6 2 A 1 1 2 3 4 5 6D C 4m B 2m 3m FA FC 2.5 3
M4
Fs4
由4－4 截面的内力计算可得如下结论： 1、自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：F=0 ；
2、自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0 。
例2 求图示梁1、2、3 截面的内力。 解：取整体， M 0;
FA 4 m1 m2 0 FA FB 3kN