材料力学第四章弯曲内力
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§4-2 梁的剪力和弯矩
一、内力计算
[举例]已知 如图，F，a，l。求 距A端x处截面上内力.
解: 求支座反力
Fx 0 , X A 0
a
F
A
B
l
mA 0, Fy 0 ,
RB
Fa l
RA
F
(l l
a)
XA A YA
F
B
RB
(Internal Forces in Beams)
求内力——截面法
R
HM
(Internal Forces in Beams)
5、静定梁的基本形式 (Basic types of statically determinate beams)
简支梁
(simply supported beam)
外伸梁
(overhanging beam)
悬臂梁
(cantilever beam)
-m
使dx微段有左端向下而右端向上的相对错 FS 动时，横截面m-m上的剪力为负.或使dx微段
有逆时针转动趋势的剪力为负.
m dx
(Internal Forces in Beams)
2、弯矩符号（Sign convention for
+ Mm
M
bending moment)
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部
Mechanics of Materials
Chapter 4 Internal forces in beams
(Internal Forces in Beams)
第四章 弯曲内力 ( Internal forces in beams )
§4-1 基本概念及工程实例
§4-2 梁的剪力和弯矩
§4-3剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
(2）载荷类型
集中力偶（concentrated moment)
分布载荷（distributed load )
(3） 支座的类型
A
A
可动铰支座
A
（roller support)
RA
A
(Internal Forces in Beams)
固定铰支座 (pin support)
A
YA
A
XA A
A
固定端(clamped support or fixed end)
受拉 ）时，横截面m-m 上的弯矩为正；
m （受拉）
-m
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半部
受压）时，横截面m-m 上的弯矩为负
m （受压）
(Internal Forces in Beams)
例题2 图示梁的计算简图。已知 F1、F2，且 F2 > F1 ， 尺寸a、b、c和 l 亦均为已知.试求梁在 E 、 F 点处横截面处 的剪力和弯矩.
(Internal Forces in Beams)
例1 贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t=10mm,
钢的Fra Baidu bibliotek度为： 7.8g/cm³，液体的密度为：1g/cm³,液面高 0.8m，外伸端长1m，试求贮液罐的计算简图.
解： FS — 均布力
(Internal Forces in Beams)
RA
FSE
ME
A
E
c
取右段为研究对象
FSE
F1
ME
EC
F2
RB
D
B
a- c b- c l- c
Fy 0 F S E R B F 1 F 2 0
ME0 R B ( l c ) F 1 ( a c ) F 2 ( b c ) M E 0
一. 工程实例（Example problem)
(Internal Forces in Beams)
二、基本概念（Basic concepts)
1、弯曲变形（Deflection )
(1) 受力特征
外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.
(2) 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.
2、梁 (Beam)
记 E 截面处的剪力为FSE RA 和弯矩 ME ，且假设FSE 和弯矩ME 的指向和转向 A 均为正值.
Fy0, RAFSE0
a
F1
F2
E c
b
CD
B
F
d
l
m E0 , M E R A c0
解得 FSERA
RA
FSE
ME
A
E
M E R A c
C
(Internal Forces in Beams)
解 (1)求梁的支反力 RA 和 RB RA
mA0
A
R B l F 1 a F 2 b 0
a
F1
C E
F2
RB
D
B
F
mB0
c
d
b
R A l F 1 ( l a ) F 2 ( l b ) 0
l
R AF 1(la) lF 2(lb)
RB
F1aF2b l
(Internal Forces in Beams)
q(x) mF
以弯曲变形为主的杆件
(Internal Forces in Beams)
3、平面弯曲(Plane bending) 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线 是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
q(x) mF
(Internal Forces in Beams)
纵向对称面
F1
F2
A
梁的轴线
B
RB
RA 梁变形后的轴线与
外力在同一平面内
(Internal Forces in Beams) 4、梁的力学模型的简化（Representing a real structure by an idealized model)
(1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
集中力（concentrated force)
二、内力的符号规定 （Sign convention for internal force)
+m FS
1、剪力符号
(Sign convention for shear force)
FS
使dx 微段有 左端向上而右端向下的相对错
m
动时,横截面m-m 上的剪力为正。或使dx微段
dx
有顺时针转动趋势的剪力为正.
(Internal Forces in Beams)
§4-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间 的关系 §4-5 叠加原理作弯矩图
§4-6 平面刚架和曲杆的内力图
(Internal Forces in Beams)
§4-1 基本概念及工程
(Basic concepts and example problems)
Fy 0, FsYAF(lla) XA A
m
mC0, MYAx
剪力 弯曲构件内力
YA
m
x
弯矩
FS
1、弯矩 M 构件受弯时，横截面上其作用面垂 YA
M
C
直于截面的内力偶矩.
2、 剪力 FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力.
M
C
FS
F
B
RB
F RB
(Internal Forces in Beams)
一、内力计算
[举例]已知 如图，F，a，l。求 距A端x处截面上内力.
解: 求支座反力
Fx 0 , X A 0
a
F
A
B
l
mA 0, Fy 0 ,
RB
Fa l
RA
F
(l l
a)
XA A YA
F
B
RB
(Internal Forces in Beams)
求内力——截面法
R
HM
(Internal Forces in Beams)
5、静定梁的基本形式 (Basic types of statically determinate beams)
简支梁
(simply supported beam)
外伸梁
(overhanging beam)
悬臂梁
(cantilever beam)
-m
使dx微段有左端向下而右端向上的相对错 FS 动时，横截面m-m上的剪力为负.或使dx微段
有逆时针转动趋势的剪力为负.
m dx
(Internal Forces in Beams)
2、弯矩符号（Sign convention for
+ Mm
M
bending moment)
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部
Mechanics of Materials
Chapter 4 Internal forces in beams
(Internal Forces in Beams)
第四章 弯曲内力 ( Internal forces in beams )
§4-1 基本概念及工程实例
§4-2 梁的剪力和弯矩
§4-3剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
(2）载荷类型
集中力偶（concentrated moment)
分布载荷（distributed load )
(3） 支座的类型
A
A
可动铰支座
A
（roller support)
RA
A
(Internal Forces in Beams)
固定铰支座 (pin support)
A
YA
A
XA A
A
固定端(clamped support or fixed end)
受拉 ）时，横截面m-m 上的弯矩为正；
m （受拉）
-m
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半部
受压）时，横截面m-m 上的弯矩为负
m （受压）
(Internal Forces in Beams)
例题2 图示梁的计算简图。已知 F1、F2，且 F2 > F1 ， 尺寸a、b、c和 l 亦均为已知.试求梁在 E 、 F 点处横截面处 的剪力和弯矩.
(Internal Forces in Beams)
例1 贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t=10mm,
钢的Fra Baidu bibliotek度为： 7.8g/cm³，液体的密度为：1g/cm³,液面高 0.8m，外伸端长1m，试求贮液罐的计算简图.
解： FS — 均布力
(Internal Forces in Beams)
RA
FSE
ME
A
E
c
取右段为研究对象
FSE
F1
ME
EC
F2
RB
D
B
a- c b- c l- c
Fy 0 F S E R B F 1 F 2 0
ME0 R B ( l c ) F 1 ( a c ) F 2 ( b c ) M E 0
一. 工程实例（Example problem)
(Internal Forces in Beams)
二、基本概念（Basic concepts)
1、弯曲变形（Deflection )
(1) 受力特征
外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.
(2) 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.
2、梁 (Beam)
记 E 截面处的剪力为FSE RA 和弯矩 ME ，且假设FSE 和弯矩ME 的指向和转向 A 均为正值.
Fy0, RAFSE0
a
F1
F2
E c
b
CD
B
F
d
l
m E0 , M E R A c0
解得 FSERA
RA
FSE
ME
A
E
M E R A c
C
(Internal Forces in Beams)
解 (1)求梁的支反力 RA 和 RB RA
mA0
A
R B l F 1 a F 2 b 0
a
F1
C E
F2
RB
D
B
F
mB0
c
d
b
R A l F 1 ( l a ) F 2 ( l b ) 0
l
R AF 1(la) lF 2(lb)
RB
F1aF2b l
(Internal Forces in Beams)
q(x) mF
以弯曲变形为主的杆件
(Internal Forces in Beams)
3、平面弯曲(Plane bending) 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线 是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
q(x) mF
(Internal Forces in Beams)
纵向对称面
F1
F2
A
梁的轴线
B
RB
RA 梁变形后的轴线与
外力在同一平面内
(Internal Forces in Beams) 4、梁的力学模型的简化（Representing a real structure by an idealized model)
(1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
集中力（concentrated force)
二、内力的符号规定 （Sign convention for internal force)
+m FS
1、剪力符号
(Sign convention for shear force)
FS
使dx 微段有 左端向上而右端向下的相对错
m
动时,横截面m-m 上的剪力为正。或使dx微段
dx
有顺时针转动趋势的剪力为正.
(Internal Forces in Beams)
§4-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间 的关系 §4-5 叠加原理作弯矩图
§4-6 平面刚架和曲杆的内力图
(Internal Forces in Beams)
§4-1 基本概念及工程
(Basic concepts and example problems)
Fy 0, FsYAF(lla) XA A
m
mC0, MYAx
剪力 弯曲构件内力
YA
m
x
弯矩
FS
1、弯矩 M 构件受弯时，横截面上其作用面垂 YA
M
C
直于截面的内力偶矩.
2、 剪力 FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力.
M
C
FS
F
B
RB
F RB
(Internal Forces in Beams)