(完整版)小学奥数-不定方程(教师版)

不定方程

如$知识梳理］

在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。有三个未知数，就需要有三个 方程。当未知数的个数多于方程的个数时， 这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图,

不定方程也称为丢番图方程。不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足 轻重的地位。而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。

不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。不过， 我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而 且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。这种 情况也不排除它的取值不止一种。

不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。如果考虑到题中 以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整 数的分拆有很大关系）。解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确 求解。

特色讲解］

【例1】★求方程5x 2y 27的正整数解。

【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数

x 1

x 3 x 5 , ,

y 11 y 6 y 1

【小试牛刀】求方程 4x + 10y = 34的正整数解

【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34，两边约去2后，得2x + 5y = 17, 5y 的个位是0 或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17, 5y 的个位只能是5, y 为奇数即可；2x 的个位为2,所以 x 的取值为1、6、11、16……

x= 1 时，17-2x = 15, y = 3, x= 6 时，17-2x = 5 , y = 1 , x= 11 时，17 — 2x = 17 — 22,无解 所以方程有两组整数解为：

d

x 1 x y 3

，

y

【例2】★ 设A , B 都是正整数，并且满足 A

11

［解析］3A 11B 17 33

33

3A+11B=17,因为 A 、B 为正整数，所以 A=2, B=1, A+B=3

【例3】★ ★（北大附中入学考试真题） 14个大、中、小号钢珠共重 100克，大号钢珠每个重 12

克，中号每个重 8克，小号每个重 5克。问：大、中、小号钢珠各多少个

？

【解析】设大、中号钢珠分别有x, y 个，则小号钢珠有(14-x-y)个。由题意可得12x+8y+5(14-x-y)=100 , 化简得7x+3y=30。可求出正整数解 x=3 , y =3 , 14-x-y =8 。

【小试牛刀】庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知 7个大和尚每天共吃 41个馒头，29个小 和尚每天共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。问：庙里至少有多少个和尚 ？

B 17，求A B 的值。 3

33

【解析】设有7x个大和尚，29y个小和尚，则共吃(41x+lly)个馒头。由"平均每个和尚每天恰好吃一个馒头"，可列方程7x+29y=41x+1ly .

化简为9x=17y。当x=9, y=17时和尚最少，有7X 9+29X 17=556(个)。

【例4】★★长方形长，宽为整数，周长数值和面积数值相等，求其长和宽^

【解析】设长方形长为x,宽为y,则2x+2y=xy，两边同时除以2xy ,

得1 1 1 ,因为x、y均为整数，所以x=1, x=2时，y不存在

所以

x 3' x4,x6

y 6 y4y3

【

例5】★★已知A，B，广是三个最简真分数，如果每个分数的分子加上

C A ,分母不变，所得

234

三个新分数的和为,求「等于多少？

13 C

【解析】因为△是真分数，所以A=1,

A

2

11 B 1 C 1 13，化简得4B+3C=7,因为B，C均为真分数，

2 3 4 6 3 4

所以B=1, C=1

【例6】★★甲班有42名学生，乙班有48名学生。某次考试后各班学生成绩的总和相等，平均分

均为整数，且平均成绩均高于80分，那么甲班成绩比乙班成绩高多少分？

【解析】甲班成绩为x,乙班成绩为y

.o，由方程①8y=7x.因为x、y均为整数，x>80, y>80,

42x 48y

x 80

y 80

所以x=96, y=84. x-y=12

【小试牛刀】小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候.若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声.细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面.在这15天内它们共叫了61声.问:

波斯猫至少叫了多少声？

【解析】早晨见面小花狗和波斯猫共叫

3

声，晚上见面共叫5声.设在这15天内早晨见面x 次，晚

上见面y 次.根据题意有：3x 5y 61(

x < 15，y < 15)， 可以凑出，当x 2时，° 〈I ；当x 7时， x 乙 V 11 x 因为小花狗共叫了 c 声，那么

2 x y x y 当x 12，y 5时波斯猫叫得最少，共叫了

【例7】★ ★袋子里有三种颜色不同的球，红球上标有数字 1,黄球上标有数字 2,蓝球上标有数字

3, 小明从袋中取出10个球，数字和21,问红，黄，蓝颜色的各有多少个？ 【解析】设红球 x 个，黄球y 个，蓝球(10-x-y )个 则 x+2y+3 (10-x-y ) =21，化简 2x+y=9

因为 y 为奇数，所以 y=1,3,5,7,9 ，所以 x=4,3,2,1,0 , 10-x-y=5,4,3,2,1 ,共五种'清况

【小试牛刀】袋子里有三种球，分别标有数字 2, 3和5,小明从中摸出几个球，它们的数字之和是

43。问：小明最多摸出几个标有数字

2的球？

【解析】设摸出标有数字 2, 3和5的球分别为x,y , z 个，于是有 xfy+z=12 3 2x+3y+5z=43 5.①-②，得

3z+2y=17

③

由于x, y 都是正整数，因此在③中，

y 取1时.x 取最大值5。

【例8】★★★ 小刚说：“从我家门牌号中抽取两个数字，共可组成 6个不同的两位数，这些数的

和的一半刚好是我家的门牌号”，问小刚家门牌号多少 ？ 【解析】设小刚家门牌号为 x yz (即100x+10y+z ) 则

10x+y+10x+z+10y+x+10y+z+10z+x+10z+y=2(100x+10y+z )

化简得 y+10z=89x ，因为 x 、y 、z 均为一位整数，所以 x=1, y=9, z=8. ^yz =198. 【例9】★★ 袋中有三种球，分别标有数字 2, 3和5,小明从中摸出12个球，它们数字和为

43。问小明最多摸出几个标有数字

2的球？

【解析】设数字2摸出x 个，数字3摸出y 个，数字5摸出(12-x-y )个 2x+3y+5 (12-x-y ) =43,化简得 3x+2y=17,要使 x 最多，所以 x=5 【小试牛刀】某次聚餐，每一位男宾付 130

元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付 60元，现在

有1的成人各带一个孩子，总共收了 2160

元，问：这个活动共有多少人参加

(成人和孩子)？ 3

【解析】设参加的男宾有 x 人，女宾有y 人，则由题意得方程：

1

即150x 120y 2160，化简得5x 4y 72 •这个方程有四组解：x 4，x 8' x 12和x 0 ' y 13 y 8 y 3 y 18 但是由于有1的成人带着孩子，所以 x y 能被3整除，检验可知只有后两组满足.

人或 1 人参加.

18 - 18 24

3

y 8；当 x 12 时，y 5 ' 越大，小花狗就叫得越多，从而波斯猫叫得越少，所以 1 12 3 5 27(声)•

3

所以，这个活动共有

1 1

2 3

12 3

20

3